考點(diǎn)24兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式.2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．【知識(shí)點(diǎn)】1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.2．輔助角公式asinα＋bcosα＝，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).知識(shí)拓展兩角和與差的公式的常用變形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.【核心題型】題型一兩角和與差的三角函數(shù)公式兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．【例題1】（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（

）A． B． C． D．2【變式1】（2024·陜西銅川·二模）已知銳角滿足，，則.【變式2】（2023·江西上饒·模擬預(yù)測(cè)）已知、均為銳角，且，，則.【變式3】（2024·河北保定·二模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).題型二兩角和與差的公式逆用與輔助角公式運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．【例題2】（2024·陜西西安·一模）等于（

）A． B． C． D．1【變式1】（2023·廣東·二模）的值為.【變式2】（2024·廣東揭陽·二模）已知，則，.【變式3】（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)在邊上，且滿足.(1)求證：；(2)若，，求的面積的最小值.題型三角的變換問題常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))等．【例題3】（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）若，則（）A． B． C． D．【變式1】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)對(duì)稱中心，，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.若，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則．【變式3】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知，則等于.【課后強(qiáng)化】【基礎(chǔ)保分練】一、單選題1．（2024·北京朝陽·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，銳角以為頂點(diǎn)，為始邊.將的終邊繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則a的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．0 B． C． D．4．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，若，，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高三上·山西大同·期末）若，且，，則（

）A． B．C． D．6．（23-24高三上·廣東揭陽·期中）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的值域?yàn)?D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱三、填空題7．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）若，則．8．（2023·山東菏澤·一模）設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，且滿足，則.9．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則．四、解答題10．（2024·河北保定·二模）已知中，角所對(duì)的邊分別為.(1)求角；(2)若，且的周長(zhǎng)為，求的面積.11．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大?。唬?）求的取值范圍.【綜合提升練】一、單選題1．（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若，且，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·江西贛州·模擬預(yù)測(cè)）（

）A． B． C． D．4．（2024·江蘇南通·三模）已知，則（

）A． B． C． D．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，滿足，且，，則的值為（

）A．－2 B． C． D．26．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．7．（2024·河北滄州·一模）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，且，則（

）A． B．C． D．10．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，，，則（

）A．的取值范圍為 B．存在，，使得C．當(dāng)時(shí)， D．t的取值范圍為11．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題12．（2024·江西鷹潭·二模）已知，且，則.13．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，，則．14．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知，是方程的兩個(gè)根，則．四、解答題15．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且.(1)求和的值；(2)若，且，求的值.16．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且，.(1)求；(2)若，求的值.17．（2024·天津·二模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．18．（2024·天津南開·一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求a的值：(2)求證：；(3)的值19．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且的面積等于.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，且，求的值.【拓展沖刺練】一、單選題1．（2024·河南·二模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值，其結(jié)果為2的有（

）A． B．C． D．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2024·河北承德·二模）已知，則.8．（2023·湖南岳陽·一模）已知，，，均為銳角，則.四、解答題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求的值；(2)若的面積為為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．10．（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上異于的一點(diǎn)，，．(1)求的最小值；(2)求的取值范圍；(3)證明：．11．（2024·河南開封·二模）在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為．(1)試求，，，的值；(2)設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，