2025年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計推斷與t檢驗的難點突破試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的，請將正確選項字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在進行統(tǒng)計推斷時，我們通常關(guān)心的是總體參數(shù)的估計和假設(shè)檢驗，下列哪一項不是參數(shù)估計的內(nèi)容？（A）點估計（B）區(qū)間估計（C）假設(shè)檢驗（D）最大似然估計2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)樣本量n足夠大時，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布可以近似為：（A）正態(tài)分布（B）t分布（C）F分布（D）卡方分布3.在假設(shè)檢驗中，第一類錯誤是指：（A）接受原假設(shè)，但實際上原假設(shè)是錯誤的（B）拒絕原假設(shè)，但實際上原假設(shè)是正確的（C）接受原假設(shè)，但實際上原假設(shè)是正確的（D）拒絕原假設(shè)，但實際上原假設(shè)是錯誤的4.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)總體方差σ2未知時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是：（A）Z統(tǒng)計量（B）t統(tǒng)計量（C）F統(tǒng)計量（D）卡方統(tǒng)計量5.在進行區(qū)間估計時，置信水平越高，置信區(qū)間的寬度：（A）越窄（B）越寬（C）不變（D）無法確定6.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)總體方差σ2已知時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是：（A）Z統(tǒng)計量（B）t統(tǒng)計量（C）F統(tǒng)計量（d）卡方統(tǒng)計量7.在假設(shè)檢驗中，第二類錯誤是指：（A）接受原假設(shè)，但實際上原假設(shè)是錯誤的（B）拒絕原假設(shè)，但實際上原假設(shè)是正確的（C）接受原假設(shè)，但實際上原假設(shè)是正確的（D）拒絕原假設(shè)，但實際上原假設(shè)是錯誤的8.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)樣本量n較小時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是：（A）Z統(tǒng)計量（B）t統(tǒng)計量（C）F統(tǒng)計量（D）卡方統(tǒng)計量9.在進行假設(shè)檢驗時，選擇顯著性水平α的大?。海ˋ）越大越好（B）越小越好（C）適中即可（D）無關(guān)緊要10.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)總體方差σ2未知時，樣本均值的標準誤差是：（A）σ/√n（B）σ√n（C）σ2/√n（D）σ2√n11.在進行區(qū)間估計時，樣本量n越大，置信區(qū)間的寬度：（A）越窄（B）越寬（C）不變（D）無法確定12.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)總體方差σ2已知時，樣本均值的標準誤差是：（A）σ/√n（B）σ√n（C）σ2/√n（D）σ2√n13.在假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)H?被拒絕，那么我們可以說：（A）原假設(shè)H?是錯誤的（B）原假設(shè)H?是正確的（C）原假設(shè)H?可能正確也可能錯誤（D）原假設(shè)H?被接受14.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)總體方差σ2未知時，樣本方差的抽樣分布服從：（A）正態(tài)分布（B）t分布（C）F分布（D）卡方分布15.在進行區(qū)間估計時，置信水平α越高，置信區(qū)間的寬度：（A）越窄（B）越寬（C）不變（D）無法確定16.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)樣本量n較小時，樣本方差的抽樣分布服從：（A）正態(tài)分布（B）t分布（C）F分布（D）卡方分布17.在假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)H?被接受，那么我們可以說：（A）原假設(shè)H?是錯誤的（B）原假設(shè)H?是正確的（C）原假設(shè)H?可能正確也可能錯誤（D）原假設(shè)H?被拒絕18.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)總體方差σ2未知時，樣本均值的標準誤差是：（A）σ/√n（B）σ√n（C）σ2/√n（D）σ2√n19.在進行區(qū)間估計時，樣本量n越大，置信區(qū)間的寬度：（A）越窄（B）越寬（C）不變（D）無法確定20.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)樣本量n較小時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是：（A）Z統(tǒng)計量（B）t統(tǒng)計量（C）F統(tǒng)計量（D）卡方統(tǒng)計量二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。請將答案填寫在題中的橫線上。）1.在進行統(tǒng)計推斷時，我們通常關(guān)心的是總體參數(shù)的估計和__________。2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)樣本量n足夠大時，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布可以近似為__________。3.在假設(shè)檢驗中，第一類錯誤是指__________。4.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)總體方差σ2未知時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是__________。5.在進行區(qū)間估計時，置信水平越高，置信區(qū)間的寬度__________。6.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)總體方差σ2已知時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是__________。7.在假設(shè)檢驗中，第二類錯誤是指__________。8.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)樣本量n較小時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是__________。9.在進行假設(shè)檢驗時，選擇顯著性水平α的大小__________。10.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)總體方差σ2未知時，樣本均值的標準誤差是__________。三、簡答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案寫在答題紙上。）1.簡述假設(shè)檢驗的基本步驟。2.解釋什么是第一類錯誤和第二類錯誤，并說明它們之間的關(guān)系。3.在進行區(qū)間估計時，影響置信區(qū)間寬度的因素有哪些？4.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)總體方差σ2未知時，如何計算樣本均值的標準誤差？5.在實際應(yīng)用中，如何選擇合適的顯著性水平α？四、計算題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請將答案寫在答題紙上。）1.某廠生產(chǎn)的燈泡壽命X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知。隨機抽取36個燈泡，測得樣本均值x?=1500小時，樣本標準差s=200小時。試檢驗燈泡壽命是否顯著大于1400小時（α=0.05）。2.某醫(yī)生聲稱某種新藥能顯著降低患者的血壓。隨機抽取20名患者，服用新藥后血壓的樣本均值為x?=130mmHg，樣本標準差s=15mmHg。已知血壓服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知。試檢驗新藥是否能顯著降低血壓（α=0.01）。3.某學(xué)校隨機抽取100名學(xué)生，其平均身高為170cm，標準差為10cm。假設(shè)身高服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知。試構(gòu)建身高均值μ的95%置信區(qū)間。4.某公司生產(chǎn)的零件長度X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知。隨機抽取25個零件，測得樣本均值x?=50mm，樣本標準差s=5mm。試構(gòu)建零件長度均值μ的99%置信區(qū)間。5.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的重量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知。隨機抽取16個產(chǎn)品，測得樣本均值x?=100g，樣本標準差s=10g。試檢驗產(chǎn)品重量是否顯著小于110g（α=0.10）。五、論述題（本大題共1小題，共10分。請將答案寫在答題紙上。）1.在實際應(yīng)用中，如何選擇合適的顯著性水平α？請結(jié)合具體例子說明選擇不同顯著性水平α對假設(shè)檢驗結(jié)果的影響。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：參數(shù)估計包括點估計和區(qū)間估計，而假設(shè)檢驗是另一類統(tǒng)計推斷方法，用于判斷關(guān)于總體的假設(shè)是否成立。因此，假設(shè)檢驗不是參數(shù)估計的內(nèi)容。2.答案：A解析：根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本量n足夠大時，樣本均值的抽樣分布近似為正態(tài)分布，即使總體不是正態(tài)分布。3.答案：A解析：第一類錯誤是指在原假設(shè)H?為真的情況下，錯誤地拒絕了H?。這也就是我們常說的“以真為假”。4.答案：B解析：當(dāng)總體方差σ2未知時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是t統(tǒng)計量，因為t統(tǒng)計量考慮了樣本方差的估計。5.答案：B解析：置信水平越高，意味著我們希望估計的置信區(qū)間包含真實參數(shù)的可能性越大，因此需要更大的區(qū)間范圍，即越寬。6.答案：A解析：當(dāng)總體方差σ2已知時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是Z統(tǒng)計量，因為Z統(tǒng)計量基于總體方差的已知信息。7.答案：B解析：第二類錯誤是指在原假設(shè)H?為假的情況下，錯誤地接受了H?。這也就是我們常說的“以假為真”。8.答案：B解析：當(dāng)樣本量n較小時，由于樣本均值的抽樣分布受樣本量影響較大，此時應(yīng)使用t統(tǒng)計量來檢驗H?：μ=μ?。9.答案：C解析：選擇顯著性水平α的大小需要根據(jù)具體情況權(quán)衡，適中即可。過大的α可能導(dǎo)致第一類錯誤過多，過小的α可能導(dǎo)致第二類錯誤過多。10.答案：A解析：樣本均值的標準誤差是總體標準差σ除以樣本量n的平方根，即σ/√n。這是因為樣本均值的標準誤差反映了樣本均值圍繞總體均值的波動程度。11.答案：A解析：樣本量n越大，樣本均值的抽樣分布越接近正態(tài)分布，且標準誤差越小，因此置信區(qū)間的寬度越窄。12.答案：A解析：樣本均值的標準誤差是總體標準差σ除以樣本量n的平方根，即σ/√n。這與總體方差是否已知無關(guān)。13.答案：C解析：如果原假設(shè)H?被拒絕，我們只能說有足夠的證據(jù)表明原假設(shè)H?可能是錯誤的，但不能完全確定H?是錯誤的，因為仍存在犯第一類錯誤的可能性。14.答案：D解析：樣本方差的抽樣分布服從卡方分布，這是因為在進行方差估計時，樣本方差的分布與卡方分布密切相關(guān)。15.答案：B解析：置信水平α越高，意味著我們希望估計的置信區(qū)間包含真實參數(shù)的可能性越大，因此需要更大的區(qū)間范圍，即越寬。16.答案：D解析：當(dāng)樣本量n較小時，樣本方差的抽樣分布服從卡方分布，這是因為在進行方差估計時，樣本方差的分布與卡方分布密切相關(guān)。17.答案：C解析：如果原假設(shè)H?被接受，我們只能說沒有足夠的證據(jù)表明原假設(shè)H?是錯誤的，但這并不意味著H?一定是正確的，因為仍存在犯第二類錯誤的可能性。18.答案：A解析：樣本均值的標準誤差是總體標準差σ除以樣本量n的平方根，即σ/√n。這與總體方差是否已知無關(guān)。19.答案：A解析：樣本量n越大，樣本均值的抽樣分布越接近正態(tài)分布，且標準誤差越小，因此置信區(qū)間的寬度越窄。20.答案：B解析：當(dāng)樣本量n較小時，由于樣本均值的抽樣分布受樣本量影響較大，此時應(yīng)使用t統(tǒng)計量來檢驗H?：μ=μ?。二、填空題答案及解析1.答案：假設(shè)檢驗解析：在統(tǒng)計推斷中，除了參數(shù)估計，另一個重要的內(nèi)容是假設(shè)檢驗，用于判斷關(guān)于總體的假設(shè)是否成立。2.答案：正態(tài)分布解析：根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本量n足夠大時，樣本均值的抽樣分布近似為正態(tài)分布，即使總體不是正態(tài)分布。3.答案：接受原假設(shè)，但實際上原假設(shè)是錯誤的解析：第一類錯誤是指在原假設(shè)H?為真的情況下，錯誤地拒絕了H?。這也就是我們常說的“以真為假”。4.答案：t統(tǒng)計量解析：當(dāng)總體方差σ2未知時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是t統(tǒng)計量，因為t統(tǒng)計量考慮了樣本方差的估計。5.答案：越寬解析：置信水平越高，意味著我們希望估計的置信區(qū)間包含真實參數(shù)的可能性越大，因此需要更大的區(qū)間范圍，即越寬。6.答案：Z統(tǒng)計量解析：當(dāng)總體方差σ2已知時，用于檢驗H?：μ=μ?的統(tǒng)計量是Z統(tǒng)計量，因為Z統(tǒng)計量基于總體方差的已知信息。7.答案：拒絕原假設(shè)，但實際上原假設(shè)是正確的解析：第二類錯誤是指在原假設(shè)H?為假的情況下，錯誤地接受了H?。這也就是我們常說的“以假為真”。8.答案：t統(tǒng)計量解析：當(dāng)樣本量n較小時，由于樣本均值的抽樣分布受樣本量影響較大，此時應(yīng)使用t統(tǒng)計量來檢驗H?：μ=μ?。9.答案：適中即可解析：選擇顯著性水平α的大小需要根據(jù)具體情況權(quán)衡，適中即可。過大的α可能導(dǎo)致第一類錯誤過多，過小的α可能導(dǎo)致第二類錯誤過多。10.答案：σ/√n解析：樣本均值的標準誤差是總體標準差σ除以樣本量n的平方根，即σ/√n。這是因為樣本均值的標準誤差反映了樣本均值圍繞總體均值的波動程度。三、簡答題答案及解析1.答案：假設(shè)檢驗的基本步驟包括：（1）提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?；（2）選擇顯著性水平α；（3）確定檢驗統(tǒng)計量及其分布；（4）計算檢驗統(tǒng)計量的值；（5）根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的值和分布，確定拒絕域；（6）做出統(tǒng)計決策，即接受或拒絕原假設(shè)。解析：假設(shè)檢驗的基本步驟是系統(tǒng)化的過程，首先需要提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?，然后選擇顯著性水平α，確定檢驗統(tǒng)計量及其分布，計算檢驗統(tǒng)計量的值，根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的值和分布，確定拒絕域，最后做出統(tǒng)計決策，即接受或拒絕原假設(shè)。2.答案：第一類錯誤是指在原假設(shè)H?為真的情況下，錯誤地拒絕了H?。這也就是我們常說的“以真為假”。第二類錯誤是指在原假設(shè)H?為假的情況下，錯誤地接受了H?。這也就是我們常說的“以假為真”。兩者之間的關(guān)系是：在固定的樣本量下，減小第一類錯誤的概率會增加第二類錯誤的概率，反之亦然。解析：第一類錯誤和第二類錯誤是假設(shè)檢驗中的兩種錯誤類型。第一類錯誤是指原假設(shè)H?為真時，錯誤地拒絕了H?；第二類錯誤是指原假設(shè)H?為假時，錯誤地接受了H?。兩者之間存在一個權(quán)衡關(guān)系，即在固定的樣本量下，減小第一類錯誤的概率會增加第二類錯誤的概率，反之亦然。3.答案：影響置信區(qū)間寬度的因素包括：（1）置信水平α：置信水平越高，置信區(qū)間越寬；（2）樣本量n：樣本量越大，置信區(qū)間越窄；（3）總體標準差σ：總體標準差越大，置信區(qū)間越寬；（4）樣本標準差s：樣本標準差越大，置信區(qū)間越寬。解析：置信區(qū)間的寬度受到多個因素的影響。置信水平α越高，意味著我們希望估計的置信區(qū)間包含真實參數(shù)的可能性越大，因此需要更大的區(qū)間范圍，即越寬。樣本量n越大，樣本均值的抽樣分布越接近正態(tài)分布，且標準誤差越小，因此置信區(qū)間的寬度越窄?？傮w標準差σ和樣本標準差s越大，標準誤差越大，因此置信區(qū)間的寬度越寬。4.答案：當(dāng)總體方差σ2未知時，樣本均值的標準誤差是樣本標準差s除以樣本量n的平方根，即s/√n。這是因為樣本均值的標準誤差反映了樣本均值圍繞總體均值的波動程度，而樣本標準差s是樣本方差的平方根，反映了樣本數(shù)據(jù)的離散程度。解析：樣本均值的標準誤差是樣本均值抽樣分布的標準差，反映了樣本均值圍繞總體均值的波動程度。當(dāng)總體方差σ2未知時，我們使用樣本標準差s來估計總體標準差σ，因此樣本均值的標準誤差是樣本標準差s除以樣本量n的平方根，即s/√n。5.答案：選擇合適的顯著性水平α需要根據(jù)具體情況權(quán)衡。一般來說，α的選擇應(yīng)考慮以下因素：（1）研究的重要性：研究的重要性越高，α應(yīng)越小；（2）研究的成本：研究的成本越高，α應(yīng)越大；（3）研究的風(fēng)險：研究的風(fēng)險越高，α應(yīng)越?。唬?）研究的領(lǐng)域：不同領(lǐng)域的研究可能對α有不同的要求。解析：選擇合適的顯著性水平α需要根據(jù)具體情況權(quán)衡。一般來說，α的選擇應(yīng)考慮研究的重要性、研究的成本、研究的風(fēng)險以及研究的領(lǐng)域等因素。例如，研究的重要性越高，α應(yīng)越小，以減少犯第一類錯誤的概率；研究的成本越高，α應(yīng)越大，以增加發(fā)現(xiàn)真實效應(yīng)的可能性；研究的風(fēng)險越高，α應(yīng)越小，以減少犯第一類錯誤的損失；不同領(lǐng)域的研究可能對α有不同的要求，例如，醫(yī)學(xué)研究通常要求α較小，而社會科學(xué)研究可能允許α較大。四、計算題答案及解析1.答案：H?：μ=1400，H?：μ>1400（1）計算檢驗統(tǒng)計量t的值：t=x?-μ?/(s/√n)=1500-1400/(200/√36)=1.8（2）確定拒絕域：α=0.05，自由度df=n-1=35，查t分布表得t?.05=1.69（3）做出統(tǒng)計決策：t=1.8>t?.05，拒絕H?，即燈泡壽命顯著大于1400小時。解析：首先提出原假設(shè)H?：μ=1400和備擇假設(shè)H?：μ>1400。然后計算檢驗統(tǒng)計量t的值，t=x?-μ?/(s/√n)=1500-1400/(200/√36)=1.8。接著確定拒絕域，α=0.05，自由度df=n-1=35，查t分布表得t?.05=1.69。最后做出統(tǒng)計決策，t=1.8>t?.05，拒絕H?，即燈泡壽命顯著大于1400小時。2.答案：H?：μ=μ?，H?：μ<μ?（1）計算檢驗統(tǒng)計量t的值：t=x?-μ?/(s/√n)=130-μ?/(15/√20)（2）確定拒絕域：α=0.01，自由度df=n-1=19，查t分布表得t?.01=2.539（3）做出統(tǒng)計決策：t<2.539，接受H?，即新藥不能顯著降低血壓。解析：首先提出原假設(shè)H?：μ=μ?和備擇假設(shè)H?：μ<μ?。然后計算檢驗統(tǒng)計量t的值，t=x?-μ?/(s/√n)=130-μ?/(15/√20)。接著確定拒絕域，α=0.01，自由度df=n-1=19，查t分布表得t?.01=2.539。最后做出統(tǒng)計決策，t<2.539，接受H?，即新藥不能顯著降低血壓。3.答案：μ的95%置信區(qū)間為(168.96,171.04)解析：μ的95%置信區(qū)間為(x?±t?.025(s/√n))=(170±2.032(10/√100))=(168.96,171.04)4.答案：μ的99%置信區(qū)間為(48.31,51.69)解析：μ的99%置信區(qū)間為(x?±t?.005(s/√n))=(50±2.776(5/√25))=(48.31,51.69)5.答案：H?：μ=110，H?：μ<110（1）計算檢驗統(tǒng)計量t的值：t=x?-μ?/(s/√n)=100-110/(10/√16)=-4（2）確定拒絕域：α=0.10，自由度d