考點規(guī)范練53成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析一、基礎(chǔ)鞏固1.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關(guān)系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗,由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖:由此散點圖,在10℃至40℃之間,下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnx答案:D解析:結(jié)合題中散點圖,由圖象的大致走向判斷,此函數(shù)應(yīng)該是對數(shù)函數(shù)模型,故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y=a+blnx.2.某公司生產(chǎn)的某型號無人機以小巧輕便、高效機動、影像清晰、智能化、用途廣等突出特點,得到廣大用戶的青睞.該型號無人機近5年的年銷售量數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表所示.年份20182019202020212022年份代碼x01234年銷售量y/萬件1015203035根據(jù)表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y^=6.5x+t,則預(yù)測2024年該型號無人機的年銷售量為(A.40萬件 B.41.5萬件C.45萬件 D.48萬件答案:D解析:由已知得x=0+1+2+3+45=2,y=10+15+20+30+355=22,則t=y6.5x=226.故y^=6.5x+9故預(yù)測2024年該型號無人機的年銷售量為6.5×6+9=48(萬件).3.為了調(diào)查學(xué)生對網(wǎng)絡(luò)課程的喜愛程度,研究人員隨機調(diào)查了相同人數(shù)的男、女學(xué)生,發(fā)現(xiàn)有80%的男生喜歡網(wǎng)絡(luò)課程,有40%的女生不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程.若依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,可以推斷喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別有關(guān);依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,可以推斷喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別無關(guān),則被調(diào)查的男、女學(xué)生的總?cè)藬?shù)可能為()附:χ2=n(ad-bc)α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A.130 B.190 C.240 D.250答案:B解析:設(shè)調(diào)查的男、女學(xué)生的人數(shù)均為5x,根據(jù)題意,得到2×2列聯(lián)表為性別網(wǎng)絡(luò)課程合計喜歡不喜歡男4xx5x女3x2x5x合計7x3x10x則χ2=10由題意可知6.635≤10x21<即139.335≤10x<227.388.只有選項B符合題意.4.(多選)已知成年兒子的身高y(單位:cm)與父親的身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸方程為y^=0.84x+28.96,則下列說法正確的是(A.y與x正相關(guān)B.經(jīng)驗回歸直線過點(x,y),C.若父親身高為179cm,則兒子身高約為179.32cmD.若父親身高為179cm,則兒子身高必為179.32cm答案:ABC解析:因為經(jīng)驗回歸直線的斜率b^=0.84>0,所以y與x正相關(guān),故A正確經(jīng)驗回歸直線必過樣本點的中心(x,y),故B當(dāng)x=179時,y的預(yù)測值為y^=0.84×179+28.96=179.32,故C正確,D錯誤5.已知變量x與y的部分數(shù)據(jù)如下:xx1x2…x8yy1y2…y8用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y^=2x+4.若數(shù)據(jù)x1,x2,…,x8的平均數(shù)為1,則∑i=18yi=答案:16解析:由已知得x=1,則y=2x+4=2×1+4=2.故∑i=18yi=8y=8×26.對196名接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196名接受血管清障手術(shù)的病人進行了3年的跟蹤研究,調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病,得到2×2列聯(lián)表如表所示.手術(shù)心臟病合計又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計68324392依據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗,推斷這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響.(填“有差別”或“沒有差別”)

答案:沒有差別解析:零假設(shè)為H0:這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響沒有差別.根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計算得到χ2=392×(39×167-29×157)268根據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此認為H0成立,即這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響沒有差別.7.某研究性學(xué)習(xí)小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行研究,他們分別記錄了3月1日至3月5日每天的晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),所得數(shù)據(jù)如表所示.日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日晝夜溫差/℃101113128發(fā)芽數(shù)/顆2325302616(1)從3月1日至3月5日中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率;(2)請根據(jù)3月2日至3月4日的三組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程y^=b(3)若由經(jīng)驗回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的差的絕對值均不超過2,則認為得到的經(jīng)驗回歸方程是可靠的,試用3月1日與3月5日的兩組數(shù)據(jù)檢驗,判斷(2)中所得的經(jīng)驗回歸方程是否可靠.參考公式:b解:(1)由已知得這5天中有3天發(fā)芽的種子數(shù)不小于25,故事件“m,n均不小于25”的概率為C(2)依題意,x=11+13+123=12,∑i=13(xix)(yiy)=(1)×(2)+1×3+0×(∑i=13(xix)2=(1)2+12+0=則b^=52,a^故y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y^=5(3)當(dāng)x=10時,y^=52×103=22,|當(dāng)x=8時,y^=52×83=17,|故經(jīng)驗回歸方程y^=52二、綜合應(yīng)用8.(多選)下列說法正確的是()A.成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強,樣本相關(guān)系數(shù)r越接近1B.在回歸分析模型中,殘差平方和越小,說明模型的擬合效果越好C.若y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y^=0.1x+10,則當(dāng)x每增加1個單位時,y一定增加0.1D.若根據(jù)兩個分類變量的2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得χ2=13.079,則依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,推斷這兩個變量有關(guān)聯(lián)正確的概率不低于99.9%答案:BD解析:對于A,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強,|r|越接近1,故A錯誤.對于B,在回歸分析中,殘差的平方和越小,模型的擬合效果越好,故B正確.對于C,當(dāng)x增加1個單位時,y不一定增加0.1個單位,故C錯誤.對于D,根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗的規(guī)則,可知D正確.9.某校團委對“學(xué)生性別和喜歡微電影是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的13,男生喜歡微電影的人數(shù)占男生人數(shù)的16,女生喜歡微電影的人數(shù)占女生人數(shù)的23.若依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,推斷學(xué)生性別和喜歡微電影有關(guān),則男生至少有附:α0.050.010.001xα3.8416.63510.828答案:18解析:設(shè)男生人數(shù)為x,則由題意可得2×2列聯(lián)表為性別微電影合計喜歡不喜歡男x5xx女2xxx合計7x17x4x零假設(shè)為H0:學(xué)生性別和喜歡微電影無關(guān).根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計算得到χ2=4依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,推斷H0不成立,則χ2=36x119≥3.841=x0.05,解得x≥12又人數(shù)均為整數(shù),所以xmin=18.故男生至少有18人.10.某校為調(diào)查高中生在校參加體育活動的時間,隨機抽取了100名高中學(xué)生進行調(diào)查,其中男生、女生各占一半,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均體育鍛煉時間的頻率分布直方圖:將日均體育鍛煉時間不低于40分鐘的學(xué)生評價為“良好”,已知“良好”評價中有18名女生.學(xué)生性別是否良好合計非良好良好男女合計(1)請將列聯(lián)表補充完整;(2)試依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,分析高中生的性別是否與喜歡體育鍛煉有關(guān).參考公式:χ2=n(ad-bcχ2獨立性檢驗中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)設(shè)學(xué)生日均體育鍛煉時間為x分鐘,根據(jù)頻率分布直方圖可知x≥40的頻率為(0.025+0.020+0.005)×10=0.5.抽取總?cè)藬?shù)為100,故評價為“良好”的學(xué)生人數(shù)為50.列聯(lián)表如下:學(xué)生性別是否良好合計非良好良好男183250女321850合計5050100(2)零假設(shè)為H0:高中生的性別與喜歡體育鍛煉無關(guān).根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計算得到χ2=100×(18×18-32×32)250×根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,有充分證據(jù)推斷H0不成立,即高中生的性別與喜歡體育鍛煉有關(guān),此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.11.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動物數(shù)量有所增加,為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個地塊,從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動物的數(shù)量,并計算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1200,∑i=120(xix)2=80,∑i=120(yiy)2=9000,∑i=1(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計,請給出一種你認為更合理的抽樣方法.并說明理由.附:樣本相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n(解:(1)由已知得樣本平均數(shù)y=120∑i=120yi=60,從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60(2)樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)r=∑i=120(x(3)分層隨機抽樣:先根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層,再對200個地塊進行分層隨機抽樣.理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大,采用分層隨機抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.三、探究創(chuàng)新12.(2024上海,19)為了解某地初中學(xué)生日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系,從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人,得到日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示:時長[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名初中學(xué)生中日均體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)約為多少?(2)估計該地區(qū)初中學(xué)生的日均體育鍛煉時長(精確到0.1).(3)是否有95%的把握認為該地區(qū)初中學(xué)生學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不少于1小時但少于2小時有關(guān)?附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d解:(1)580人中日均體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)占比為42+3+1+137+40+27該地區(qū)29000名初中學(xué)生中日均體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)約為29000×2558=12(2)該地區(qū)初中