數(shù)列求和公開課

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及正整數(shù)的平方和公式、立方和公式等進(jìn)行求和．

在歷年高考要求中，等差數(shù)列與等比數(shù)列的有限和總是有公式可求。

2．掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法.

有些特殊數(shù)列的求和可采用分部法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和(能利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和)或用裂項(xiàng)法，錯位相減法，分項(xiàng)和并項(xiàng)求和法，逆序相加法，分組組合法，遞推法等求和。.高考要求1．公式法：直接應(yīng)用等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及正整數(shù)的平方和公式、立方和公式等進(jìn)行求和．(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝

＝

.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝.

＝n2n2＋n

公式法的數(shù)列求和 例1：(1)求和1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n＋1)＝___________；(2)求和22＋23＋24＋…2n＋3＝________.解：(1)這是一個以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列的求和問題，其項(xiàng)數(shù)為n＋1，1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n＋1)

(2)這是一個以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的求和問題，其項(xiàng)數(shù)為(n＋3)－2＋1＝n＋2，裂項(xiàng)相消法求和，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

2－2.已知an＝Sn＝_______.裂項(xiàng)相消法的關(guān)鍵就是將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成二項(xiàng)或多項(xiàng),使數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項(xiàng)，進(jìn)而達(dá)到求和的目的。即：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)和變成首尾若干項(xiàng)之和．1．利用裂項(xiàng)相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．常見的拆項(xiàng)方法有：(1)=

;(2)=

;(3)=

;

錯位相減法求和例3：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1(x≠0,1).解：因?yàn)閤≠1，∵Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1，∴xSn＝x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)xn.(12分)(2009·廣東汕頭潮陽區(qū)高三期末)已知f(x)＝ ，數(shù)列{an}滿足a1＝ ，an＋1＝f(an)(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記Sn(x)＝ (x>0)，求Sn(x)．【閱卷實(shí)錄】【教師點(diǎn)評】x＝1時，Sn(1)＝3＋6＋9＋…＋3n＝

7分x≠1時，Sn(x)＝3x＋6x2＋9x3＋…＋3nxn，xSn(x)＝3x2＋6x3＋…＋3(n－1)xn＋3nxn＋1，(1－x)Sn＝3x＋3x2＋…＋3xn－3nxn＋1，Sn＝ ， 11分綜上，x＝1時，Sn(1)＝n(n＋1)，x≠1時，Sn(x)＝ . 12分【規(guī)范解答】解：3-1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝______.＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2∴Sn＝2n＋1(n－1)＋2.答案：(n－1)·2n＋1＋2即：如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時可把式子Sn＝a1＋a2＋…＋an兩邊同乘以公比q，得到

qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，兩式錯位相減整理即可求出Sn.

用乘公比錯位相減法求和時，應(yīng)注意：1．要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；2．在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．1＋2＋22＋…＋21.求和1＋4＋7＋10＋…＋