2025年統(tǒng)計學期末考試：卡方檢驗與統(tǒng)計推斷的數(shù)據(jù)分析試題試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的。請將正確選項字母填在答題卡相應位置上。）1.卡方檢驗的基本思想是（）。A.比較樣本頻率與理論頻率的差異B.檢驗樣本均值與總體均值的差異C.檢驗樣本方差與總體方差的差異D.比較樣本中位數(shù)與總體中位數(shù)的差異2.在卡方檢驗中，自由度等于（）。A.樣本量減去1B.組數(shù)減去1C.變量個數(shù)減去1D.以上都不對3.當卡方檢驗的p值小于顯著性水平時，應該（）。A.拒絕原假設B.接受原假設C.無法判斷D.重新抽樣檢驗4.在卡方檢驗中，如果某個單元格的期望頻數(shù)小于5，應該（）。A.直接進行檢驗B.增加樣本量C.使用費舍爾精確檢驗D.放棄檢驗5.卡方檢驗適用于（）。A.分類數(shù)據(jù)的分析B.連續(xù)數(shù)據(jù)的分析C.線性回歸分析D.時間序列分析6.在卡方檢驗中，如果原假設為真，那么卡方統(tǒng)計量的分布是（）。A.正態(tài)分布B.t分布C.卡方分布D.F分布7.在卡方檢驗中，如果原假設為假，那么卡方統(tǒng)計量的值通常會（）。A.變得很小B.變得很大C.保持不變D.無法預測8.卡方檢驗的假設前提包括（）。A.樣本隨機性B.數(shù)據(jù)獨立性C.數(shù)據(jù)正態(tài)性D.以上都是9.在卡方檢驗中，如果拒絕原假設，那么意味著（）。A.樣本頻率與理論頻率存在顯著差異B.樣本頻率與理論頻率沒有顯著差異C.樣本數(shù)據(jù)不符合卡方分布D.樣本數(shù)據(jù)符合卡方分布10.卡方檢驗的p值表示的是（）。A.在原假設為真的情況下，觀察到當前樣本結果的概率B.在原假設為真的情況下，觀察到更極端樣本結果的概率C.在原假設為假的情況下，觀察到當前樣本結果的概率D.在原假設為假的情況下，觀察到更極端樣本結果的概率11.在卡方檢驗中，如果p值小于0.05，那么應該（）。A.拒絕原假設B.接受原假設C.增加樣本量D.無法判斷12.卡方檢驗的應用場景包括（）。A.交叉表分析B.獨立性檢驗C.同質性檢驗D.以上都是13.在卡方檢驗中，如果某個單元格的期望頻數(shù)大于等于5，那么（）。A.可以直接進行檢驗B.需要增加樣本量C.需要使用費舍爾精確檢驗D.需要放棄檢驗14.卡方檢驗的局限性包括（）。A.對樣本量有要求B.對數(shù)據(jù)類型有要求C.對期望頻數(shù)有要求D.以上都是15.在卡方檢驗中，如果原假設為真，那么卡方統(tǒng)計量的期望值是（）。A.0B.1C.自由度D.樣本量16.在卡方檢驗中，如果原假設為假，那么卡方統(tǒng)計量的期望值通常會（）。A.變得很小B.變得很大C.保持不變D.無法預測17.卡方檢驗的公式是（）。A.χ2=Σ((O-E)2/E)B.χ2=Σ((O-E)2/E)C.χ2=Σ((O-E)2/E)D.χ2=Σ((O-E)2/E)18.在卡方檢驗中，如果拒絕原假設，那么意味著（）。A.樣本頻率與理論頻率存在顯著差異B.樣本頻率與理論頻率沒有顯著差異C.樣本數(shù)據(jù)不符合卡方分布D.樣本數(shù)據(jù)符合卡方分布19.卡方檢驗的p值表示的是（）。A.在原假設為真的情況下，觀察到當前樣本結果的概率B.在原假設為真的情況下，觀察到更極端樣本結果的概率C.在原假設為假的情況下，觀察到當前樣本結果的概率D.在原假設為假的情況下，觀察到更極端樣本結果的概率20.在卡方檢驗中，如果p值小于0.05，那么應該（）。A.拒絕原假設B.接受原假設C.增加樣本量D.無法判斷二、簡答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案寫在答題卡相應位置上。）1.簡述卡方檢驗的基本原理。2.解釋卡方檢驗中的自由度是什么意思。3.描述卡方檢驗的假設前提。4.列舉卡方檢驗的三個主要應用場景。5.說明卡方檢驗的局限性有哪些。三、計算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。請將答案寫在答題卡相應位置上。）1.某研究人員想了解不同教育水平（高、中、低）的居民對某項政策的支持率是否存在差異。隨機抽取了300名居民進行調查，結果如下表所示。假設顯著性水平為0.05，請用卡方檢驗分析不同教育水平的居民對政策的支持率是否存在顯著差異。|支持率|高教育水平|中教育水平|低教育水平||--------|------------|------------|------------||支持|60|70|50||不支持|40|30|60|2.某醫(yī)生想比較兩種治療方法（A和B）對某種疾病的治療效果是否存在差異。隨機抽取了100名患者，其中50名接受治療A，50名接受治療B。治療結果如下表所示。假設顯著性水平為0.01，請用卡方檢驗分析兩種治療方法的治療效果是否存在顯著差異。|治療結果|治療A|治療B||----------|-------|-------||治愈|20|30||未治愈|30|20|3.某公司想了解不同部門（銷售部、市場部、技術部）的員工對某項新政策的接受程度是否存在差異。隨機抽取了200名員工進行調查，結果如下表所示。假設顯著性水平為0.10，請用卡方檢驗分析不同部門的員工對政策的接受程度是否存在顯著差異。|接受程度|銷售部|市場部|技術部||----------|--------|--------|--------||接受|50|40|30||不接受|30|50|60|四、分析題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請將答案寫在答題卡相應位置上。）1.某研究人員進行了一項調查，想了解某城市居民對公共交通的滿意度是否與年齡存在關聯(lián)。調查結果如下表所示。假設顯著性水平為0.05，請用卡方檢驗分析居民對公共交通的滿意度是否與年齡存在關聯(lián)。|滿意度|18-30歲|31-45歲|46-60歲|60歲以上||--------|---------|---------|---------|---------||滿意|30|40|50|40||不滿意|70|60|50|60|2.某公司進行了一項調查，想了解不同性別（男、女）的消費者對某款新產(chǎn)品的購買意愿是否存在差異。調查結果如下表所示。假設顯著性水平為0.01，請用卡方檢驗分析不同性別的消費者對產(chǎn)品的購買意愿是否存在顯著差異。|購買意愿|男|女||----------|------|------||愿意購買|50|60||不愿意購買|50|40|五、論述題（本大題共1小題，共10分。請將答案寫在答題卡相應位置上。）結合實際生活中的例子，談談卡方檢驗在實際研究中的應用價值及其局限性。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：卡方檢驗的基本思想是比較樣本頻率與理論頻率的差異。它通過計算觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異來檢驗樣本數(shù)據(jù)是否與某個理論分布（如某個比例或分布）相符。2.A解析：在卡方檢驗中，自由度等于樣本量減去1。自由度是卡方分布的一個重要參數(shù)，它決定了卡方統(tǒng)計量的分布形狀。3.A解析：當卡方檢驗的p值小于顯著性水平時，意味著觀測到的樣本結果在原假設為真的情況下發(fā)生的概率很小，因此我們有足夠的證據(jù)拒絕原假設。4.C解析：在卡方檢驗中，如果某個單元格的期望頻數(shù)小于5，直接使用卡方檢驗可能會導致結果不準確。這時，可以使用費舍爾精確檢驗來避免這個問題。5.A解析：卡方檢驗適用于分類數(shù)據(jù)的分析。它主要用于檢驗兩個或多個分類變量之間是否存在關聯(lián)，或者樣本頻率是否與某個理論分布相符。6.C解析：在卡方檢驗中，如果原假設為真，那么卡方統(tǒng)計量的分布是卡方分布?？ǚ椒植际且环N連續(xù)概率分布，其形狀取決于自由度。7.B解析：在卡方檢驗中，如果原假設為假，那么卡方統(tǒng)計量的值通常會變得很大。這是因為當原假設不成立時，觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異會增大，導致卡方統(tǒng)計量增大。8.D解析：卡方檢驗的假設前提包括樣本隨機性、數(shù)據(jù)獨立性和數(shù)據(jù)正態(tài)性。這些假設是卡方檢驗有效性的重要保證。9.A解析：在卡方檢驗中，如果拒絕原假設，那么意味著樣本頻率與理論頻率存在顯著差異。這表明觀測到的樣本結果與理論預期之間存在顯著的不同。10.A解析：卡方檢驗的p值表示的是在原假設為真的情況下，觀察到當前樣本結果的概率。p值越小，說明在原假設為真的情況下觀察到當前樣本結果的概率越小，拒絕原假設的證據(jù)越強。11.A解析：在卡方檢驗中，如果p值小于0.05，那么應該拒絕原假設。0.05是一個常用的顯著性水平，當p值小于0.05時，我們通常認為觀測到的樣本結果具有統(tǒng)計學意義。12.D解析：卡方檢驗的應用場景包括交叉表分析、獨立性和同質性檢驗。它可以用于檢驗兩個分類變量之間是否存在關聯(lián)，或者樣本頻率是否與某個理論分布相符。13.A解析：在卡方檢驗中，如果某個單元格的期望頻數(shù)大于等于5，可以直接進行檢驗。這是因為在期望頻數(shù)較大時，卡方統(tǒng)計量的分布近似于卡方分布。14.D解析：卡方檢驗的局限性包括對樣本量有要求、對數(shù)據(jù)類型有要求和對期望頻數(shù)有要求。這些局限性是卡方檢驗在應用時需要注意的問題。15.C解析：在卡方檢驗中，如果原假設為真，那么卡方統(tǒng)計量的期望值是自由度。這是因為卡方分布的期望值等于其自由度。16.B解析：在卡方檢驗中，如果原假設為假，那么卡方統(tǒng)計量的期望值通常會變得很大。這是因為當原假設不成立時，觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異會增大，導致卡方統(tǒng)計量增大。17.A解析：卡方檢驗的公式是χ2=Σ((O-E)2/E)。其中，O表示觀測頻數(shù)，E表示期望頻數(shù)。這個公式計算了觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異的平方和除以期望頻數(shù)。18.A解析：在卡方檢驗中，如果拒絕原假設，那么意味著樣本頻率與理論頻率存在顯著差異。這表明觀測到的樣本結果與理論預期之間存在顯著的不同。19.A解析：卡方檢驗的p值表示的是在原假設為真的情況下，觀察到當前樣本結果的概率。p值越小，說明在原假設為真的情況下觀察到當前樣本結果的概率越小，拒絕原假設的證據(jù)越強。20.A解析：在卡方檢驗中，如果p值小于0.05，那么應該拒絕原假設。0.05是一個常用的顯著性水平，當p值小于0.05時，我們通常認為觀測到的樣本結果具有統(tǒng)計學意義。二、簡答題答案及解析1.卡方檢驗的基本原理是通過比較樣本頻率與理論頻率之間的差異來檢驗樣本數(shù)據(jù)是否與某個理論分布相符。具體來說，卡方檢驗計算了觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異的平方和除以期望頻數(shù)，得到一個卡方統(tǒng)計量。然后，根據(jù)卡方分布和自由度，計算p值，判斷是否拒絕原假設。2.卡方檢驗中的自由度是指卡方分布的形狀參數(shù)，它決定了卡方統(tǒng)計量的分布形狀。自由度的大小取決于樣本量和分類變量的數(shù)量。自由度的計算公式為：自由度=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)。自由度越小，卡方分布越集中；自由度越大，卡方分布越分散。3.卡方檢驗的假設前提包括樣本隨機性、數(shù)據(jù)獨立性和數(shù)據(jù)正態(tài)性。樣本隨機性是指樣本是從總體中隨機抽取的，沒有系統(tǒng)性偏差。數(shù)據(jù)獨立性是指樣本中的每個觀測值是獨立的，不受其他觀測值的影響。數(shù)據(jù)正態(tài)性是指分類變量的分布符合正態(tài)分布，但卡方檢驗對數(shù)據(jù)正態(tài)性的要求相對較寬松。4.卡方檢驗的三個主要應用場景包括交叉表分析、獨立性和同質性檢驗。交叉表分析用于檢驗兩個或多個分類變量之間是否存在關聯(lián)，例如，檢驗性別與購買意愿之間的關系。獨立性檢驗用于檢驗兩個分類變量之間是否存在關聯(lián)，例如，檢驗吸煙與肺癌之間的關系。同質性檢驗用于檢驗不同組的樣本頻率是否相同，例如，檢驗不同地區(qū)的選民對某項政策的支持率是否相同。5.卡方檢驗的局限性包括對樣本量有要求、對數(shù)據(jù)類型有要求和對期望頻數(shù)有要求。對樣本量的要求是指樣本量不能太小，否則卡方統(tǒng)計量的分布可能不近似于卡方分布。對數(shù)據(jù)類型的要求是指卡方檢驗適用于分類數(shù)據(jù)，不適用于連續(xù)數(shù)據(jù)。對期望頻數(shù)的要求是指某些單元格的期望頻數(shù)不能太小，否則卡方檢驗的結果可能不準確。三、計算題答案及解析1.解析：首先，計算每個單元格的期望頻數(shù)。期望頻數(shù)的計算公式為：期望頻數(shù)=(行總和×列總和)/總樣本量。然后，計算卡方統(tǒng)計量：χ2=Σ((O-E)2/E)。最后，根據(jù)自由度和卡方分布表，找到p值，判斷是否拒絕原假設。計算期望頻數(shù)：支持高教育水平：(120×150)/300=60支持中教育水平：(120×150)/300=60支持低教育水平：(120×150)/300=60不支持高教育水平：(180×150)/300=90不支持中教育水平：(180×150)/300=90不支持低教育水平：(180×150)/300=90計算卡方統(tǒng)計量：χ2=(60-60)2/60+(70-60)2/60+(50-60)2/60+(40-90)2/90+(30-90)2/90+(60-90)2/90=0+1+1+25+25+25=77根據(jù)自由度(3-1)×(2-1)=2和卡方分布表，找到p值，假設p值小于0.05，拒絕原假設。因此，不同教育水平的居民對政策的支持率存在顯著差異。2.解析：首先，計算每個單元格的期望頻數(shù)。期望頻數(shù)的計算公式為：期望頻數(shù)=(行總和×列總和)/總樣本量。然后，計算卡方統(tǒng)計量：χ2=Σ((O-E)2/E)。最后，根據(jù)自由度和卡方分布表，找到p值，判斷是否拒絕原假設。計算期望頻數(shù)：治愈治療A：(50×50)/100=25治愈治療B：(50×50)/100=25未治愈治療A：(50×50)/100=25未治愈治療B：(50×50)/100=25計算卡方統(tǒng)計量：χ2=(20-25)2/25+(30-25)2/25+(30-25)2/25+(20-25)2/25=1+1+1+1=4根據(jù)自由度(2-1)×(2-1)=1和卡方分布表，找到p值，假設p值大于0.01，不能拒絕原假設。因此，兩種治療方法的治療效果不存在顯著差異。3.解析：首先，計算每個單元格的期望頻數(shù)。期望頻數(shù)的計算公式為：期望頻數(shù)=(行總和×列總和)/總樣本量。然后，計算卡方統(tǒng)計量：χ2=Σ((O-E)2/E)。最后，根據(jù)自由度和卡方分布表，找到p值，判斷是否拒絕原假設。計算期望頻數(shù)：接受銷售部：(100×60)/200=30接受市場部：(100×60)/200=30接受技術部：(100×60)/200=30不接受銷售部：(100×140)/200=70不接受市場部：(100×140)/200=70不接受技術部：(100×140)/200=70計算卡方統(tǒng)計量：χ2=(50-30)2/30+(40-30)2/30+(30-30)2/30+(30-70)2/70+(50-70)2/70+(60-70)2/70=4+1+0+16+4+1=26根據(jù)自由度(3-1)×(2-1)=2和卡方分布表，找到p值，假設p值小于0.10，拒絕原假設。因此，不同部門的員工對政策的接受程度存在顯著差異。四、分析題答案及解析1.解析：首先，計算每個單元格的期望頻數(shù)。期望頻數(shù)的計算公式為：期望頻數(shù)=(行總和×列總和)/總樣本量。然后，計算卡方統(tǒng)計量：χ2=Σ((O-E)2/E)。最后，根據(jù)自由度和卡方分布表，找到p值，判斷是否拒絕原假設。計算期望頻數(shù)：滿意18-30歲：(120×120)/400=36滿意31-45歲：(120×120)/400=36滿意46-60歲：(120×120)/400=36滿意60歲以上：(120×120)/400=36不滿意18-30歲：(280×120)/400=84不滿意31-45歲：(280×120)/400=84不滿意46-60歲：(280×120)/400=84不滿意60歲以上：(280×120)/400=84計算卡方統(tǒng)計量：χ2=(30-36)2/36+(40-36)2/36+(50-36)2/36+(40-36)2/36+(70-84)2/84+(60-84)2/84+(50-84)2/84+(60-84)2/84=1+1+4+1+9+16+16+16=64根據(jù)自由度(4-1)×(4-1)=9和卡方分布表，找到p值，假設p值小于0.05，拒絕原假設。因此，居民對公共交通的滿意度與年齡存在關聯(lián)。2.解析：首先，計算每個單元格的期望頻數(shù)。期望頻數(shù)的計算公式為：期望頻數(shù)=(行總和×列總和)/總樣本量。然后，計算卡方統(tǒng)計量：χ2=Σ((O-E)2/E)。最后，根據(jù)自由度和卡方分布表，找到p值，判斷是否拒絕原假設。計算期望頻數(shù)：愿意購買男：(100×110)/200=55愿意購買女：(100