專題06復數(shù)的綜合運用【題型歸納目錄】題型一：復數(shù)的概念題型二：復數(shù)的幾何意義題型三：復數(shù)的最值問題題型四：復數(shù)相等與共軛復數(shù)題型五：復數(shù)的三角形式題型六：復數(shù)模的綜合應用題型七：復數(shù)方程題型八：復數(shù)的四則運算【知識點梳理】一、基本概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當時，．（2）形如的數(shù)叫復數(shù)，記作．=1\*GB3①復數(shù)與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共軛復數(shù)．=2\*GB3②兩個復數(shù)相等（兩復數(shù)對應同一點）=3\*GB3③復數(shù)的模：復數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．二、基本性質(zhì)1、復數(shù)運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復數(shù)．（3）．實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復數(shù)．2、復數(shù)的幾何意義（1）復數(shù)對應平面內(nèi)的點；（2）復數(shù)對應平面向量；（3）復平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復數(shù)．（4）復數(shù)的模表示復平面內(nèi)的點到原點的距離．

【典型例題】題型一：復數(shù)的概念【例1】（2025·河南·二模）已知，則的虛部為（

）A． B． C． D．【變式11】（2425高一下·重慶·階段練習）若為實數(shù)，是純虛數(shù)，則復數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式12】（2324高一下·北京昌平·期末）已知，是兩個復數(shù)，則“，互為共軛復數(shù)”是“，的差為純虛數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件題型二：復數(shù)的幾何意義【例2】（2425高一下·湖南·期中）在復平面內(nèi)，對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式21】（2425高一下·河北邯鄲·期中）在復平面內(nèi)，O為原點向量對應的復數(shù)為，若點A關于實軸的對稱點為B，則向量對應的復數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式22】（2425高一下·四川涼山·期中）復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)所對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限題型三：復數(shù)的最值問題【例3】（2324高一下·四川巴中·階段練習）已知三個復數(shù)，，，且，，，所對應的向量，滿足；則的最大值為.【變式31】（2026高三·全國·專題練習）已知復數(shù)z滿足，則的最小值為．【變式32】（2425高一下·安徽蕪湖·期中）設是復數(shù)且，則的最大值為．題型四：復數(shù)相等與共軛復數(shù)【例4】（2425高一下·河南許昌·期中）已知復數(shù)z滿足，則．【變式41】（2425高一下·廣東潮州·期中）已知為虛數(shù)單位，，若，則.【變式42】（2425高一下·江蘇無錫·期中）已知，則＝.題型五：復數(shù)的三角形式【例5】（2324高一下·浙江·期中）法國數(shù)學家棣莫弗（16671754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設兩個復數(shù)，，（，）則．設，則的虛部為（

）A． B． C． D．【變式51】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（16671754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式52】（2324高三上·遼寧·期中）歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，），是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)的數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋.依據(jù)歐拉公式，的共軛復數(shù)為（

）A． B．C． D．題型六：復數(shù)模的綜合應用【例6】（2324高一下·上海浦東新·期末）若復數(shù)z滿足且，則．【變式61】（2425高一下·福建莆田·期中）已知復數(shù)z滿足，則．【變式62】（2025·遼寧·一模）設復數(shù)滿足，則.題型七：復數(shù)方程【例7】（2425高一下·河南·期中）已知是一元二次方程的一個復數(shù)根，且復數(shù)，i為虛數(shù)單位，.(1)求m，n的值；(2)求；(3)求的實部和虛部，并說明其在復平面內(nèi)對應的點位于第幾象限？【變式71】（2425高一下·山東濟寧·期中）已知復數(shù)為虛數(shù).(1)若是實數(shù)，求復數(shù)的模；(2)若，是關于的方程的一個根，求.【變式72】（2425高一下·河北邯鄲·階段練習）已知復數(shù)滿足.(1)求復數(shù)和；(2)若復數(shù)是關于的方程的一個根，求實數(shù)a，b的值.【變式73】（2425高二上·四川內(nèi)江·開學考試）材料一：我們可以發(fā)現(xiàn)這樣一個現(xiàn)象：隨機生成的一元多項式，在復數(shù)集中最終都可以分解成一次因式的乘積，且一次因式的個數(shù)（包括重復因式）就是被分解的多項式的次數(shù).事實上，數(shù)學中有如下定理：代數(shù)基本定理：任何一元次復系數(shù)多項式方程至少有一個復數(shù)根.材料二：由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復系數(shù)多項式在復數(shù)集中可以分解為個一次因式的乘積.進而，一元次多項式方程有個復數(shù)根（重根按重數(shù)計）.下面我們從代數(shù)基本定理出發(fā)，看看一元多項式方程的根與系數(shù)之間的關系.設實系數(shù)一元二次方程在復數(shù)集內(nèi)的根為，容易得到.設實系數(shù)一元三次方程①在復數(shù)集內(nèi)的根為，可以得到，方程①可變形為展開得：②比較①②可以得到根與系數(shù)之間的關系：，閱讀以上材料，利用材料中的方法及學過的知識解決下列問題：(1)對于方程在復數(shù)集內(nèi)的根為，求的值；(2)如果實系數(shù)一元四次方程在復數(shù)集內(nèi)的根為，根據(jù)材料二，試找到該四次方程根與系數(shù)之間的關系并說明原因；(3)已知函數(shù)，對于方程在復數(shù)集內(nèi)的根為，當時，求的最大值.題型八：復數(shù)的四則運算【例8】（2425高一下·福建漳州·期中）已知復數(shù)，其中是實數(shù).(1)若，求實數(shù)的值；(2)若是純虛數(shù)，求【變式81】（2425高一下·河北邢臺·期中）（1）求．（2），，求．（3）求方程的根．【變式82】（2425高一下·新疆伊犁·期中）已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)．

【強化訓練】1．（2324高一下·廣東深圳·期中）已知為虛數(shù)單位，若，則（

）A． B． C． D．2．（2025·廣東中山·模擬預測）若復數(shù)的實部大于0，且，則（

）A． B．C． D．3．（2425高一下·江蘇·期中）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則（

）A． B．1 C． D．4．（2425高一下·福建福州·期中）已知復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或5．（2425高一下·廣東深圳·期中）復數(shù)滿足，則（i為虛數(shù)單位）的最小值為（

）A．4 B．5 C．2 D．36．（2425高一下·廣東廣州·期中）計算：（

）A． B．C． D．7．（2425高一下·重慶榮昌·期中）設，則在復平面內(nèi)z對應點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2425高一下·江蘇連云港·期中）已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C．2 D．9．（2425高一下·天津河西·期中）是虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．（2425高一下·福建三明·期中）若復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．11．（2425高一下·陜西咸陽·期中）已知復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．（2425高一下·上海楊浦·期中）設是虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則.13．（2425高一下·河北·期中）已知復數(shù)，（，為虛數(shù)單位）．(1)若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；(2)若在復平面內(nèi)所對應的點位于第四象限，求的取值范圍．14．（2425高一下·湖北武漢·期中）已知復數(shù)（，），且和均為實數(shù)，其中是虛數(shù)單位，復數(shù)對應的點為．(1)求向量的坐標；(2)若對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．15