5.1.1.1方程方程是代數(shù)知識體系中的重要概念，是解決實際問題的有力工具。從小學(xué)階段的簡易方程到中學(xué)階段的復(fù)雜方程，方程的思想貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。理解方程的定義、構(gòu)成要素以及方程解的概念，是學(xué)習(xí)后續(xù)解方程、列方程解應(yīng)用題的基礎(chǔ)。一、方程的定義核心概念：含有未知數(shù)的等式叫做方程。例如：\(2x+3=7\)（含有未知數(shù)\(x\)的等式）、\(3y-5=2y+1\)（含有未知數(shù)\(y\)的等式）、\(x^2-4=0\)（含有未知數(shù)\(x\)的等式）都是方程；而\(2+3=5\)（不含未知數(shù)）、\(3x+2\)（不是等式）不是方程。構(gòu)成要素：方程必須同時滿足兩個條件：含有未知數(shù)：未知數(shù)是指在等式中需要求解的字母，通常用\(x\)、\(y\)、\(z\)等字母表示。例如：方程\(5x-8=2\)中的未知數(shù)是\(x\)；方程\(2a+3b=10\)中的未知數(shù)是\(a\)和\(b\)。是等式：等式是表示左右兩邊相等關(guān)系的式子，用等號“\(=\)”連接。例如：\(x+5=9\)中，左邊“\(x+5\)”與右邊“\(9\)”通過等號連接，構(gòu)成等式。與相關(guān)概念的區(qū)別：方程與代數(shù)式：代數(shù)式是由數(shù)和字母經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方等運算得到的式子（如\(3x+2\)、\(5y^2\)），不含等號；而方程是含有未知數(shù)的等式，必須包含等號和未知數(shù)。例如：\(2x+5\)是代數(shù)式，\(2x+5=11\)是方程。方程與等式：等式不一定是方程（如\(3+6=9\)是等式但不含未知數(shù)，不是方程）；方程一定是等式（方程必須滿足等式的定義）。二者的關(guān)系可表示為：方程?等式。二、方程的解定義：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。例如：對于方程\(2x+3=7\)，當\(x=2\)時，左邊\(=2??2+3=7\)，右邊\(=7\)，左右兩邊相等，因此\(x=2\)是該方程的解；對于方程\(x^2-4=0\)，當\(x=2\)或\(x=-2\)時，左右兩邊相等，因此\(x=2\)和\(x=-2\)都是該方程的解。方程的解與解方程的區(qū)別：方程的解：是一個具體的數(shù)值（或一組數(shù)值），表示未知數(shù)的取值能使方程左右兩邊相等。例如：\(x=3\)是方程\(x-1=2\)的解。解方程：是求方程的解的過程，是一系列變形和運算的步驟。例如：求解方程\(3x+6=15\)的過程（移項、化簡等）叫做解方程。檢驗方程的解：要檢驗一個未知數(shù)的值是否為方程的解，需將該值代入方程的左右兩邊，分別計算結(jié)果，若左右兩邊的值相等，則該值是方程的解；否則不是。示例：檢驗\(x=5\)是否是方程\(4x-7=13\)的解。解：將\(x=5\)代入左邊：\(4??5-7=20-7=13\)，右邊\(=13\)，因為左邊\(=\)右邊，所以\(x=5\)是該方程的解。三、方程的分類（初步認識）根據(jù)方程中未知數(shù)的次數(shù)和個數(shù)，方程可分為不同類型，初中階段常見的方程類型有：一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是\(1\)的方程。例如：\(3x+5=14\)、\(2(y-1)=6\)。二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是\(1\)的方程。例如：\(x+y=5\)、\(2a-3b=7\)。一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是\(2\)的方程。例如：\(x^2-5x+6=0\)、\(2y^2=8\)。（注：后續(xù)章節(jié)將詳細學(xué)習(xí)各類方程的解法，此處僅作初步了解）四、列方程的初步思路列方程是解決實際問題的關(guān)鍵步驟，其核心是將實際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為含有未知數(shù)的等式。初步思路如下：設(shè)未知數(shù)：根據(jù)問題情境，選擇一個適當?shù)奈粗坑米帜副硎荆ㄍǔＴO(shè)為\(x\)、\(y\)等）。找等量關(guān)系：分析問題中已知量與未知量之間的相等關(guān)系（如“總和”“差”“倍數(shù)”“面積公式”等）。列方程：根據(jù)等量關(guān)系，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)量，列出等式（即方程）。示例：一個數(shù)的\(3\)倍與\(5\)的和等于\(20\)，設(shè)這個數(shù)為\(x\)，列出方程。解：設(shè)這個數(shù)為\(x\)，等量關(guān)系：這個數(shù)的\(3\)倍+\(5=20\)，列方程：\(3x+5=20\)。五、常見錯誤與規(guī)避方法方程定義理解錯誤：常見錯誤：認為“含有未知數(shù)的式子就是方程”（如誤將\(2x+3\)當作方程）；忽略方程必須是等式的條件。規(guī)避方法：牢記方程的兩個核心要素——“含有未知數(shù)”和“是等式”，缺一不可。判斷一個式子是否為方程時，需同時驗證這兩個條件。方程的解與解方程概念混淆：常見錯誤：將“解方程”說成“求方程的解”，或?qū)ⅰ胺匠痰慕狻泵枋鰹椤敖夥匠痰倪^程”。規(guī)避方法：明確“解”是結(jié)果（數(shù)值），“解方程”是過程（步驟），通過具體例子對比二者的區(qū)別。檢驗方程的解時計算錯誤：常見錯誤：代入未知數(shù)的值后計算左邊或右邊時出錯，導(dǎo)致誤判。例如：檢驗\(x=3\)是否是方程\(2x-1=5\)的解時，誤算左邊為\(2??3+1=7\)（符號錯誤）。規(guī)避方法：檢驗時嚴格按照代數(shù)式的運算規(guī)則計算，代入后先寫清楚“左邊\(=\)”和“右邊\(=\)”，再分步計算，避免跳步。六、典型例題解析判斷是否為方程：例：下列各式中，哪些是方程？（1）\(3x-2\)（2）\(5+6=11\)（3）\(2x+3=7\)（4）\(x+y=9\)（5）\(x^2>4\)解：（3）（4）是方程。（1）是代數(shù)式，不含等號；（2）是等式，但不含未知數(shù)；（5）是不等式，不是等式。檢驗方程的解：例：檢驗下列各數(shù)是否是方程\(2x-5=3x-10\)的解：（1）\(x=5\)（2）\(x=3\)解：（1）將\(x=5\)代入左邊：\(2??5-5=5\)，右邊：\(3??5-10=5\)，左邊\(=\)右邊，因此\(x=5\)是方程的解；（2）將\(x=3\)代入左邊：\(2??3-5=1\)，右邊：\(3??3-10=-1\)，左邊\(a?

\)右邊，因此\(x=3\)不是方程的解。根據(jù)題意列方程：例：根據(jù)下列語句列出方程：（1）\(x\)的\(2\)倍與\(7\)的差等于\(15\)；（2）一個數(shù)的\(\frac{1}{3}\)比它本身小\(6\)，設(shè)這個數(shù)為\(x\)。解：（1）\(2x-7=15\)；（2）\(x-\frac{1}{3}x=6\)（或\(\frac{1}{3}x=x-6\)）。方程是描述等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，其核心定義“含有未知數(shù)的等式”需深刻理解。通過明確方程的構(gòu)成要素、區(qū)分方程的解與解方程的概念、掌握檢驗方程解的方法，可為后續(xù)學(xué)習(xí)方程的解法和應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用中，要學(xué)會從問題情境中提取等量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化為方程，初步體會方程思想在解決問題中的作用。2024人教版數(shù)學(xué)七年級上冊授課教師：

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5.1.1.1方程第五章

一元一次方程aiTujmiaNg1.掌握方程的概念2.會列方程.新課導(dǎo)入甲、乙兩支登山隊沿同一條路線同時向一山峰進發(fā).甲隊從距大本營1km的一號營地出發(fā)，每小時行進1.2km；乙隊從距大本營3km的二號營地出發(fā)，每小時行進0.8km，多長時間后，甲隊在途中追上乙隊？新知探索大本營一號營地二號營地1km2km甲追上乙V甲=1.2km/hV乙=0.8km/h甲出發(fā)點乙出發(fā)點上述問題中涉及到了哪些量？路程速度時間如果設(shè)兩隊行進的時間為xh，用含x

的式子表示上面關(guān)系：大本營一號營地二號營地1km2km甲追上乙V甲=1.2km/hV乙=0.8km/h甲出發(fā)點乙出發(fā)點甲隊行進的路程為：1.2xkm乙隊行進的路程為：0.8xkm甲隊距大本營的路程為：(1.2x+1)km乙隊距大本營的路程為：(0.8x+3)km大本營一號營地二號營地1km2km甲追上乙V甲=1.2km/hV乙=0.8km/h甲出發(fā)點乙出發(fā)點想一想，甲隊追上乙隊時，他們距大本營的路程之間有什么關(guān)系？大本營一號營地二號營地1km2km甲追上乙V甲=1.2km/hV乙=0.8km/h甲出發(fā)點乙出發(fā)點甲隊距大本營的路程=乙隊距大本營的路程1.2x+1=0.8x+3這是一個含有未知數(shù)x

的等式

問題1用買3個大水杯的錢，可以買4個小水杯，大水杯的單價比小水杯的單價多5元，兩種水杯的單價各是多少元？實際問題單價：x

元單價：(x-5)元因為用買3個大水杯的錢，可以買4個小水杯，所以3x=4(

x-5)

問題2如圖，一枚長方形的慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年紀念幣，其面積是4000mm2，長和寬的比為8:5（即寬是長的）.這枚紀念幣的長和寬分別是多少毫米？設(shè)這枚紀念幣的長為xmm.則寬為xmm，面積為x2mm2，所以1.2x+1=0.8x+33x=4(

x-5)像這樣，先設(shè)出字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問題中的相等關(guān)系，列出一個含有未知數(shù)的等式，這樣的等式叫作方程.方程在我國古代，一般用“天元”“地元”“人元“物元”等表示未知數(shù)，17世紀，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒最早使用x，y，z等字母表示未知數(shù)，這種做法一直沿用至今.比較：列算式和列方程列算式：列出的算式表示解題的計算過程，只能用已知數(shù)，對于較復(fù)雜的問題，列算式比較困難.列方程：方程是根據(jù)題中的等量關(guān)系列出的等式.既可用已知數(shù)，又可用未知數(shù)，解決問題比較方便.從算式到方程是數(shù)學(xué)的進步！溯源漢語中“方程”一詞源于討論含多個未知數(shù)的等式的問題。我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有專門的“方程”章，其中以一些實際應(yīng)用問題為例，給出了由幾個一次方程組成的方程組的解法，稱為“方程術(shù)”.19世紀50年代，清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯外國數(shù)學(xué)著作時，開始將equation(指含有未知數(shù)的等式)一詞譯為“方程”.及時鞏固下列式子中，是方程的有___________.①7-1=6；②3x+y=10；③x-1；④；⑤x>3；⑥x=1；⑦a2-1=0；⑧b2

≠-1.②④⑥⑦一個式子是方程必須同時滿足兩個條件:（1）含有未知數(shù)(未知數(shù)都是用字母表示)；（2）必須是等式(標志就是含有“＝”).例題【教材P113】

例1根據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)并列出方程：（1）某校女生占全體學(xué)生數(shù)的52%，比男生多80人，這所學(xué)校有多少名學(xué)生？解：設(shè)這所學(xué)校有x名學(xué)生

.女生數(shù)為0.52x.男生數(shù)為(1-0.52)x.0.52x

-(1-0.52)x=80（2）如圖，一塊正方形綠地沿某一方向加寬5m，擴大后的綠地面積是500m2，求正方形綠地的邊長.設(shè)正方形綠地的邊長為xm.xmxm擴大后的綠地面積為(x2+5x)m2.列得方程x2+5x=5005m歸納請同學(xué)們思考：1.怎樣將一個實際問題轉(zhuǎn)化為方程問題？2.列方程的依據(jù)是什么？實際問題方程設(shè)未知數(shù)，用含有未知數(shù)的等式表示相等關(guān)系分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實際問題的一種方法.【選自教材P113練習(xí)第1題】根據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)并列出方程：1.甲種鉛筆每支1.4元，乙種鉛筆每支1.8元，用23元錢買這兩種鉛筆，一共買了15支，兩種鉛筆各買了多少支？解：設(shè)甲種鉛筆買了x支，則乙種鉛筆買了(15-x)支.列得方程1.4x+1.8(15-x)=

23.