中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題專項(xiàng)訓(xùn)練資料一、引言應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心模塊之一，也是數(shù)學(xué)建模能力的集中體現(xiàn)。它將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)（方程、函數(shù)、幾何等）與實(shí)際生活場(chǎng)景（行程、購(gòu)物、工程、濃度等）結(jié)合，考察學(xué)生“從實(shí)際問(wèn)題中提取數(shù)量關(guān)系—建立數(shù)學(xué)模型—求解并驗(yàn)證”的完整思維過(guò)程。在中考中，應(yīng)用題占比約15%-25%，是區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用水平的關(guān)鍵題型。本資料針對(duì)中學(xué)應(yīng)用題的常見(jiàn)類型（行程、工程、利潤(rùn)、濃度等），提供系統(tǒng)化分類、策略化指導(dǎo)和針對(duì)性練習(xí)，幫助學(xué)生掌握各類題型的解題規(guī)律，提升解題效率與準(zhǔn)確性。二、題型分類與解題指導(dǎo)2.1行程問(wèn)題核心公式：路程（\(s\)）=速度（\(v\)）×?xí)r間（\(t\)），即\(s=vt\)。常見(jiàn)子題型：相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題、流水行船問(wèn)題。2.1.1解題策略題型關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系解題步驟相遇問(wèn)題總路程=速度和×相遇時(shí)間1.設(shè)相遇時(shí)間為\(t\)；2.列方程：\(s_總=(v_1+v_2)t\)；3.求解\(t\)。追及問(wèn)題追及路程=速度差×追及時(shí)間1.設(shè)追及時(shí)間為\(t\)；2.列方程：\(s_差=(v_快-v_慢)t\)；3.求解\(t\)。流水行船順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度1.計(jì)算順?biāo)?逆水速度；2.用\(s=vt\)求路程或時(shí)間。2.1.2經(jīng)典例題例1（相遇問(wèn)題）：甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲速6km/h，乙速4km/h，A、B相距10km。求相遇時(shí)間。解析：相遇時(shí)，甲、乙路程之和等于總路程。設(shè)相遇時(shí)間為\(t\)，則：\(6t+4t=10\)→\(10t=10\)→\(t=1\)小時(shí)。答案：1小時(shí)。例2（流水行船）：船在靜水中速度12km/h，水流速度2km/h。順?biāo)叫?小時(shí)，求甲乙兩地距離；逆水返回需多久？解析：順?biāo)俣?\(12+2=14\)km/h，距離=\(14×3=42\)km；逆水速度=\(12-2=10\)km/h，時(shí)間=\(42÷10=4.2\)小時(shí)。答案：距離42km，逆水需4.2小時(shí)。2.1.3強(qiáng)化練習(xí)1.小明（60m/min）與小紅（50m/min）同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，反向而行。10分鐘后兩人相距多少米？2.快車（80km/h）先出發(fā)2小時(shí)，慢車（60km/h）追趕，需多久追上？3.河水流速3km/h，船順?biāo)俣?5km/h，求逆水速度。2.2工程問(wèn)題核心公式：工作量（\(W\)）=工作效率（\(p\)）×工作時(shí)間（\(t\)），即\(W=pt\)。常見(jiàn)約定：總工作量設(shè)為1（單位工作量），此時(shí)工作效率=\(1/工作時(shí)間\)（如甲單獨(dú)做5天完成，則效率為\(1/5\)）。2.2.1解題策略題型關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系解題步驟合作工程總工作量=各部分工作量之和1.設(shè)合作時(shí)間為\(t\)；2.列方程：\(p_1t+p_2t=1\)；3.求解\(t\)。分段工程總工作量=前段工作量+后段工作量1.計(jì)算前段工作量；2.設(shè)后段時(shí)間為\(t\)；3.列方程求\(t\)。2.2.2經(jīng)典例題例1（合作工程）：甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做15天完成。兩人合作需幾天？解析：甲效率\(1/10\)，乙效率\(1/15\)，合作效率\(1/10+1/15=1/6\)。設(shè)合作時(shí)間為\(t\)，則：\(1/6×t=1\)→\(t=6\)天。答案：6天。例2（分段工程）：甲單獨(dú)做20天，乙單獨(dú)做30天。甲先做5天，乙加入合作，剩余工程需多久？解析：甲5天工作量：\(1/20×5=1/4\)；剩余工作量：\(1-1/4=3/4\)；合作效率：\(1/20+1/30=1/12\)；設(shè)合作時(shí)間為\(t\)，則\(1/12×t=3/4\)→\(t=9\)天。答案：9天。2.2.3強(qiáng)化練習(xí)1.甲單獨(dú)做8天，乙單獨(dú)做12天。合作3天后，乙單獨(dú)完成剩余工程需多久？2.甲組每天生產(chǎn)100個(gè)零件，乙組每天120個(gè)。合作5天完成，這批零件共多少個(gè)？3.甲、乙合作6天完成，甲單獨(dú)做10天完成，求乙單獨(dú)做需幾天？2.3利潤(rùn)問(wèn)題核心公式：利潤(rùn)=售價(jià)-成本（\(P=S-C\)）；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100%（\(r=P/C×100\%\)）；折扣=售價(jià)/標(biāo)價(jià)×10（如8折=售價(jià)=標(biāo)價(jià)×0.8）。2.3.1解題策略題型關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系解題步驟求利潤(rùn)率\(r=(S-C)/C×100\%\)1.計(jì)算利潤(rùn)；2.代入公式求利潤(rùn)率。折扣問(wèn)題\(S=標(biāo)價(jià)×折扣/10\)1.計(jì)算售價(jià)；2.用利潤(rùn)率公式求成本。2.3.2經(jīng)典例題例1（利潤(rùn)率計(jì)算）：成本100元，售價(jià)150元，求利潤(rùn)率。解析：利潤(rùn)=\(150-100=50\)元，利潤(rùn)率=\(50/100×100%=50%\)。答案：50%。例2（折扣問(wèn)題）：標(biāo)價(jià)200元，打8折后仍有20%利潤(rùn)率，求成本。解析：售價(jià)=\(200×0.8=160\)元；設(shè)成本為\(C\)，則\((160-C)/C=0.2\)→\(160=1.2C\)→\(C≈133.33\)元。答案：約133.33元。2.3.3強(qiáng)化練習(xí)1.成本80元，售價(jià)100元，求利潤(rùn)率。2.標(biāo)價(jià)150元，打7折后利潤(rùn)率10%，求成本。3.成本50元，20%利潤(rùn)率定價(jià)，后打9折，求利潤(rùn)。2.4濃度問(wèn)題核心公式：溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量×濃度（\(m_質(zhì)=m_液×c\)）；溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量（\(m_液=m_質(zhì)+m_溶\)）。2.4.1解題策略題型關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系解題步驟稀釋問(wèn)題溶質(zhì)質(zhì)量不變（加水）1.計(jì)算原溶質(zhì)質(zhì)量；2.設(shè)加水量為\(x\)，列方程：\(m_質(zhì)=(m_液+x)×c_新\)?；旌蠁?wèn)題混合后溶質(zhì)=混合前溶質(zhì)之和1.計(jì)算混合前溶質(zhì)總量；2.用\(c=m_質(zhì)/m_液\)求濃度。2.4.2經(jīng)典例題例1（稀釋問(wèn)題）：20%的鹽水100克，稀釋到10%，需加多少水？解析：原溶質(zhì)質(zhì)量=\(100×20%=20\)克；設(shè)加水量為\(x\)，則\(20=(100+x)×10%\)→\(x=100\)克。答案：100克。例2（混合問(wèn)題）：10%的鹽水200克，30%的鹽水300克，混合后濃度是多少？解析：混合前溶質(zhì)總量=\(200×10%+300×30%=20+90=110\)克；混合后溶液總量=\(200+300=500\)克；濃度=\(110/500×100%=22%\)。答案：22%。2.4.3強(qiáng)化練習(xí)1.15%的糖水500克，濃縮到20%，需蒸發(fā)多少水？2.5%的鹽水與20%的鹽水混合，得到10%的鹽水1000克，需各多少克？3.40%的酒精溶液倒出100克后加滿水，濃度變?yōu)?0%，求原溶液質(zhì)量。2.5增長(zhǎng)率問(wèn)題核心公式：?jiǎn)纹谠鲩L(zhǎng)：期末量=期初量×(1+增長(zhǎng)率)（\(A=A_0(1+r)\)）；多期增長(zhǎng)：期末量=期初量×(1+增長(zhǎng)率)^n（\(A=A_0(1+r)^n\)，\(n\)為增長(zhǎng)次數(shù)）。2.5.1解題策略題型關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系解題步驟單期增長(zhǎng)\(A=A_0(1+r)\)1.設(shè)增長(zhǎng)率為\(r\)；2.列方程求\(r\)。多期增長(zhǎng)\(A=A_0(1+r)^n\)1.確定增長(zhǎng)次數(shù)\(n\)；2.列方程求\(r\)。2.5.2經(jīng)典例題例1（單期增長(zhǎng)）：去年產(chǎn)值100萬(wàn)元，今年120萬(wàn)元，求增長(zhǎng)率。解析：設(shè)增長(zhǎng)率為\(r\)，則\(120=100(1+r)\)→\(r=20%\)。答案：20%。例2（多期增長(zhǎng)）：2020年人口400萬(wàn)人，2023年463.05萬(wàn)人，求年增長(zhǎng)率。解析：增長(zhǎng)次數(shù)\(n=3\)（____年）；設(shè)年增長(zhǎng)率為\(r\)，則\(463.05=400(1+r)^3\)→\(r=5%\)（\((1.05)^3=1.1576\)，\(400×1.1576=463.04\)，近似463.05）。答案：5%。2.5.3強(qiáng)化練習(xí)1.上月銷售額5萬(wàn)元，本月6萬(wàn)元，求增長(zhǎng)率。2.2019年利潤(rùn)80萬(wàn)元，2021年100.8萬(wàn)元，求年增長(zhǎng)率。3.原價(jià)200元，連續(xù)兩次降價(jià)10%，售價(jià)多少？2.6幾何應(yīng)用問(wèn)題核心公式：圖形周長(zhǎng)（\(C\)）面積（\(S\)）體積（\(V\)）長(zhǎng)方形\(C=2(a+b)\)\(S=ab\)——圓\(C=2πr\)\(S=πr^2\)——圓柱——側(cè)面積=\(2πrh\)\(V=πr^2h\)2.6.1解題策略1.明確圖形類型，回憶對(duì)應(yīng)公式；2.根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)（如長(zhǎng)方形的寬為\(x\)）；3.列方程求解（如周長(zhǎng)公式列方程求邊長(zhǎng)）。2.6.2經(jīng)典例題例1（長(zhǎng)方形面積）：鐵絲長(zhǎng)24米，圍成長(zhǎng)方形，長(zhǎng)比寬多2米，求面積。解析：設(shè)寬為\(x\)，長(zhǎng)為\(x+2\)；周長(zhǎng)方程：\(2(x+x+2)=24\)→\(x=5\)米；面積=\(5×(5+2)=35\)平方米。答案：35平方米。例2（圓柱體積）：圓柱底面半徑3厘米，高10厘米，求體積（\(π=3.14\)）。解析：體積=\(3.14×3^2×10=282.6\)立方厘米。答案：282.6立方厘米。2.6.3強(qiáng)化練習(xí)1.正方形周長(zhǎng)20厘米，求面積。2.圓半徑5厘米，求周長(zhǎng)和面積（\(π=3.14\)）。3.圓柱體積188.4立方厘米，半徑3厘米，求高（\(π=3.14\)）。2.7年齡問(wèn)題核心概念：年齡差不變（如甲比乙大5歲，無(wú)論過(guò)多少年，甲始終比乙大5歲）。2.7.1解題策略1.設(shè)較小的年齡為\(x\)（如乙的年齡為\(x\)，則甲的年齡為\(x+5\)）；2.根據(jù)“幾年后/前的年齡關(guān)系”列方程（如“5年后甲是乙的2倍”）。2.7.2經(jīng)典例題例：今年甲是乙的3倍，5年前甲是乙的5倍，求今年甲、乙年齡。解析：設(shè)今年乙\(x\)歲，甲\(3x\)歲；5年前：乙\(x-5\)歲，甲\(3x-5\)歲；方程：\(3x-5=5(x-5)\)→\(x=10\)歲（乙），甲\(3×10=30\)歲。答案：甲30歲，乙10歲。2.7.3強(qiáng)化練習(xí)1.父親年齡是兒子的4倍，20年后父親是兒子的2倍，求今年年齡。2.甲比乙大10歲，5年后甲是乙的2倍，求今年年齡。3.爺爺年齡是孫子的6倍，10年后爺爺是孫子的4倍，求今年年齡。2.8方案選擇問(wèn)題核心概念：通過(guò)計(jì)算不同方案的成本，選擇成本最低或收益最高的方案。2.8.1解題策略1.列出所有可能的方案（如方案一：打折；方案二：滿減）；2.計(jì)算每個(gè)方案的成本（如購(gòu)物費(fèi)用）；3.比較成本，選擇最優(yōu)方案。2.8.2經(jīng)典例題例：電腦原價(jià)5000元，方案一：打8折；方案二：滿4000減1000。選哪種更劃算？解析：方案一費(fèi)用：\(5000×0.8=4000\)元；方案二費(fèi)用：\(5000-1000=4000\)元；結(jié)論：兩種方案一樣劃算。答案：兩種方案一樣。2.8.3強(qiáng)化練習(xí)1.原價(jià)500元，方案一：打7折；方案二：滿300減100。選哪種？2.40人租車，大車坐10人（200元/輛），小車坐5人（120元/輛），選哪種最省錢？3.印刷資料，甲廠：0.5元/份+制版費(fèi)100元；乙廠：0.6元/份。印刷多少份時(shí)費(fèi)用相同？三、綜合訓(xùn)練（混合題型，提升綜合應(yīng)用能力）1.甲、乙從A地出發(fā)，甲速6km/h，乙速4km/h。甲到B地（10km）后返回，途中與乙相遇，求相遇時(shí)間。2.甲單獨(dú)做15天，乙單獨(dú)做20天，合作5天后甲離開(kāi)，剩余工程乙需做多久？3.成本120元，25%利潤(rùn)率定價(jià)，后打8折，求售價(jià)和利潤(rùn)率。4.20%的鹽水300克，加10%的鹽水200克，混合后濃度是多少？5.2020年人口400萬(wàn)，2023年463.05萬(wàn)，求年增長(zhǎng)率。四、答案與解析（注：答案僅提供簡(jiǎn)要結(jié)果，詳細(xì)解析參考各題型策略。）2.1行程問(wèn)題強(qiáng)化練習(xí)1.1100米（\(60×10+50×10=1100\)）；2.8小時(shí)（\(80×(t+2)=60t\)→\(t=8\)）；3.9km/h（\(15-3×2=9\)）。2.2工程問(wèn)題強(qiáng)化練習(xí)1.4.5天（\(3×(1/8+1/12)=7/12\)，剩余\(5/12\)，\(5/12÷1/12=5\)？不，\(5/12÷1/20=8.33\)？哦，原例2中乙單獨(dú)做需20天，所以乙效率是1/20，剩余\(5/12\)，則\(5/12÷1/20=8.33\)天，即\(25/3\)天≈8.33天）；2.1100個(gè)（\(5×(100+120)=1100\)）；3.15天（\(1/6-1/10=1/15\)）。2.3利潤(rùn)問(wèn)題強(qiáng)化練習(xí)1.25%（\((100-80)/80×100%=25%\)）；2.95.45元（\(150×0.7=105\)，\((105-C)/C=0.1\)→\(C=105/1.1≈95.45\)）；3.4元（\(50×1.2=60\)，\(60×0.9=54\)，\(54-50=4\)）。2.4濃度問(wèn)題強(qiáng)化練習(xí)1.125克（\(500×15%=75\)，\(75÷20%=375\)，\(500-375=125\)）；2.5%的鹽水800克，20%的鹽水200克（\(0.05x+0.2(1000-x)=0.1×1000\)→\(x=800\)）；3.400克（\(0.4(x-100)=0.3x\)→\(x=400\)）。2.5增長(zhǎng)率問(wèn)題強(qiáng)化練習(xí)1.20%（\((6-5)/5×100%=20%\)）；2.10%（\(80(1+r)^2=100.8\)→\(r=0.1\)）；3.162元（\(200×(0.9)^2=162\)）。2.6幾何應(yīng)用問(wèn)題強(qiáng)化練習(xí)1.25平方厘米（\(20÷4=5\)，\(5×5=25\)）；2.周長(zhǎng)31.4厘米，面積78.5平方厘米（\(2×3.14×5=31.4\)，\(3.14×5^2=78.5\)）；3.6.67厘米（\(188.4=3.14×3^2×h\)→\(h=188.4÷28.26≈6.67\)）。2.7年齡問(wèn)題強(qiáng)化練習(xí)1.父親40歲，兒子10歲（\(4x+20=2(x+20)\)→\(x=10\)）；2.甲20歲，乙10歲（\(x+10+5=2(x+5)\)→\(x=10\)）；