第02講有理數(shù)加減法（核心考點講與練）一、有理數(shù)的加法1．有理數(shù)加法法則：（1）同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把絕對值相加．（2）異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為零；絕對值不相等時，其和的絕對值為較大的絕對值減去較小的絕對值所得的差，其和的符號取絕對值較大的加數(shù)的符號．（3）一個數(shù)同零相加，仍得這個數(shù)．2.運算律：有理數(shù)加法運算律加法交換律文字語言兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變符號語言a+b＝b+a加法結(jié)合律文字語言三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變符號語言(a+b)+c＝a+(b+c)要點：交換加數(shù)的位置時，不要忘記符號．二、有理數(shù)的減法有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．即．三、有理數(shù)加減混合運算將加減法統(tǒng)一成加法運算，適當應(yīng)用加法運算律簡化計算.考點一：有理數(shù)的加法運算 【例題1】計算：(1)(+20)+(+12)；(2)；(3)(+2)+(11)；(4)(3.4)+(+4.3)；(5)(2.9)+(+2.9)；(6)(5)+0．【答案與解析】（1）（2）屬于同一類型，用的是加法法則的第一條;（3）（4）屬于同一類，用的是加法法則的第二條；（5）用的是第二條：互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（6）用的是法則的第三條．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)(3)(+2)+(11)＝(112)＝9(4)(3.4)+(+4.3)＝+(4.33.4)＝0.9(5)(2.9)+(+2.9)＝0；(6)(5)+0＝5．【總結(jié)升華】絕對值不等的異號兩數(shù)相加，是有理數(shù)加法的難點，在應(yīng)用法則時，一定要先確定符號，再計算絕對值．【變式訓練1】計算：【答案】【變式訓練2】計算：（1）(+10)+(11)；（2）【答案】（1）(+10)+(11)=﹣(1110)=﹣1；（2）考點二：有理數(shù)的減法運算【例題2】計算：(1)(32)(+5)；(2)(+2)(25)．【思路點撥】此題是有理數(shù)的減法運算，先按照減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照有理數(shù)的加法進行計算．【答案與解析】法一：法二：（1）原式=325=32+（5）=37；（2）原式=2+25=27【總結(jié)升華】算式中的“+”或“”既可以看作運算符號按法則進行計算，也可以看作是性質(zhì)符號按多重符號化簡進行計算.【變式訓練1】若（）﹣（﹣2）=3，則括號內(nèi)的數(shù)是（）A． ﹣1 B． 1 C． 5 D． ﹣5【答案】B．根據(jù)題意得：3+（﹣2）=1，則1﹣（﹣2）=3.考點三：有理數(shù)的加減混合運算【例題3】計算，能用簡便方法的用簡便方法計算.（1）2618+516；（2）（+7）+（21）+（7）+（+21）(3)(4)（5）（6）【答案與解析】（1）2618+516=(+26)+(18)+5+(16)→統(tǒng)一成加法=(26+5)+[(18)+(16)]→符號相同的數(shù)先加=31+(34)=3（2）（+7）+（21）+（7）+（+21）=[(+7)+(7)]+[(21)+(+21)]→互為相反數(shù)的兩數(shù)先加=0（3）→同分母的數(shù)先加（4）→統(tǒng)一成加法→整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)分別加（5）→統(tǒng)一同一形式（小數(shù)或分數(shù)），把可湊整的放一起（6）→整數(shù)，分數(shù)分別加【總結(jié)升華】在進行加減混合的運算時，(1)先將各式中的減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算；（2）觀察各加數(shù)之間的關(guān)系，再運用“技巧”適當交換加數(shù)的位置，注意交換時各加數(shù)的帶著符號一起交換．【變式訓練1】用簡便方法計算：(1)(2.4)+(4.2)+(3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(0.7)(2)2【答案】(1)原式=[(3.8)+(4.2)]+[(2.4)+(0.7)+(+3.1)]+(+0.8)=8+0.8=7.2(2)原式=（214）+（+）=3+[++()]=31=4考點四：有理數(shù)的加減混合運算在實際中的應(yīng)用【例題4】郵遞員騎車從郵局出發(fā)，先向南騎行2km到達A村，繼續(xù)向南騎行3km到達B村，然后向北騎行9km到C村，最后回到郵局．（1）以郵局為原點，以向北方向為正方向，用1cm表示1km，畫出數(shù)軸，并在該數(shù)軸上表示出A、B、C三個村莊的位置；（2）C村離A村有多遠？（3）郵遞員一共騎了多少千米？【思路點撥】（1）以郵局為原點，以向北方向為正方向用1cm表示1km，按此畫出數(shù)軸即可；（2）可直接算出來，也可從數(shù)軸上找出這段距離；（3）郵遞員一共騎了多少千米？即數(shù)軸上這些點的絕對值之和．【答案與解析】解：（1）依題意得，數(shù)軸為：；（2）依題意得：C點與A點的距離為：2+4=6（千米）；（3）依題意得郵遞員騎了：2+3+9+4=18（千米）．【總結(jié)升華】本題主要考查了學生有實際生活中對數(shù)軸的應(yīng)用能力，只要掌握數(shù)軸的基本知識即可．【變式訓練1】華英中學七年級(14)班的學生分成五組進行答題游戲，每組的基本分為100分，答對一題加50分，答錯一題扣50分，游戲結(jié)束后各組的得分如下表：第1組第2組第3組第4組第5組100150350400100(1)第一名超過第二名多少分?(2)第一名超過第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名400分．(1)350150＝200(分)(2)350(400)＝350+400＝750(分)答：第一名超過第二名200分；第一名超過第五名750分．【變式訓練2】某產(chǎn)糧專業(yè)戶出售糧食8袋，每袋重量(單位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．計算出售的糧食總共多少千克?【答案】法一：以200(千克)為基準，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負數(shù)，則這8個數(shù)的差的累計是：(3)+(+2)+(3)+(+3)+0+(4)+(+1)+(2)＝6200×8+(6)＝1594(千克)答：出售的糧食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的糧食共1594千克．考點五：數(shù)學思想在本章中的應(yīng)用【例題5】（1）數(shù)形結(jié)合思想：有理數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則a，a，1的大小關(guān)系．A．a(chǎn)＜a＜1B．1＜a＜aC．1＜a＜aD．a(chǎn)＜1＜a（2）分類討論思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求xy的值．【答案與解析】解：（1）將a在數(shù)軸上標出，如圖所示，得到a＜1＜a，所以大小關(guān)系為：a＜1＜a．所以正確選項為：D．（2）因為|x|＝5，所以x為5或5因為|y|＝3，所以y為3或3．當x＝5，y＝3時，xy＝53＝2當x＝5，y＝3時，xy＝5(3)＝8當x＝5，y＝3時，xy＝53＝8當x＝5，y＝3時，xy＝5(3)＝2故（xy）的值為±2或±8

【變式訓練1】若a是有理數(shù)，|a|a能不能是負數(shù)?為什么?【答案】解：當a＞0時，|a|a＝aa＝0；當a＝0時，|a|a＝00＝0；當a＜0時，|a|a＝aa＝2a＞0．所以，對于任何有理數(shù)a，|a|a都不會是負數(shù)．考點六：規(guī)律探索【例題6】將1，，，，，，…，按一定規(guī)律排列如下：請你寫出第20行從左至右第10個數(shù)是________．【思路點撥】通過觀察題目所給的圖形、表格或一段語言敘述，然后歸納總結(jié)，尋找規(guī)律．【答案】【解析】認真觀察可知，第1行有1個數(shù)，第2行有2個數(shù)，第3行有3個數(shù)，……，所以第20行有20個數(shù)，從第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210個數(shù)，所以第20行最后一個數(shù)的絕對值應(yīng)是；又由表中可知，凡是分母是偶數(shù)的分數(shù)是負數(shù)，故第20行最后一個數(shù)是，以此類推向前10個，則得到第20行第10個數(shù)是．【總結(jié)升華】特例助思，探究規(guī)律，這類題主要是通過觀察分析，從特殊到一般來總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并將規(guī)律表示出來．計算：．【難度】★★★【答案】50．【解析】．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加法．注意簡便運算．某單位一周中收支情況如下：元，元，元，元，元，元，元．問該單位這一周，總共收入多少元？總共支出多少元？收支相抵后，余額是多少元？【難度】★★★【答案】共收入1044.2元，共支出730元，收支相抵后，余額為314.2元．【解析】共收入為：元，共支出為：元收支相抵為：元．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加法的實際應(yīng)用．已知，，，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）；（4）．【難度】★★★【答案】（1）5；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；；；．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減法運算和運算律的綜合應(yīng)用．已知，，，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）；（4）．【難度】★★★【答案】（1）5；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；；；．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減法運算和運算律的綜合應(yīng)用．如果，那么x等于______．【難度】★★★【答案】或．【解析】因為，所以，所以或．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減法和絕對值運算．計算：．【難度】★★★【答案】．【解析】原式．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減法運算，注意找出規(guī)律進行簡便運算．計算：．【難度】★★★【答案】．【解析】原式．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減法運算及與絕對值的綜合計算，注意要簡便運算．如果規(guī)定運算，求的值．【難度】★★★【答案】．【解析】．【總結(jié)】本題主要考察新運算與有理數(shù)的加減法的綜合運用．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學課時練習）下列運算中正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法法則進行分析解答即可.【詳解】A選項中，因為3.58（1.58）=3.58+1.58=5.16，所以A中計算錯誤；B選項中，因為（2.6）（4）=2.6+4=1.4，所以B中計算錯誤；C選項中，因為，所以C中計算錯誤；D選項中，因為，所以D中計算正確.故選D.【點睛】熟知“有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”是解答本題的關(guān)鍵.2．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）若數(shù)軸上表示－1和－3的兩點分別是點A和點B，則點A和點B之間的距離是（）A． B．－2 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩個數(shù)的差的絕對值列式計算即可得解．【詳解】解：AB=|1（3）|=2．故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離及有理數(shù)的減法運算，正確表示數(shù)軸上兩點間距離并準確計算是解題關(guān)鍵．二、填空題3．冬季某日，上海最低氣溫是3℃，北京最低氣溫是－5℃，這一天上海的最低氣溫比北京的最低氣溫高___________℃．【答案】8【分析】求上海的最低氣溫比北京的最低氣溫高多少，即用上海的最低氣溫減去北京的最低氣溫．【詳解】解：3（5）=8℃．∴這一天上海的最低氣溫比北京的最低氣溫高8℃．故答案為：84．（2018·上海市婁山中學七年級單元測試）有理數(shù)____加上所得的和是6.【答案】【分析】設(shè)有理數(shù)為a則列式a+（）=6，運用有理數(shù)的加減法計算求解即可.【詳解】設(shè)有理數(shù)為a則a+（）=6∴a=6+=【點睛】此題考查了有理數(shù)加減法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.5．計算：｜｜+=______．【答案】1試題分析：解：原式=+=1，解本題時，要去掉絕對值符號后再進行運算．考點：絕對值的定義及分數(shù)運算．點評：熟知絕對值的定義，正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，零的絕對值還是零．本題屬于基礎(chǔ)題．難度及小，易得．6.用字母a、b、c表示有理數(shù)加法的交換律是________________，結(jié)合律是____________________．【難度】★【答案】交換律：；結(jié)合律：．【解析】考察有理數(shù)運算律的理解．7.計算：_____，_____，_____．【難度】★【答案】；；．【解析】同號兩數(shù)相加：取原來的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加：絕對值相等時和為零；絕對值不相等時，其和的絕對值為較大的絕對值減去較小的絕對值所得的差，其和的符號取絕對值較大的加數(shù)的符號．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減法法則的運用．8.計算：______，______．【難度】★【答案】；9.9．【解析】同號兩數(shù)相加：取原來的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加：絕對值相等時和為零；絕對值不相等時，其和的絕對值為較大的絕對值減去較小的絕對值所得的差，其和的符號取絕對值較大的加數(shù)的符號．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減法法則的運用．三、判斷9.判斷下列算式是否正確：（1）；（）（2）；（）（3）；（）（4）；（）（5）．（）【難度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）√．【解析】（1）錯誤，正確答案為；錯誤，正確答案為；錯誤，正確答案為．【總結(jié)】考察有理數(shù)的運算，注意法則的準確運用．四、解答題10．（2018·上海市婁山中學單元測試）【答案】【分析】原式利用有理數(shù)加減混合運算計算即可求出值．【詳解】原式=====【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握運算法則是正確解此題的關(guān)鍵.11．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學課時練習）計算：（1）（2）（3）（4）【答案】(1)7;(2)11;(3)10.4;(4).【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則和加法法則進行分析解答即可.【詳解】（1）；（2）；（3）5.6（4.8）=5.6+4.8=10.4；（4）.【點睛】熟記“有理數(shù)的減法法則和加法法則”是解答本題的關(guān)鍵.12．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學課時練習）計算：（1）23＋（－17）＋6＋（－22）（2）（－2）＋3＋1＋（－3）＋2＋（－4）【答案】（1）－10（2）－3【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則（1）、（2）進行計算【詳解】（1）23＋（－17）＋6＋（－22）=29+（39）=（3929）=10（2）（－2）＋3＋1＋（－3）＋2＋（－4）=（9）+6=（96）=3【點睛】本題考查的是有理數(shù)的加法，關(guān)鍵是要掌握加法法則．13．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學課時練習）.10袋大米，以每袋50千克為準：超過的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負數(shù)，稱重的記錄如下：＋0.5，＋0.3，0，－0.2，－0.3，＋1.1，－0.7，－0.2，＋0.6，＋0.7.10袋大米共超重或不足多少千克？總重量是多少千克？【答案】超重1.8千克，總重量是501.8（千克）【詳解】本題考查了有理數(shù)的運算在實際中的應(yīng)用，“正”和“負”相對，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負數(shù)，把稱重記錄的數(shù)據(jù)相加，和為正說明超過了，和為負說明不足；求10袋大米的總重量，可以用10×50加上正負數(shù)的和即可．（+0.5）+（+0.3）+0+（0.2）+（0.3）+（+1.1）+（0.7）+（0.2）+（+0.6）+（+0.7）=1.8（千克），50×10+1.8=501.8（千克）．題組B能力提升練一、單選題1．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學課時練習）下列各式可以寫成的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算的符號省略法則化簡，即可求得結(jié)果．【詳解】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算的符號省略法則化簡，得，

A的結(jié)果為abc，

B的結(jié)果為ab+c，

C的結(jié)果為abc，

D的結(jié)果為abc，

故選：B．【點睛】此題考查有理數(shù)的加減混合運算，解題關(guān)鍵在于掌握去括號法則：+（+）=+，+（）=，（+）=，（）=+．2．（2019·上?！て吣昙壵n時練習）有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值（）A．大于 B．小于 C．小于 D．大于【答案】A【分析】先根據(jù)數(shù)軸的特點判斷出a，b的符號，再根據(jù)其與原點的距離判斷出其絕對值的大小，然后根據(jù)有理數(shù)的加法法則得出結(jié)果．【詳解】根據(jù)a，b兩點在數(shù)軸上的位置可知，a＜0，b＞0，且|b|＞|a|，

所以a+b＞0．

故選A．【點睛】此題考查數(shù)軸,絕對值,有理數(shù)的加法法則．解題關(guān)鍵在于用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點．二、填空題3．（2021·上海·九年級專題練習）如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形，接著把其中一個面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，再把其中一個面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，如此進行下去，試利用圖形所揭示的規(guī)律計算：__________．【答案】【分析】根據(jù)題意及圖形可得=1，+=1，++=1，….依此規(guī)律可進行求解．【詳解】解：由圖及題意可得：=1，+=1，++=1，…；依此規(guī)律可得：；故答案為：．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的加減，關(guān)鍵是根據(jù)題意及圖形得到規(guī)律，然后進行求解即可．解答題4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學課時練習）計算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）8；（2）3.1；（3）.【分析】根據(jù)有理數(shù)的加、減混合運算的相關(guān)法則進行計算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）=.【點睛】熟悉“有理數(shù)加減混合運算的相關(guān)運算法則，能靈活的使用運算律把符號相同的數(shù)結(jié)合到一起先相加”是解答本題的關(guān)鍵.5．（2018·上海普陀·期中）【答案】4．【分析】先把減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，再利用加分的交換結(jié)合律計算即可．【詳解】解：原式===26=4．【點睛】本題考查有理數(shù)的加減混合運算．6．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學課時練習）計算：（1）（2）【答案】（1）－1；（2）【分析】（1）利用有理數(shù)加法法則及加法運算律進行計算即可；（2）利用有理數(shù)加法法則及加法運算律進行計算即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握加法法則及加法運算律是解題的關(guān)鍵．7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學課時練習）計算：【答案】11.5【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算法則，先計算出絕對值和相反數(shù)，再按照加法的交換律和結(jié)合律，將同類型數(shù)結(jié)合一起進行簡便運算，得到結(jié)果．【詳解】原式===5.5+6=11.5．【點睛】考查有理數(shù)的加減混合運算法則，學生要熟練掌握求一個數(shù)的絕對值和相反數(shù)的方法，并結(jié)合運算律進行簡便運算解出此題．8.計算：（1）；（2）；（3）．【難度】★★【答案】（1）；（2）18.7；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減混合運算，注意能簡便運算時要簡便運算．9.計算：（1）；（2）．【難度】★★【答案】（1）；（2）0．【解析】（1）；（2）．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減混合運算，注意能簡便運算時要簡便運算．10.計算：（1）；（2）．【難度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式；（2）原式．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減混合運算，注意能簡便運算時要簡便運算．11.計算：．【難度】★★【答案】16．【解析】原式．【總結(jié)】考察有理數(shù)的加減混合運算，注意能簡便運算時要簡便運算．12．（2019·上海黃浦·八年級課時練習）某紅綠燈路口，以每天通過100輛小汽車為標準，超過的小汽車數(shù)記為正．測得某周通過該紅綠燈路口的小汽車數(shù)量與標準量相比的情況如下表：星期一二三四五六日與標準量的差/輛85－2－7－61013(1)哪一天經(jīng)過該紅綠燈路口的小汽車最少，有多少輛？哪一天經(jīng)過該紅綠燈路口的小汽車最多，