第十三章全等三角形第4課時(shí)具有特殊位置關(guān)系的三角形全等的判定13.3全等三角形的判定

圖形變換與全等三角形1.【學(xué)科特色·教材變式】(2025山東濟(jì)南期中)如圖,在△ABC

和△DEF中,AB=DE,AC=DF,要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF,則可添加的條件為

()A.BF=CFB.BF=CE

C.CF=CE

D.∠A=∠D

B

解析∵在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,∴利用“SSS”判定△ABC≌△DEF需添加的條件是BC=EF,又當(dāng)BF=CE時(shí),BF+CF=EC+CF,即BC=EF,∴可添加條件BF=CE.故選B.2.(2024江蘇連云港期末)如圖,已知AF=CE,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無法判定△ADF≌△CBE的是()A.∠A=∠C

B.AD=CBC.DF=BE

D.AD∥BCB解析添加A選項(xiàng)后可用ASA判定兩個(gè)三角形全等,故本選項(xiàng)

不合題意;添加B選項(xiàng)后已知兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相

等,不能推出△ADF≌△CBE,故本選項(xiàng)符合題意;添加C選項(xiàng)

后可用SAS判定兩個(gè)三角形全等,故本選項(xiàng)不合題意;添加D

選項(xiàng)后可推得∠A=∠C,可用ASA判定兩個(gè)三角形全等,故本

選項(xiàng)不合題意.故選B.3.【學(xué)科特色·三垂直模型】(2024河北滄州肅寧期中)如圖,嘉

淇用7塊高為2cm的小長方體木塊堆成了兩堵與地面垂直的

木墻,木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角尺(AC=BC,∠ACB=90°),點(diǎn)C在DE上,點(diǎn)A,B分別與木墻的頂端重合,則兩堵木墻之間的距離DE的長為

()

C

A.8cm

B.10cm

C.14cm

D.16cm解析由題意知AD=3×2=6(cm),BE=4×2=8(cm),AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°-∠BCE=∠CBE,又∵AC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴CE=AD=6cm,CD=BE=8cm,∴DE=CE+CD=6+8=14(cm).故選C.模型解讀三垂直模型實(shí)質(zhì)上為“一線三等角模型”中直角三角形模型

的變形.三垂直模型,顧名思義,我們要已知三個(gè)垂直關(guān)系,兩個(gè)

直角三角形中已知兩個(gè)垂直,那么再加上兩直角三角形的兩

條斜邊互相垂直,即構(gòu)成三垂直.利用三垂直模型證明兩個(gè)三

角形全等時(shí),可借助余角的性質(zhì)推導(dǎo)相等的角,利用“ASA”

或“AAS”得到全等.4.(2024四川內(nèi)江中考改編)如圖,點(diǎn)A,D,B,E在同一條直線上,

AD=BE,AC=DF,BC=EF.若∠A=55°,∠E=45°,則∠F的度數(shù)為

___________.

80°

解析∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE,在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠A=∠FDE=55°,∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.5.【新考向·條件開放題】(2024山東德州中考)如圖,C是AB的中點(diǎn),且CD=BE,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件:____________________,使得△ACD≌△CBE.AD=CE(答案不唯一)解析∵C是AB的中點(diǎn),∴AC=CB,又∵CD=BE,AD=CE,∴△ACD≌△CBE(SSS).答案不唯一.6.(2025重慶渝北月考)如圖,已知AB=AD,BC=DE,AC=AE,∠1=

42°,求∠2的度數(shù).

解析∵在△ABC和△ADE中,

∴△ABC≌△ADE(SSS),∴∠ADE=∠B,∵∠1+∠B+∠ADB=180°,∠2+∠ADE+∠ADB=180°,∴∠2=∠1=42°.

7.(2025湖南永州月考,★★☆)課上老師提出了這樣一個(gè)問題:

如圖,AD=AE,再添加一個(gè)條件,可以證明△ADB≌△AEC.(1)同學(xué)們認(rèn)為可以添加的條件并不唯一,甲添加的條件是AB=AC,則△ADB≌△AEC的理由是______.乙添加的條件是∠B=∠C,則△ADB≌△AEC的理由是______.丙添加的條件是∠ADB=∠AEC,則△ADB≌△AEC的理由是

_______.(2)若添加的條件是OE=OD,證明:△ADB≌△AEC.

解析

(1)SAS;AAS;ASA.(2)證明:如圖,連接AO,

在△AEO和△ADO中,

∴△AEO≌△ADO(SSS),∴∠AEO=∠ADO,∵∠AEO=∠B+∠BOE,∠ADO=∠C+∠DOC,∠BOE=∠DOC,

∴∠B=∠C,在△ADB和△AEC中,

∴△ADB≌△AEC(AAS).8.(2024河北廊坊安次期末,★★☆)在△ABC和△DBE中,∠ACB

=∠DBE=90°,E是BC的中點(diǎn),EF⊥AB于F,且AB=DE.(1)猜想BD與BC有何數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.(2)若BD=10,試求AC的長.解析

(1)猜想:BD=BC.證明:∵EF⊥AB,∴∠EFB=90°,∵∠ACB=∠DBE=90°,∴∠A+∠ABC=90°,∠FEB+∠ABC=90°,∴∠A=∠FEB,在△ACB和△EBD中,

∴△ACB≌△EBD(AAS),∴BC=BD.(2)由(1)知△ACB≌△EBD,∴BC=BD=10,BE=AC,∵E為BC的中點(diǎn),∴BE=

BC=5,∴AC=5.9.(★★☆)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,

且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),求證:①△ADC≌△CEB.②DE=AD+BE.(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),(1)中的結(jié)論還成立

嗎?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,說明理由.圖1圖2解析

(1)證明:①由題意知∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠BCE.在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB(AAS).②由①知△ADC≌△CEB,∴CD=BE,AD=CE,∴DE=CE+CD=AD+BE.(2)△ADC≌△CEB成立,DE=AD+BE不成立,此時(shí)應(yīng)有DE=AD-BE.理由如下:由題意知∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠BCE.又AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴CD=BE,AD=CE.∴DE=CE-CD=AD-BE.微專題添加條件構(gòu)造全等三角形方法指引添加條件使得兩個(gè)三角形全等的題目屬于條件開

放題.對(duì)于此類題目,要結(jié)合題中條件并依據(jù)三角形全等的四

種判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”尋找答案.1.如圖,∠CAB=∠DBA,只需補(bǔ)充一個(gè)條件:_____________,就可

以根據(jù)“SAS”得到△ABC≌△BAD.

AC=BD

解析補(bǔ)充條件AC=BD.理由:在△ABC和△BAD中,

∴△ABC≌△BAD(SAS).2.如圖,AC=AD,要使△ACB≌△ADB,還需添加一個(gè)條件,這個(gè)

條件可以是____________________.(寫出一個(gè)即可)BC=BD(答案不唯一)

解析添