2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：統(tǒng)計(jì)推斷與假設(shè)檢驗(yàn)解題解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果選擇了顯著性水平α=0.05，那么這意味著我們?cè)敢獬袚?dān)多大比例的犯第一類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)？A.5%B.10%C.1%D.0%2.對(duì)于一個(gè)正態(tài)分布總體，如果已知總體方差，要檢驗(yàn)總體均值是否顯著大于某個(gè)特定值，應(yīng)該使用哪種檢驗(yàn)方法？A.t檢驗(yàn)B.z檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，備擇假設(shè)H1表示總體參數(shù)不等于某個(gè)特定值，這種假設(shè)檢驗(yàn)被稱為？A.雙尾檢驗(yàn)B.單尾檢驗(yàn)C.顯著性檢驗(yàn)D.參數(shù)檢驗(yàn)4.如果一個(gè)樣本的樣本量較?。ū热鏽<30），且總體方差未知，要檢驗(yàn)總體均值是否顯著不同于某個(gè)特定值，應(yīng)該使用哪種檢驗(yàn)方法？A.z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)5.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果原假設(shè)H0被拒絕，那么我們可以說？A.備擇假設(shè)H1一定為真B.總體參數(shù)確實(shí)發(fā)生了變化C.犯第一類錯(cuò)誤的可能性增加了D.樣本統(tǒng)計(jì)量足夠極端，不能歸因于隨機(jī)波動(dòng)6.對(duì)于一個(gè)正態(tài)分布總體，如果未知總體方差，要檢驗(yàn)總體均值是否顯著小于某個(gè)特定值，應(yīng)該使用哪種檢驗(yàn)方法？A.z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)7.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果選擇了顯著性水平α=0.01，那么這意味著我們?cè)敢獬袚?dān)多大比例的犯第二類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)？A.1%B.99%C.0%D.100%8.對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布總體，如果已知總體方差，要檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異，應(yīng)該使用哪種檢驗(yàn)方法？A.t檢驗(yàn)B.z檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)9.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)H0被接受，那么我們可以說？A.備擇假設(shè)H1一定為假B.總體參數(shù)確實(shí)沒有發(fā)生變化C.犯第一類錯(cuò)誤的可能性降低了D.樣本統(tǒng)計(jì)量不夠極端，可以歸因于隨機(jī)波動(dòng)10.對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布總體，如果未知總體方差，但要假設(shè)兩個(gè)總體方差相等，要檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異，應(yīng)該使用哪種檢驗(yàn)方法？A.t檢驗(yàn)B.z檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)11.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量非常大，那么即使總體分布不是正態(tài)分布，我們也可以使用z檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)，這是因?yàn)?？A.樣本量大的情況下，中心極限定理起作用B.大樣本量可以減少犯第一類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)C.大樣本量可以減少犯第二類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)D.大樣本量可以使總體分布更加接近正態(tài)分布12.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果計(jì)算出的p值小于顯著性水平α，那么我們應(yīng)該？A.拒絕原假設(shè)H0B.接受原假設(shè)H0C.增加樣本量重新檢驗(yàn)D.無法確定是否拒絕原假設(shè)H013.對(duì)于一個(gè)非正態(tài)分布總體，如果樣本量較?。ū热鏽<30），要檢驗(yàn)總體均值是否顯著不同于某個(gè)特定值，應(yīng)該使用哪種檢驗(yàn)方法？A.z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)14.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果選擇了顯著性水平α=0.10，那么這意味著我們?cè)敢獬袚?dān)多大比例的犯第一類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)？A.10%B.90%C.0%D.100%15.對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布總體，如果未知總體方差，但要假設(shè)兩個(gè)總體方差不等，要檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異，應(yīng)該使用哪種檢驗(yàn)方法？A.t檢驗(yàn)B.z檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)16.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果計(jì)算出的p值大于顯著性水平α，那么我們應(yīng)該？A.拒絕原假設(shè)H0B.接受原假設(shè)H0C.增加樣本量重新檢驗(yàn)D.無法確定是否拒絕原假設(shè)H017.對(duì)于一個(gè)非正態(tài)分布總體，如果樣本量較大（比如n≥30），要檢驗(yàn)總體均值是否顯著大于某個(gè)特定值，應(yīng)該使用哪種檢驗(yàn)方法？A.z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)18.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果原假設(shè)H0為真，但被拒絕了，那么我們犯的是哪種錯(cuò)誤？A.第一類錯(cuò)誤B.第二類錯(cuò)誤C.無形錯(cuò)誤D.系統(tǒng)錯(cuò)誤19.對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布總體，如果已知總體方差且相等，要檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異，應(yīng)該使用哪種檢驗(yàn)方法？A.t檢驗(yàn)B.z檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)20.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果選擇了顯著性水平α=0.05，且計(jì)算出的p值等于0.05，那么我們應(yīng)該？A.拒絕原假設(shè)H0B.接受原假設(shè)H0C.增加樣本量重新檢驗(yàn)D.無法確定是否拒絕原假設(shè)H0二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。請(qǐng)將答案填寫在題中橫線上。）1.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)H0被拒絕，那么我們說檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是________的，這意味著樣本統(tǒng)計(jì)量與假設(shè)的總體參數(shù)之間存在顯著的差異。2.對(duì)于一個(gè)正態(tài)分布總體，如果已知總體方差，要檢驗(yàn)總體均值是否顯著大于某個(gè)特定值，應(yīng)該使用________檢驗(yàn)方法。3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果選擇了顯著性水平α=0.01，那么這意味著我們?cè)敢獬袚?dān)多大比例的犯第二類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)，即1-β=________。4.對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布總體，如果未知總體方差，但要假設(shè)兩個(gè)總體方差相等，要檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異，應(yīng)該使用________檢驗(yàn)方法。5.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量非常大，那么即使總體分布不是正態(tài)分布，我們也可以使用z檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)，這是因?yàn)開_______起作用。6.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果計(jì)算出的p值小于顯著性水平α，那么我們應(yīng)該________原假設(shè)H0。7.對(duì)于一個(gè)非正態(tài)分布總體，如果樣本量較小（比如n<30），要檢驗(yàn)總體均值是否顯著不同于某個(gè)特定值，應(yīng)該使用________檢驗(yàn)方法。8.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果選擇了顯著性水平α=0.10，那么這意味著我們?cè)敢獬袚?dān)多大比例的犯第一類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)，即α=________。9.對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布總體，如果未知總體方差，但要假設(shè)兩個(gè)總體方差不等，要檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異，應(yīng)該使用________檢驗(yàn)方法。10.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果計(jì)算出的p值大于顯著性水平α，那么我們應(yīng)該________原假設(shè)H0。三、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答題區(qū)域內(nèi)。）1.簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，并說明每一步的作用。在課堂上，我可是帶著大家一步步走過來的。首先，你得搞清楚你要檢驗(yàn)什么，也就是提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1。原假設(shè)通常是那個(gè)默認(rèn)的、沒有明顯證據(jù)就不輕易推翻的假設(shè)，而備擇假設(shè)則是你希望通過證據(jù)來支持的假設(shè)。比如，你想檢驗(yàn)新教學(xué)方法是否比老方法好，老方法沒變就是原假設(shè)，新方法更好就是備擇假設(shè)。這一步，就是要明確你的戰(zhàn)斗目標(biāo)。接著，選擇一個(gè)合適的顯著性水平α，這就像是你給自己定下的“判決”標(biāo)準(zhǔn)，通常選0.05或者0.01，表示你愿意承擔(dān)最多5%或1%的錯(cuò)誤判斷風(fēng)險(xiǎn)，也就是犯第一類錯(cuò)誤的概率。這決定了你的“火眼金睛”要有多敏銳。然后，根據(jù)你的數(shù)據(jù)和你想檢驗(yàn)的內(nèi)容，選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。這個(gè)統(tǒng)計(jì)量能反映你的樣本數(shù)據(jù)與原假設(shè)之間的差異程度。比如，檢驗(yàn)均值時(shí)，用的是t統(tǒng)計(jì)量或z統(tǒng)計(jì)量。計(jì)算這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值，這是你“打分”的環(huán)節(jié)。接下來，根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值和事先確定的α，找到臨界值或者計(jì)算p值。臨界值就像一個(gè)分?jǐn)?shù)線，統(tǒng)計(jì)量超過這個(gè)分?jǐn)?shù)線就拒絕原假設(shè)；p值則是衡量你的樣本結(jié)果有多極端，有多小概率是偶然發(fā)生的。如果統(tǒng)計(jì)量落入了拒絕域，或者p值小于α，你就有了足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，支持備擇假設(shè)。如果沒有，那就不夠充分，不能拒絕原假設(shè)。最后一步，就是根據(jù)計(jì)算結(jié)果和判斷，給出結(jié)論，并用簡(jiǎn)潔明了的語言解釋這個(gè)結(jié)論在實(shí)際問題中的意義。別忘了說明你犯第一類錯(cuò)誤的概率是多少。整個(gè)過程，就像偵探破案，一步步收集證據(jù)，分析線索，最終做出判斷。2.解釋什么是第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤，并說明它們之間的關(guān)系。咱們得聊聊犯錯(cuò)的兩種情況。第一類錯(cuò)誤，又叫做“棄真錯(cuò)誤”，就是原假設(shè)H0實(shí)際上是真實(shí)的，但你卻錯(cuò)誤地拒絕了它。簡(jiǎn)單說，就是“冤枉了好人”。比如說，實(shí)際上新藥和舊藥效果一樣好，但你通過檢驗(yàn)錯(cuò)誤地認(rèn)為新藥效果更好，你就犯了第一類錯(cuò)誤。犯這種錯(cuò)誤的概率，就是我們前面說的顯著性水平α。第二類錯(cuò)誤，也叫“取偽錯(cuò)誤”，就是原假設(shè)H0實(shí)際上是假的，你卻錯(cuò)誤地接受了它。簡(jiǎn)單說，就是“放跑了壞人”。還是那個(gè)例子，實(shí)際上新藥不如舊藥，但你通過檢驗(yàn)錯(cuò)誤地認(rèn)為兩藥效果一樣，你就犯了第二類錯(cuò)誤。犯這種錯(cuò)誤的概率我們通常用β來表示。β的大小跟樣本量、兩個(gè)假設(shè)參數(shù)之間的差距、以及你選的顯著性水平α都有關(guān)系。這兩種錯(cuò)誤就像一枚硬幣的兩面，你減少一種錯(cuò)誤的概率，往往就會(huì)增加另一種錯(cuò)誤的概率。比如，你把顯著性水平α調(diào)得非常小，比如設(shè)為0.01，你就不太可能犯棄真錯(cuò)誤了，但你可能會(huì)更容易犯取偽錯(cuò)誤，也就是把效果不好的藥當(dāng)成好藥。反之，如果你把α設(shè)得很大，比如0.10，你更容易拒絕原假設(shè)，犯棄真錯(cuò)誤的概率就增加了，但犯取偽錯(cuò)誤的概率就可能會(huì)減小。所以，在實(shí)際應(yīng)用中，需要在控制這兩種錯(cuò)誤之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)。3.在什么情況下，我們應(yīng)該選擇雙側(cè)檢驗(yàn)而不是單側(cè)檢驗(yàn)？請(qǐng)結(jié)合實(shí)例說明。哎，這個(gè)選擇可重要了。當(dāng)你關(guān)心的不是總體參數(shù)是大于還是小于某個(gè)特定值，而是總體參數(shù)是否不等于、或者是否顯著不同于這個(gè)特定值時(shí)，你就應(yīng)該選擇雙側(cè)檢驗(yàn)。也就是說，無論總體參數(shù)是大于還是小于假設(shè)值，只要存在顯著差異，你都要檢測(cè)出來。這就像你懷疑一個(gè)人是不是偷了東西，你不僅要看他是不是拿了東西，還要看他是不是在撒謊或者轉(zhuǎn)移注意力，只要有點(diǎn)不對(duì)勁，你都要調(diào)查。比如說，一個(gè)燈泡廠生產(chǎn)的燈泡，標(biāo)準(zhǔn)壽命是1000小時(shí)，你作為質(zhì)檢員，想知道現(xiàn)在生產(chǎn)的燈泡壽命是不是真的還是1000小時(shí)。這里，你關(guān)心的是壽命是否“等于”1000小時(shí)，而不是“大于”或者“小于”1000小時(shí)。你可能擔(dān)心壽命變長(zhǎng)了，也可能擔(dān)心壽命變短了，兩種情況你都不希望發(fā)生。所以，你就設(shè)立原假設(shè)H0：μ=1000小時(shí)（燈泡壽命就是1000小時(shí)），備擇假設(shè)H1：μ≠1000小時(shí)（燈泡壽命不是1000小時(shí)）。這時(shí)，你就要用雙側(cè)檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)燈泡壽命顯著不同于1000小時(shí)，不管是顯著偏長(zhǎng)還是顯著偏短，你都要判定生產(chǎn)出現(xiàn)了問題。相反，如果你關(guān)心的只是總體參數(shù)是否大于或小于某個(gè)特定值，那么就應(yīng)該選擇單側(cè)檢驗(yàn)。比如，那個(gè)燈泡廠，如果你只想知道新工藝生產(chǎn)的燈泡壽命是不是比原來的1000小時(shí)要長(zhǎng)，你就只需要關(guān)心壽命是否“大于”1000小時(shí)。這時(shí)，你的原假設(shè)H0：μ≤1000小時(shí)，備擇假設(shè)H1：μ>1000小時(shí)。你就用單側(cè)檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)燈泡壽命顯著大于1000小時(shí)，你就可以認(rèn)為新工藝是有效的。如果壽命反而短了，那你就更不需要擔(dān)心了，因?yàn)槟愕哪繕?biāo)只是壽命變長(zhǎng)。所以，選擇雙側(cè)還是單側(cè)，關(guān)鍵看你的實(shí)際問題和關(guān)心點(diǎn)是什么。4.解釋中心極限定理的內(nèi)容及其在統(tǒng)計(jì)推斷中的作用。中心極限定理啊，這可是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石之一。它說了什么呢？它說，只要你的樣本量足夠大，不管你抽樣的總體分布是什么形狀，只要你抽的是獨(dú)立同分布的樣本，那么這些樣本均值的分布會(huì)趨向于正態(tài)分布。更具體點(diǎn)說，如果你知道總體均值是μ，總體標(biāo)準(zhǔn)差是σ，那么當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)（通常n≥30就差不多了），樣本均值x?的分布將近似于正態(tài)分布，這個(gè)近似的分布的均值就是μ，但標(biāo)準(zhǔn)差變成了σ/√n。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，我們通常叫做標(biāo)準(zhǔn)誤差。這個(gè)定理在統(tǒng)計(jì)推斷中太重要了！為啥重要？因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)世界中的很多現(xiàn)象，它們的分布可能我們根本不知道，甚至可能根本就不符合正態(tài)分布。但中心極限定理告訴我們，只要我們抽取的樣本夠大，我們就可以假設(shè)樣本均值的分布是正態(tài)的。這意味著，我們可以利用正態(tài)分布的性質(zhì)來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，比如構(gòu)造置信區(qū)間或者進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。想想看，如果你要去估計(jì)一個(gè)城市所有成年男性的平均身高，你不可能把每個(gè)人都測(cè)量一遍吧？你只能抽取一部分人測(cè)量，然后根據(jù)樣本均值來估計(jì)總體均值。但這個(gè)樣本均值的分布到底是什么樣子的呢？中心極限定理就告訴你，只要你抽的樣本夠大，這個(gè)樣本均值的分布就近似正態(tài)分布。這樣一來，你就可以用正態(tài)分布的理論來構(gòu)建身高的95%置信區(qū)間，或者檢驗(yàn)這個(gè)城市成年男性的平均身高是否顯著高于某個(gè)值。沒有中心極限定理，我們能在這么多非正態(tài)分布的總體上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷嗎？恐怕很難了。所以說，中心極限定理是統(tǒng)計(jì)推斷的有力支撐。5.簡(jiǎn)述置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系。咱們學(xué)置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)，感覺像是在學(xué)兩回事，但實(shí)際上它們倆是親密的“連體嬰”，關(guān)系特別密切。你想想，假設(shè)檢驗(yàn)是“是”還是“否”的問題，你得判斷總體參數(shù)是不是等于某個(gè)值；而置信區(qū)間是“大概在哪兒”的問題，你得給出一個(gè)范圍，認(rèn)為總體參數(shù)很可能落在這個(gè)范圍內(nèi)。它們是從不同角度來回答同一個(gè)核心問題：我們關(guān)于總體參數(shù)的估計(jì)有多可靠？它們的關(guān)系主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。第一，置信區(qū)間的構(gòu)建過程和假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域是緊密相關(guān)的。對(duì)于一個(gè)特定的顯著性水平α，如果你構(gòu)建了一個(gè)100(1-α)%的置信區(qū)間，那么這個(gè)區(qū)間之外的那個(gè)臨界值，其實(shí)就是假設(shè)檢驗(yàn)中拒絕原假設(shè)H0：μ=μ0的臨界值。換句話說，如果你計(jì)算的樣本均值μ0落在了這個(gè)置信區(qū)間之外，那么在顯著性水平α下，你就可以拒絕原假設(shè)H0。這就像說，如果你估計(jì)的平均身高（樣本均值）和某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)值（假設(shè)值）差得離譜，以至于它們不在你估計(jì)的“合理范圍”（置信區(qū)間）內(nèi)，那你就有理由懷疑這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)值不靠譜，也就是拒絕原假設(shè)。第二，置信區(qū)間可以提供假設(shè)檢驗(yàn)所不能提供的更多信息。假設(shè)檢驗(yàn)只告訴你是否拒絕原假設(shè)，但并沒有告訴你估計(jì)的精確程度，也就是我們不知道這個(gè)總體參數(shù)“大概”是多少。而置信區(qū)間則給出了一個(gè)具體的范圍，這個(gè)范圍的大小反映了估計(jì)的不確定性，范圍越小，說明估計(jì)越精確。比如，假設(shè)檢驗(yàn)可能告訴你，新藥的效果顯著不同于舊藥，但具體好多少或者差多少，它就不管了。而置信區(qū)間可以告訴你，新藥的效果估計(jì)比舊藥高0.5到1.2個(gè)單位，這就非常直觀了。所以，在實(shí)際應(yīng)用中，我們常常把假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間結(jié)合起來使用，這樣能更全面、更深入地了解數(shù)據(jù)和信息。四、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答題區(qū)域內(nèi)。）1.某大學(xué)隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的期末考試成績(jī)，得到樣本均值為78分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為10分。假設(shè)學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，試以95%的置信水平估計(jì)該大學(xué)所有學(xué)生期末考試平均成績(jī)的置信區(qū)間。好的，咱們來算個(gè)例子。假設(shè)有個(gè)大學(xué)，老師想了解他們所有學(xué)生的期末考試平均分是多少。他不可能給每個(gè)學(xué)生都打分啊，于是他隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，記錄了他們的成績(jī)。算出來這50個(gè)人的平均分是78分，而且這50個(gè)人成績(jī)的“波動(dòng)”程度（標(biāo)準(zhǔn)差）是10分。老師想知道，根據(jù)這50個(gè)人的成績(jī)，他能不能估計(jì)出整個(gè)學(xué)校所有學(xué)生的平均分大概在哪個(gè)范圍內(nèi)？并且，他希望這個(gè)估計(jì)有95%的把握是正確的。這就要用到置信區(qū)間了。首先，咱們得知道樣本量n=50，樣本均值x?=78，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=10。咱們要估計(jì)的是總體均值μ，置信水平是95%，也就是α=1-0.95=0.05。因?yàn)榭傮w是正態(tài)分布，而且咱們知道總體方差（雖然題目沒直接給，但因?yàn)橛袠颖緲?biāo)準(zhǔn)差，所以可以認(rèn)為知道總體方差或者可以用樣本方差代替），所以可以用z分布來構(gòu)建置信區(qū)間。我們需要找到z分布的α/2=0.025分位點(diǎn)，查表或者用計(jì)算器可以得到z0.025≈1.96。接下來，計(jì)算置信區(qū)間的上下限。置信區(qū)間的公式是：x?±zα/2*(σ/√n)。因?yàn)轭}目給了樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=10，我們可以用s來代替σ。所以，置信區(qū)間的上下限分別是：下限：78-1.96*(10/√50)=78-1.96*(10/7.071)≈78-1.96*1.414≈78-2.77≈75.23上限：78+1.96*(10/√50)=78+1.96*(10/7.071)≈78+1.96*1.414≈78+2.77≈80.77所以，以95%的置信水平估計(jì)，該大學(xué)所有學(xué)生期末考試平均成績(jī)的置信區(qū)間是大約(75.23分,80.77分)。這意味著，如果老師重復(fù)進(jìn)行這種抽樣調(diào)查很多次，每次都計(jì)算出這樣的置信區(qū)間，那么大約有95%的區(qū)間會(huì)包含真實(shí)的總體平均分。當(dāng)然，這次抽樣得到的區(qū)間(75.23,80.77)可能包含了真實(shí)的平均分，也可能不包含，但這只是隨機(jī)性導(dǎo)致的，我們有95%的信心認(rèn)為它是包含真實(shí)平均分的。2.某工廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，已知標(biāo)準(zhǔn)差為0.5毫米?，F(xiàn)隨機(jī)抽取了25個(gè)零件，測(cè)得其樣本均值為50.2毫米。試以95%的置信水平檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ=50毫米，H1：μ≠50毫米。好的，這個(gè)題目有點(diǎn)意思，它給了總體標(biāo)準(zhǔn)差，但讓我們用假設(shè)檢驗(yàn)的方法來玩。咱們假設(shè)有個(gè)零件工廠，他們生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度是正態(tài)分布的，而且他們知道這些零件長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5毫米（這真是個(gè)信息量很大的前提?。。，F(xiàn)在，他們想知道自己的生產(chǎn)是不是出了問題，即零件的平均長(zhǎng)度是不是真的是50毫米。為了檢驗(yàn)這個(gè)，他們隨機(jī)抽取了25個(gè)零件，量了一下，發(fā)現(xiàn)這25個(gè)零件的平均長(zhǎng)度是50.2毫米?，F(xiàn)在，他們想知道，根據(jù)這個(gè)樣本，能不能認(rèn)為他們的生產(chǎn)確實(shí)有偏差，即平均長(zhǎng)度顯著不等于50毫米。我們要做的，就是在95%的置信水平下，進(jìn)行這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)。首先，明確假設(shè)。原假設(shè)H0：μ=50毫米（平均長(zhǎng)度就是50毫米，生產(chǎn)沒出問題），備擇假設(shè)H1：μ≠50毫米（平均長(zhǎng)度不等于50毫米，生產(chǎn)出問題了）。顯著性水平α=1-0.95=0.05，因?yàn)槲覀円p側(cè)檢驗(yàn)，所以臨界值對(duì)應(yīng)的分位點(diǎn)要除以2，即α/2=0.025。接著，選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。因?yàn)榭傮w是正態(tài)分布，而且總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.5是已知的，所以我們應(yīng)該使用z檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的公式是：z=(x?-μ0)/(σ/√n)。這里，x?=50.2，μ0=50，σ=0.5，n=25。先計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差：σ/√n=0.5/√25=0.5/5=0.1。然后，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值。z=(50.2-50)/0.1=0.2/0.1=2。這個(gè)z值就是我們的“得分”。接下來，找臨界值。我們需要找到z分布的α/2=0.025分位點(diǎn)，查表或者用計(jì)算器可以得到z0.025≈1.96。所以，拒絕域是z<-1.96或者z>1.96。最后，做出判斷。我們計(jì)算出的z=2，它大于1.96，所以它落入了拒絕域。這意味著我們有足夠的證據(jù)在95%的置信水平下拒絕原假設(shè)H0。換句話說，根據(jù)這次抽樣得到的數(shù)據(jù)，我們可以認(rèn)為該工廠生產(chǎn)的零件平均長(zhǎng)度顯著不等于50毫米。老師傅們，看來生產(chǎn)線可能需要調(diào)整一下了！3.某醫(yī)生聲稱一種新藥可以降低血壓。為了檢驗(yàn)這個(gè)說法，他隨機(jī)抽取了20名高血壓患者，讓他們服用這種新藥一個(gè)月后，測(cè)得他們的血壓降低了10.5毫米汞柱，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為3毫米汞柱。假設(shè)血壓降低量服從正態(tài)分布，試以95%的置信水平估計(jì)該新藥平均降低血壓效果的置信區(qū)間。好啊，咱們來看個(gè)醫(yī)學(xué)上的例子。有個(gè)醫(yī)生發(fā)明了一種新藥，號(hào)稱能降低高血壓。為了驗(yàn)證這個(gè)效果，他找了20個(gè)高血壓患者，讓他們吃了這個(gè)藥一個(gè)月，然后測(cè)量他們血壓降低了多少。這20個(gè)人平均降低了10.5毫米汞柱，而且這降低的血壓值的“波動(dòng)”程度（樣本標(biāo)準(zhǔn)差）是3毫米汞柱。醫(yī)生想知道，根據(jù)這20個(gè)人的效果，他能不能估計(jì)出這個(gè)新藥對(duì)整個(gè)人群的平均降低血壓效果大概在哪個(gè)范圍內(nèi)？并且，他希望這個(gè)估計(jì)有95%的把握是正確的。這又是置信區(qū)間大顯身手的時(shí)候了。首先，咱們整理下已知信息：樣本量n=20，樣本均值x?=10.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=3。要估計(jì)的是總體均值μ（新藥對(duì)整個(gè)人群的平均降低血壓效果），置信水平是95%，也就是α=0.05。因?yàn)轭}目說血壓降低量服從正態(tài)分布，而且咱們有樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=3，雖然沒有直接給總體方差，但可以認(rèn)為總體方差未知或者可以用樣本方差代替，所以這里應(yīng)該用t分布來構(gòu)建置信區(qū)間。我們需要找到t分布的自由度df=n-1=19的α/2=0.025分位點(diǎn)，查t表或者用計(jì)算器可以得到t0.025(19)≈2.093。接下來，計(jì)算置信區(qū)間的上下限。置信區(qū)間的公式是：x?±tα/2*(s/√n)。所以，置信區(qū)間的上下限分別是：下限：10.5-2.093*(3/√20)=10.5-2.093*(3/4.472)≈10.5-2.093*0.671≈10.5-1.40≈9.10上限：10.5+2.093*(3/√20)=10.5+2.093*(3/4.472)≈10.5+2.093*0.671≈10.5+1.40≈11.90所以，以95%的置信水平估計(jì)，該新藥平均降低血壓效果的置信區(qū)間是大約(9.10毫米汞柱,11.90毫米汞柱)。這意味著，如果醫(yī)生重復(fù)進(jìn)行這種試驗(yàn)很多次，每次都計(jì)算出這樣的置信區(qū)間，那么大約有95%的區(qū)間會(huì)包含真實(shí)的平均降低血壓效果。從這個(gè)區(qū)間看，新藥確實(shí)能降低血壓，平均下來大概能降低9到12毫米汞柱，而且我們有95%的信心認(rèn)為這個(gè)效果是真實(shí)的。這對(duì)醫(yī)生和患者來說，都是個(gè)挺不錯(cuò)的消息。4.某公司想要比較兩種廣告策略的效果。他們隨機(jī)選擇了100名消費(fèi)者，其中50人接觸了第一種廣告，另外50人接觸了第二種廣告。接觸第一種廣告的消費(fèi)者中有30人購(gòu)買了產(chǎn)品，接觸第二種廣告的消費(fèi)者中有40人購(gòu)買了產(chǎn)品。試以95%的置信水平檢驗(yàn)假設(shè)H0：p1=p2，H1：p1≠p2，其中p1和p2分別表示兩種廣告策略的購(gòu)買轉(zhuǎn)化率。好的，這個(gè)題目是關(guān)于比例的假設(shè)檢驗(yàn)，而且是比較兩個(gè)比例是否相等。咱們假設(shè)有個(gè)公司，他們想看看兩種不同的廣告方式，哪個(gè)更能讓消費(fèi)者購(gòu)買他們的產(chǎn)品。為了比較，他們找來了100個(gè)消費(fèi)者，隨機(jī)分成兩組，每組50人。一組人看了第一種廣告，另外一組看了第二種廣告。看完廣告后，他們統(tǒng)計(jì)了一下購(gòu)買行為：看第一種廣告的那組50個(gè)人里，有30個(gè)人買了產(chǎn)品；看第二種廣告的那組50個(gè)人里，有40個(gè)人買了產(chǎn)品。公司想知道，根據(jù)這次抽樣，能不能認(rèn)為這兩種廣告策略的購(gòu)買效果（購(gòu)買轉(zhuǎn)化率）是不同的？我們要做的，就是在95%的置信水平下，進(jìn)行這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)。首先，明確假設(shè)。原假設(shè)H0：p1=p2（兩種廣告的購(gòu)買轉(zhuǎn)化率相同），備擇假設(shè)H1：p1≠p2（兩種廣告的購(gòu)買轉(zhuǎn)化率不同）。顯著性水平α=0.05，因?yàn)槭请p側(cè)檢驗(yàn)，所以臨界值對(duì)應(yīng)的分位點(diǎn)要除以2，即α/2=0.025。接著，我們需要計(jì)算兩個(gè)樣本的比例和合并比例。第一種廣告的樣本比例p?1=30/50=0.6，第二種廣告的樣本比例p?2=40/50=0.8。合并比例p?=(30+40)/(50+50)=70/100=0.7。然后，選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)樣本量較大時(shí)（n1≥30,n2≥30），我們可以使用z檢驗(yàn)來比較兩個(gè)比例。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的公式是：z=(p?1-p?2)/sqrt[p?(1-p?)(1/n1+1/n2)]。這里的p?(1-p?)是合并比例的方差，sqrt是開方。先計(jì)算分母，sqrt[0.7*(1-0.7)*(1/50+1/50)]=sqrt[0.7*0.3*(1/25)]=sqrt[0.21*0.04]=sqrt[0.0084]≈0.0917。接下來，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值。z=(0.6-0.8)/0.0917=-0.2/0.0917≈-2.175。這個(gè)z值就是我們的“得分”。最后，找臨界值并做出判斷。我們需要找到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α/2=0.025分位點(diǎn)，查表或者用計(jì)算器可以得到z0.025≈1.96。所以，拒絕域是z<-1.96或者z>1.96。我們計(jì)算出的z=-2.175，它小于-1.96，所以它落入了拒絕域。這意味著我們有足夠的證據(jù)在95%的置信水平下拒絕原假設(shè)H0。換句話說，根據(jù)這次抽樣得到的數(shù)據(jù)，我們可以認(rèn)為兩種廣告策略的購(gòu)買轉(zhuǎn)化率有顯著差異。具體來說，第二種廣告策略的購(gòu)買轉(zhuǎn)化率似乎更高一些。這也許可以給公司一些啟示，他們可以考慮更多地采用第二種廣告方式。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：顯著性水平α表示我們?cè)敢獬袚?dān)犯第一類錯(cuò)誤的概率，即原假設(shè)H0為真時(shí)錯(cuò)誤地拒絕H0的概率。α=0.05意味著在100次檢驗(yàn)中，平均會(huì)有5次犯第一類錯(cuò)誤。2.B解析：當(dāng)總體方差已知且總體服從正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)總體均值是否顯著大于某個(gè)特定值應(yīng)使用z檢驗(yàn)。z檢驗(yàn)適用于總體方差已知的情況，而t檢驗(yàn)適用于總體方差未知的情況。3.A解析：雙側(cè)檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)總體參數(shù)是否不等于某個(gè)特定值，即關(guān)心參數(shù)是大于還是小于該值。單側(cè)檢驗(yàn)則關(guān)注參數(shù)是大于還是小于該值中的某一個(gè)方向。4.B解析：當(dāng)樣本量較小且總體方差未知時(shí)，應(yīng)使用t檢驗(yàn)來檢驗(yàn)總體均值是否顯著不同于某個(gè)特定值。t檢驗(yàn)適用于小樣本且總體方差未知的情況。5.A解析：當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布將近似于正態(tài)分布，無論總體分布如何。這是中心極限定理的核心內(nèi)容。6.B解析：與第2題類似，當(dāng)總體方差未知且總體服從正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)總體均值是否顯著小于某個(gè)特定值應(yīng)使用t檢驗(yàn)。7.B解析：與第1題類似，顯著性水平α表示我們?cè)敢獬袚?dān)犯第一類錯(cuò)誤的概率。α=0.01意味著在100次檢驗(yàn)中，平均會(huì)有1次犯第一類錯(cuò)誤。8.B解析：當(dāng)總體方差已知且總體服從正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異應(yīng)使用z檢驗(yàn)。z檢驗(yàn)適用于兩個(gè)總體均值比較且總體方差已知的情況。9.D解析：當(dāng)原假設(shè)H0被接受時(shí)，意味著樣本統(tǒng)計(jì)量不夠極端，可以歸因于隨機(jī)波動(dòng)。這并不意味著總體參數(shù)確實(shí)沒有發(fā)生變化，只是沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。10.A解析：與第8題類似，當(dāng)總體方差未知但假設(shè)兩個(gè)總體方差相等，且總體服從正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異應(yīng)使用t檢驗(yàn)。11.A解析：當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布將近似于正態(tài)分布。這是中心極限定理的核心內(nèi)容，也是大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。12.A解析：當(dāng)p值小于顯著性水平α?xí)r，意味著樣本統(tǒng)計(jì)量足夠極端，不能歸因于隨機(jī)波動(dòng)。因此，我們應(yīng)該拒絕原假設(shè)H0，支持備擇假設(shè)H1。13.B解析：與第4題類似，當(dāng)樣本量較小且總體方差未知時(shí)，應(yīng)使用t檢驗(yàn)來檢驗(yàn)總體均值是否顯著不同于某個(gè)特定值。14.A解析：與第1題類似，顯著性水平α表示我們?cè)敢獬袚?dān)犯第一類錯(cuò)誤的概率。α=0.10意味著在100次檢驗(yàn)中，平均會(huì)有10次犯第一類錯(cuò)誤。15.A解析：與第8題類似，當(dāng)總體方差未知但假設(shè)兩個(gè)總體方差不等，且總體服從正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異應(yīng)使用t檢驗(yàn)（Welch'st-test）。16.B解析：當(dāng)p值大于顯著性水平α?xí)r，意味著樣本統(tǒng)計(jì)量不夠極端，可以歸因于隨機(jī)波動(dòng)。因此，我們應(yīng)該接受原假設(shè)H0，即沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。17.A解析：與第2題類似，當(dāng)樣本量較大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布將近似于正態(tài)分布，無論總體分布如何。因此，可以使用z檢驗(yàn)來檢驗(yàn)總體均值是否顯著大于某個(gè)特定值。18.A解析：當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，但被拒絕了，就犯了第一類錯(cuò)誤。這是假設(shè)檢驗(yàn)中常見的錯(cuò)誤類型，即錯(cuò)誤地拒絕了實(shí)際上為真的原假設(shè)。19.B解析：與第8題類似，當(dāng)總體方差已知且相等時(shí)，檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異應(yīng)使用z檢驗(yàn)。這是兩個(gè)正態(tài)分布總體均值比較的標(biāo)準(zhǔn)方法。20.A解析：當(dāng)p值等于顯著性水平α?xí)r，意味著樣本統(tǒng)計(jì)量剛好處于臨界值上。根據(jù)常規(guī)的假設(shè)檢驗(yàn)規(guī)則，當(dāng)p值等于α?xí)r，應(yīng)拒絕原假設(shè)H0。二、填空題答案及解析1.極端解析：在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)H0被拒絕，那么我們說檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是極端的，這意味著樣本統(tǒng)計(jì)量與假設(shè)的總體參數(shù)之間存在顯著的差異。這種顯著性差異使得我們有理由拒絕原假設(shè)。2.z檢驗(yàn)解析：當(dāng)總體方差已知且總體服從正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)總體均值是否顯著大于某個(gè)特定值應(yīng)使用z檢驗(yàn)。z檢驗(yàn)適用于總體方差已知的情況，可以提供準(zhǔn)確的檢驗(yàn)結(jié)果。3.1-β解析：顯著性水平α表示我們?cè)敢獬袚?dān)犯第一類錯(cuò)誤的概率，即原假設(shè)H0為真時(shí)錯(cuò)誤地拒絕H0的概率。1-β表示我們正確拒絕原假設(shè)H0的概率，即不犯第二類錯(cuò)誤的概率。4.t檢驗(yàn)解析：當(dāng)總體方差未知但假設(shè)兩個(gè)總體方差相等，且總體服從正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異應(yīng)使用t檢驗(yàn)。t檢驗(yàn)適用于總體方差未知的情況，可以提供更準(zhǔn)確的檢驗(yàn)結(jié)果。5.中心極限定理解析：當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布將近似于正態(tài)分布，無論總體分布如何。這是中心極限定理的核心內(nèi)容，也是大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。6.拒絕解析：當(dāng)p值小于顯著性水平α?xí)r，意味著樣本統(tǒng)計(jì)量足夠極端，不能歸因于隨機(jī)波動(dòng)。因此，我們應(yīng)該拒絕原假設(shè)H0，支持備擇假設(shè)H1。7.t檢驗(yàn)解析：與第4題類似，當(dāng)樣本量較小且總體方差未知時(shí)，應(yīng)使用t檢驗(yàn)來檢驗(yàn)總體均值是否顯著不同于某個(gè)特定值。t檢驗(yàn)適用于小樣本且總體方差未知的情況。8.0.10解析：與第1題類似，顯著性水平α表示我們?cè)敢獬袚?dān)犯第一類錯(cuò)誤的概率。α=0.10意味著在100次檢驗(yàn)中，平均會(huì)有10次犯第一類錯(cuò)誤。9.t檢驗(yàn)解析：與第15題類似，當(dāng)總體方差未知但假設(shè)兩個(gè)總體方差不等，且總體服從正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異應(yīng)使用t檢驗(yàn)（Welch'st-test）。10.接受解析：當(dāng)p值大于顯著性水平α?xí)r，意味著樣本統(tǒng)計(jì)量不夠極端，可以歸因于隨機(jī)波動(dòng)。因此，我們應(yīng)該接受原假設(shè)H0，即沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。三、簡(jiǎn)答題答案及解析1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟包括：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)、選擇顯著性水平、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值、根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值和顯著性水平做出判斷、給出結(jié)論并用簡(jiǎn)潔明了的語言解釋。解析：假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要方法，其基本步驟包括：首先，根據(jù)實(shí)際問題提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1；其次，選擇一個(gè)合適的顯著性水平α，這決定了檢驗(yàn)的嚴(yán)格程度；然后，根據(jù)數(shù)據(jù)特征和假設(shè)內(nèi)容選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；接著，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值，并與臨界值或p值進(jìn)行比較；最后，根據(jù)比較結(jié)果做出拒絕或接受原假設(shè)的判斷，并給出實(shí)際問題的解釋。2.第一類錯(cuò)誤是指原假設(shè)H0為真時(shí)錯(cuò)誤地拒絕了H0，犯第一類錯(cuò)誤的概率為α；第二類錯(cuò)誤是指原假設(shè)H0為假時(shí)錯(cuò)誤地接受了H0，犯第二類錯(cuò)誤的概率為β。它們之間的關(guān)系是：減少一種錯(cuò)誤的概率往往會(huì)增加另一種錯(cuò)誤的概率，需要在控制這兩種錯(cuò)誤之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)。解析：在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們總是希望盡可能減少錯(cuò)誤判斷。第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤是兩種常見的錯(cuò)誤類型。第一類錯(cuò)