整式的乘除(壓軸大題專練)

一.塞的乘方與積的乘方(共4小題)

1.(2023春?大豐區(qū)月考)閱讀下面的材料：

材料一：比較322和4”的大小

解：因為4"=(2?)“=2?2,且3>2,

所以嚴>？??，BP322>4"J

小結：指數(shù)相同的情況下，通過比較底數(shù)的大小，來確定兩個冢的大小，

材料二：比較丁和82的大小.

解：因為8?=(2)2=2^,且8>6,

所以28>26,即28>82,

小結：底數(shù)相同的情況下，通過比較指數(shù)的大小，來確定兩個林的大小

解決下列問題：

(1)比較3"、4"、的大小：

(2)比較8產(chǎn)、27*、9'”的大?。?/p>

(3)比較3隈即與3隈5、的大小.

2.(2023春?興化市期中)若且awl,/〃、〃是正整數(shù))，則〃?=〃.利用上面結論解決下面

的問題：

(1)^3vx9vx27l=312,求x的值.

(2)若x=5用一3,y=4—25'",用含x的代數(shù)式表示y.

3.（2023春?洪澤區(qū)期中）設加=2儂，〃=3不，為了比較〃?與〃的大小.小明想到了如下方法：

加=23=（24）”=16”，即25個16相乘的積；/?=375=（33）25=2725,即25個27相乘的積，顯然

加<〃，現(xiàn)在設］=43，），=3",請你用小明的方法比較x與），的大小.

4.（2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考）已知3、+2.5"2=1531,求（工一戶一31*一2）-4的值.

二.多項式乘多項式（共7小題）

5.（2023春?濟南期末）觀察以下等式：

（X4-1）（X2-X4-1）=X34-1

（x+3）（x2-3x4-9）=^+27

（x+6）（x2-6x+36）=x3+216

（1）按以上等式的規(guī)律，填空：（。+與（）=/+/

（2）利用多項式的乘法法則，說明（1）中的等式成立.

(3)利用(1)中的公式化簡:(x+y)(x2-xy'+y2)-(x+2y)(x2-2xy+4y2)

6.(2023春?姑蘇區(qū)校級期中)閱讀以下材料，回答下列問題：

小明遇到這樣一個問題：求計算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多項式的一次項系數(shù).小明想通過計算

(x+2)(2x+3)(3x+4)所得的多項式解決上面的問題，但感覺有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對簡潔的

方法.

他決定從簡單情況開始，先找(x+2)(2x+3)所得多項式中的一次項系數(shù).通過觀察發(fā)現(xiàn)：

tr+2)(2r+3)=2/+3JH-4X+6

也就是說，只需用x+2中的一次項系數(shù)1乘以2x+3中的常數(shù)項3,再用x+2中的常數(shù)項2乘以2x+3中

的一次項系數(shù)2,兩個枳相加Ix3+2x2=7,即可得到一次項系數(shù).

延續(xù)上面的方法，求計算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多項式的一次項系數(shù).可以先用x+2的一次項系數(shù)1,

2x+3的常數(shù)項3,3/十4的常數(shù)項4,相乘得到12；再用2x+3的一次項系數(shù)2,x+2的常數(shù)項2,

3x+4的常數(shù)項4,相乘得到16；然后用3x+4的一次項系數(shù)3,x+2的常數(shù)項2,2x+3的常數(shù)項3,相

乘得到18,最后將12,16,18相加，得到的一次項系數(shù)為46.

參考小明思考問題的方法，解決下列問題：

(1)計算(2x+l)(3x+2)所得多項式的一次項系數(shù)為.

(2)計算*+l)(3x+2)(4x-3)所得多項式的一次項系數(shù)為.

(3)若訂算-才十1)(1一3力十。)(2人-1)所得多項式的一次項系數(shù)為0,貝ija=.

(4)計算(x+l)s所得多項式的一次項系數(shù)為，二次項系數(shù)為.

(5)計算(2x-狀所得多項式的一次項系數(shù)為,二次項系數(shù)為.

7.(2023春?安徽期末)甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：(2x+a)(3x+〃).甲由于把第一個多項式中

的“+〃”看成了得到的結果為6f+llx-1。；乙由于漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，得到的結果

為2f-9x+10.

(1)求正確的。、人的值.

(2)計算這道乘法題的正確結果.

8.（2022秋?西湖區(qū)校級期末）當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式,

由圖I,可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.

（1）由圖2可得等式：.

（2）利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：

已知a+/?+c=ll,ab+bc+ac=3S?求/+尸+^的值；

（3）利用圖3中的紙片（足夠多），畫出一種拼圖，使該拼圖可用來驗證等式:

2a2+5ab+2b2=（2a+b）（u+2b）.

9.（2023春?秦都區(qū)校級月考）如圖，某市有一塊長為（3〃+與米，寬為（2〃+勿米的長方形地塊，規(guī)劃部

門計劃將陰影部分進行綠化，中間將修建?座雕像，則綠化的面積是多少平方米？并求出當a=6,b=4

時的綠化面積.

a-b2a-b

a-b<—

3a-b---?

10.(2022春?朝陽區(qū)校級月考)小華和小明同時計算一道整式乘法題(2x+a)(3x+〃).小華抄錯了第一個

多項式中〃的符號，即把+4抄成了-4,得到結果為6/+1支—10；小明把第二個多項式中的3%抄成了

X,得到結果為2f—9X+10.

(1)你知道式子中〃的值各是多少嗎？

(2)請你計算出這道題的正確結果.

II.(2022春?通川區(qū)校級月考)閱讀材料解決問題：當々-〃>0時，一定有當4-〃=0時，一定有

a=b；當a-〃v0時，一定有々<2.

(1)用“〉”或“〈”填空：0,.?.3+1)(a-1)；

(2)已知一為自然數(shù),P=(〃+l)(〃+4),Q=(〃+2)(〃+3),試比P與。的大小;

(3)已知4=654321x654324,8=654322x654323,直接寫出A與4的大小比較結果.

三.完全平方公式的幾何背景(共10小題)

12.(2022秋?西崗區(qū)校級期末)【探究】

若％滿足(9-4)=4,求(4-4+(x-9)2的值.

設9-x=a,x-4=b.則(9-.r)(x-4)=a〃=4,a+Z>=(9—x)+(x-4)=5,

:.(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2x4=\7；

【應用】

請仿照上面的方法求解下面問題：

(1)若x滿足(5-x)(x-2)=2,求(5-.以+(犬—2>的值；

【拓展】

(2)已知正方形八8c。的邊長為x,E,尸分別是4)、0c上的點，且A￡=I,CF=3,長方形

區(qū)”也＞的面積是8,分別以"、Z)「為邊作正方形.

?MF=,DF=；(用含x的式子表示)

②求陰影部分的面積.

13.（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖“是一個長為2/〃、寬為2〃的長方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小

長方形，然后按圖〃形狀拼成一個正方形.

（1）你認為圖〃中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？

（2）觀察圖〃你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關系嗎？

代數(shù)式:（m+n）2,（m-n）2,mn

(3)已知+〃=mn=6,求。產(chǎn)的值.

〃那

mm

川：一

n!

圖a圖。

14.（2023春?順德區(qū)校級期中）現(xiàn)有長與寬分別為a、人的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形拼成

如圖1的圖形，用四個相同的小長方形拼成圖2的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題:

（1）根據(jù)圖中條件，請寫出圖I和圖2所驗證的關于a、。的關系式：（用含。、力的代數(shù)式表示出來）;

圖1表示:

圖2表示:

（2）根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題:

①若x+y=4,x2+y2=10,求刈的值；

②請直接寫出下列問題答案：

若hn+3/2=5,mn=1,WO6n-4山

若（7—M（5-m）=9,則（7-⑼2+（5_m）2=

（3）如圖3,長方形A8CZ）中，AD=2CD=2x,AE=44,CG=30,長方形EFGD的面積是20（）,四邊

形NGD"和MEDQ都是正方形，四邊形PQD”是長方形.延長至7,使PT=PQ,延長M尸至O,

使尸。=尸石，過點O、「作MO、的垂線，兩垂線相交于點R,求四邊形必爾T的面枳.（結果必須

是一個具體的數(shù)值）

BC

圖3

15.（2023春?平陰縣期中）如圖1是一個長為4”、寬為力的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長

方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）.

①圖2中的陰影部分的邊長為；

②觀察圖2請你寫出（〃+與2、s—加2、〃力之間的等量關系是；

③艱據(jù)（2）中的結論，若x+y=5,x-y=4,則（x-?=

④實際上通過計算圖形的面積可以探求相應的等式.如圖3,你發(fā)現(xiàn)的等式是

16.（2023春?濟陽區(qū)期中）圖①是一個長為2/〃、寬為2〃的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長方

形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形.

（1）請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積.

方法1:;方法2:

（2）觀察圖②請你寫出下列三個代數(shù)式；（加+〃）2,（〃?-〃）2,之間的等量關系;

（3）根據(jù)（2）題中的等最關系，解決如下問題:

①己知：a-b=3,ab=-2,求：（。+力尸的值；

②己知：a--=l,求:3+%的值.

aa

ffll圖2

17.（2023春?驛城區(qū)期中）圖1,是一個長為2m,寬為2〃的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小

長方形，然后按圖2的形狀拼成?個正方形.

（1）圖2中的陰影部分的面積為

（2）觀察圖2,三個代數(shù)式（〃?+也）2,（川-〃）2,，〃〃之間的等量關系是

（3）若x+y=-6,孫，=2.75,求x-），；

（4）觀察圖3,你能得到怎樣的代數(shù)恒等式呢？

18.（2023春?鄲州區(qū)期末）如圖，將幾個小正方形與小長方形拼成一個邊長為S+0+c）的正方形.

（1）若用不同的方法計算這個邊長為3+6+。）的正方形面積，就可以得到一個等式，這個等式可以為.

（只要寫出一個即可）；

（2）請利用（1）中的等式解答下列問題：

①若三個實數(shù)a,b>c滿足a+b+c=ll,ab+be+ac=38?求々N+ZZ+C?的值；

②若三個實數(shù)x,y,z滿足2'4''+8'=‘，x2+4y2+9z2=44,求20-3xz-6”的值.

a

a

19.（2022秋?永春縣校級期中）學習整式乘法時，老師拿出三種型號卡片，如圖1.

（I）利用多項式與多項式相乘的法則，計算：（a+2b）（a+b）=

（2）選取1張A型卡片，4張。型卡片，則應取.張4型卡片才能用它們拼成一個新的正方形,

此新的正方形的邊長是（用含。，力的代數(shù)式表示）;

（3）選取4張C型卡片在紙上按圖2的方式拼圖，并剪出中間正方形作為第四種。型卡片，由此可檢驗

的等量關系為

（4）選取1張。型卡片，3張C型卡片按圖3的方式不重復的疊放長方形MNPQ框架內(nèi)，已知NQ的長度

固定不變，MN的長度可以變化，且MNwO.圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為，，S、,若

$-$2=3必，則。與人有什么關系？請說明理由.

圖1圖2

20.(2023春?佛岡縣期中)如圖1是一個長為2〃，寬為助的長方形，沿圖中虛線剪開分成四塊小長方

形，然后按如圖2的形狀拼成?個正方形.

(1)圖2的陰影部分的正方形的邊長是.

(2)用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積.

【方法I】S陰影=;

【方法2】S叨影=;

(3)觀察如圖2,寫出(4+與2,(4-與2,"這三個代數(shù)式之間的等量關系.

(4)根據(jù)(3)題中的等量關系，解決問題：

圖2

21.（2023春?定遠縣校級期中）請認真觀察圖形，解答下列問題:

（1）根據(jù)圖中條件，你能得到怎樣的等量關系？請用等式表示出來；

（2）如果圖中的“，"份滿足〃+〃=57,ab=\2,求〃+〃的值;

（3）已知（5+2x）?+（3+2x）2=60,求（5+2x）（2x+3）的值.

四.平方差公式（共6小題）

22.（2023春?祥符區(qū)期末）閱讀式面的材料并填空:

①上撲｛!=1-9反過來，1-^-=(1-^)(1+^)=^x|

②(1-g)(l+g)=l-5,反過來,得1一提=(1-g)(l+g)=x

(3)(1——)(1+—)=1T7?反過來，得1—y=___=1—><—1?

444~444

利用上面材料中的方法和結論計算下題：

（1一"川一小。一嬴一募）。一七）?

23.(2023春?碑林區(qū)校級月考)閱讀材料后解決問題：

小明遇到下面?個問題：

計算(2+1)(2?+1)(2"+1)(2*+1).

經(jīng)過觀察，小明發(fā)現(xiàn)如果將原式進行適當?shù)淖冃魏罂梢猿霈F(xiàn)特殊的結構，進而可以應用平方差公式解決問

題，具體解法如下：(2+1乂22+1煨+1)(2'+1)

=(2+1)(2-1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(24-1)(24+1)(2X+1)

=(28-1)(28+1)

=2I6-1

請你根據(jù)小明解決問題的方法，試著解決以下的問題：

(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=.

(2)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(3"+1)=.

(3)化簡：(m+〃)(〃「+n2)(加1+n*)(m8+w8)(/??'6+〃怖).

24.（2023春?吳江區(qū)期中）你能化簡（a—l）s99+/?+/7+…+/+〃+］）嗎？

我們不妨先從簡單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結論.

（1）先填空：（。-1）（。+1）=；（4-1）32+4+1）=；（?-l）（fl3+?2+fl+l）=

由此猜想：（a一1）（。"++＜產(chǎn)+…+a2+a+1）=

（2）利用這個結論，你能解決下面兩個問題嗎？

①求2師+2.+2⑼+…+2?+2+1的值;

②若a5+a44-a3+a2+1/4-1=0,則a6等于多少？

25.（2023春?靖西市期中）你能化簡3-1）399+〃％+/7++/+〃+］）嗎？

我們不妨先從簡單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結論.

（1）先填空：（。-1）3+1）=；（。-1）（/+。+|）=；（。-］）（/+。2+。+］）=

由U匕猜想：（4一1）（。產(chǎn)十，產(chǎn)十，產(chǎn)十…十十"十1）=

（2）利用這個結論，請你解決下面的問題：

①求2⑼+2超+2⑼+…+2?+2+1的值；

②若/+L+/+/+/+々+1=0,則@等于多少？

26.（2023春?電白區(qū)期中）請先觀察下列算式,再填空：

3272=8x1,52-32=8X2.

①72-52=8X；

②9?-（）2=8X4；

③：__）2-92=8X5；

④3-（）2=8X；

（1）通過觀察歸納，你知道上述規(guī)律的一般形式嗎？請把你的猜想寫出來.

（2）你能運用本章所學的平方差公式來說明你的猜想的正確性嗎？

27.（2022春?南城縣校級月考）閱讀下面的材料并填空：

（J）（1）（1H）=1?反過來，得17=（1）（1H）=-X—

222-2~2222

+=反過來，得1一/=（1一：）（1+：）=x

③（i-3（i+3=i-3，反過來，得1-』==-x-

444242----44

利用上面的材料中的方法和結論計算下題：

a*。-"）（T）……a-盛）。-盛）。一族

五.平方差公式的幾何背景（共6小題）

28.（2023春?濟南期中）問題再現(xiàn)：

數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學知識變得直觀起來并且具

有可操作性，從而可以幫助我們快速解題.初中數(shù)學里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面

積的方法進行直觀推導和解釋.

例如：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式.

證明：將一個邊長為。的正方形的邊長增加方，形成兩個矩形和兩個正方形，如圖I.

這個圖形的面積可以表示成：（。+〃尸或/+2H+Z/,

.??+少2="+2^+〃這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式.

（1）類比解決：

如圖2,一個邊長為a的大正方形中有一個邊長為人的小正方形，將陰影部分拼成了一個長方形.

則①的陰影面積表示為—.

則②的陰影面積表示為-.

由此可以得到的等式是—.

（2）嘗試解決：

問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明：「+23=32?

如圖3,A表示1個1x1的正方形，即：1乂1乂1=19表示1個2x2的正方形，。與Q恰好可以拼成1個

2x2的正方形，因此：B、C、。就可以表示2個2x2的正方形，即：2x2x2=23,而A、B、CyD

恰好可以拼成一個（1+2）x（I+2）的大正方形.

由此可得:13+23=（1+2）2=32.

請你類比上述推導過程，利用圖形的幾何意義求：/+23+33（要求寫出結論并構造圖形）.

（3）問題拓廣：

請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：/+23+3?+…+/=—.（直接寫出結論即可，不必寫出解

題過程）

（D

WIM2圖3

29.（2023春?安徽月考）如圖，有一位狡猾的地主，把一塊邊長為。的正方形的土地，租給李老漢種植，

他對李老漢說：“我把你這塊地的一邊減少4〃?，另一邊增加4〃?，繼續(xù)租給你，你也沒有吃虧，你看如

何李老漢一聽，覺得自己好像沒有吃虧，就答應了.同學們，你們覺得李老漢有沒有吃虧？請說明

理由.

30.（2022春?長安區(qū)校級期中）（1）如圖1,已知正萬形A3c。的邊長為〃，正萬形AGCH的邊長為〃,

長方形A8GE和）HD為陰影部分，則陰影部分的面積是（寫成平方差的形式）

（2）將圖1中的長方形A8GE和瓦ED剪下來，拼成圖2所示的長方形，則長方形曲石的面積是,

（寫成多項式相乘的形式〉

（3）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式

（4）利用所得公式計算：2（1+；）（1+!）（1+￡）（1+最）+5.

S1

31.（2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖1所示，邊長為。的正方形中有一個邊長為人的小正方形，如圖2

中陰影部分剪裁后拼成的?個長方形.

（1）設如圖1中陰影部分面積為5,如圖2中陰影部分面積為S?,請直接用含”,〃的代數(shù)式;表示，，

小

（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式；

（3）試利用這個公式計算；（2+1）（2?+1）（2,+1）（2?+1）+1

32.（2022春?通川區(qū)校級月考）賣法公式的探究及應用:

（1）如圖1所示，陰影部分的面積足（寫成平方差的形式）

圖2

囹1

（2）若將圖1中的陰影部分剪下來，拼成如圖2所示的長方形，此長方形的面積是,（寫成多項式

相乘的形式）.

（3）比較兩圖的陰影部分的面積，可以得到乘法公式：.

（4）應用所得的公式計算：2（1+；）（1+京1+京1+攝）+,.

33.（2022春?河源期中）乘法公式的探究及應用.

（1）如圖1，可以求出陰影部分的面積是（寫成兩數(shù)平方差的形式）；

（2）如圖2,若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，它的寬是,長是,面積是

（寫成多項式乘法的形式）；

（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到公式；

（4）運用你所得到的公式，計算下列各題：

①10.2x9.8,②（2m+n-p）（2m-n+p）.

圖1圖2

六.整式的混合運算（共7小題）

34.（2022春?滕州市校級月考）王老師家買了一套新房，其結構如圖所示，（單位：米）他打算將臥室鋪

上木地板，其余部分鋪上地磚.

（1）木地板和地磚分別需要多少平方米？

（2）如果地磚的價格為每平方米x元，木地板的價格為每平方米3x元，那么王老師需要花多少錢?

2bAHb?|

廚房

臥室-------L

衛(wèi)生間

2a

客廳

4b

35.(2023秋?江都區(qū)校級月考)如果*那么稱。為〃的勞格數(shù),記為〃=d(〃)，由定義可知,

i(y，=〃和〃=4(〃)所表小的〃兩個量之間具有同■關系，

(1)根據(jù)定義，填空：4。0)=—,d(10")=

(2)勞格數(shù)具有如下性質：d(mn)=d(m)+d(n),d(乂)="(/〃)-d(〃)根據(jù)運算性質，填空

n

①業(yè)2=___,5為正數(shù))，②若d(2)=0.3010,d(4)=____,d(5)=____.

d(a)

36.(2023春?亭湖區(qū)校級月考)如果10=〃，那么〃為〃的勞格數(shù)，記為》="(〃)，由定義可知：10:〃

與b=d(n)所表示的b、/?兩個量之間的同一關系.

(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：6/(10)=1,6/(102)=2.

那么：J(103)=,J(10_2)=

(2)勞格數(shù)有如下運算性質：

若〃？、〃為正數(shù)，則ci(mn)=d(m)+d(〃)，d(—)=d(m)-d(n)?

n

根據(jù)運算性質，填空：

如*=m為正數(shù)).

d(a)

若d(3)=0.4771,則4(9)=,d(—)=；

—10—

(3)如表中與數(shù)x對應的勞格數(shù)"(x)有且只有兩個是錯誤的，請找出錯誤的勞格數(shù)，說明理由并改正.

X0.823.2458

d(x)6〃-初+12a-b10a-5b4a-2b"2a+b6a-3b

37.（2022春?武漢期中）（1）如圖1,正方形A8CO和CE/P的邊長分別為機、〃，用含機、〃的代數(shù)式

表示AAEG的面積.

（2）如圖2,正方形八4CO和CEFG的邊長分別為〃？、〃，用含機、〃的代數(shù)式表示"加/的面積.

（3）如圖3,正方形A/38、正方形CER7和正方形MM7/；的位置如圖所示，點G在線段AV上，已知

正方形CE/P的邊長為8,則的面積為（請直接寫出結果，不需要過程）

38.（2022春?高新區(qū)校級期中）如圖①是一個長為4〃、寬為b的長方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成四

塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖②）.

（D圖②中的陰影部分的面積為

（2）觀察圖②請你寫出（。+與2、4力之間的等量關系是.

（3）根據(jù)（2）中的結論，若p-q=-4,p?q=?,則（〃+q）2=____.

4

（4）實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.如圖③，它表示了

（5）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（2。+〃）（4+2〃）=2/+5帥+2乩

39.（2022春?安慶期中）根據(jù)圖示，回答下列問題

(1)大正方形的面積S是多少？

(2)梯形H,川的面積品，分別是多少？

試求5+5山與S-E的值.

(4)由（3）你發(fā)現(xiàn)了什么？請用含人的式子表示你的結論.

廣

b

in

40.（2022春?青山區(qū)月考）南山植物園中現(xiàn)有A、8兩個園區(qū)，已知A園區(qū)為長方形，長為（x+y）米，寬

為（x-y）米；8園區(qū)為正方形，邊長為（x+3y）米.

（1）請用代數(shù)式表示A、4兩園區(qū)的面積之和并化簡：

（2）現(xiàn)根據(jù)實際需要對A園區(qū)進行整改，長增加（1次->，）米，寬減少2y）米，整改后A區(qū)的長比寬多

350米，且整改后兩園區(qū)的周長之和為980米.

①求X、y的值：

②若A園區(qū)全部種植C種花，8園區(qū)全部種植O種花，且C、。兩種花投入的費用與吸引游客的收益如

表：

CD

投入（元/平方米）1216

收益（元/平方米）1826

求整改后A、8兩園區(qū)旅游的凈收益之和.（凈收益=收益-投入）

參考答案與試題解析

整式的乘除（壓軸大題專練）

一.塞的乘方與積的乘方（共4小題）

1.（2023春?大豐區(qū)月考）閱讀下面的材料：

材料一:比較嚴和?的大小

解：因為4“二⑶”=2，，且3>2,

22

所以產(chǎn)一,即322>4”」

小結：指數(shù)相同的情況下，通過比較底數(shù)的大小，來確定兩個

幕的大小，

材料二：比較2'和8?的大小.

解：因為82/3）2=26,且8>6,

所以2?>26,即28>82,

小結：底數(shù)相同的情況下，通過比較指數(shù)的大小，來確定兩個

幕的大小

解決下列問題：

(1)比較3“、4”、5然的大?。?/p>

(2)比較8產(chǎn)、27"、9'的大小:

(3)比較3晨即與3隈那的大小.

【分析】(1)根據(jù)3必=(3。)“=81”，433=(43),,=64",522=(52)"=25",再比較

底數(shù)的大小即可；

(2)根據(jù)8P=(34尸=3⑵，2741=(33)41=3,23,9&=⑶產(chǎn)，再比較底數(shù)的

大小即可；

(3)根據(jù)3隈即=(3、5尸x3?,3,OX5,2=(3X5),OX52,再由3?<5?,即可得出結

論.

【解答】ft?；(1)7344=(34)"=81",

433=(4，I=64”，

522=(52)"=25U,

81>64>25?

.?.81">64">25",

即344>433>522；

(2)...813,=(34)3,=3'24,

2741=(33)41=3123,

961=(32)61=3122,

124>123>122，

/.3,24>3,23>3,22,

813,>2741>961；

l2,o,o2

(3)V3x5=(3x5)x3,

3,OX5,2=(3X5),OX52J

又v32<52，

.?.3,2X5,0<3,0X512.

【點評】本題考查嘉的乘方與積的乘方、有理數(shù)大小比較，解

答本題的關鍵是明確有理數(shù)大小的比較方法.

2.(2023春?興化市期中)若a=so且八〃是正整數(shù)),

則,〃一.利用上面結論解決下面的問題：

(1)若3，x9,x27x=3%求x的值.

(2)若—，y=4—25、用含工的代數(shù)式表示

【分析】(1)由3*x9*x27,=3、x(32)XX(3)=3xx32"x33x=3^=3口得出6工=12,

可得出答案；

(2)將5一=工+3代入『=4-25例=4-(52尸=4-(5'")2可得答案.

【解答】解：(1)3*x9、x27”=3,x(32)Xx(33)r=3Xx32vx33jr=36jf.

v361=3'2,

/.6x=12，

x=2?

(2)x=5"'-3,

.-.5w,=x+3,

j-4-25w-4-(52),n-4-(5,n)2-4-(x+3)2，

「?y=一廠—6x—5?

【點評】本題主要考查累的乘方與積的乘方，解題的關鍵是熟

練利用嘉的乘方與積的乘方對式子進行變形.

3.(2023春?洪澤區(qū)期中)設7,內(nèi)，為了比較，”與”的大

小.小明想到了如下方法：機=2*(24)25=16”，即25個16相乘

的積；-3)”=27”，即25個27相乘的積,顯然〃…，現(xiàn)在

設*=43尸3，。，請你用小明的方法比較x與，'的大小.

【分析】根據(jù)題意先把八y分別寫成卬尸、⑶尸，然后比較底數(shù)

的大小即可.

【解答】解：由閱讀材料知：x=@尸=64%y=(3,尸=8產(chǎn),

又64<81，

x<y?

故答案為x<y.

【點評】本題考查了幕的乘方的性質的運用，確定指數(shù)是關

鍵，兩個底數(shù)不同，指數(shù)相同的數(shù)比較大小，底數(shù)大的值

比底數(shù)小的值要大.

4.(2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考)已知3.右,=，i,求(1)2-3x(%-2)-4的值.

【分析】首先由3-25+2=61,可得32?5"2=(15產(chǎn)=，i,即可得方程％+2=31,

解此方程即可求得x的值，然后化簡"-I)?-2)-4,再將工=3代入，即可求得答

案.

【解答】解：丁3r+2.5r+2=(15)"2=]531,

:.x+2=3x-4,

解得：x=3,

/.(x1)~—3x(x—2)—4

=X2-2A+I-3X2+6X-4

=—2x~+4x—3

=-2x9+4x3-3

【點評】此題考查了積的乘方的性質與化簡求值問題.此題難度適中，注意由

3/2.5，+2=15至1,得到方程工+2=3無-4是解此題的關鍵.

二.多項式乘多項式（共7小題）

5.（2023春?濟南期末）觀察以下等式：

。+1）（/一工+1）=丁+1

（x+3）（x2-3x+9）=x3+27

（x+6）（x2-6x+36）=丁+216

（1）按以匕等式的規(guī)律，填空：（.）（_八加y_）?"3

（2）利用多項式的乘法法則，說明（1）中的等式成立.

（3）利用（1）中的公式化衙：（x+y）C?F+y2）_（4+2y）a2_2xy+4y2）

【分析】（1）根據(jù)等式的規(guī)律填空即可；

（2）利用多項式的乘法法則，進行計算即可得出（1）中的等

式成立；

（3）利用（1）中的公式進行計算、合并即可.

【解答】解：⑴(a+b)(a2-ab+b2)=cf+b-；

故答案為：a2-ab+b-；

(2)(〃+bXa2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+/?'=a3+b-；

(3)原式=(d+/)-，+8y3)=_7).

【點評】本題主要考查多項式乘以多項式的法則.注意不要漏

項，漏字母，有同類項的合并同類項.

6.(2023春?姑蘇區(qū)校級期中)閱讀以下材料，回答下列問

題：

小明遇到這樣一個問題：求計算(x+2)Qx+3)(3x+4)所得多項式的一

次項系數(shù).小明想通過計算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得的多項式解決上

面的問題，但感覺有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對簡潔

的方法.

他決定從簡單情況開始，先找(》2)(2?3)所得多項式中的一次項

(x+2)(2xI4-3)I=2x2+3計八y+6

系數(shù).通過觀察發(fā)現(xiàn):

也就是說，只需用"2中的一次項系數(shù)1乘以2"3中的常數(shù)項

3,再用中的常數(shù)項2乘以2x+3中的一次項系數(shù)2,兩個積

相加Ix3+2x2=7，即可得到一次項系數(shù).

延續(xù)上面的方法，求計算(》2)(2?3)(3?4)所得多項式的一次項系

數(shù).可以先用x+2的一次項系數(shù)1,2x+3的常數(shù)項3,3x+4的常數(shù)

項4,相乘得到12；再用2x+3的一次項系數(shù)2,x+2的常數(shù)項

2,3"4的常數(shù)項4,相乘得到16；然后用3X+4的一次項系數(shù)

3,?2的常數(shù)項2,2X+3的常數(shù)項3,相乘得到18,最后將

12,16,18相加，得到的一次項系數(shù)為46.

參考小明思考問題的方法，解決下列問題：

(1)計算(2x+D(3x+2)所得多項式的一次項系數(shù)為7.

(2)計算(x+I)(3x+2)(4x-3)所得多項式的一次項系數(shù)為.

(3)若計算(八百清-3?幻(21)所得多項式的一次項系數(shù)為0,

則仁.

(4)計算"+1)5所得多項式的一次項系數(shù)為一，二次項系數(shù)

為?

(5)計算⑶》所得多項式的一次項系數(shù)為一,二次項系

數(shù)為—.

【分析】根據(jù)題目中提供的計算方法進行計算即可；

【解答】解：(1)2x2+lx3=7,

故答案為：7；

(2)1x(-3)x2+3x1x(-3)+4xlx2=-6-9+8=-7,

故答案為：-7；

(3)由題意得，1x?x14-(-3)xlx(-l)+2xlxt7=O,

也就是，。+3+%=0，

所以，〃=-1；

故答案為：-1;

(4)V(X+1)5

=(x+l)(x+l)(x+l)(x+l)(.r+l)

=(x2+2x+l)(x2+2.r+1)(x+1)

，一次項系數(shù)為：2x1x1+2x1x14-1x1x1=5；

二次項系數(shù)為：1+1+2x2+2x1+2x1=10.

故答案為：5,10；

(5)(2.r-1)5=(2X-1)(2X-1)(2X-1)(2X-1)(2X-1).

=(4X2-4X+1)(4X2-4X+1)(2X-1).

???一次項系數(shù)為：-4xlx(-l)+(-4ix|x(-l)4-2xlxl=10，

二次項系數(shù)為：2x(T)x1+(-4)x(-4)(-1)x2

=-40.

故答案為：10；40.

【點評】本題考查多項式乘以多項式，因式分解的意義，理解

多項式乘以多項式所得的多項式每一項的系數(shù)是解決問題的關

鍵.

7.(2023春?安徽期末)甲、乙兩人共同計算一道整式乘法

題：(2x+a)(3x+?.甲由于把第一個多項式中的“+/'看成了

得到的結果為貨+UlO；乙由于漏抄了第二個多項式中x的系

數(shù)，得到的結果為2?-9x+10.

(1)求正確的八〃的值.

(2)計算這道乘法題的止確結果.

【分析】(1)按乙錯誤的說法得出的系數(shù)的數(shù)值求出0，5的

值；

(2)把“，〃的值代入原式求出整式乘法的正確結果.

【解答】解：(1)(2x—a)(3x+b)

=6x2+2bx-3ax-cib

=6x2+(2b-3a)x-ah

=6x2+1Lv-IO?

(2x+a)(x+b)

=2x2+2bx+ar+ab

=2x2+(2b+a)x4-ab

=2X2-9X+10.

2b-3a=\\

"2b+a=-9.9

a=-5

/.；

[b=-2.

(2)(2x-5)(3x-2)

=6x2-4x-I5x+10

=6X2-19X+10.

【點評】此題考查了多項式乘多項式；解題的關鍵是根據(jù)多項

式乘多項式的運算法則分別進行計算，是?？碱}型，解題時要

細心.

8.(2022秋?西湖區(qū)校級期末)當我們利用兩種不同的方法計

算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，由圖1,可得等

工。:(。+2份(。+b)=a2+3ab+2b’.

(1)由圖2可得等式：__(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+lac4-2bc?

(2)利用(1)中所得到的結論，解決下面的問題：

已知a+b+c=lI9cib+be+ac=389求/+〃+/的值；

(3)利用圖3中的紙片(足夠多)，畫出一種拼圖，使該拼圖

可用來驗證等式：2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b).

be

______a

bba

_abc

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)圖2,利用直接求與間接法分別表示出正方

形面積，即可確定出所求等式；

(2)根據(jù)(1)中結果，求出所求式子的值即可；

(3)根據(jù)已知等式，做出相應圖形，如圖所示.

22

【解答】解：(1)(a+b+c)=a+。2+/+2ab+2ac+2bc；

(2)a+b+c=\1,ab+bc+ac=3S9

2212

a+b-I-c=(a+b+c)-2(ab++Z?c)=121-76=45；

(3)如圖所示: