導(dǎo)數(shù)專題復(fù)習(xí)資料與練習(xí)題一、導(dǎo)數(shù)的基本概念導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它描述了函數(shù)在某一點處的瞬時變化率，是研究函數(shù)單調(diào)性、極值、凹凸性等性質(zhì)的基礎(chǔ)工具。1.1導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量\(x\)在\(x_0\)處取得增量\(\Deltax\)（\(x_0+\Deltax\)仍在鄰域內(nèi)）時，函數(shù)取得增量\(\Deltay=f(x_0+\Deltax)-f(x_0)\)。若極限：\[f'(x_0)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\]存在，則稱\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，\(f'(x_0)\)為\(f(x)\)在\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)。左導(dǎo)數(shù)：\(f'_-(x_0)=\lim_{\Deltax\to0^-}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)（自變量從左側(cè)趨近于\(x_0\)）；右導(dǎo)數(shù)：\(f'_+(x_0)=\lim_{\Deltax\to0^+}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)（自變量從右側(cè)趨近于\(x_0\)）?？蓪?dǎo)的充要條件：\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)\(f'_-(x_0)=f'_+(x_0)\)。1.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)\(f'(x_0)\)表示曲線\(y=f(x)\)在點\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率。切線方程：\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)；法線方程（切線的垂線）：\(y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\)（\(f'(x_0)\neq0\)）。1.3導(dǎo)數(shù)的物理意義若\(s(t)\)表示物體在時刻\(t\)的位移，則：瞬時速度\(v(t)=s'(t)\)（位移對時間的變化率）；瞬時加速度\(a(t)=v'(t)=s''(t)\)（速度對時間的變化率）。1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理：若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處必連續(xù)。反例：\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)，但左導(dǎo)數(shù)\(f'_-(0)=-1\)，右導(dǎo)數(shù)\(f'_+(0)=1\)，不相等，故不可導(dǎo)。結(jié)論：可導(dǎo)是連續(xù)的充分非必要條件。二、基本導(dǎo)數(shù)公式與推導(dǎo)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是導(dǎo)數(shù)運算的基礎(chǔ)，需熟練記憶并理解推導(dǎo)過程。2.1常數(shù)函數(shù)\[(C)'=0\quad(C為常數(shù))\]推導(dǎo)：\(\Deltay=C-C=0\)，故\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=0\)。2.2冪函數(shù)\[(x^n)'=nx^{n-1}\quad(n為實數(shù))\]推導(dǎo)（用定義）：設(shè)\(f(x)=x^n\)，則\[f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{(x+\Deltax)^n-x^n}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\to0}\frac{nx^{n-1}\Deltax+o(\Deltax)}{\Deltax}=nx^{n-1}.\]2.3指數(shù)函數(shù)\[(a^x)'=a^x\lna\quad(a>0,a\neq1)\]特例：\((e^x)'=e^x\)（\(\lne=1\)）。推導(dǎo)：利用極限\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{a^{\Deltax}-1}{\Deltax}=\lna\)，則\[(a^x)'=\lim_{\Deltax\to0}\frac{a^{x+\Deltax}-a^x}{\Deltax}=a^x\lim_{\Deltax\to0}\frac{a^{\Deltax}-1}{\Deltax}=a^x\lna.\]2.4對數(shù)函數(shù)\[(\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}\quad(a>0,a\neq1)\]特例：\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)（\(\lne=1\)）。推導(dǎo)（反函數(shù)導(dǎo)數(shù)）：設(shè)\(y=\log_ax\)，則\(x=a^y\)，故\(\frac{dx}{dy}=a^y\lna\)，由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系得\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{a^y\lna}=\frac{1}{x\lna}.\]2.5三角函數(shù)\[\begin{align*}(\sinx)'&=\cosx,\\(\cosx)'&=-\sinx,\\(\tanx)'&=\sec^2x,\\(\cotx)'&=-\csc^2x,\\(\secx)'&=\secx\tanx,\\(\cscx)'&=-\cscx\cotx.\end{align*}\]推導(dǎo)（以\(\sinx\)為例）：\[(\sinx)'=\lim_{\Deltax\to0}\frac{\sin(x+\Deltax)-\sinx}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\to0}\frac{2\cos(x+\frac{\Deltax}{2})\sin(\frac{\Deltax}{2})}{\Deltax}=\cosx.\]2.6反三角函數(shù)\[\begin{align*}(\arcsinx)'&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad(-1<x<1),\\(\arccosx)'&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad(-1<x<1),\\(\arctanx)'&=\frac{1}{1+x^2},\\(\text{arccot}x)'&=-\frac{1}{1+x^2}.\end{align*}\]推導(dǎo)（以\(\arcsinx\)為例）：設(shè)\(y=\arcsinx\)，則\(x=\siny\)，\(\frac{dx}{dy}=\cosy=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}\)，故\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\]三、導(dǎo)數(shù)的運算規(guī)則導(dǎo)數(shù)的運算規(guī)則包括四則運算、復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t、隱函數(shù)求導(dǎo)法和參數(shù)方程求導(dǎo)法，是處理復(fù)雜函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵。3.1四則運算設(shè)\(u=u(x)\)、\(v=v(x)\)可導(dǎo)，則：\[\begin{align*}(u\pmv)'&=u'\pmv',\\(uv)'&=u'v+uv',\\\left(\frac{u}{v}\right)'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad(v\neq0).\end{align*}\]例：求\(y=x^2e^x\)的導(dǎo)數(shù)。解：\(y'=(x^2)'e^x+x^2(e^x)'=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2)\)。3.2復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t設(shè)\(y=f(u)\)、\(u=g(x)\)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)\(y=f(g(x))\)的導(dǎo)數(shù)為：\[y'=f'(g(x))\cdotg'(x).\]步驟：1.分解復(fù)合結(jié)構(gòu)（如\(y=\ln(\sine^x)\)可分解為\(y=\lnu\)、\(u=\sinv\)、\(v=e^x\)）；2.逐層求導(dǎo)（\(y'=\frac{1}{u}\cdot\cosv\cdote^x\)）；3.回代變量（\(y'=\frac{\cose^x}{\sine^x}\cdote^x=e^x\cote^x\)）。3.3隱函數(shù)求導(dǎo)法對于由方程\(F(x,y)=0\)確定的隱函數(shù)\(y=y(x)\)，求導(dǎo)步驟為：1.方程兩邊對\(x\)求導(dǎo)（注意\(y\)是\(x\)的函數(shù)，需用鏈?zhǔn)椒▌t，如\((y^2)'=2yy'\)）；2.解關(guān)于\(y'\)的方程。例：求隱函數(shù)\(e^y+xy=e\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊對\(x\)求導(dǎo)得\(e^yy'+y+xy'=0\)，解得\(y'=-\frac{y}{e^y+x}\)。當(dāng)\(x=0\)時，代入原方程得\(e^y=e\)，故\(y=1\)，代入得\(y'(0)=-\frac{1}{e+0}=-\frac{1}{e}\)。3.4參數(shù)方程求導(dǎo)法若函數(shù)由參數(shù)方程\(\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}\)確定，且\(\phi'(t)\neq0\)，則：\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)},\quad\frac{d^2y}{dx^2}=\frachpfzlhx{dt}\left(\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\right)\cdot\frac{1}{\phi'(t)}.\]例：求參數(shù)方程\(\begin{cases}x=t^2+1\\y=t^3-2t\end{cases}\)的二階導(dǎo)數(shù)\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。解：\(\frac{dx}{dt}=2t\)，\(\frac{dy}{dt}=3t^2-2\)，故\(\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-2}{2t}=\frac{3}{2}t-\frac{1}{t}\)。再求二階導(dǎo)數(shù)：\(\fracltvdbxv{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{t^2}\)，故\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{t^2}}{2t}=\frac{3t^2+2}{4t^3}\)。四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，主要應(yīng)用包括單調(diào)性、極值、最值、凹凸性及實際優(yōu)化問題。4.1函數(shù)的單調(diào)性判定定理：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)內(nèi)可導(dǎo)，則：若\(f'(x)>0\)在\(I\)內(nèi)恒成立，則\(f(x)\)在\(I\)內(nèi)嚴格遞增；若\(f'(x)<0\)在\(I\)內(nèi)恒成立，則\(f(x)\)在\(I\)內(nèi)嚴格遞減；若\(f'(x)\geq0\)（或\(\leq0\)）且僅在孤立點為零，則\(f(x)\)在\(I\)內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）。例：求\(f(x)=x^3-3x\)的單調(diào)區(qū)間。解：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x<-1\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)遞增；當(dāng)\(-1<x<1\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)遞減；當(dāng)\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)遞增。故單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((-1,1)\)。4.2函數(shù)的極值定義：設(shè)\(f(x)\)在\(x_0\)的某鄰域內(nèi)有定義，若對鄰域內(nèi)任意\(x\neqx_0\)，有\(zhòng)(f(x)<f(x_0)\)（或\(f(x)>f(x_0)\)），則稱\(f(x_0)\)為\(f(x)\)的極大值（或極小值），\(x_0\)為極值點。判別法：1.第一判別法：若\(x_0\)是臨界點（\(f'(x_0)=0\)或\(f'(x_0)\)不存在），且：\(x<x_0\)時\(f'(x)>0\)，\(x>x_0\)時\(f'(x)<0\)，則\(x_0\)為極大值點；\(x<x_0\)時\(f'(x)<0\)，\(x>x_0\)時\(f'(x)>0\)，則\(x_0\)為極小值點；兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號不變，則\(x_0\)不是極值點。2.第二判別法：若\(f'(x_0)=0\)且\(f''(x_0)\neq0\)，則：\(f''(x_0)<0\)時，\(x_0\)為極大值點；\(f''(x_0)>0\)時，\(x_0\)為極小值點。例：求\(f(x)=x\lnx\)的極值。解：定義域\(x>0\)，\(f'(x)=\lnx+1\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=\frac{1}{e}\)。\(f''(x)=\frac{1}{x}\)，故\(f''(\frac{1}{e})=e>0\)，因此\(x=\frac{1}{e}\)為極小值點，極小值\(f(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}\)。4.3函數(shù)的最值定義：函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值（或最小值）稱為最值，是全局概念（極值是局部概念）。求法（閉區(qū)間\([a,b]\)上的連續(xù)函數(shù)）：1.求\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)的臨界點（\(f'(x)=0\)或\(f'(x)\)不存在）；2.計算\(f(x)\)在臨界點及端點\(a,b\)處的函數(shù)值；3.比較上述值，最大者為最大值，最小者為最小值。例：求\(f(x)=x^3-3x^2+1\)在\([-1,3]\)上的最值。解：\(f'(x)=3x(x-2)\)，臨界點\(x=0,2\)。計算函數(shù)值：\(f(-1)=-3\)，\(f(0)=1\)，\(f(2)=-3\)，\(f(3)=1\)。故最大值為\(1\)（在\(x=0,3\)處取得），最小值為\(-3\)（在\(x=-1,2\)處取得）。4.4函數(shù)的凹凸性與拐點凹凸性定義：若曲線\(y=f(x)\)在區(qū)間\(I\)內(nèi)的切線均在曲線下方，則稱曲線在\(I\)內(nèi)凹（上凸）；若切線均在曲線上方，則稱曲線在\(I\)內(nèi)凸（下凸）。判定定理：設(shè)\(f(x)\)在\(I\)內(nèi)二階可導(dǎo)，則：\(f''(x)>0\)時，曲線凹；\(f''(x)<0\)時，曲線凸。拐點定義：曲線凹凸性改變的點稱為拐點，即\(f''(x)\)變號的點（需滿足兩側(cè)符號相反）。求法：1.求\(f''(x)\)；2.找\(f''(x)=0\)或\(f''(x)\)不存在的點；3.判斷這些點兩側(cè)\(f''(x)\)的符號，變號則為拐點。例：求\(f(x)=x^4-2x^3\)的凹凸區(qū)間與拐點。解：\(f'(x)=4x^3-6x^2\)，\(f''(x)=12x^2-12x=12x(x-1)\)。令\(f''(x)=0\)得\(x=0,1\)。當(dāng)\(x<0\)時，\(f''(x)>0\)，曲線凹；當(dāng)\(0<x<1\)時，\(f''(x)<0\)，曲線凸；當(dāng)\(x>1\)時，\(f''(x)>0\)，曲線凹。故凹區(qū)間為\((-\infty,0)\cup(1,+\infty)\)，凸區(qū)間為\((0,1)\)，拐點為\((0,0)\)和\((1,-1)\)。4.5實際應(yīng)用：優(yōu)化問題優(yōu)化問題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用，核心是將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。步驟：1.設(shè)變量（如邊長、時間等）；2.建立目標(biāo)函數(shù)（如面積、體積、成本等）；3.求導(dǎo)找臨界點；4.驗證臨界點是否為最值點（利用極值判別法或?qū)嶋H意義）。例：用邊長為\(a\)的正方形鐵皮做無蓋水箱，四角剪去邊長為\(x\)的小正方形，求\(x\)使容積最大。解：水箱底面邊長為\(a-2x\)，高為\(x\)，容積\(V(x)=x(a-2x)^2\)（\(0<x<\frac{a}{2}\)）。求導(dǎo)得\(V'(x)=(a-2x)(a-6x)\)，令\(V'(x)=0\)得\(x=\frac{a}{6}\)（\(x=\frac{a}{2}\)舍去）。當(dāng)\(0<x<\frac{a}{6}\)時，\(V'(x)>0\)；當(dāng)\(\frac{a}{6}<x<\frac{a}{2}\)時，\(V'(x)<0\)，故\(x=\frac{a}{6}\)為最大值點，最大容積\(V(\frac{a}{6})=\frac{2a^3}{27}\)。五、常見題型與解題技巧5.1導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用例：已知\(f'(2)=3\)，求\(\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2-h)}{2h}\)。解：原式\(=\frac{1}{2}\left[\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{f(2)-f(2-h)}{h}\right]=\frac{1}{2}[f'(2)+f'(2)]=f'(2)=3\)。5.2復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的分層技巧例：求\(y=\cos(\sqrt{x^2+1})\)的導(dǎo)數(shù)。解：分解為\(y=\cosu\)、\(u=\sqrt{v}\)、\(v=x^2+1\)，則\[y'=-\sinu\cdot\frac{1}{2\sqrt{v}}\cdot2x=-\frac{x\sin\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}.\]5.3隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的處理例：求隱函數(shù)\(x^2+xy+y^2=3\)的導(dǎo)數(shù)\(y'\)。解：兩邊對\(x\)求導(dǎo)得\(2x+y+xy'+2yy'=0\)，解得\(y'=-\frac{2x+y}{x+2y}\)。5.4參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)的步驟例：求參數(shù)方程\(\begin{cases}x=\sint\\y=\cos2t\end{cases}\)的二階導(dǎo)數(shù)\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。解：\(\frac{dx}{dt}=\cost\)，\(\frac{dy}{dt}=-2\sin2t=-4\sint\cost\)，故\(\frac{dy}{dx}=\frac{-4\sint\cost}{\cost}=-4\sint\)。\(\frac{d^2y}{dx^2}=\fracdn5drn5{dt}(-4\sint)\cdot\frac{1}{\cost}=-4\cost\cdot\frac{1}{\cost}=-4\)。六、易錯點提示1.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：連續(xù)不一定可導(dǎo)（如\(y=|x|\)在\(x=0\)處）；2.復(fù)合函數(shù)漏層：如\(y=\sin(2x+1)\)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為\(2\cos(2x+1)\)，不要漏乘\(2\)；3.極值點處導(dǎo)數(shù)不一定為零：如\(y=|x|\)在\(x=0\)處是極小值點，但導(dǎo)數(shù)不存在；4.拐點處二階導(dǎo)數(shù)不一定為零：如\(y=x^{1/3}\)在\(x=0\)處是拐點，但\(f''(0)\)不存在；5.分式函數(shù)求導(dǎo)分母平方：如\(\left(\frac{\sinx}{\cosx}\right)'=\sec^2x\)，不要忘分母平方。七、練習(xí)題7.1基礎(chǔ)題1.用定義求\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)。2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)\(y=2x^3-5x+\ln2\)；(2)\(y=e^x\cosx\)；(3)\(y=\tan(2x-1)\)；(4)\(y=\arcsin(3x)\)。3.求曲線\(y=e^x\)在點\((0,1)\)處的切線方程。7.2提高題1.設(shè)隱函數(shù)\(y=1+xe^y\)，求\(dy/dx\)及在\(x=0\)處的切線方程。2.設(shè)參數(shù)方程\(\begin{cases}x=t-\sint\\y=1-\cost\end{cases}\)，求\(dy/dx\)及\(d^2y/dx^2\)。3.求函數(shù)\(f(x)=x^4-2x^2+3\)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值（定義域為\(\mathbb{R}\)）。4.求函數(shù)\(f(x)=\ln(x^2+1)\)的凹凸區(qū)間和拐點。7.3綜合題1.已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)在\(x=-1\)處取得極大值\(7\)，在\(x=3\)處取得極小值，求\(a,b,