排列組合題型解析與訓(xùn)練題庫一、排列組合基礎(chǔ)概念回顧排列組合是組合數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是概率統(tǒng)計(jì)、離散數(shù)學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ)工具。其本質(zhì)是研究“從有限集合中選取元素并排列/組合”的計(jì)數(shù)問題，關(guān)鍵區(qū)別在于是否考慮順序。（一）核心定義與公式1.排列（有序）：從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個（\(m\leqn\)），按照一定順序排成一列，記為\(A(n,m)\)或\(P(n,m)\)，公式為：\[A(n,m)=n\times(n-1)\times\cdots\times(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\]當(dāng)\(m=n\)時(shí)，稱為全排列，記為\(n!\)（\(n!=n\times(n-1)\times\cdots\times1\)）。2.組合（無序）：從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個（\(m\leqn\)），組成一組（不考慮順序），記為\(C(n,m)\)或\(\binom{n}{m}\)，公式為：\[C(n,m)=\frac{A(n,m)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\]（二）關(guān)鍵性質(zhì)與區(qū)別組合數(shù)性質(zhì)：（1）對稱性：\(C(n,m)=C(n,n-m)\)（選取\(m\)個元素等價(jià)于排除\(n-m\)個元素）；（2）遞推性：\(C(n,m)+C(n,m-1)=C(n+1,m)\)（是否包含某一特定元素的分類討論）；（3）邊界條件：\(C(n,0)=C(n,n)=1\)。排列與組合的區(qū)別：排列強(qiáng)調(diào)“順序”（如排隊(duì)、編號），組合強(qiáng)調(diào)“集合”（如選組員、選物品）。例如，從3人中選2人排列有\(zhòng)(A(3,2)=6\)種（\(AB,BA,AC,CA,BC,CB\)），而組合只有\(zhòng)(C(3,2)=3\)種（\(AB,AC,BC\)）。二、經(jīng)典題型分類解析排列組合的難點(diǎn)在于處理限制條件（如相鄰、不相鄰、定序等）。以下是高頻題型及對應(yīng)解法，結(jié)合典型例題說明。（一）相鄰問題：捆綁法適用場景：要求某些元素必須相鄰（如“甲乙必須排在一起”）。解題步驟：1.將相鄰元素捆綁為一個“整體”（視為一個元素）；2.計(jì)算整體與其他元素的排列數(shù)；3.乘以捆綁內(nèi)部元素的排列數(shù)（相鄰元素之間有順序）。例題：5人排成一排，甲乙必須相鄰，有多少種排法？解析：捆綁甲乙為一個整體，此時(shí)共有\(zhòng)(5-1=4\)個元素（整體+其他3人）；4個元素的排列數(shù)為\(A(4,4)=24\)；甲乙內(nèi)部的排列數(shù)為\(A(2,2)=2\)；總排法：\(24\times2=48\)種。（二）不相鄰問題：插空法適用場景：要求某些元素不能相鄰（如“甲乙不能排在一起”）。解題步驟：1.先排無限制條件的元素，形成若干“空位”；2.將不相鄰元素插入空位中（空位數(shù)量≥不相鄰元素?cái)?shù)量）。例題：5人排成一排，甲乙不相鄰，有多少種排法？解析：先排其他3人，排列數(shù)為\(A(3,3)=6\)，形成\(3+1=4\)個空位（如\(_\circ\_\circ\_\circ_\)，\(\circ\)表示已排元素，\(_\)表示空位）；從4個空位中選2個插入甲乙，排列數(shù)為\(A(4,2)=12\)；總排法：\(6\times12=72\)種。（三）分組分配問題：區(qū)分均勻與非均勻適用場景：將元素分成若干組（如“分書給人”“分球入盒”），關(guān)鍵是判斷分組是否均勻（各組元素?cái)?shù)量是否相同）及是否分配給不同對象（如“分給甲、乙、丙”vs“分成三組”）。1.非均勻分組（各組數(shù)量不同）解法：直接選取，無需除以階乘（因各組數(shù)量不同，分組無重復(fù)）。例題：6本不同的書分成三組，一組1本，一組2本，一組3本，有多少種分法？解析：選1本：\(C(6,1)=6\)；從剩余5本選2本：\(C(5,2)=10\)；剩余3本為一組：\(C(3,3)=1\)；總分組數(shù)：\(6\times10\times1=60\)種（若分配給3人，需乘以\(A(3,3)=6\)，得\(60\times6=360\)種）。2.均勻分組（各組數(shù)量相同）解法：選取后需除以組數(shù)的階乘（因各組數(shù)量相同，分組有重復(fù)）。例題：6本不同的書分成三組，每組2本，有多少種分法？解析：選2本：\(C(6,2)=15\)；從剩余4本選2本：\(C(4,2)=6\)；剩余2本為一組：\(C(2,2)=1\)；因三組數(shù)量相同，分組重復(fù)了\(A(3,3)=6\)次（如\(\{AB,CD,EF\}\)與\(\{CD,AB,EF\}\)視為同一分組）；總分組數(shù)：\(\frac{15\times6\times1}{6}=15\)種（若分配給3人，需乘以\(A(3,3)=6\)，得\(15\times6=90\)種）。（四）定序問題：除法或直接選位置適用場景：要求某些元素的順序固定（如“甲必須在乙左邊”“身高從低到高排列”）。解題步驟：1.除法：總排列數(shù)除以定序元素的排列數(shù)（定序元素的順序無需額外排列）；2.直接選位置：選定序元素的位置，剩余元素自由排列。例題：5人排成一排，甲必須在乙左邊（不一定相鄰），有多少種排法？解析：方法一（除法）：總排列數(shù)\(A(5,5)=120\)，甲在乙左邊與右邊的情況各占一半，故\(120\div2=60\)種；方法二（直接選位置）：從5個位置中選2個給甲和乙（甲左乙右），剩余3人排列，即\(C(5,2)\timesA(3,3)=10\times6=60\)種。（五）多元素排列：重復(fù)元素公式適用場景：排列中包含重復(fù)元素（如“用字母A,A,B,B,C排列”）。公式：\(n\)個元素中有\(zhòng)(k_1\)個重復(fù)元素\(a_1\)，\(k_2\)個重復(fù)元素\(a_2\)，…，\(k_m\)個重復(fù)元素\(a_m\)（\(k_1+k_2+\cdots+k_m=n\)），排列數(shù)為：\[\frac{n!}{k_1!k_2!\cdotsk_m!}\]例題：用數(shù)字1,1,2,2,3組成不同的五位數(shù)，有多少個？解析：5個數(shù)字中有2個1、2個2、1個3，排列數(shù)為\(\frac{5!}{2!2!1!}=30\)個。（六）組合選?。汉拗茥l件適用場景：從集合中選取元素，需滿足“至少”“至多”或“特定元素”等條件（如“選3人，至少1個女生”）。解法：1.直接法：分類討論滿足條件的所有情況；2.間接法：總選法減去不滿足條件的選法（常用于“至少”類問題）。例題：從5個男生和4個女生中選3人，至少1個女生，有多少種選法？解析：方法一（直接法）：1女2男+2女1男+3女0男，即\(C(4,1)C(5,2)+C(4,2)C(5,1)+C(4,3)C(5,0)=4\times10+6\times5+4\times1=74\)種；方法二（間接法）：總選法\(C(9,3)=84\)，減去全男生的選法\(C(5,3)=10\)，得\(84-10=74\)種。三、專項(xiàng)訓(xùn)練題庫以下題目覆蓋上述所有題型，分為基礎(chǔ)題（鞏固方法）和提高題（綜合應(yīng)用），答案附后。（一）基礎(chǔ)題1.3個男生和2個女生排成一排，男生必須相鄰，有多少種排法？（相鄰問題）2.4個不同的球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，有多少種放法？（分組分配）3.從6個不同的元素中選4個，其中元素A必須選，元素B不能選，有多少種選法？（組合選取）4.5個元素排成一排，其中元素甲、乙、丙的順序固定（甲→乙→丙），有多少種排法？（定序問題）5.用字母A,A,B,C,C排列成不同的字符串，有多少個？（多元素排列）（二）提高題1.7人排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種排法？（限制位置）2.從5個男生和5個女生中選4人，要求男女比例為1:3或3:1，有多少種選法？（組合選取）3.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，甲至少1本，乙至少1本，丙至少2本，有多少種分法？（分組分配）4.5人排成一排，甲乙相鄰且丙不站兩端，有多少種排法？（綜合相鄰+限制位置）（三）答案基礎(chǔ)題：1.\(A(3,3)\timesA(3,3)=6\times6=36\)；2.\(C(4,2)\timesA(3,3)=6\times6=36\)（先選2個球捆綁，再分配給3個盒子）；3.\(C(6-2,4-1)=C(4,3)=4\)（必須選A，排除B，從剩余4個選3個）；4.\(A(5,5)\divA(3,3)=120\div6=20\)；5.\(5!\div(2!2!)=30\)。提高題：1.間接法：\(A(7,7)-2A(6,6)+A(5,5)=5040-1440+120=3720\)；2.\(C(5,1)C(5,3)+C(5,3)C(5,1)=5\times10+10\times5=100\)；3.分類討論：丙2本（甲1乙3、甲2乙2、甲3乙1）+丙3本（甲1乙2、甲2乙1）+丙4本（甲1乙1），共\(60+90+60+60+60+30=360\)；4.捆綁甲乙為整體，共4個元素，丙不站兩端：\(A(2,2)\times