[專題強(qiáng)化(二)]動態(tài)平衡問題平衡中的臨界極值問題

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(選擇題每題5分，解答題每題10分，建議用時(shí)：50分鐘)

考點(diǎn)基礎(chǔ)題綜合題

動態(tài)平衡問題2，3，4，6，89，10

平衡中的臨界極值問題1，5，711，12

【基礎(chǔ)落實(shí)練】

1．(2023·江西南昌一模)在建筑沙石料產(chǎn)地常將沙石顆粒輸送到高處落下，在水平地面

上堆積成圓錐體。若沙石顆粒間的動摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則該圓

錐體表面與水平地面的最大夾角α滿足的關(guān)系式為()

1

A．tanα＝μB．tanα＝

μ

1

C．cosα＝μD．cosα＝

μ

解析：選A。當(dāng)圓錐體表面沙石顆粒受到靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，根據(jù)受力平衡可得mgsin

α＝μmgcosα，解得tanα＝μ，故A正確。

2．如圖所示，一個(gè)重力為5N的砝碼，用細(xì)線懸掛在O點(diǎn)，現(xiàn)在用力F拉砝碼，使細(xì)

線偏離豎直方向30°處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)所用拉力F的最小值為()

A．5.0NB．2.5N

C．8.65ND．4.3N

解析：選B。以砝碼為研究對象，其受重力G、細(xì)線的拉力FT和力F，受力分析如圖

所示，

由圖看出，當(dāng)F與細(xì)線垂直時(shí)F最小，由數(shù)學(xué)知識得F的最小值為F＝Gsin30°＝2.5N，

故B正確。

3．(2023·河南開封期末)如圖為景區(qū)中一會館大殿的剖面圖，屋脊不是一條直線，而是

一條曲線。一只鳥沿著屋脊從A點(diǎn)緩慢運(yùn)動到B點(diǎn)。下列說法正確的是()

A．屋脊給鳥的摩擦力逐漸增大

B．屋脊給鳥的作用力逐漸減小

C．屋脊給鳥的支持力逐漸增大

D．鳥受到的合力逐漸減小

解析：選C。鳥沿著屋脊從A點(diǎn)緩慢運(yùn)動到B點(diǎn)過程受力平衡，設(shè)鳥受到的支持力與

豎直方向夾角為θ，則沿著屋脊方向有mgsinθ＝f，θ減小，f減小，即屋脊給鳥的摩擦力逐

漸減小，A項(xiàng)錯誤；屋脊給鳥的作用力為支持力和摩擦力，二力的合力與重力等大反向，即

屋脊給鳥的作用力大小不變，B項(xiàng)錯誤；鳥在垂直屋脊方向受力有mgcosθ＝FN，θ減小，

FN增大，即屋脊給鳥的支持力逐漸增大，C項(xiàng)正確；鳥沿著屋脊從A點(diǎn)緩慢運(yùn)動到B點(diǎn)過

程受力平衡，受到的合力一直為0，D項(xiàng)錯誤。

4.如圖所示，四分之一圓弧體A放在水平面上，圓弧面光滑，實(shí)心球B放在圓弧面和

光滑豎直墻面之間，A、B處于靜止?fàn)顟B(tài)。若將A稍微向左移一些，A、B仍保持靜止，B

球只與圓弧面和豎直墻面接觸，則下列說法正確的是()

A．A對地面的壓力不變

B．A對地面的壓力變小

C．地面對A的摩擦力不變

D．地面對A的摩擦力變大

解析：選A。對整體研究可知，A對地面的壓力始終等于A、B的總重，故A正確，B

錯誤；設(shè)A對B的作用力N1，此力與豎直方向的夾角為θ，B球的重力GB，墻對B的作用

力為N2，根據(jù)力的平衡有N1cosθ＝GB，N1sinθ＝N2，對整體研究，地面對A的摩擦力f＝

N2，當(dāng)A稍微向左移一些，θ變小，則N1變小，N2變小，f變小，故C、D錯誤。

5．如圖所示，將物體用細(xì)繩OC懸于O點(diǎn)，現(xiàn)用細(xì)繩AB綁住繩OC上的A點(diǎn)，再緩

慢增大AB上的水平力。已知各部分繩子所能承受的最大拉力是相同的，若此過程中某段繩

子被拉斷，則()

A．繩AC段先斷

B．繩OA段先斷

C．繩AB段先斷

D．OA與AB段可能同時(shí)拉斷

解析：選B。設(shè)OA與豎直方向夾角為θ，物體質(zhì)量為m，對物體受力分析，由平衡條

件可得FAC＝mg，對A點(diǎn)受力分析，由平衡條件可得FOAsinθ＝FAB，F(xiàn)OAcosθ＝FAC，整理可

mg

得FOA＝>FAC(θ>0)，又FOA>FAB，又三股繩能承受的最大拉力相等，故OA繩先斷，故

cosθ

B正確。

6．如圖所示，某健身者右手拉著抓把沿圖示位置B水平緩慢移動到位置A。不計(jì)繩子

質(zhì)量，忽略繩子和重物與所有構(gòu)件間的摩擦，A、B、重物共面，則重物上升過程中()

A.繩子的拉力逐漸增大

B．該健身者所受合力逐漸減小

C．該健身者對地面的壓力逐漸減小

D．該健身者對地面的摩擦力逐漸增大

解析：

選D。由題意可知，重物和健身者一直處于動態(tài)平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，健身者所

受合力等于零，繩上的拉力大小不變，其大小等于重物的重力mg，A、B錯誤；對健身者

受力分析，如圖所示，由平衡條件可知，在豎直方向，則有FTsinθ＋FN＝Mg，又有FT＝

mg，可得FN＝Mg－mgsinθ，在水平方向，則有FTcosθ＝Ff，當(dāng)從B水平緩慢移到A時(shí)，

θ角逐漸變小，地面對健身者的支持力逐漸變大，地面對健身者的摩擦力逐漸變大，由牛頓

第三定律可知，健身者對地面的壓力逐漸增大，健身者對地面的摩擦力逐漸增大，C錯誤，

D正確。

7．(多選)如圖，斜面固定，傾角為30°，斜面底端固定一擋板，輕彈簧勁度系數(shù)為1000

N/m，原長10cm，一端與擋板相連，另一端放上重為100N的物體后壓縮到8cm。已知物

體與斜面間最大靜摩擦力為35N?，F(xiàn)在用力F沿斜面向上拉物塊，物塊保持靜止，則力F

的取值可能為()

A．0B．30N

C．60ND．80N

解析：選ABC。壓縮的彈簧對物體產(chǎn)生向上的推力F1＝kΔx＝20N，最大靜摩擦力大小

為f＝35N，重力沿斜面的分力大小為G1＝mgsinθ＝50N，由于物體在重力、彈簧彈力、

斜面的支持力及摩擦力作用下可以平衡，所以拉力F的最小值為零，當(dāng)靜摩擦沿斜面向下

達(dá)到最大時(shí)，拉力F值會有最大值，此時(shí)Fmax＋F1＝G1＋f，解得Fmax＝65N，由此可知拉

力的取值范圍為0≤F≤65N，故A、B、C正確。

8．(2023·安徽亳州聯(lián)考)工地工人用如圖所示的方法將帶掛鉤的重物拉起。不可伸長的

輕繩1兩端分別固定于剛性直桿上的A、B兩點(diǎn)，輕繩長度大于A、B兩點(diǎn)間的距離，桿右

端用鉸鏈固定在墻壁上。現(xiàn)將掛鉤掛在輕繩上，工人用另一輕繩2連接桿的左端通過滑輪緩

慢將桿左端拉起，開始時(shí)左端低于右端，不計(jì)掛鉤與繩之間的摩擦。在工人將桿拉起到左端

高于右端的過程中，下列說法正確的是()

A．輕繩1的張力變大

B．輕繩1的張力變小

C．輕繩1的張力先變大后變小

D．輕繩1對掛鉤的作用力先變大后變小

解析：選C。不計(jì)掛鉤與繩之間的摩擦，則掛鉤可視為“活結(jié)”，掛鉤兩側(cè)繩上的拉力

大小相等，設(shè)掛鉤兩側(cè)輕繩的夾角為θ，輕繩1上的拉力為F，則由共點(diǎn)力的平衡可得2Fcos

mg

θ＝，則＝，當(dāng)點(diǎn)升高時(shí)，之間的水平距離變大，故輕繩間的夾角先

mgFθAAB1θ

22cos

2

θ

變大，cos先變小，輕繩1的張力先變大；當(dāng)桿水平時(shí)輕繩1間夾角最大，輕繩1的張力

2

最大；當(dāng)A的高度超過B時(shí)，AB之間的水平距離開始變小，故輕繩1間的夾角θ變小，cos

θ

變大，輕繩1的張力變小。綜上所述，輕繩1的張力先變大后變小，A、B錯誤，C正確；

2

輕繩1對掛鉤的作用力，等于重物的重力大小，D錯誤。

【綜合提升練】

9．在節(jié)日、婚慶等很多特殊日子里，人們習(xí)慣在室內(nèi)懸掛拉花以增加喜慶氣氛。如圖

甲所示為春節(jié)期間懸掛在天花板上的拉花，其簡化模型為如圖乙所示的質(zhì)量分布均勻的繩。

若靜止時(shí)兩端懸點(diǎn)處的繩與天花板之間的夾角為30°，則下列說法正確的是()

A．懸點(diǎn)處對繩子的拉力大于拉花的總重力

B．最低點(diǎn)處繩子的張力大于拉花的總重力

C．增大繩子兩端懸點(diǎn)的水平距離，最低點(diǎn)處繩子的張力增大

D．增大繩子兩端懸點(diǎn)的水平距離，懸點(diǎn)處對繩子的拉力減小

解析：選C。設(shè)懸點(diǎn)處對繩子的拉力為F，最低點(diǎn)處繩子的張力為T，對右半個(gè)拉花受

力分析如圖所示，

mgmg

3mg

則F＝2＝mg，T＝2＝，故A、B錯誤；增大繩子兩端懸點(diǎn)的水平

sin30°tan30°2

距離，F(xiàn)與水平方向的夾角減小，F(xiàn)和T都將增大，故C正確，D錯誤。

10．“抖空竹”是中國傳統(tǒng)的體育活動之一，在我國有悠久的歷史，為國家級非物質(zhì)文

化遺產(chǎn)之一?，F(xiàn)將抖空竹中的一個(gè)變化過程簡化成以下模型：可伸縮的輕質(zhì)彈性繩(彈力特

點(diǎn)類比于彈簧)系于兩根輕桿的端點(diǎn)位置，左、右手分別握住兩根輕桿的另一端，一定質(zhì)量

的空竹架在彈性繩上。接下來做出如下動作，左手抬高的同時(shí)右手放低，使繩的兩個(gè)端點(diǎn)勻

速移動，其軌跡為豎直面內(nèi)等腰梯形的兩個(gè)腰(梯形的上下底水平)，如圖所示，則兩端點(diǎn)分

別自A、C兩點(diǎn)，沿AB、CD以同一速度勻速移動。忽略摩擦力及空氣阻力的影響，則運(yùn)動

過程中()

A．左右兩邊繩的彈力均不變且相等

B．彈性繩的總長度變大

C．左邊繩的彈力變大

D．右邊繩的彈力變小

解析：選A。

以空竹為研究對象進(jìn)行受力分析，同一根繩子拉力處處相等，所以F1＝F2，在水平方

向空竹處于共點(diǎn)力平衡，設(shè)F1與水平方向的夾角為α，F(xiàn)2與水平方向的夾角為β，F(xiàn)1cosα＝

mg

F2cosβ，所以α＝β，所以兩根繩與豎直方向的夾角相等，為θ，則2F1cosθ＝mg，F(xiàn)1＝，

2cosθ

兩端點(diǎn)移動的過程中在水平方向上的距離不變，所以θ不變，cosθ不變，從而得出F1和F2

均不變，故A正確，C、D錯誤；根據(jù)F1＝kx可知彈性繩的總長度不變，B錯誤。

11．(10分)(2023·重慶南開中學(xué)模擬)夏季的重慶驕陽似火，為保證空調(diào)冷氣不外漏，很

多辦公室都安裝了簡易自動關(guān)門器，該裝置的原理可以簡化為用一彈簧拉著的門。某次門在

關(guān)閉時(shí)被卡住，細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了門下縫隙處塞緊了一個(gè)木楔，側(cè)面如圖所示。已知木楔質(zhì)

量為m，其上表面可視作光滑，下表面與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ，木楔上表面與水平

地面間夾角為θ，重力加速度為g，木楔尺寸比門小很多，最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦

力。

(1)若門推動木楔在地板上緩慢向右勻速移動，求門下端對木楔上表面的壓力大??；(4

分)

(2)小明研究發(fā)現(xiàn)，存在臨界角θ0，若木楔傾角θ≤θ0，不管用多大力推門，塞在門下縫

隙處的木楔都能將門卡住而不再運(yùn)動，求這一臨界角的正切值tanθ0。(6分)

解析：(1)對木楔受力分析，其受到重力，壓力，支持力和摩擦力，如圖所示，

若門推動木楔在地板上緩慢勻速移動，豎直方向N＝Fcosθ＋mg

水平方向f＝Fsinθ

最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力

f＝μN(yùn)＝μ(Fcosθ＋mg)

μmg

聯(lián)立解得F＝。

sinθ－μcosθ

(2)不管用多大力推門，塞在門下縫隙處的木楔都能將門卡住而不再運(yùn)動，即

Fsinθ≤μ(Fcosθ＋mg)

若木楔質(zhì)量較小，可得tanθ≤μ

故臨界角的正切值為tanθ0＝μ。

μmg

答案：(1)(2)tanθ0＝μ

sinθ－μcosθ

12．(10分)(2024·河南洛陽模擬)如圖所示，傾角為θ、質(zhì)量為M的斜面體A置于水平地

面上，在斜面體和豎直墻面之間放置一質(zhì)量為m的光滑球B，斜面體受到水平向右的外力F，

系統(tǒng)始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知sinθ＝0.8，重力加速度大小為g。

(1)求球B受到斜面體的彈力大小N1和墻面的彈力大小F1；(3分)

3

(2)若斜面體受到水平向右的外力大小為mg，求此時(shí)斜面體受到的水平地面的摩擦力；

2

(3分)

(3)若斜面體與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，為了使

系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，求水平向右的外力大小F的范圍。(4分)

解析：(1)研究B球，由共點(diǎn)力的平衡條件有N1sinθ＝F1

N1cosθ＝mg

54

解得N1＝mg，F(xiàn)1＝mg。

33

(2)研究A、B整體，設(shè)斜面體受到的摩擦力為f，則由共點(diǎn)力的平衡條件有

3

F1＋f＝mg

2

1

解得f＝mg

6

摩擦力方