第四章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)Ⅱ

運(yùn)動(dòng)學(xué)參考系：與參考體固連的坐標(biāo)系參考體：研究一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)選作參考的另一物體。研究目的：1、為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打基礎(chǔ)；

2、為分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)打基礎(chǔ)。研究對(duì)象：點(diǎn)和剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)：研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)(運(yùn)動(dòng)軌跡、運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度)靜力學(xué)：研究物體在力系作用下的平衡條件（一般取與地面固連坐標(biāo)系為參考系）123描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的矢量法描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法第四章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)§4-1描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的矢量法矢徑:點(diǎn)M相對(duì)原點(diǎn)O的位置矢量點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡:矢徑的矢端曲線點(diǎn)的位置點(diǎn)的速度:—

平均速度—

速度

(m/s)速度方向:沿軌跡切線方向,并與運(yùn)動(dòng)方向一致O以參考系上一點(diǎn)O為原點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)的加速度:點(diǎn)的速度:(m/s)(m/s2)速度矢端曲線:A加速度方向:與速度矢端曲線在相應(yīng)點(diǎn)的切線相平行

把軌跡上各點(diǎn)的速度平移到一點(diǎn)，并將各速度矢量的端點(diǎn)連接起來(lái)，所構(gòu)成的連續(xù)曲線?！?-1描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的矢量法§4-2描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法取一固定的直角坐標(biāo)系或以t為參變量的參數(shù)形式的軌跡方程xyz—

以直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程xyz點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡:消去t

,得點(diǎn)的軌跡方程點(diǎn)的速度:(時(shí)間

t

的單值連續(xù)函數(shù))點(diǎn)的位置OM速度大小速度方向加速度大小加速度方向點(diǎn)的加速度:點(diǎn)的速度:§4-2描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例4-1如圖所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)。曲柄OA

繞O軸以φ=ωt

的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，ω

為常量，并通過(guò)連桿AB

帶動(dòng)滑塊B

在水平槽內(nèi)滑動(dòng)。設(shè)連桿AB

與曲柄OA

的長(zhǎng)度相等，即OA=AB=l

，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)曲柄在水平位置，試求連桿AB

中點(diǎn)C

的軌跡、速度和加速度。求M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、運(yùn)動(dòng)軌跡、速度和加速度。解:點(diǎn)C作曲線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)系xoyC點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t得運(yùn)動(dòng)軌跡C點(diǎn)的速度§4-2描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法方向余弦C點(diǎn)的加速度§4-2描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法解:⑴取圖示直角坐標(biāo)系⑵列A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程(3)A點(diǎn)的速度例4-2如圖所示，偏心凸輪半徑為R，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角φ=ωt(ω為常量)，偏心距OC=e

，凸輪帶動(dòng)頂桿AB

沿豎直線做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。求頂桿上點(diǎn)A

的運(yùn)動(dòng)方程和速度。§4-2描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例4-3桿AB

繞點(diǎn)A

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，撥動(dòng)套在固定圓環(huán)上的小環(huán)M

運(yùn)動(dòng)，如圖4-7所示。已知固定圓環(huán)的半徑為R

，φ=ωt

，ω為常量，求小環(huán)M

的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度?！?-2描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法解:選取如圖所示的坐標(biāo)系Oxy

，點(diǎn)M

的運(yùn)動(dòng)方程為點(diǎn)M

的速度方向余弦為速度大小為例4-3桿AB

繞點(diǎn)A

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，撥動(dòng)套在固定圓環(huán)上的小環(huán)M

運(yùn)動(dòng)，如圖4-7所示。已知固定圓環(huán)的半徑為R

，φ=ωt

，ω為常量，求小環(huán)M

的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度?！?-2描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法點(diǎn)M

的加速度:加速度大小為方向余弦為在軌跡上任選一點(diǎn)Ｏ為參考點(diǎn);自然法:利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡建立弧坐標(biāo)及自然軸系,并用它們來(lái)描述和分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的方法。MO已知?jiǎng)狱c(diǎn)Ｍ

的軌跡;設(shè)點(diǎn)Ｏ的某一側(cè)為正向;

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Ｍ運(yùn)動(dòng)時(shí),弧坐標(biāo)s隨著時(shí)間而變化,它是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)?！?/p>

以弧坐標(biāo)表示的點(diǎn)沿軌跡的運(yùn)動(dòng)方程弧坐標(biāo)§4-3描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法一、弧長(zhǎng)（代數(shù)量）密切面：M1點(diǎn)無(wú)限趨近于點(diǎn)M

時(shí),τ和τ1

構(gòu)成的平面。密切面法平面切線法平面：過(guò)點(diǎn)M并與切線垂直的平面。二、自然軸系主法線主法線：法平面與密切面的交線—

主法線的單位矢量,指向曲線內(nèi)凹一側(cè)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線上取極為接近的兩點(diǎn)M和M１§4-3描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法密切面主法線法平面切線副法線副法線：過(guò)點(diǎn)M且垂直于切線及主法線的直線—

副法線的單位矢量,指向與有關(guān)

以點(diǎn)M為原點(diǎn)，切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系,三個(gè)軸稱為自然軸。二、自然軸系§4-3描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法曲率：曲線切線的轉(zhuǎn)角對(duì)弧長(zhǎng)一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值。

經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間間隔點(diǎn)M沿軌跡到點(diǎn)M′弧長(zhǎng)Δs,切線經(jīng)過(guò)MM′轉(zhuǎn)過(guò)Δφ角

曲線運(yùn)動(dòng)中,常用軌跡的曲率或曲率半徑表示曲線的彎曲程度。曲率半徑：曲率的倒數(shù)，以ρ表示。MM'

設(shè)點(diǎn)M處曲線切向單位矢量為,點(diǎn)M′處單位矢量為§4-3描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法MM'

為正時(shí)，點(diǎn)沿切向的正方向運(yùn)動(dòng)，指向軌跡內(nèi)凹的一側(cè)；為負(fù)時(shí)，指向軌跡外凸的一側(cè)。由幾何關(guān)系可得：§4-3描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法速度—

代數(shù)值加速度—

切向加速度—

加速度在切線方向的投影—

法向加速度—

加速度在法向的投影三、速度、加速度§4-3描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法三、速度、加速度加速度大小:加速度方向:

切向加速度表示速度大小的變化率,法向加速度表示速度方向的變化。和的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)；和的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)。MM§4-3描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法§4-3描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法例4-4用自然法求解例4-3中小環(huán)M

的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解:取圓上的C

點(diǎn)為起點(diǎn),量取弧坐標(biāo)s則小環(huán)M

沿軌跡的運(yùn)動(dòng)方程是小環(huán)M的速度:小環(huán)M

的加速度:§4-3描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法例4-5如圖所示的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，曲柄OA

繞O

軸逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)角φ

與時(shí)間t

的關(guān)系為φ=πt/4。若OA=10cm，OO1=10cm，O1B=24cm。試求點(diǎn)B

的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解:取s0

為弧坐標(biāo)的原點(diǎn)，則點(diǎn)B

的弧坐標(biāo)為點(diǎn)B的速度和加速度為速度v和加速度a的方向如圖所示§4-3描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然法例4-6已知點(diǎn)做平面曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=f1(t)，y=f2(t)。試求在任一瞬時(shí)該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度的大小及軌跡曲線的曲率半徑。解：已知運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，可求出該點(diǎn)在任一瞬時(shí)的速度和加速度，即切向加速度為曲率半徑為小結(jié)(1)矢量法運(yùn)動(dòng)方程：r=r(t)方向?yàn)檠貏?dòng)點(diǎn)的