考點(diǎn)21利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題在高考中占有很重要的地位，主要涉及判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或范圍．高考?？疾槿魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，以及函數(shù)零點(diǎn)與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)【核心題型】題型一利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此類問(wèn)題在求解過(guò)程中可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件．【例題1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·陜西西安·一模）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，且.（i）證明：；（ii）證明：.【變式3】（2024·遼寧·三模）已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且.題型二數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來(lái)后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍或判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【例題2】（2024·北京房山·一模）若函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或3【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．若有三個(gè)不同的根，則的取值范圍為．【變式2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【變式3】（2024·河北邯鄲·二模）已知函數(shù)．(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得和在上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知是的零點(diǎn)，是的零點(diǎn)．①證明：，②證明：．題型三構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)涉及函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍【例題3】（2023·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足：①定義域?yàn)?；②；③有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有極小值 B．當(dāng)時(shí)，有極大值C．若，則 D．函數(shù)的零點(diǎn)最多有1個(gè)【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【變式3】（2024·廣東·二模）已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請(qǐng)求出直線；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【課后強(qiáng)化】基礎(chǔ)保分練一、單選題1．（2023·四川資陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)在上的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列（其中），則（

）A． B．C． D．為遞減數(shù)列2．（23-24高三上·湖北荊門·階段練習(xí)）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023·四川成都·二模）若指數(shù)函數(shù)（且）與冪函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則（

）A．若有極值點(diǎn)，則B．當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)C．D．當(dāng)時(shí)，曲線上斜率為2的切線是直線6．（2024·遼寧撫順·三模）已知定義在上的奇函數(shù)連續(xù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．當(dāng)時(shí)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A．在上為減函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，C． D．在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)三、填空題7．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，則k的取值范圍是.8．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題9．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知，.(1)討論的單調(diào)性.(2)若使得，求參數(shù)的取值范圍.10．（2024·寧夏固原·一模）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且有兩個(gè)相異零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)證明：．12．（2024·湖北黃石·三模）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)如果，求此時(shí)的取值范圍.綜合提升練一、單選題1．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）有甲、乙兩個(gè)物體同時(shí)從A地沿著一條固定路線運(yùn)動(dòng)，甲物體的運(yùn)動(dòng)路程（千米）與時(shí)間t（時(shí)）的關(guān)系為，乙物體運(yùn)動(dòng)的路程（千米）與時(shí)間t（時(shí)）的關(guān)系為，當(dāng)甲、乙再次相遇時(shí)，所用的時(shí)間t（時(shí)）屬于區(qū)間（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值可以是（

）A．2 B．1 C．3 D．5．（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)，有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）已知函數(shù)，若方程存在三個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024·陜西·二模）已知，且時(shí)，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．若，為常函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)僅有1個(gè)根D．若，則二、多選題9．（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)為實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，則與有相同的極值點(diǎn)和極值B．存在，使與的零點(diǎn)同時(shí)為2個(gè)C．當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為10．（2024·河北唐山·一模）已知函數(shù)，則（

）A．直線是曲線的切線B．有兩個(gè)極值點(diǎn)C．有三個(gè)零點(diǎn)D．存在等差數(shù)列，滿足11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，下列命題正確的是（

）A．若，則有且只有一個(gè)零點(diǎn)B．若，則在定義域上單調(diào)，且最小值為0C．若，則有且只有兩個(gè)零點(diǎn)D．若，則為奇函數(shù)三、填空題12．（2023·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．13．（2024·四川瀘州·二模）若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題15．（23-24高三上·河南·期末）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，研究函數(shù)在上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)．16．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（），(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若恒成立，求函數(shù)的零點(diǎn)的取值范圍．17．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．18．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式無(wú)整數(shù)解，求的取值范圍.19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．拓展沖刺練一、單選題1．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若在有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024·四川成都·二模）函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，恒成立B．當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)C．對(duì)任意在上均存在零點(diǎn)D．存在在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)4．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·重慶·一模）已知函數(shù)，則在有兩個(gè)不同零點(diǎn)的充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．6．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一極值點(diǎn)C．若函數(shù)只有兩個(gè)不等于1的零點(diǎn)，則必有D．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則三、填空題7．（2023·湖北·一模）若函數(shù)在處的切線與的圖像有三個(gè)公共點(diǎn)，則的取