高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第三節(jié)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式第二章2026內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,會判斷一元二次方程根的個(gè)數(shù),掌握二次函數(shù)零點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系.2.會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式.3.能夠利用二次函數(shù)圖象解一元二次不等式.強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識梳理二次函數(shù)與一元二次方程、不等式解集的對應(yīng)關(guān)系設(shè)y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac.當(dāng)a<0時(shí),可利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為系數(shù)為正的情況

判別式Δ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象判別式Δ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=-沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

ax2+bx+c<0(a>0)的解集

{x|x<x1,或x>x2}R{x|x1<x<x2}??微點(diǎn)撥1.簡單分式不等式的解法

(3)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式,先移項(xiàng)再通分(不要去分母),使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零的形式,然后再用上述方法求解.2.絕對值不等式(1)實(shí)數(shù)絕對值的意義:|a|=(2)當(dāng)a>0時(shí),①|(zhì)x|<a?x2<a2?-a<x<a;②|x|>a?x2>a2?x<-a或x>a.(3)解含有絕對值的不等式關(guān)鍵是如何去絕對值符號.|ax+b|<c?-c<ax+b<c;|ax+b|>c?ax+b<-c或ax+b>c.微思考不等式ax2+bx+c>0(≥0),ax2+bx+c<0(≤0)在R上恒成立的條件分別是什么?常用結(jié)論1.對于一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為正且存在兩個(gè)根的情況下,其解集的常用口訣是:大于取兩邊,小于取中間.2.研究不等式ax2+bx+c>0(<0,≥0,≤0)的恒成立問題時(shí),注意對a=0這一情形的討論.對點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0.(

)(2)若方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0的解集為R.(

)√×√×答案

C

3.若關(guān)于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1對x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

答案

(-∞,0]

增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一一元二次不等式的解法(多考向探究)考向1.不含參數(shù)的一元二次不等式的解法典例突破(2)已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若不等式f(x)≥0的解集為[1,4],則不等式af(x2-x-2)≤0的解集為

.

例1.(1)(2024廣西模擬)已知集合A={x|-2<x<3},B={x|x2-5x<0,x∈N},則A∩B=(

)A.{x|0<x<3} B.{x|-2<x<5}C.{0,1,2} D.{1,2}解析

(1)x2-5x<0?0<x<5,又因?yàn)閤∈N,所以B={1,2,3,4},則A∩B={1,2}.故選D.方法點(diǎn)撥1.求解不含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

2.由一元二次不等式的解集確定參數(shù)值的方法(1)一元二次不等式解集的端點(diǎn)就是對應(yīng)一元二次方程的根,因此根據(jù)一元二次不等式的解集可知方程的根,從而利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.(2)根據(jù)一元二次不等式解集的形式,可確定二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),對于一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),若其解集是{x|x<x1或x>x2},則a>0;若其解集是{x|x1<x<x2},則a<0.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知關(guān)于x的不等式m(x-1)(x-2)≤0的解集為A,關(guān)于x的不等式n(x-1)(x-2)<0的解集為B,其中m,n是非零常數(shù),則“mn<0”是“A∪B=R”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)(多選)已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-2或x>3},則(

)A.a>0B.關(guān)于x的不等式bx+c>0的解集為{x|x<-6}C.a+b+c>0答案

(1)C

(2)ABD

考向2.含參數(shù)的一元二次不等式的解法典例突破例2.解關(guān)于x的不等式kx2-2kx>x-2(k∈R).名師點(diǎn)析求解含參數(shù)一元二次不等式的基本思路解含參數(shù)的一元二次不等式,與解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分類討論思想的運(yùn)用.(1)若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù),需對二次項(xiàng)系數(shù)等于0與不等于0進(jìn)行討論,對于不為0的情況再按大于0或小于0進(jìn)行討論.(2)若不等式對應(yīng)的一元二次方程根的情況不確定,需對其判別式Δ進(jìn)行討論.(3)若求出的根中含有參數(shù),則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論.對點(diǎn)訓(xùn)練2解關(guān)于x的不等式x2-2ax+3≥0(a∈R).考向3.分式不等式的解法典例突破例3.(1)已知集合A=,x∈A的一個(gè)必要條件是x≥a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.a<0 B.a≥2C.a≤-1 D.a≥-1(2)不等式

≥1的解集為

.

答案

(1)C

(2)[-2,1]故A={x|-1<x≤2},若x∈A的一個(gè)必要條件是x≥a,則對于A,a<0,A={x|-1<x≤2}不一定是[a,+∞)的子集,A錯(cuò)誤;對于B,a≥2,A={x|-1<x≤2}不是[a,+∞)的子集,B錯(cuò)誤;對于C,a≤-1,A={x|-1<x≤2}是[a,+∞)的子集,C正確;對于D,a≥-1,A={x|-1<x≤2}不一定是[a,+∞)的子集,D錯(cuò)誤.(2)∵x2+2x+3>0恒成立,∴原不等式可化為x+5≥x2+2x+3,即x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1.方法點(diǎn)撥分式不等式的求解策略分式不等式的求解思路是把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式.對于形如

>m的分式不等式,一般應(yīng)遵循“移項(xiàng)—通分—化乘積”的原則進(jìn)行求解.對點(diǎn)訓(xùn)練3不等式

<1的解集為

.

考點(diǎn)二一元二次不等式的恒成立問題(多考向探究)考向1.一元二次不等式在R上的恒成立問題典例突破例4.

已知點(diǎn)A(1,4)在直線

=1(a>0,b>0)上,若關(guān)于t的不等式a+b≥t2+5t+3恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(

)A.[-6,1]B.[-1,6]C.(-∞,-1]∪[6,+∞)D.(-∞,-6]∪[1,+∞)答案

A

名師點(diǎn)析一元二次不等式恒成立的條件

答案

A對點(diǎn)訓(xùn)練4已知p:-2≤a<1,q:關(guān)于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,則p是q的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,所以關(guān)于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1<0的解集是R.考向2.一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題典例突破例5.(1)(多選)若不等式sin2x-asinx+2≥0對任意的x∈(0,]恒成立,則實(shí)數(shù)a的值可能是(

)A.1 B.2 C.3 D.4(2)若不等式x2-ax≥16-3x-4a對任意a∈[-2,4]成立,則x的取值范圍為(

)A.(-∞,-8]∪[3,+∞) B.(-∞,0)∪[1,+∞)C.[-8,6] D.(0,3]答案(1)ABC

(2)A

(2)由題意得不等式(x-4)a-x2-3x+16≤0對任意a∈[-2,4]成立,名師點(diǎn)析一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值(或取值范圍);(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題,即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤a.對點(diǎn)訓(xùn)練5(2024廣西模擬)若關(guān)于x的不等式ax2>x2-x-1對x∈(-∞,0)恒成立,則a的取值范圍是

.

答案

考點(diǎn)三一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用典例突破例6.汽車智能輔助駕駛的自動剎車工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間,當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開啟報(bào)警提醒,等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動剎車.某種算法(如圖所示)將報(bào)警時(shí)間劃分為4段,分別為準(zhǔn)備時(shí)間t0、人的反應(yīng)時(shí)間t1、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間t2、制動時(shí)間t3,相應(yīng)的距離分別為d0,d1,d2,d3,當(dāng)車速為v(單位:米/秒),且0≤v≤33.3時(shí),通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化,且0.5≤k≤0.9).階段0.準(zhǔn)備1.人的反應(yīng)2.系統(tǒng)反應(yīng)3.制動時(shí)間t0t1=0.8秒t2=0.2秒t3距離d0=20米d1d2d3=v2米(1)請寫出報(bào)警距離d(單位:米)與車速v(單位:米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)k=0.9時(shí),若汽車達(dá)到報(bào)警距離,仍以此速度行駛,則汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間;(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛,報(bào)警距離均小于80米,則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下?即v2+10v-600<0,解得-30<v<20,所以0<v<20.綜上,0≤v<20.所以汽車的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下