2.2基本不等式思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理知識(shí)梳理0101重要不等式與基本不等式1.重要不等式2.基本不等式因此基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).（3）常用結(jié)論：0202基本不等式的變式與拓展基本不等式鏈2．基本不等式的拓展0303最值定理1．最值定理：已知都是正數(shù)，（1）若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值，且這個(gè)值為.（2）若xy＝p(積p為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，和x＋y有最小值，且這個(gè)值為2.最值定理簡(jiǎn)記為：積定和最小，和定積最大.2．在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿足三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.3.利用基本不等式求最值的幾種常見(jiàn)方法(1)直接法：條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來(lái)求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求ax+by的最值”的問(wèn)題，先將a(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.典例分析典例分析題型一：基本不等式概念的理解例1.若a，b為非零實(shí)數(shù)，則以下不等式中恒成立的個(gè)數(shù)是(

)①a2+b22≥ab；A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C

【解析】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用．

【解答】解：①∵a2+②a+b2③④中a，b的符號(hào)不能確定，故錯(cuò)誤．故選C.

例2.已知a，b是實(shí)數(shù)，且a?b≠0，則“a+b>0”是“a+b≥2ab”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B

【解析】取特殊值進(jìn)行充分性的判斷，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)對(duì)必要性進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)a+b>0時(shí)，取a=2，b=?1，則反之，當(dāng)a+b≥2ab時(shí)，由ab有意義，得ab≥0故有a+b>0成立故“a+b>0”是“a+b≥故選B．例3.（多選）已知實(shí)數(shù)a、b，判斷下列不等式中哪些一定是正確的(

)A.a+b2≥C.|ab+【答案】CD

【解析】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用條件的判斷，屬于中檔題．利用特殊值和基本不等式的性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：當(dāng)a<0，b<0時(shí)，當(dāng)a<0時(shí)，a+∵ab+∵2a2+故2a故選：CD．【變式1】（多選）有下面四個(gè)不等式，其中恒成立的有(

)A.a+b2≥C.a2+b【答案】BC

【解析】本題考查了不等式性質(zhì)，基本不等式和二次函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：對(duì)于A、當(dāng)a<0,b<0時(shí)，不等式不成立，因此A不恒成立；對(duì)于B、因?yàn)閍1?a=?a2+a=?對(duì)于C、因?yàn)閍2+b2?2三式兩邊同時(shí)相加得

a2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立，因此C對(duì)于D、當(dāng)a,b異號(hào)，不等式不成立，因此D不恒成立；故選BC．【變式2】（多選）設(shè)a>0，b>0，則(

)A.(a+2bC.a2b+【答案】ACD

【解析】此題考查基本不等式的應(yīng)用，考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題對(duì)于A，化簡(jiǎn)后利用基本不等式判斷即可;對(duì)于B，舉反例可判斷;對(duì)于C，利用作差法判斷即可;對(duì)于D，利用基本不等式化簡(jiǎn)即可判斷．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)?a+當(dāng)且僅當(dāng)2ab=2ba，即a=b對(duì)于B，令a=b=1，則a2+b2=2，對(duì)于C，因?yàn)閍>0，b>0，所以a2所以a2b+b對(duì)于D，a2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，所以a2+b2故選：ACD．【變式3】（多選）下列命題為真命題的是(

)A.若a，b∈R，則a+bB.若x>?2，則C.若a>0，b>0，則D.若a，b∈R，則a【答案】ABD

【解析】結(jié)合基本不等式及其相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是公式的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：a2+B：有x>?2得x+2>當(dāng)且僅當(dāng)x+2=4C：a>0，b>0，1a+1b≥D：因?yàn)閍2所以a2+b2≥2a?2b?2故選：ABD．題型二：利用基本不等式求和的最小值例1.已知x>3，且x+4x?3的最小值為A.

10 B.9 C.8 D.7【答案】D

【解析】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．由于x>3，則x?3>解：因?yàn)閤>3，所以x?所以x+4當(dāng)且僅當(dāng)x?3=4故選D．例2.若x>34，且4x?3y+2=9，則x+yA.1 B.54 C.32 【答案】D

【解析】【分析】本題考查由基本不等式求最值或取值范圍，屬于中檔題．利用換元法，結(jié)合基本不等式即可得解．【解答】解：因?yàn)閤>34，所以又4x?3y+2=9>0，所以令m=4x?3，n=y+2，則m>0,n>0,mn=9，x=m所以x+y=m當(dāng)且僅當(dāng)m4=n，即m=6,n=32所以x+y的最小值為74故選：D．【變式1】已知x>4，則函數(shù)y=1x?4+A.8 B.12 C.16 D.20【答案】D

【解析】本題考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．因?yàn)閤?4>0，1【解答】解：已知x>4，則x?函數(shù)y=1當(dāng)且僅當(dāng)x=92時(shí)“故函數(shù)的最小值是20，故選：D．【變式2】若x>1，則2x+1x?1A.22+2 B.?22 【答案】A

【解析】【分析】本題考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．由題意，可得x?1>0，則根據(jù)2x+1【解答】解：∵x>1，∴x?1>0，∴2x+≥2當(dāng)且僅當(dāng)2(x?1)=1x?1，即故2x+1x?1

的最小值為故選A．【變式3】.若m>n>0，則m+9m+n+4m?n【答案】5【解析】【分析】本題考查由基本不等式求最值，屬于中檔題．利用配湊法，兩次利用基本不等式即可得解．【解答】解：因?yàn)閙>n>0，所以m+n>0，m?n>0，又m+9因?yàn)?2當(dāng)且僅當(dāng)12m+n=12當(dāng)且僅當(dāng)12m?n=所以m+9當(dāng)且僅當(dāng)m+n=32m?n=2所以m+9m+n+故答案為：5【變式4】若x>?1，則x+4x+1的最小值為

【答案】3

【解析】【分析】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了靈活解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．由題意化簡(jiǎn)x+4【解答】解：∵x>?1，∴x+∴x+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1，即x=故答案為：3．題型三：利用基本不等式求積的最大值例1.已知0<a<2，則a2?A.12 B.22 C.1【答案】C

【解析】本題考查由基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．將所求變形為a【解答】解：由a2?a2=可得a2?a故選C．例2.已知x>0，y>0，且x+A.16 B.25 C.9 D.36【答案】B

【解析】本題主要考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．展開(kāi)已知條件，利用基本不等式可得(1+x)(1+y)的最大值．【解答】解：∵x>0，y>0，且x+y=8，∴(1+x)(1+y)=1+(x+y)+xy=9+xy≤9+(x+y當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí)，取等號(hào)，∴(1+x)(1+y)的最大值為25．故本題選B．【變式1】若0<x<12，則x(1?2x)的最大值是

．【答案】18【解析】本題主要考查了由基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解．【解答】解：當(dāng)0<x<12時(shí)，所以x(1?2x)=1當(dāng)且僅當(dāng)2x=1?2x，即x=1故答案為：18【變式2】已知正數(shù)x,y滿足xy=x+9y+7，則xy的最小值是______．【答案】49

【解析】本題考查了運(yùn)用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)xy=x+9y+7?2x·9y+7【解答】解：由題意，xy=x+9所以xy?6xy+7解得xy??1(舍去)或所以xy?49，當(dāng)且僅當(dāng)x=9y，即x=21，y=7所以xy的最小值是49．故答案為49．【變式3】已知x>0，y>0且x3+y【答案】154【解析】本題考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．使用基本不等式，構(gòu)造關(guān)于xy的不等式求解即可．【解答】解：∵x>0，y>0且∴1當(dāng)且僅當(dāng)x3=y∴∴xy≤15故答案為154題型四：基本不等式“1”的妙用例1.(1)已知x>3，求4x?3+x(2)已知x,y是正實(shí)數(shù)，且x+y=1，求1x【解析】本題考查基本不等式求最值，屬于中檔題．(1)由題可知，4x?3(2)利用基本不等式“1”的妙用，即可求解．【答案】解：(1)∵x>3，即x?3>0∴4當(dāng)且僅當(dāng)4x?3=x?3，即∴4x?3(2)∵x,y是正實(shí)數(shù)，且x+y=1，當(dāng)且僅當(dāng)y=3x，即x=∴1x+

例2.已知正數(shù)x,y

滿足x+y=1

，則11+【答案】3+【解析】本題主要考查了基本不等式求最值，屬于中檔題．把要求的式子11+x【解答】解：∵正數(shù)x,y

滿足x+y=1∴∴2x+2∴=1當(dāng)且僅當(dāng)2+4y2+2x=2+2x∴11+x故答案為：3+【變式1】若3|x|+2|y|=1，則【答案】24

【解析】解：由題意得(2當(dāng)且僅當(dāng)9|y||x|=4|x|故答案為：24．【變式2】（多選）已知實(shí)數(shù)x,y滿足x>2y>0，且x+y=1，則92x+5y+1A.163 B.7 C.133 【答案】AB

【解析】【分析】本題考查基本不等式，屬于中檔題．利用“1”的代換變形后，再利用基本不等式求出最小值，排除CD項(xiàng)，驗(yàn)證AB項(xiàng)可得．【解答】解：令m=2x+5y,n=x?2y，由題意x>2y>0，且x+y=1，得m>0,n>0，且m+n=3x+3y=3，則9≥2當(dāng)且僅當(dāng)3nm=m由2x+5y=94x?2y=34，解得x=由92x+5y+1B項(xiàng)，由方程組x+y=192x+5y+解得x=41?85故選：AB．【變式3】若實(shí)數(shù)m，n>0，滿足2m+n=1，以下選項(xiàng)中正確的有(

)A.mn的最小值為18 B.1mC.3m+1+6n+2的最小值為245【答案】CD

【解析】【分析】本題考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．直接利用均值不等式判斷A；根據(jù)“1”的代換的方法判斷B；整理2m+n=1為2m+1+n+2=5，利用“1”的代換的方法判斷C【解答】解：實(shí)數(shù)m，n>0，滿足2m+n=1∴2m+n=1整理得mn≤18，當(dāng)且僅當(dāng)2m=n，即n=11m當(dāng)且僅當(dāng)nm=2mn，即∵2m+n=1，∴2m+1∴=1當(dāng)且僅當(dāng)n=12m=∵2m+n=1，∴1=(2m+n)∴4m2+n2故選CD．題型五：利用基本不等式求分式型最值例1.已知t>0，則y=t2A.?2 B.12 C.1 D.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用基本不等式求最值即可，注意等號(hào)取得的條件．【解答】解：t>0，則

y=t當(dāng)且僅當(dāng)t=1t，即則y=t2?4t+1故選A．例2.已知x<0，則函數(shù)y=x2+8x?1A.最大值?6 B.最大值?4 C.最小值6 D.最小值8【答案】B

【解析】【分析】本題考查由基本不等式求最值或取值范圍，屬于中檔題．先把x2+8x?1化成x?1+【解答】解：因?yàn)閥=x因?yàn)閤<0，所以x?1<0，9x?1所以x?1+9當(dāng)且僅當(dāng)?x?1=?9所以x?1+9x?1+2≤?4，則函數(shù)y=故選：B．【變式1】若對(duì)任意x∈R,xx2+3x+1?a【答案】a≥1【解析】【分析】本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．根據(jù)x+1x≥2，代入xx2+3x+1中求得【解答】解：∵x>0，∴x+1x≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1∴x即xx2+3x+1故答案為a≥1【變式2】已知x≥32，則2x【答案】2【解析】【分析】本題考查利用基本不等式求最值，由x≥32得x?1≥1【解答】解：由x≥32得則2?2當(dāng)且僅當(dāng)2(x?1)=故2x2?【變式3】函數(shù)fx=x2?x+4【答案】5

【解析】【分析】本題考查由基本不等式求最值或取值范圍，屬于基礎(chǔ)題．將函數(shù)配湊整理為fx【解答】解：f(x)==(x?1)+4∵x>1，∴x?1>0，∴x?1當(dāng)且僅當(dāng)

x?1=4x?1，即∴fx故答案為：5．題型六：利用基本不等式證明不等式例1.若正數(shù)滿足．（1）求的最大值；（2）求證：．【解析】本題考查利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．將等式兩邊平方，結(jié)合基本不等式，即可得到所求最大值；根據(jù)題意可得【答案】Ⅰ解：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取綜上所述，的最大值是：；Ⅱ證明：，，，，三個(gè)式子相加得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，?。?/p>

【變式1】設(shè)．證明：；證明：．【解析】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用把展開(kāi)化簡(jiǎn)，利用基本不等式即可得證；結(jié)合已知條件，利用兩數(shù)和的立方公式展開(kāi)，再用基本不等式即可得證．【答案】解：證明：因?yàn)?，，．．且?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故．所以證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，故．

【變式2】已知，，均為正數(shù)，且，證明：；若，則．【解析】本題考查了利用綜合法證明不等式，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．將展開(kāi)，結(jié)合已知條件，利用基本不等式求解即可；由，將，化簡(jiǎn)可得，再利用基本不等式求解即可．【答案】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又因?yàn)椋?，均為正?shù)，所以；因?yàn)?，由條件可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，解得，把和，代入，求得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)．

【變式3】設(shè)，，且求證：；與不可能同時(shí)成立．【解析】本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式和反證法證明，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．由已知等式可得，再由基本不等式即可得證；運(yùn)用反證法證明，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得到矛盾，進(jìn)而得到證明．【答案】證明：由，得，由基本不等式及，有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．假設(shè)與同時(shí)成立，則，即：，由知，因此，即，而，因此，因此矛盾，因此假設(shè)不成立，原結(jié)論成立．

【變式4】選用恰當(dāng)?shù)淖C明方法，證明下列不等式．已知均為正數(shù)，且，求證：；已知，求證：．【解析】本題主要考查基本不等式的證明，利用作差法比較大小，屬于中檔題．利用的妙用，結(jié)合基本不等式證明即可；利用作差法證明即可．【答案】證明：因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，即?/p>

題型七：利用基本不等式解決存在性或恒成立問(wèn)題例1.已知，，若不等式恒成立，則的最大值等于(

)A. B. C. D.【答案】B

【解析】【分析】本題考查利用基本不等式研究恒成立問(wèn)題，屬中檔題．先把不等式變形為恒成立，然后求出的最值即可．【解答】解：因?yàn)?，，所以，所以要使恒成立，只需恒成立，而，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以例2.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】D

【解析】【分析】本題考查利用基本不等式解決存在性或恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．利用基本不等式得到，由不等式有解，得，即可求出的取值范圍．【解答】解：由兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，得

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)椴坏仁接薪猓?，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選D．【變式1】.已知實(shí)數(shù)，且滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為．A. B. C. D.【答案】D

【解析】【分析】本題考查利用基本不等式解決存在性或恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．由基本不等式求出的最小值即可．【解答】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，