【項(xiàng)目主題】【項(xiàng)目準(zhǔn)備】（1）密鋪知識(shí)學(xué)習(xí)：用形狀、大小完全相同的一種或幾正三角形組件的邊長(zhǎng)均為20cm．2個(gè)正三角形，長(zhǎng)度增加40cm，從而x個(gè)這樣的拼接單元拼成一行的長(zhǎng)度為(40x+10)cm．【項(xiàng)目分析】（ii）每行用正六邊形組件頂著左墻開始，從左向右用一（iii）第一行緊靠墻邊，從前往后按相同方根據(jù)規(guī)律，令40x+10≤600，解得x≤1個(gè)正六邊形和28個(gè)正三角形組件，由40×14+10=570知，所拼長(zhǎng)度為570cm，剩余30cm和28個(gè)正三角形組件，由5×15+1×28=103知，方案一每行的成本為103元．,故需鋪21行．由103×21=2163知，方案一所需的總成本為2163元．方案二：第一行沿著長(zhǎng)度為7.4m的墻自左向右拼接．類似于方案一的成本計(jì)算，令40x+10≤740…【項(xiàng)目實(shí)施】）．3．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組開展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為x2-y2（x，y均為自然數(shù)）”N2-024=22-023=22-128=32-122-222-227=42-322-329=52-4220=62-42……2n-1=n2-(n-1)22-2；假設(shè)4n-2=x2-y2，其中x，y均為自然數(shù)．①若x，y均為偶數(shù)，設(shè)x=2k，y=2m則x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)為4的倍數(shù)．而4n-2不是4的倍數(shù)，矛盾．故x，y不可能均為偶數(shù)．②若x，y均為奇數(shù)，設(shè)x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均為自然數(shù)，則x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=______為4的倍數(shù)．而4n-2不是4的倍數(shù)，矛盾．故x，y不可能均為奇數(shù)．③若x，y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則x2-y2為奇數(shù)．而4n-2是偶數(shù)，矛盾．故x，y不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】(1)第n個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)為；(2)第1個(gè)圖案中“*”的個(gè)數(shù)可表示為，第2個(gè)圖案中“*”的個(gè)數(shù)可表示為第3個(gè)圖案中“*”的個(gè)數(shù)可表示為，第4個(gè)圖案中“*”的個(gè)數(shù)可表示為……，第n個(gè)圖案中“*”的個(gè)數(shù)可表示為______________．【規(guī)律應(yīng)用】(3)結(jié)合圖案中“*”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+…+n等于第n個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)的2倍．第3個(gè)等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3以此類推，學(xué)知識(shí)觀察根據(jù)規(guī)律：；【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第n個(gè)圖案中，“”的個(gè)數(shù)為；【規(guī)律應(yīng)用】因式分解：(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2...+x(1+x)n-1+x(1+x)n【問題探究】@由①知(1+x)+x(1+x)=(1+x)2，繼續(xù)添加下一項(xiàng)得：（1）仿照@，把代數(shù)式(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3進(jìn)行因式分解．【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】（2）推廣到一般形式：(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2...+x(1+x)n-1+x(1+x)n=______；【問題解決】第2個(gè)等式：222=40×(10+第4個(gè)等式：422=80×(20+2)+4 ．________________【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】第3個(gè)圖案中，“*”的個(gè)數(shù)可表示為×4×5，…,第n個(gè)圖案中，“*”的個(gè)數(shù)可表示為______；【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中“*”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得“▲”的個(gè)數(shù)的2倍比“*”的8=32-124=22-022-322-2224=72-5220=62-4228=82-628n-4=(2n)2-(2n-2)2則：(2n+1)2-(2n-1)2=8n=4×2n；@設(shè)兩個(gè)相鄰偶數(shù)分別為：2n,2n-2（n為正整數(shù)___________15．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)x2+1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，接著他們研究x3+1的因式分解問（i）x3+1=_________=___________．(2)在（1）的研究基礎(chǔ)上，請(qǐng)你猜想：當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，x3+1因式分14÷7=2；1-4×2=-7；-7÷7=-1．168÷7=24；16-8×2=0；0÷336÷7=48；33-6×2=21；21÷7=3．875÷7=125；87-5×2=77；77÷7=11．…x217=10×21+7M(217)=21-7×2945=______M(945)=______………【項(xiàng)目研究的過程】248×42-___________________；…（2）等式左邊的算式可表示為ab-cd的形對(duì)調(diào)得到數(shù)c，將數(shù)b的十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)得到數(shù)d；…（3）在（2）的前提下，數(shù)a可以表示為10m+n，數(shù)b兩位數(shù)的積與交換這兩個(gè)兩位數(shù)數(shù)字得到的新兩位數(shù)積第2個(gè)等式第4個(gè)等式第1個(gè)圖→22-12=2+1=3第2個(gè)圖→32-22=3+2=52-32(2)用含n的等式表示第n個(gè)圖中空白部分小正方形的個(gè)數(shù)反映的規(guī)律：______；當(dāng)只有A、B兩人時(shí)，此時(shí)站法有：AB、BA兩種．①第5個(gè)圖形需要_________枚棋子；@第n個(gè)圖形需要__________枚棋子．(2)若原等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)an表示第n次操作（i）a3=______；（i）1-aaaa,他們繼續(xù)探究n222這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)N與(n+1)2的nN13229335034353nN12292 3502 453=_____(2)請(qǐng)你猜想n222的平均數(shù)N與(n+1)2之間存在的等量關(guān)系（用含n的式子表第2個(gè)等式：(2×3)2-2×4×(4-1)=2×2×3；第3個(gè)等式：(3×4)2-3×5×(9-1)=2×3×4；第4個(gè)等式：(4×5)2-4×6×(16-1)=2×4×5；【歸納猜想】【拓展應(yīng)用】第1個(gè)等式：23-13-3×2×1=(2-1)3；第2個(gè)等式：33-23-3×3×2=(3-2)3；第3個(gè)等式：43-33-3×4×3=(4-3)3；（i）第4個(gè)等式為：53-43-3×5×4=(____-____)3；小明同學(xué)猜想a3-b3-3ab=(a-b)3，其中a，b為正整數(shù)．小華同學(xué)提出反對(duì)意見，并通過如下計(jì)算進(jìn)行了證明：(a-b)3=a3-b3-3ab(①__________________）:a3-b3-3ab不一定等于(a-b)3．第2組：數(shù)字1，9，8，則981-1(2)小組成員A發(fā)現(xiàn)：任取這樣一組不全相等的三個(gè)數(shù)字，經(jīng)過有限次上述“重排求差”操作后，最終會(huì)得到一個(gè)確定的“黑洞”數(shù)字，這個(gè)數(shù)是________(3)小組成員B發(fā)現(xiàn)：在上述“重排求整”操作中，最大數(shù)和最小數(shù)的差能被99整除，推過程設(shè)一組三個(gè)數(shù)字為a，b，c，不妨設(shè)a≥b≥c，且__________________，最小數(shù)可表示為___________________，則最大數(shù)-最小數(shù)=99【分析】本題主要考查了新定義，正確理解新定（2）第二次變換后的結(jié)果為1，那么第一次變換后的結(jié)果為3【詳解】解1）∵15÷3=5…0，:15進(jìn)行一次變換后得到的數(shù)為,此時(shí)不符合題意；:符合題意的n的值是9或2，正三角形的數(shù)量，再根據(jù)邊長(zhǎng)計(jì)算出長(zhǎng)度的增加量，進(jìn)而得出y個(gè)拼接單元拼成一行的長(zhǎng)計(jì)算y個(gè)拼接單元拼成一行的長(zhǎng)度第一個(gè)拼接單個(gè)拼接單元長(zhǎng)度增加60cm，所以y個(gè)這樣的拼接單元拼成一行的長(zhǎng)度為(60y+10)cm計(jì)算方案二每行可拼接的單元數(shù)量令40x+10≤740，移項(xiàng)可得40x≤740-10，即40x≤730，兩邊同時(shí)除以40，解得x≤18.25，:每行可以先拼18塊拼接單元．:共用去18個(gè)正六邊形和2×18=36個(gè)正三角形組件．剩余740-730=10cm，無法再擺放組件．計(jì)算方案二的總成本126×17=2142．方案二所需的總成本為2142元．兩種方案比較可知：2163>2142．:選方案二完成實(shí)踐活動(dòng)．2-(n-1)2；(2)4(k2-m2+k-m)2-52，故答案為：7，5；2-(n-1)2，故答案為：(n+1)2-(n-1)2；（2）解：假設(shè)4n-2=x2-y2，其中x，y均為自然數(shù)．①若x，y均為偶數(shù)，設(shè)x=2k，y=2m則x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)為4的倍數(shù)．而4n-2不是4的倍數(shù)，矛盾．故x，y不可能均為偶數(shù)．②若x，y均為奇數(shù)，設(shè)x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均為自然數(shù)，則x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=4(k2-m2+k-m)為4的倍數(shù)．而4n-2不是4的倍數(shù)，矛盾．故x，y不可能均為奇數(shù)．③若x，y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則x2-y2為奇數(shù)．而4n-2是偶數(shù)，矛盾．故x，y不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)．故答案為：4(k2-m2+k-m)．:第n個(gè)圖案中有3n個(gè)，故答案為：3n．第2個(gè)圖案中“*”的個(gè)數(shù)可表示為，第3個(gè)圖案中“*”的個(gè)數(shù)可表示為，第n個(gè)圖案中“*”的個(gè)數(shù)可表示為第n個(gè)圖案中有3n個(gè)，【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．(2)(2n+1)2=[(n+1).2n+1]2-[(n+1).2n]2，證明見解析(2n+1)2=[(n+1).2n+1]2-[(n+1).2n]2，利用完全平方公等式左邊：(2n+1)2=4n2+4n+1，61）22）2n+43）1008塊（2）由每增加一塊正方形地磚，即增加2塊（3）利用上一小題得到的公式建立方程，即可得到等腰【詳解】解1）由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2故答案為：2n+4；（3）令2n+4=2021則n=10:需要正方形地磚1008塊．:第n個(gè)等式【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，觀察所給的等式得到【詳解】[規(guī)律發(fā)現(xiàn)]:第n一個(gè)圖案中：“”有(2n-1)個(gè)，故答案為：2n-1；第2一個(gè)圖案中”有個(gè)，第3一個(gè)圖案中”有個(gè)，第4一個(gè)圖案中”有個(gè)，:第n一個(gè)圖案中”有個(gè)，理由如下：假設(shè)“”的個(gè)數(shù)是“”的個(gè)數(shù)2倍，由題意得：，整理得：n2-7n+4=0，:不存在正整數(shù)n，使得“”的個(gè)數(shù)是“”的個(gè)數(shù)2倍．9．1）(1+x)42）(1+x)n+13）32026a-1a【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是從簡(jiǎn)單情形出發(fā)【詳解】解1）(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3故答案為：(1+x)n+1．2+故答案為：a-a．:猜想成立．又∵右邊=100n2+40n+4，:左邊=右邊，:(10n+2)2=20n(5n+2)+4．131）3n-12）)(n+2)3）n的值為2或7【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，圖形規(guī)律，運(yùn)用代數(shù)式表達(dá)式，正確掌握（1）根據(jù)圖形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，得出第n個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為3n-1，即可作答．（2）結(jié)合題干條件，直接得出第n個(gè)圖案中，“*”的個(gè)數(shù)可表示為【詳解】解1）觀察圖形，得出第1個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為2=3×1-1；第2個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為5=3×2-1；第3個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為8=3×3-1；第4個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為11=3×4-1；以此類推，得出第n個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為3n第2個(gè)圖案中，“*”的個(gè)數(shù)可表示為，第3個(gè)圖案中，“*”的個(gè)數(shù)可表示為，第n個(gè)圖案中，“*”的個(gè)數(shù)可表示為（3）∵“▲”的個(gè)數(shù)的2倍比“*”的個(gè)數(shù)多4:n的值為2或72-72；8n=(2n+1)2-(2n-1)232=92-72；8n=(2n+1)2-(2n-1)2；則(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)@設(shè)兩個(gè)相鄰偶數(shù)分別為：2n,2n-2（n為正整數(shù)則(2n)2-(2n-2)2=(2n+2n-2)(2n-2n+2)=(4n-2)×2=8n-4=4(2n-1)而2n,2n-1能取到所有的正整數(shù)，由此可證明結(jié)論正確．15．(1)（i）6×21，6×(5×4+1)i）(x+1)(x2-x+1)，(x+1)[x(x-1)+1](2)(x+1)(x2-x+1)，證明見解析【分析】本題主要考查因式分解的規(guī)律問題．熟練使用因式分解方法是解答關(guān)鍵．故答案為：6×21，6×(5×4+1)；（i）x3+1=(x+1)(x2-x+1)=(x+1)[x(x-1)+1]；故答案為：(x+1)(x2-x+1)，(x+1)[x(x-1)+1]；（2）猜想：x3+1因式分解的結(jié)果為(x+1)(x2-x+1)．證明：∵(x+1)(x2-x+1)=x3-x2+x+x2-x+1=x3+1，:x3+1=(x+1)(x2-(2)10×94+5，94-5×2；【分析】本題考查了整式的加減運(yùn)算，數(shù)字規(guī)律類探索，掌握相關(guān)知（3）由題意得M(abc)=ab-2c，得:266能被7整除；故答案為：10×94+5，94-5×2；:2abc=20ab+2c=20ab+ab-M當(dāng)M(abc)能被7整除時(shí)，21ab-M(:abc也是7的倍數(shù)，能被7整除，:當(dāng)M(abc)能被7整除時(shí)，abc也能被7整除． （1）由題干中所給式子可得：48×42-84×24=99×(42+82-10×8)（2）由題意可得b個(gè)位上的數(shù)為：10-n（3）由題意可得：數(shù)d可以表示為10(10-n)+m規(guī)律：(10m+n)(10m+10-n)-(10n+m)[10(10-n)+m]=99(m2+n2-10n)證明：左邊=100m2-n2+100m+10n-(1000n-100n2+m2+100m)100m+10n-n2+100n2-1000n-100m-m2=99m2+99n2-990n=99(m2+n2-10n)=右邊；:原等式成立．:等式成立．19．(1)11，72-62=7+(2)(n+1)2-n2=n+1+n=2n+1正方形的個(gè)數(shù)算式應(yīng)為：72-62=7+6=13，故答案為：11，72-62=7+6=13；圖①空白部分小正方形的個(gè)數(shù)是22-12=2+1；圖②空白部分小正方形的個(gè)數(shù)是32-22=3+2；圖③空白部分小正方形的個(gè)數(shù)是42-32=4+3；所以圖n空白部分小正方形的個(gè)數(shù)是：(n+1)2-n2=n+1+n=2n+1，故答案為：(n+1)2-n2=n+1+n=2n+1；2【分析】本題主要考查了排列問題，掌握分布乘法原最后一位時(shí)，其余四位男生站4個(gè)位置共有24種站法，因此共有24+24=48（種）站法，211）①16；②1+3n2）不能，見解析（2）將第n個(gè)圖形的代數(shù)式等于360，計(jì):不能擺出符合以上規(guī)律的圖形.關(guān)鍵.故答案為：13，3n+1．：；：；：；②-①得，:1-----…（1）觀察圖形，得出第n個(gè)圖中六月雪盆景數(shù)量為2n+2，九里香盆景數(shù)量為n(n+1)，再代入n=5即可求解；（2）設(shè)該圖案為如上規(guī)律的第n個(gè)圖，根據(jù)題意列出方程，解出n的值，即可解答．…:第n個(gè)圖中六月雪盆景數(shù)量為2n+2，九里香盆景數(shù)量為n(n+1)，:左邊=右邊，【分析】本題考查數(shù)字的變化、列代數(shù)式，整式的運(yùn)算，明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，第2個(gè)等式：(2×3)2-2×4×(4-1)=2×2×3；第3個(gè)等式：(3×4)2-3×5×(9-1)=2×3×4；第4個(gè)等式：(4×