一、集合與常用邏輯用語（一）集合的概念與運算1.知識點總結（1）集合的定義：由確定的、互異的對象組成的整體，記作\(A,B,C\)等；元素與集合的關系為屬于（∈）或不屬于（?）。（2）集合的表示方法：列舉法：如\(\{1,2,3\}\)（適用于有限集或有規(guī)律的無限集）；描述法：如\(\{x\midx>0\}\)（用元素的共同特征表示）；韋恩圖（Venn圖）：用圖形表示集合間的關系。（3）集合的基本關系：子集（?）：若\(x\inA\)則\(x\inB\)，稱\(A\)是\(B\)的子集；真子集（?）：\(A\subseteqB\)且\(B\)中存在元素不屬于\(A\)；相等（=）：\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)。（4）集合的基本運算：交集（\(A\capB\)）：\(\{x\midx\inA\text{且}x\inB\}\)；并集（\(A\cupB\)）：\(\{x\midx\inA\text{或}x\inB\}\)；（5）運算性質(zhì)：交換律：\(A\capB=B\capA\)，\(A\cupB=B\cupA\)；結合律：\((A\capB)\capC=A\cap(B\capC)\)，\((A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)\)；2.典型練習題（1）已知集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\midx>1\}\)，求\(A\capB\)和\(A\cupB\)。解：解方程\(x^2-3x+2=0\)得\(x=1\)或\(x=2\)，故\(A=\{1,2\}\)。\(A\capB=\{2\}\)（屬于\(A\)且大于1的元素）；\(A\cupB=\{x\midx\geq1\}\)（屬于\(A\)或大于1的元素）。二、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)（一）函數(shù)的概念1.知識點總結（1）函數(shù)的定義：設\(A,B\)為非空數(shù)集，若存在對應關系\(f\)，使得對\(A\)中任意\(x\)，\(B\)中必有唯一\(f(x)\)與之對應，則稱\(f:A\toB\)為函數(shù)，記作\(y=f(x)\)，其中\(zhòng)(A\)為定義域，\(\{f(x)\midx\inA\}\)為值域（\(\subseteqB\)）。（2）定義域的求法：分式：分母不為0；偶次根式：被開方數(shù)非負；對數(shù)：真數(shù)>0，底數(shù)>0且≠1；實際問題：符合實際意義。（3）函數(shù)的表示方法：解析法（如\(y=2x+1\)）、列表法（如表格）、圖像法（如坐標系中的曲線）。2.典型練習題（1）求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域。解：需滿足\(\begin{cases}x-1\geq0\\x-2\neq0\end{cases}\)，即\(x\geq1\)且\(x\neq2\)，故定義域為\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。（2）已知函數(shù)\(f(x)=2x+1\)，\(x\in\{1,2,3\}\)，求值域。解：計算得\(f(1)=3\)，\(f(2)=5\)，\(f(3)=7\)，故值域為\(\{3,5,7\}\)。（二）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性1.知識點總結（1）單調(diào)性：定義：設函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對任意\(x_1<x_2\inI\)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），則稱\(f(x)\)在\(I\)上遞增（或遞減）。證明步驟：取值（\(x_1<x_2\)）→作差（\(f(x_2)-f(x_1)\)）→變形（因式分解、配方等）→定號（判斷差的符號）→結論。（2）奇偶性：奇函數(shù)：\(f(-x)=-f(x)\)，圖像關于原點對稱；偶函數(shù)：\(f(-x)=f(x)\)，圖像關于\(y\)軸對稱。2.典型練習題（1）用定義證明函數(shù)\(f(x)=x^2+1\)在\([0,+\infty)\)上遞增。證明：任取\(0\leqx_1<x_2\)，則\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2^2+1)-(x_1^2+1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)\)。因\(x_2>x_1\geq0\)，故\(x_2-x_1>0\)，\(x_2+x_1>0\)，故\(f(x_2)-f(x_1)>0\)，即\(f(x_2)>f(x_1)\)。因此，\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上遞增。（2）判斷函數(shù)\(f(x)=x^3-x\)的奇偶性。解：定義域為\(\mathbb{R}\)，計算\(f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x)\)，故\(f(x)\)為奇函數(shù)。三、三角函數(shù)（一）任意角與弧度制1.知識點總結（1）任意角：射線繞端點旋轉形成的圖形，分為正角（逆時針）、負角（順時針）、零角（不旋轉）。（2）象限角：終邊在第\(k\)象限的角（\(k=1,2,3,4\)），如第一象限角：\(2k\pi<\alpha<2k\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。（3）弧度制：\(1\)弧度（\(1\)rad）為半徑長的弧所對的圓心角，\(180^\circ=\pi\)rad，\(1^\circ=\frac{\pi}{180}\)rad，\(1\)rad=\(\frac{180}{\pi}\)°≈57.3°。（4）弧長與扇形面積：弧長：\(l=|\alpha|r\)（\(\alpha\)為弧度數(shù)，\(r\)為半徑）；扇形面積：\(S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}|\alpha|r^2\)。2.典型練習題（1）將\(240^\circ\)化為弧度，將\(\frac{3\pi}{4}\)rad化為角度。解：\(240^\circ=240\times\frac{\pi}{180}=\frac{4\pi}{3}\)rad；\(\frac{3\pi}{4}\)rad=\(\frac{3\pi}{4}\times\frac{180}{\pi}=135^\circ\)。（2）已知扇形半徑為\(3\)，弧長為\(2\pi\)，求圓心角（弧度數(shù)）和面積。解：圓心角\(\alpha=\frac{l}{r}=\frac{2\pi}{3}\)rad；面積\(S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\times2\pi\times3=3\pi\)。（二）三角函數(shù)的定義與誘導公式1.知識點總結（1）三角函數(shù)的定義：設角\(\alpha\)終邊上一點\(P(x,y)\)，\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)，則：\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)（正弦），\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)（余弦），\(\tan\alpha=\frac{y}{x}\)（正切，\(x\neq0\)）。（2）誘導公式（記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”）：\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\)；\(\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)；\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)。2.典型練習題（1）已知角\(\alpha\)終邊上一點\(P(1,\sqrt{3})\)，求\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\tan\alpha\)。解：\(r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2\)，故\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\tan\alpha=\sqrt{3}\)。（2）計算\(\sin\frac{5\pi}{6}\)、\(\cos\frac{3\pi}{4}\)、\(\tan(-\frac{\pi}{3})\)。解：\(\sin\frac{5\pi}{6}=\sin(\pi-\frac{\pi}{6})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)；\(\cos\frac{3\pi}{4}=\cos(\pi-\frac{\pi}{4})=-\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)；\(\tan(-\frac{\pi}{3})=-\tan\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}\)。四、數(shù)列（一）等差數(shù)列1.知識點總結（1）定義：從第2項起，每一項與前一項的差為常數(shù)（公差\(d\)），即\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)）。（2）通項公式：\(a_n=a_1+(n-1)d\)（\(a_1\)為首項）。（3）前\(n\)項和公式：\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。（4）性質(zhì)：若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)；\(S_n\)為關于\(n\)的二次函數(shù)（無常數(shù)項），即\(S_n=An^2+Bn\)（\(A,B\)為常數(shù)）。2.典型練習題（1）已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求\(a_6\)和\(S_6\)。解：\(a_6=1+(6-1)\times2=11\)；\(S_6=\frac{6\times(1+11)}{2}=36\)（或\(S_6=6\times1+\frac{6\times5}{2}\times2=36\)）。（2）等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_2=3\)，\(S_5=25\)，求\(a_1\)和\(d\)。解：由通項公式得\(a_2=a_1+d=3\)；由前\(n\)項和公式得\(S_5=5a_1+\frac{5\times4}{2}d=5a_1+10d=25\)，化簡得\(a_1+2d=5\)。聯(lián)立方程組\(\begin{cases}a_1+d=3\\a_1+2d=5\end{cases}\)，解得\(d=2\)，\(a_1=1\)。五、不等式（一）一元二次不等式1.知識點總結（1）定義：形如\(ax^2+bx+c>0\)（或<0、≥0、≤0）的不等式（\(a\neq0\)）。（2）解法步驟：求對應方程\(ax^2+bx+c=0\)的根（用求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)或因式分解）；根據(jù)二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的開口方向確定解集：\(a>0\)（開口向上）：\(ax^2+bx+c>0\)的解集為\(\{x\midx<x_1\text{或}x>x_2\}\)（\(x_1<x_2\)）；\(a<0\)（開口向下）：解集相反。2.典型練習題（1）解不等式\(x^2-4x+3<0\)。解：解方程\(x^2-4x+3=0\)得\(x=1\)或\(x=3\)；二次函數(shù)開口向上，故不等式解集為\(\{x\mid1<x<3\}\)。（2）解不等式\(-x^2+2x+3\geq0\)。解：兩邊乘\(-1\)（不等號方向改變）得\(x^2-2x-3\leq0\)；解方程\(x^2-2x-3=0\)得\(x=-1\)或\(x=3\)；二次函數(shù)開口向上，故不等式解集為\(\{x\mid-1\leqx\leq3\}\)。六、立體幾何初步（一）空間幾何體的體積與表面積1.知識點總結（1）棱柱：底面為多邊形，側棱平行且相等，體積\(V=Sh\)（\(S\)為底面積，\(h\)為高）。（2）棱錐：底面為多邊形，側面為三角形，體積\(V=\frac{1}{3}Sh\)（\(S\)為底面積，\(h\)為高）。（3）圓柱：底面為圓，側棱垂直底面，體積\(V=\pir^2h\)（\(r\)為底面半徑，\(h\)為高），側面積\(S_{\text{側}}=2\pirh\)，表面積\(S=2\pir(r+h)\)。（4）圓錐：底面為圓，頂點在底面正上方，體積\(V=\frac{1}{3}\pir^2h\)，側面積\(S_{\text{側}}=\pirl\)（\(l\)為母線長，\(l=\sqrt{r^2+h^2}\)），表面積\(S=\pir(r+l)\)。（5）球：體積\(V=\frac{4}{3}\piR^3\)（\(R\)為半徑），表面積\(S=4\piR^2\)。2.典型練習題（1）已知直棱柱的底面是邊長為2的正方形，高為3，求體積。解：底面積\(S=2\times2=4\)，體積\(V=Sh=4\times3=12\)。（2）已知圓錐的底面半徑為1，高為2，求體積和側面積（結果保留\(\pi\)）。解：體積\(V=\frac{1}{3}\pi\times1^2\times2=\frac{2\pi}{3}\)；母線長\(l=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，側面積\(S_{\text{側}}=\pi\times1\times\sqrt{5}=\pi\sqrt{5}\)。（二）空間點線面的位置關系1.知識點總結（1）線面平行：平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與平面平行（判定定理）；（2）線面垂直：一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與平面垂直（判定定理）；（3）面面平行：一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行（判定定理）；（4）面面垂直：一個平面過另一個平面的垂線，則兩平面垂直（判定定理）。2.典型練習題（1）如圖，在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，證明\(A_1B\parallel\)平面\(ACD_1\)。證明：連接\(BD\)交\(AC\)于\(O\)，則\(O\)為\(BD\)中點；連接\(D_1O\)，在\(\triangleBD_1D\)中，\(A_1B\)為\(D_1D\)的平行線（\(A_1B\parallelD_1D\)且\(A_1B=D_1D\)），\(O\)為\(BD\)中點，故\(D_1O\parallelA_1B\)；因\(D_1O\subset\)平面\(ACD_1\)，\(A_1B\not\subset\)平面\(ACD_1\)，故\(A_1B\parallel\)平面\(ACD_1\)。七、平面解析幾何初步（一）直線與方程1.知識點總結（1）傾斜角與斜率：傾斜角\(\alpha\)：直線與\(x\)軸正方向所成的最小正角（\(0\leq\alpha<\pi\)）；斜率\(k=\tan\alpha\)（\(\alpha\neq\frac{\pi}{2}\)），過兩點\(P_1(x_1,y_1)\)、\(P_2(x_2,y_2)\)的斜率\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)（\(x_1\neqx_2\)）。（2）直線方程：點斜式：\(y-y_1=k(x-x_1)\)（過點\((x_1,y_1)\)，斜率\(k\)）；斜截式：\(y=kx+b\)（\(k\)為斜率，\(b\)為\(y\)軸截距）；一般式：\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時為0）。（3）兩直線位置關系：平行：\(k_1=k_2\)且\(b_1\neqb_2\)（斜截式），或\(A_1B_2=A_2B_1\)且\(A_1C_2\neqA_2C_1\)（一般式）；垂直：\(k_1k_2=-1\)（斜截式，\(k_1,k_2\)存在），或\(A_1A_2+B_1B_2=0\)（一般式）。2.典型練習題（1）求過點\((2,-1)\)且斜率為\(-1\)的直線方程（點斜式），并化為一般式。解：點斜式方程為\(y-(-1)=-1(x-2)\)，即\(y+1=-x+2\)；化為一般式：\(x+y-1=0\)。（2）判斷直線\(l_1:3x-y+2=0\)與直線\(l_2:x+3y-4=0\)的位置關系。解：計算斜率，\(k_1=3\)，\(k_2=-\frac{1}{3}\)；因\(k_1k_2=3\times(-\frac{1}{3})=-1\)，故兩直線垂直。八、統(tǒng)計與概率（一）隨機抽樣1.知識點總結（1）簡單隨機抽樣：從總體\(N\)個個體中逐個不放回抽取\(n\)個個體，每個個體被抽到的概率相等（\(\frac{n}{N}\)），常用方法：抽簽法、隨機數(shù)法。（2）系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的\(n\)部分，從每部分抽取1個個體，步驟：編號→分段→確定起始點→抽取樣本。（3）分層抽樣：將總體分成互不交叉的層（如年齡、性別），每層按比例抽取個體，每層抽取數(shù)\(n_i=n\times\frac{N_i}{N}\)（\(N_i\)為層個體數(shù)，\(N\)為總體數(shù)）。2.典型練習題（1）某學校有1000名學生，要抽取50名學生參加體檢，用系統(tǒng)抽樣的方法如何操作？解：①編號：1~1000；②分段：每段\(1000/50=20\)人，分為50段；③確定起始點：用隨機數(shù)法選1~20中的一個數(shù)，如15；④抽取樣本：15,35,55,...,995（每段加20）。（2）某社區(qū)有老人200人、中年人300人、青年人500人，要抽取100人調(diào)查健康狀況，用分層抽樣法，每層應抽取多少人？解：總體