試題試題2024-2025學年廣東省廣州外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷一、單選題（共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）剪紙是我國源遠流長的傳統(tǒng)工藝，下列剪紙中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）由二次函數(shù)y＝3（x﹣4）2﹣2可知（）A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x＝4 C．其最小值為2 D．當x＞4時，y隨x的增大而減小3．（3分）某地區(qū)2008年投入教育經(jīng)費2500萬元，預(yù)計2010年投入3600萬元．設(shè)這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長百分率為x，則可以列方程（）A．2500x2＝3600 B．2500（1+x%）2＝3600 C．2500（1+x）2＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝36004．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC、AD．若∠D＝62°，則∠BAC＝（）A．24° B．28° C．31° D．32°5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A＝115°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°6．（3分）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax﹣2b＝0的兩實數(shù)根，且x1+x2＝﹣2，x1?x2＝1，則ba的值是（）A． B．﹣ C．4 D．﹣17．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，則α的值為（）A．50° B．55° C．60° D．65°8．（3分）當b+c＝5時，關(guān)于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定9．（3分）如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于點E、F、G且AB∥CD，若OB＝8cm，OC＝6cm，則⊙O的半徑等于（）A．3cm B．4cm C． D．5cm10．（3分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，頂點為（1，3）對于下列結(jié)論：①2a+b＝0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＞8；④當﹣1＜x＜3時：y＞0；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為4．其中正確的是（）A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．②③⑤二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）11．（3分）在平面直角坐標系中，點P（3，﹣5）關(guān)于原點對稱的點的坐標是．12．（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個解是x＝1，則代數(shù)式2024﹣a﹣b的值為．13．（3分）不透明的袋子中裝有8個球，除顏色外無其他差別．每次把球充分攪勻后，隨機摸出一個球記下顏色再放回袋子．通過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.25，則袋子中白球的個數(shù)約是．14．（3分）如圖，正六邊形螺帽的邊長為2cm，則這個螺帽的面積是cm2．15．（3分）如圖，有一塊半徑為4dm，圓心角為90°的扇形鐵皮，要把它做成一個圓錐形容器（接縫忽略不計），那么這個圓錐形容器的高為dm．16．（3分）已知等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝2．現(xiàn)將△ABC以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A′BC′，延長C′A′交直線BC于點D．則A′D的長度為．三、解答題（共9小題，滿分72分）17．（4分）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．18．（6分）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的三個頂點都在格點上．（1）在圖中畫出將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）所畫的圖中，計算線段AC在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積（結(jié)果保留π）．19．（6分）如圖，在△ABC中，BC＝12cm，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）作△ABC的外接圓（只需作出圖形，并保留作圖痕跡）；（2）求它的外接圓直徑．20．（6分）如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標．21．（8分）在一個不透明的布袋中，有紅，白兩種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中白球1個，現(xiàn)從中任意摸出一個紅球的概率為．（1）求袋中紅球的個數(shù)為；（2）攪勻后先從中任意摸出1個球（不放回），再從余下的球中任意摸出1個球．請用樹狀圖或表格求兩次都摸到紅球的概率．22．（8分）某商品現(xiàn)在的售價為每件50元，每周可賣出400件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每周要少賣出10件．已知該商品的進價為每件30元，設(shè)每件漲價x元．（1）為盡可能讓利于顧客并使每周利潤為8750元，求x；（2）當售價定為多少元時，會獲得每周銷售最大利潤？并求出每周最大銷售利潤．23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是的中點，DE⊥BC交BC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的長．24．（12分）正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為6和2，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接BE，DG相交于點H．（1）如圖1，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段BE和DG有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）如圖2，連接BG、DE，取線段BG中點為點M，線段DE中點為點N，連接MN交BE于P，交GD于點Q，證明：HP＝HQ；（3）如圖3，在正方形AEFG旋轉(zhuǎn)的過程中，連接BD，若點I是△HBD的內(nèi)心，求點I到BD的最大距離．25．（12分）拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于不重合的兩點A（x1，0），B（x2，0），設(shè)此拋物線頂點為P，（1）若x1＝2，當c+b＝1時，求拋物線解析式；（2）若△ABP是等邊三角形，求b2﹣4c的值；（3）若AB的中點坐標為，且，拋物線交y軸于點D，延長PD交x軸于點E，點O為坐標原點，令△DEO面積為S，求S的取值范圍．

2024-2025學年廣東省廣州外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案ABCBCACACA一、單選題（共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）剪紙是我國源遠流長的傳統(tǒng)工藝，下列剪紙中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心”，據(jù)此逐一判斷選項即可．【解答】解：A是中心對稱圖形，則A符合題意；B不是中心對稱圖形，則B不符合題意；C不是中心對稱圖形，則C不符合題意；D不是中心對稱圖形，則D不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查了中心對稱圖形，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）由二次函數(shù)y＝3（x﹣4）2﹣2可知（）A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x＝4 C．其最小值為2 D．當x＞4時，y隨x的增大而減小【分析】根據(jù)a＝3＞0判斷開口，根據(jù)解析式得出頂點坐標，進而得出對稱軸為直線x＝4，最小值為﹣2，根據(jù)開口方向和對稱軸判斷D選項，即可求解．【解答】解：由拋物線解析式可知a＝3＞0，頂點坐標為（4，﹣2），對稱軸為直線x＝4，A．其圖象的開口向上，故該選項不正確，不符合題意；B．其圖象的對稱軸為直線x＝4，故該選項正確，符合題意；C．其最小值為﹣2，故該選項不正確，不符合題意；D．當x＞4時，y隨x的增大而增大，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是關(guān)鍵．3．（3分）某地區(qū)2008年投入教育經(jīng)費2500萬元，預(yù)計2010年投入3600萬元．設(shè)這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長百分率為x，則可以列方程（）A．2500x2＝3600 B．2500（1+x%）2＝3600 C．2500（1+x）2＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600【分析】根據(jù)2008年教育經(jīng)費額×（1+平均年增長率）2＝2010年教育經(jīng)費支出額，列出方程即可．【解答】解：設(shè)增長率為x，根據(jù)題意得2500（1+x）2＝3600，故選：C．【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用﹣﹣求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．（當增長時中間的“±”號選“+”，當下降時中間的“±”號選“﹣”）．4．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC、AD．若∠D＝62°，則∠BAC＝（）A．24° B．28° C．31° D．32°【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠ACB＝90°，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求解即可．【解答】解：如圖，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵∠B＝∠D＝62°，∴∠BAC＝28°，故選：B．【點評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A＝115°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠C，再根據(jù)圓周角定理計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝115°，∴∠C＝180°﹣115°＝65°，由圓周角定理得：∠BOD＝2∠C＝2×65°＝130°，故選：C．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．6．（3分）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax﹣2b＝0的兩實數(shù)根，且x1+x2＝﹣2，x1?x2＝1，則ba的值是（）A． B．﹣ C．4 D．﹣1【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和已知x1+x2和x1?x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax﹣2b＝0的兩實數(shù)根，∴x1+x2＝﹣a＝﹣2，x1?x2＝﹣2b＝1，解得a＝2，b＝﹣，∴ba＝（﹣）2＝．故選：A．【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．7．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，則α的值為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出∠EDA＝∠ABC＝120°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DAB即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣45°﹣15°＝120°，∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝120°，∵DE∥AB，∴∠ADE+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝60°∴旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是60°，故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，能根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出∠ADE＝∠ABC＝120°是解此題的關(guān)鍵．8．（3分）當b+c＝5時，關(guān)于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【分析】先計算根的判別式得到Δ＝b2﹣12（b﹣5）＝（b﹣6）2+24，則可得到Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義對各選項進行判斷．【解答】解：∵b+c＝5，∴c＝5﹣b，∴Δ＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2﹣12（b﹣5）＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24，∵（b﹣6）2≥0，∴（b﹣6）2+24＞0，即Δ＞0，∴方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系，當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．9．（3分）如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于點E、F、G且AB∥CD，若OB＝8cm，OC＝6cm，則⊙O的半徑等于（）A．3cm B．4cm C． D．5cm【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及切線長定理，即可證明∠BOC＝90°，再根據(jù)勾股定理即可求得BC的長，進而根據(jù)等面積法，即可求解．【解答】解：連接OF，根據(jù)切線長定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBF+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝8cm，OC＝6cm，∴BC＝＝＝10（cm），∵OF⊥BC，∴S△BOC＝OB?OC＝OF?BC，∴OF＝＝＝（cm）．故選：C．【點評】此題主要是考查了切線長定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，頂點為（1，3）對于下列結(jié)論：①2a+b＝0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＞8；④當﹣1＜x＜3時：y＞0；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為4．其中正確的是（）A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．②③⑤【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，本題得以解決．【解答】解：∵﹣＝1，∴2a+b＝0，故①正確；∵與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸為直線x＝1，∴與x軸的另一個交點B在點（﹣1，0）和（0，0）之間，∴當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，故②正確；∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，故③錯誤；函數(shù)圖象與x軸的交點沒有具體說明交點的坐標，∴當﹣1＜x＜3時，y＞0不一定成立，故④錯誤；方程|ax2+bx+c|＝1的四個根分別為ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，∵拋物線y＝ax2+bx+c關(guān)于直線x＝1對稱，∴拋物線與直線y＝1的交點的橫坐標之和為2，拋物線與直線y＝﹣1的交點橫坐標之和為2，∴方程|ax2+bx+c|＝1的四個根的和為4，故⑤正確．正確的是①②⑤，故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）11．（3分）在平面直角坐標系中，點P（3，﹣5）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（﹣3，5）．【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．【解答】解：點P（3，﹣5）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（﹣3，5），故答案為：（﹣3，5）．【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，關(guān)鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．12．（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個解是x＝1，則代數(shù)式2024﹣a﹣b的值為2025．【分析】把x＝1代入一元二次方程得到a+b＝﹣1，再把2024﹣a﹣b變形為2024﹣（a+b），然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，∴a+b＝﹣1，∴2024﹣a﹣b＝2024﹣（a+b）＝2024﹣（﹣1）＝2025．故答案為：2025．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．13．（3分）不透明的袋子中裝有8個球，除顏色外無其他差別．每次把球充分攪勻后，隨機摸出一個球記下顏色再放回袋子．通過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.25，則袋子中白球的個數(shù)約是2個．【分析】用球的總個數(shù)乘以摸到白球的頻率穩(wěn)定值即可．【解答】解：根據(jù)題意，袋子中白球的個數(shù)約是8×0.25＝2（個），故答案為：2個．【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．14．（3分）如圖，正六邊形螺帽的邊長為2cm，則這個螺帽的面積是cm2．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由正六邊形的特點求出∠AOB的度數(shù)及OG的長，再由△OAB的面積即可求解．【解答】解：如圖所示，設(shè)O為正六邊形的中心，OG⊥AB于點G，由題意可得：∠AOB＝＝60°；∵OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∠AOG＝30°，∴OA＝AB＝2cm，∴OG＝OA?cos30°＝2×＝，∴S△OAB＝×AB×OG＝×，∴．故答案為：．【點評】本題考查了正多邊形的計算問題，解直角三角形，正確進行計算是解題關(guān)鍵．15．（3分）如圖，有一塊半徑為4dm，圓心角為90°的扇形鐵皮，要把它做成一個圓錐形容器（接縫忽略不計），那么這個圓錐形容器的高為dm．【分析】根據(jù)已知條件求得圓錐的底面半徑，然后利用勾股定理求得其高即可．【解答】解：設(shè)底面半徑為rdm，則2πr＝，解得：r＝1，所以其高為：＝（dm），故答案為：．【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是首先求得圓錐的底面的半徑，難度不大．16．（3分）已知等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝2．現(xiàn)將△ABC以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A′BC′，延長C′A′交直線BC于點D．則A′D的長度為．【分析】根據(jù)題意，先求得，當△ABC以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)45°，過點B作BE⊥A′B交A′D于點E，根據(jù)勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：過點A作AM⊥BC于點M，∵等腰△ABC，∠BAC＝120°，AB＝2．∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴，，∴，當逆時針旋轉(zhuǎn)45°，過點B作BE⊥A′B交A′D于點E，由旋轉(zhuǎn)可知∠BAC＝∠BA′C′＝120°，∴∠DA′B＝60°，∠A′EB＝30°，在Rt△A′BE中，A′E＝2A′B＝4，，∵等腰△ABC，∠BAC＝120°，AB＝2．∴∠ABC＝∠ACB＝30°，由題意可得：∠ABA′＝45°，∴∠DBE＝180°﹣90°﹣45°﹣30°＝15°，∠A′BD＝180°﹣45°﹣30°＝105°在△A′BD中，∠D＝180°﹣∠DA′B﹣∠A′BD＝180°﹣60°﹣105°＝15°，∴∠D＝∠EBD，∴，∴，故答案為：．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確進行計算是解題關(guān)鍵．三、解答題（共9小題，滿分72分）17．（4分）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．【分析】原方程的左邊含有公因式（x﹣3），可先提取公因式，然后再分解因式求解．【解答】解：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0（x﹣3）（3x﹣3）＝0解得：x1＝3，x2＝1．【點評】只有當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式，而另一邊是0的時候，才能應(yīng)用因式分解法解一元二次方程．分解因式時，要根據(jù)情況靈活運用學過的因式分解的幾種方法．18．（6分）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的三個頂點都在格點上．（1）在圖中畫出將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）所畫的圖中，計算線段AC在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積（結(jié)果保留π）．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；（2）利用扇形的面積公式求解即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）∵AC＝＝，∴線段AC在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積＝＝．【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，扇形的面積的計算等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，記住扇形的面積＝．19．（6分）如圖，在△ABC中，BC＝12cm，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）作△ABC的外接圓（只需作出圖形，并保留作圖痕跡）；（2）求它的外接圓直徑．【分析】根據(jù)三角形外接圓的作法，作出任意兩邊垂直平分線，再利用等腰三角形的判定方法即可求出外接圓直徑．【解答】解：（1）分別作出AB，BC的垂直平分線，兩線交點為P，根據(jù)垂直平分線上的點，到線段兩端點距離相等，可得：PA＝PB＝PC，∴交點即是圓心；（2）由題意得：∵BC＝12cm，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠CAP＝60°，PC＝PA，BM＝MC＝6cm，∴△APC是等邊三角形，∴PA＝PC＝AC，∴∠MPC＝60°，cos30°＝，PC＝＝4．∴外接圓直徑是8cm．【點評】此題主要考查了三角形外接圓的作法，以及等邊三角形的判定方法，題目難度不大，比較典型．20．（6分）如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標．【分析】（1）先設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）入函數(shù)解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解即可求a、b、c，進而可得函數(shù)解析式．（2）連接BC，交對稱軸于P，P即為使PA+PC的值最小，設(shè)直線BC的解析式，把B、C的坐標代入即可求得系數(shù)，進而求得解析式，令x＝2時，即可求得P的坐標．【解答】解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），代入A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三點，得，解得，所以這個二次函數(shù)的解析式是y＝x2﹣2x﹣．（2）∵y＝x2﹣2x﹣＝（x﹣2）2﹣．∴拋物線的對稱軸為x＝2，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，∴解得，∴直線BC的解析式為y＝x﹣，當x＝2時，y＝﹣，∴P點的坐標為（2，﹣），【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．軸對稱的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是把已知點的坐標代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組．21．（8分）在一個不透明的布袋中，有紅，白兩種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中白球1個，現(xiàn)從中任意摸出一個紅球的概率為．（1）求袋中紅球的個數(shù)為2；（2）攪勻后先從中任意摸出1個球（不放回），再從余下的球中任意摸出1個球．請用樹狀圖或表格求兩次都摸到紅球的概率．【分析】（1）設(shè)袋中紅球的個數(shù)有x個，根據(jù)概率公式列出算式，再求解即可；（2）根據(jù)題意先畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)和兩次都摸到紅球的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)袋中紅球的個數(shù)有x個，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝2，經(jīng)檢驗，x＝2是原方程的解，故答案為：2；（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸到紅球有2種，∴兩次都摸到紅球的概率是＝．【點評】本題考查了利用列表與樹狀圖求概率的方法：先通過列表或樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果數(shù)n，再找出其中某事件所占有的結(jié)果數(shù)m，然后根據(jù)概率的概念求出這個事件的概率P＝．22．（8分）某商品現(xiàn)在的售價為每件50元，每周可賣出400件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每周要少賣出10件．已知該商品的進價為每件30元，設(shè)每件漲價x元．（1）為盡可能讓利于顧客并使每周利潤為8750元，求x；（2）當售價定為多少元時，會獲得每周銷售最大利潤？并求出每周最大銷售利潤．【分析】（1）設(shè)該商品售價上漲x元，則銷量為（400﹣10x）件，每件利潤為（50+x﹣30）元，利用利用＝每件利潤×銷量列式解答即可；（2）設(shè)該商品獲得的利潤為y元，由（1）得出y與x的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）設(shè)該商品售價上漲x元，則銷量為（400﹣10x）件，每件利潤為（50+x﹣30）元，依題意得：（50+x﹣30）（400﹣10x）＝8750，整理得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝15，x2＝5，∵為盡可能讓利于顧客并使每周利潤為8750元，∴x＝5；（2）設(shè)該商品獲得的利潤為y元，依題意得：y＝（50+x﹣30）（400﹣10x）＝﹣10x2+200x+8000＝﹣10（x﹣10）2+9000，∵﹣10＜0，∴當x＝10時，y有最大值，最大值為9000，即當售價為60元時，會獲得每周銷售最大利潤，每周最大銷售利潤為9000元．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程和函數(shù)解析式并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是的中點，DE⊥BC交BC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的長．【分析】（1）要證明DE是⊙O的切線，所以連接OD，求出∠ODE＝90°即可，根據(jù)已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要證明OD∥BE即可解答；（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到過點D作DF⊥AB，垂足為F，進而證明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易證△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后進行計算即可解答．【解答】（1）證明：連接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中點，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：過點D作DF⊥AB，垂足為F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，設(shè)AF＝EC＝x，則BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF?BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．【點評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（12分）正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為6和2，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接BE，DG相交于點H．（1）如圖1，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段BE和DG有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）如圖2，連接BG、DE，取線段BG中點為點M，線段DE中點為點N，連接MN交BE于P，交GD于點Q，證明：HP＝HQ；（3）如圖3，在正方形AEFG旋轉(zhuǎn)的過程中，連接BD，若點I是△HBD的內(nèi)心，求點I到BD的最大距離．【分析】（1）如圖1中，證明△BAE≌△DAG（SAS），可得結(jié)論；（2）根據(jù)△BAE≌△DAG（SAS）以及三角形內(nèi)角和定理得出BE⊥DG，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出OM∥GD，ON∥BE，進而證明△OMN是等腰直角三角形，即可得出△HPQ是等腰直角三角形，即可得證；（3）根據(jù)BE⊥DG得出H在以BD為直徑的半圓上運動，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得出四邊形HZIY是正方形，則＝，設(shè)IX＝a，則，結(jié)合圖形可得IX≤HX﹣IH，即當HX取得最大值，當H，I，Z三點共線時取得等于號，IX取得最大值，此時，解方程，即可求解．【解答】（1）解：結(jié)論：BE＝DG，理由如下：∵四邊形ABCD，四邊形AEFG都是正方形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AG＝AE，∴∠BAE＝∠DAG＝90°+∠DAE，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG；（2）解：如圖2所示，連接AC交BD于點O，連接OM，ON，設(shè)AD，BE交于點T，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAT＝90°，∵△BAE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠BAT＝∠DHT＝90°，∴BE⊥DG；∵四邊形ABCD為正方形，∴O是BD的中點；∵線段BG中點為點M，線段DE中點為點N，O是BD的中點，∴OM∥GD，ON∥BE，O