試題試題廣州協(xié)和學(xué)校2024學(xué)年第一學(xué)期檢測(cè)高一年級(jí)數(shù)學(xué)科試題一、選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.2.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C.2 D.33.二次函數(shù)在上的最小值為（）A.-1 B.0 C.3 D.44.給出下列關(guān)系：①；②；③；④，其中正確個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)和，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖像大致是（）A. B.C. D.6.已知集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.167.已知命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.8.在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為，即，則下面選項(xiàng)正確的為（）ABC.D.整數(shù)屬于同一“類(lèi)”的充分不必要條件是“”二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，，則C.若且，則D.若，則10.下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.命題：，則命題的否定為C.不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是或D.函數(shù)的最小值為11.已知關(guān)于x的不等式的解集是，則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．13.已知方程有一正根一負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．14.設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的最大值是__________．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.計(jì)算：（1）；（2）計(jì)算：．16.已知全集，集合.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.已知關(guān)于不等式的解集為或.（1）求，的值；（2）當(dāng)，，且滿足時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.18.二次函數(shù)最小值為，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又.（1）求的解析式；（2）在區(qū)間上，的圖象恒在圖象的下方，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.19.材料：法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦韋達(dá)在著作《論方程識(shí)別與訂正》中提出一元二次方程的兩根有如下的關(guān)系（韋達(dá)定理）：，；材料：如果實(shí)數(shù)滿足，，且，則可利用根的定理構(gòu)造一元二次方程，然后將看作是此方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：（1）①已知一元二次方程的兩根分別為，則__________，__________．②已知實(shí)數(shù)滿足：，，則__________（2）已知實(shí)數(shù)滿足：，，且，求的取值范圍；（3）設(shè)實(shí)數(shù)分別滿足，，且，求的值．廣州協(xié)和學(xué)校2024學(xué)年第一學(xué)期檢測(cè)高一年級(jí)數(shù)學(xué)科試題一、選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧?，，因此?故選：B.2.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的解析式，代入準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.詳解】由函數(shù)，則.故選：D.3.二次函數(shù)在上的最小值為（）A.-1 B.0 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性求最小值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是開(kāi)口向上的拋物線，且對(duì)稱(chēng)軸為：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為：.故選：A4.給出下列關(guān)系：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由元素與集合關(guān)系，集合與集合關(guān)系逐個(gè)判斷即可.【詳解】顯然，，①③正確；集合中的元素為一個(gè)式子，集合中的元素為數(shù)，②錯(cuò)誤在中，當(dāng)時(shí)，即有因此，④正確正確命題的個(gè)數(shù)是故選：C5.已知函數(shù)和，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)排除選項(xiàng)，再根據(jù)直線斜率確定的范圍，進(jìn)而判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由于恒過(guò)點(diǎn)，故排除A、D選項(xiàng)；又觀察B，C選項(xiàng)中的直線斜率為正，即，所以經(jīng)過(guò)二、四象限，故C不符合要求，B選項(xiàng)符合要求.故選：B.6.已知集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】由題知，，再結(jié)合題意求解的真子集的個(gè)數(shù)即可得答案.【詳解】解：，，因?yàn)?，所以集合必須含有元?，3，且可能含有元素0，1，4，5，因?yàn)榈恼孀蛹?，所以符合條件得集合由個(gè)．故選：C．7.已知命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)和兩類(lèi)情況討論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意當(dāng)時(shí)，需滿足解得：，綜上，故選：D8.在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為，即，則下面選項(xiàng)正確的為（）A.B.C.D.整數(shù)屬于同一“類(lèi)”的充分不必要條件是“”【答案】C【解析】【分析】求被除的余數(shù)，判斷A，求被除的余數(shù)，判斷B，根據(jù)新定義及集合相等的定義判斷C，結(jié)合新定義及充分條件，必要條件的定義判斷D.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，每個(gè)整數(shù)除以后的余數(shù)只有，沒(méi)有其他余數(shù)，所以，又，故，C正確；對(duì)于D，若，則，若，則，不妨設(shè)，則，所以，，所以除以后余數(shù)相同，所以屬于同一“類(lèi)”所以整數(shù)屬于同一“類(lèi)”的充要條件是“”，D錯(cuò)誤；故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，，則C.若且，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】取可判斷A選項(xiàng)；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷BD選項(xiàng)；利用作差法可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則，，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若且，則ca2?即，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，所以,所以1c?a>1c?b，D故選：BCD.10.下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.命題：，則命題的否定為C.不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是或D.函數(shù)的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】由時(shí)，等價(jià)或，可判斷A，由全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題可判斷B，由分式不等式求解可判斷C，結(jié)合基本不等式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，成立；而當(dāng)時(shí)，可得或，不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件，A正確對(duì)于B，：否定是，B正確對(duì)于C，或，而或則或是成立的一個(gè)充分不必要條件，C正確對(duì)于D，根據(jù)不等式則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，最小值是不是，D錯(cuò)誤故選：ABC11.已知關(guān)于x不等式的解集是，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由關(guān)于的不等式的解集是，則是一元二次方程的兩根

．利用根與系數(shù)的關(guān)系等即可判斷出結(jié)論．【詳解】由關(guān)于x的不等式的解集是，所以是一元二次方程的兩根；所以，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B正確；所以，選項(xiàng)D正確．由，可得：是錯(cuò)誤的，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】由求解即可.【詳解】故定義域?yàn)?，故答案為?3.已知方程有一正根一負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩根之積小于0列不等式，求解可得結(jié)果.【詳解】設(shè)方程的兩根為，由韋達(dá)定理得.∵方程有一正根一負(fù)根，∴，即，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的最大值是__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)基本不等式的應(yīng)用求解即可.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，時(shí)取最大值，故的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.計(jì)算：（1）；（2）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值和指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果；（2）通分化簡(jiǎn)代數(shù)式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】原式.【小問(wèn)2詳解】原式.16.已知全集，集合.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)集合運(yùn)算的定義直接求解；（2）由等價(jià)于，分和兩種情況考慮，然后轉(zhuǎn)化為不等式（組）求解．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榛颍?，【小?wèn)2詳解】∵，∴①當(dāng)時(shí)，可得，解得；②當(dāng)時(shí)，則，解得：，綜上.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．17.已知關(guān)于的不等式的解集為或.（1）求，的值；（2）當(dāng)，，且滿足時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程的根之間的關(guān)系，由韋達(dá)定理即可求解.（2）利用不等式的乘“1”法求解最值，即可由一元二次不等式求解.【小問(wèn)1詳解】不等式的解集為或和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，解得【小問(wèn)2詳解】由（1）知，于是有，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，依題意有，即，得，解得，的取值范圍為18.二次函數(shù)最小值為，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又.（1）求的解析式；（2）在區(qū)間上，的圖象恒在圖象的下方，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，代入，求出，得到解析式；（2）轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，設(shè)，則只要即可，結(jié)合的單調(diào)性求出，從而得到答案；（3）由函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸，分，和三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出最小值，得到答案.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)，又，得，所以；小問(wèn)2詳解】由題有，即對(duì)任意的恒成立，設(shè)，則只要即可.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，解得；【小問(wèn)3詳解】圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí).綜上，.19.材料：法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦韋達(dá)在著作《論方程的識(shí)別與訂正》中提出一元二次方程的兩根有如下的關(guān)系（韋達(dá)定理）：，；材料：如果實(shí)數(shù)滿足，，且，則可利用根的定理構(gòu)造一元二次方程，然后將看作是此方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：（1）①已知一元二次方程的兩根分別為，則__________，__________．②已知實(shí)數(shù)滿足：，，則__________（2）已知實(shí)數(shù)滿足：，，且，求的取值