2025年統(tǒng)計學期末考試：卡方檢驗與統(tǒng)計推斷的異同分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的，請將正確選項字母填在題后的括號內(nèi)。）1.卡方檢驗主要用于檢驗兩個分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)性，下列哪個選項最準確地描述了其基本原理？A.比較觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異B.計算樣本均值與總體均值的差異C.分析數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性D.檢驗樣本方差是否等于總體方差2.在進行卡方擬合優(yōu)度檢驗時，如果檢驗統(tǒng)計量顯著，意味著什么？A.數(shù)據(jù)分布與假設(shè)分布完全一致B.數(shù)據(jù)分布與假設(shè)分布存在顯著差異C.樣本量太小，無法得出有效結(jié)論D.假設(shè)分布本身不合理3.下列哪個統(tǒng)計方法適用于檢驗三個或更多分類變量之間的關(guān)聯(lián)性？A.t檢驗B.方差分析C.卡方檢驗D.相關(guān)分析4.在卡方獨立性檢驗中，自由度的計算公式是什么？A.行數(shù)×列數(shù)B.行數(shù)+列數(shù)-1C.樣本量-1D.總體參數(shù)個數(shù)5.如果卡方檢驗的p值小于0.05，我們通常如何解釋？A.拒絕原假設(shè)，認為變量之間存在關(guān)聯(lián)性B.接受原假設(shè)，認為變量之間不存在關(guān)聯(lián)性C.無法判斷，需要進一步收集數(shù)據(jù)D.結(jié)果可能受到樣本量影響6.在進行卡方檢驗前，需要對數(shù)據(jù)進行哪些預處理？A.標準化B.正態(tài)化C.分類D.線性化7.卡方檢驗的假設(shè)條件是什么？A.數(shù)據(jù)必須服從正態(tài)分布B.樣本量必須足夠大C.各單元格期望頻數(shù)不能太小D.數(shù)據(jù)必須是連續(xù)型8.下列哪個選項是卡方檢驗的優(yōu)點？A.對數(shù)據(jù)分布要求嚴格B.可以處理大量數(shù)據(jù)C.結(jié)果解釋直觀D.計算過程復雜9.在實際應用中，卡方檢驗常用于哪些場景？A.比較兩組均值B.檢驗分類變量關(guān)聯(lián)性C.分析回歸系數(shù)D.評估預測模型精度10.如果卡方檢驗結(jié)果不顯著，意味著什么？A.變量之間不存在關(guān)聯(lián)性B.樣本量太小C.數(shù)據(jù)質(zhì)量差D.假設(shè)設(shè)置不合理二、簡答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案寫在答題卡上。）1.簡述卡方檢驗的基本原理，并舉例說明其應用場景。2.解釋卡方擬合優(yōu)度檢驗與卡方獨立性檢驗的區(qū)別。3.描述卡方檢驗的假設(shè)條件，并說明違反這些假設(shè)會帶來什么問題。4.在實際應用中，如何判斷卡方檢驗的適用性？5.如果卡方檢驗結(jié)果顯著，但實際業(yè)務(wù)中沒有明顯變化，如何解釋這一現(xiàn)象？三、計算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。請將答案寫在答題卡上。）1.某研究人員調(diào)查了100名消費者對兩種品牌的偏好，數(shù)據(jù)如下表所示。請檢驗兩種品牌之間是否存在顯著差異。||喜歡品牌A|不喜歡品牌A||----------|------------|-------------||喜歡品牌B|30|20||不喜歡品牌B|10|40|2.某研究人員調(diào)查了不同年齡段人群對某產(chǎn)品的購買意愿，數(shù)據(jù)如下表所示。請檢驗年齡段與購買意愿之間是否存在關(guān)聯(lián)性。||購買|不購買||----------|------|-------||18-25歲|20|30||26-35歲|30|20||36-45歲|25|35|3.某研究人員調(diào)查了不同教育程度人群對某政策的支持度，數(shù)據(jù)如下表所示。請檢驗教育程度與支持度之間是否存在關(guān)聯(lián)性。||支持度|反對度||----------|--------|--------||高中及以下|20|30||大專|30|20||本科及以上|40|10|四、論述題（本大題共2小題，每小題15分，共30分。請將答案寫在答題卡上。）1.比較卡方檢驗與t檢驗的異同，并說明在什么情況下選擇哪種檢驗方法更合適。2.在實際應用中，如何正確解釋卡方檢驗的結(jié)果？請結(jié)合具體案例說明。三、計算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。請將答案寫在答題卡上。）4.某醫(yī)院記錄了100名病人感染某種病毒后的治療結(jié)果，數(shù)據(jù)如下表所示。請檢驗治療方法和治療效果之間是否存在關(guān)聯(lián)性。||治愈|無效|復發(fā)||--------------|------|------|------||方法A|40|10|10||方法B|30|20|10|5.某公司調(diào)查了500名員工的工作滿意度與工作年限的關(guān)系，數(shù)據(jù)如下表所示。請檢驗工作年限與工作滿意度之間是否存在關(guān)聯(lián)性。||滿意|一般|不滿意||--------------|------|------|-------||1年以下|50|30|20||1-3年|70|40|30||3年以上|60|50|40|6.某大學調(diào)查了500名學生的專業(yè)選擇與性別的關(guān)系，數(shù)據(jù)如下表所示。請檢驗專業(yè)選擇與性別之間是否存在關(guān)聯(lián)性。||男生|女生||--------------|------|------||文科|50|70||理科|80|60||工科|70|50|四、論述題（本大題共2小題，每小題15分，共30分。請將答案寫在答題卡上。）7.比較卡方檢驗與方差分析的異同，并說明在什么情況下選擇哪種檢驗方法更合適。在實際教學中，你如何向?qū)W生解釋這兩種方法的區(qū)別？8.在實際應用中，如何正確解釋卡方檢驗的結(jié)果？請結(jié)合具體案例說明。在實際教學中，你如何引導學生避免對卡方檢驗結(jié)果的誤讀？本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：卡方檢驗的基本原理是通過比較觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異來判斷分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)性。觀察頻數(shù)是實際觀測到的數(shù)據(jù)，期望頻數(shù)是在假設(shè)變量獨立的情況下根據(jù)邊緣分布計算出的理論頻數(shù)。如果兩者差異顯著，則認為變量之間存在關(guān)聯(lián)。2.B解析：卡方擬合優(yōu)度檢驗用于判斷樣本數(shù)據(jù)的分布是否與某個假設(shè)的分布（如正態(tài)分布、均勻分布等）一致。如果檢驗統(tǒng)計量顯著（p值小于顯著性水平），意味著觀察到的數(shù)據(jù)分布與假設(shè)的分布存在顯著差異，不能認為數(shù)據(jù)來自該分布。3.C解析：卡方檢驗可以用于檢驗兩個或多個分類變量之間的關(guān)聯(lián)性。當檢驗三個或更多分類變量時，通常使用卡方獨立性檢驗。t檢驗用于比較兩組均值，方差分析用于比較多個組均值，相關(guān)分析用于分析兩個連續(xù)變量之間的關(guān)系。4.B解析：卡方獨立性檢驗的自由度計算公式為行數(shù)×列數(shù)-1。自由度表示可以獨立變化的參數(shù)個數(shù)，對于卡方檢驗來說，自由度決定了檢驗統(tǒng)計量的分布。5.A解析：如果卡方檢驗的p值小于0.05，通常認為結(jié)果具有統(tǒng)計顯著性，即有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)（變量獨立）。因此，可以認為變量之間存在關(guān)聯(lián)性。6.C解析：卡方檢驗要求每個單元格的期望頻數(shù)不能太小，通常要求期望頻數(shù)不小于5。如果期望頻數(shù)太小，檢驗結(jié)果可能不準確。標準化、正態(tài)化和線性化不是卡方檢驗的預處理步驟。7.C解析：卡方檢驗的假設(shè)條件包括：數(shù)據(jù)必須是分類數(shù)據(jù)，各單元格期望頻數(shù)不能太?。ㄍǔ２恍∮?），樣本量必須足夠大?？ǚ綑z驗對數(shù)據(jù)分布沒有嚴格要求，可以處理非正態(tài)分布數(shù)據(jù)。8.B解析：卡方檢驗的優(yōu)點包括可以處理大量數(shù)據(jù)、結(jié)果解釋直觀、計算相對簡單。缺點是對數(shù)據(jù)分布要求不嚴格，但需要滿足期望頻數(shù)條件?？ǚ綑z驗不要求數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，可以處理分類數(shù)據(jù)。9.B解析：卡方檢驗常用于檢驗分類變量之間的關(guān)聯(lián)性，例如調(diào)查不同年齡段人群對某產(chǎn)品的偏好、分析不同性別消費者對某品牌的忠誠度等。比較兩組均值通常使用t檢驗，分析回歸系數(shù)通常使用回歸分析。10.A解析：如果卡方檢驗結(jié)果不顯著（p值大于顯著性水平），通常認為沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，即認為變量之間不存在關(guān)聯(lián)性。結(jié)果不顯著并不意味著變量之間一定完全獨立，只是當前數(shù)據(jù)無法證明它們之間存在關(guān)聯(lián)。二、簡答題答案及解析1.簡述卡方檢驗的基本原理，并舉例說明其應用場景。答案：卡方檢驗的基本原理是通過比較觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異來判斷分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)性。觀察頻數(shù)是實際觀測到的數(shù)據(jù)，期望頻數(shù)是在假設(shè)變量獨立的情況下根據(jù)邊緣分布計算出的理論頻數(shù)。如果兩者差異顯著，則認為變量之間存在關(guān)聯(lián)。例如，某研究人員調(diào)查了100名消費者對兩種品牌的偏好，數(shù)據(jù)如下表所示：||喜歡品牌A|不喜歡品牌A||----------|------------|-------------||喜歡品牌B|30|20||不喜歡品牌B|10|40|2.解釋卡方擬合優(yōu)度檢驗與卡方獨立性檢驗的區(qū)別。答案：卡方擬合優(yōu)度檢驗用于判斷樣本數(shù)據(jù)的分布是否與某個假設(shè)的分布一致，例如正態(tài)分布、均勻分布等?？ǚ姜毩⑿詸z驗用于判斷兩個分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)性。區(qū)別在于：擬合優(yōu)度檢驗是一個變量與一個分布的比較，而獨立性檢驗是兩個變量之間的關(guān)系。擬合優(yōu)度檢驗的期望頻數(shù)是根據(jù)假設(shè)分布計算出的，而獨立性檢驗的期望頻數(shù)是根據(jù)兩個變量的邊際分布計算出的。3.描述卡方檢驗的假設(shè)條件，并說明違反這些假設(shè)會帶來什么問題。答案：卡方檢驗的假設(shè)條件包括：數(shù)據(jù)必須是分類數(shù)據(jù)，各單元格期望頻數(shù)不能太?。ㄍǔ２恍∮?），樣本量必須足夠大。如果違反這些假設(shè)，可能會帶來以下問題：-數(shù)據(jù)不是分類數(shù)據(jù)：如果數(shù)據(jù)不是分類數(shù)據(jù)，卡方檢驗可能不適用，需要使用其他統(tǒng)計方法。-期望頻數(shù)太?。喝绻谕l數(shù)太小，檢驗結(jié)果可能不準確，需要增加樣本量或合并類別。-樣本量太?。簶颖玖刻е陆y(tǒng)計功效不足，難以檢測到真實的關(guān)聯(lián)性。4.在實際應用中，如何判斷卡方檢驗的適用性？答案：在實際應用中，判斷卡方檢驗的適用性需要考慮以下因素：-數(shù)據(jù)類型：卡方檢驗適用于分類數(shù)據(jù)，如果數(shù)據(jù)是連續(xù)型數(shù)據(jù)，需要轉(zhuǎn)換為分類數(shù)據(jù)或使用其他統(tǒng)計方法。-期望頻數(shù)：檢查每個單元格的期望頻數(shù)是否滿足條件（通常不小于5）。如果期望頻數(shù)太小，需要增加樣本量或合并類別。-樣本量：樣本量必須足夠大，通常建議樣本量至少為20。-變量關(guān)系：卡方檢驗適用于檢驗兩個或多個分類變量之間的關(guān)系。5.如果卡方檢驗結(jié)果顯著，但實際業(yè)務(wù)中沒有明顯變化，如何解釋這一現(xiàn)象？答案：如果卡方檢驗結(jié)果顯著，但實際業(yè)務(wù)中沒有明顯變化，可能是以下原因：-樣本量太大：即使是很小的差異，在大樣本量下也可能顯著。-數(shù)據(jù)噪聲：數(shù)據(jù)中可能存在隨機波動或噪聲，導致顯著結(jié)果。-業(yè)務(wù)背景：顯著結(jié)果可能在業(yè)務(wù)上沒有實際意義，需要結(jié)合業(yè)務(wù)背景進行解釋。三、計算題答案及解析4.某醫(yī)院記錄了100名病人感染某種病毒后的治療結(jié)果，數(shù)據(jù)如下表所示。請檢驗治療方法和治療效果之間是否存在關(guān)聯(lián)性。||治愈|無效|復發(fā)||--------------|------|------|------||方法A|40|10|10||方法B|30|20|10|答案：首先計算每個單元格的期望頻數(shù)：||治愈|無效|復發(fā)|合計||--------------|------|------|------|------||方法A|35|15|10|60||方法B|35|15|10|60||合計|70|30|20|100|計算卡方統(tǒng)計量：χ2=Σ((O-E)2/E)χ2=((40-35)2/35)+((10-15)2/15)+((10-10)2/10)+((30-35)2/35)+((20-15)2/15)+((10-10)2/10)χ2=(52/35)+(52/15)+(02/10)+(52/35)+(52/15)+(02/10)χ2=25/35+25/15+0+25/35+25/15+0χ2=0.714+1.667+0+0.714+1.667+0χ2=4.767自由度=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)=(2-1)×(3-1)=2查卡方分布表，χ2(2,0.05)=5.991。因為4.767<5.991，p值>0.05，所以不拒絕原假設(shè)，認為治療方法和治療效果之間不存在顯著關(guān)聯(lián)性。5.某公司調(diào)查了500名員工的工作滿意度與工作年限的關(guān)系，數(shù)據(jù)如下表所示。請檢驗工作年限與工作滿意度之間是否存在關(guān)聯(lián)性。||滿意|一般|不滿意||--------------|------|------|-------||1年以下|50|30|20||1-3年|70|40|30||3年以上|60|50|40|答案：首先計算每個單元格的期望頻數(shù)：||滿意|一般|不滿意|合計||--------------|------|------|-------|------||1年以下|66|44|30|140||1-3年|88|59|40|187||3年以上|66|44|30|140||合計|220|147|100|500|計算卡方統(tǒng)計量：χ2=Σ((O-E)2/E)χ2=((50-66)2/66)+((30-44)2/44)+((20-30)2/30)+((70-88)2/88)+((40-59)2/59)+((30-40)2/40)χ2=(162/66)+(142/44)+(102/30)+(182/88)+(192/59)+(102/40)χ2=256/66+196/44+100/30+324/88+361/59+100/40χ2=3.889+4.455+3.333+3.682+6.085+2.5χ2=25.844自由度=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)=(3-1)×(3-1)=4查卡方分布表，χ2(4,0.05)=9.488。因為25.844>9.488，p值<0.05，所以拒絕原假設(shè)，認為工作年限與工作滿意度之間存在顯著關(guān)聯(lián)性。6.某大學調(diào)查了500名學生的專業(yè)選擇與性別的關(guān)系，數(shù)據(jù)如下表所示。請檢驗專業(yè)選擇與性別之間是否存在關(guān)聯(lián)性。||男生|女生||--------------|------|------||文科|50|70||理科|80|60||工科|70|50|答案：首先計算每個單元格的期望頻數(shù)：||男生|女生|合計||--------------|------|------|------||文科|60|60|120||理科|80|80|160||工科|60|60|120||合計|200|200|400|計算卡方統(tǒng)計量：χ2=Σ((O-E)2/E)χ2=((50-60)2/60)+((70-60)2/60)+((80-80)2/80)+((60-80)2/80)+((60-80)2/80)+((50-60)2/60)χ2=(102/60)+(102/60)+(02/80)+(202/80)+(202/80)+(102/60)χ2=100/60+100/60+0+400/80+400/80+100/60χ2=1.667+1.667+0+5+5+1.667χ2=15自由度=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)=(3-1)×(2-1)=2查卡方分布表，χ2(2,0.05)=5.991。因為15>5.991，p值<0.05，所以拒絕原假設(shè)，認為專業(yè)選擇與性別之間存在顯著關(guān)聯(lián)性。四、論述題答案及解析7.比較卡方檢驗與方差分析的異同，并說明在什么情況下選擇哪種檢驗方法更合適。在實際教學中，你如何向?qū)W生解釋這兩種方法的區(qū)別？答案：卡方檢驗和方差分析都是常用的統(tǒng)計方法，但它們適用于不同類型的數(shù)據(jù)和研究問題。相同點：-都是基于假設(shè)檢驗的