第十三章虛位移原理第十三章虛位移原理虛位移原理：應(yīng)用功的概念分析系統(tǒng)的平衡問題研究對(duì)象：理想約束系統(tǒng)(理想約束系統(tǒng)約束反力不做功)123約束自由度與廣義坐標(biāo)虛位移原理以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十三章虛位移原理§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)BOAxy一、約束及其分類

運(yùn)動(dòng)受到周圍物體的限制,不能任意運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系稱為非自由質(zhì)點(diǎn)系。曲柄OA受到鉸鏈O的約束,只能繞O轉(zhuǎn)動(dòng);滑塊B受到滑道的約束只能沿滑道運(yùn)動(dòng);連桿AB使曲柄和滑塊間的距離保持不變。曲柄連桿滑塊機(jī)構(gòu)

限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束,表示這些限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程。幾何約束:限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件1、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束質(zhì)點(diǎn)M在固定曲面上的運(yùn)動(dòng)約束方程：一、約束及其分類§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)單擺約束方程：§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)擺桿為一長(zhǎng)為l的剛桿，一端與一球鉸相連，另一端固結(jié)一擺錘。z

lOxy曲柄連桿機(jī)構(gòu)（點(diǎn)A作圓周運(yùn)動(dòng)）（AB間距保持不變）（滑塊B只能沿滑道作直線運(yùn)動(dòng)）約束方程：§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)

曲柄和連桿的長(zhǎng)度分別為r

和l，曲柄繞點(diǎn)O

轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B

在水平滑道中運(yùn)動(dòng)，整個(gè)機(jī)構(gòu)在一個(gè)平面上運(yùn)動(dòng)。rlOxy

運(yùn)動(dòng)約束:限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)情況的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件車輪沿直線軌道純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)約束：幾何約束：一、約束及其分類1、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)rCOxy

約束條件隨時(shí)間變化的為非定常約束,否則為定常約束。2、定常約束和非定常約束擺長(zhǎng)隨時(shí)間變化的單擺：重物M

由一根穿過固定圓環(huán)O

的細(xì)繩系住，設(shè)擺長(zhǎng)在初始時(shí)刻為l0

，并以不變的速度v

拉動(dòng)細(xì)繩的另一端。約束方程：一、約束及其分類§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)lOxyM

3、其它分類約束方程中含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，且不能積分為有限形式的稱非完整約束，否則為完整約束；約束方程為等式的是雙側(cè)約束，約束方程為不等式的是單側(cè)約束。本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束一、約束及其分類§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)

在平面內(nèi)，一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)的位置需要

2個(gè)獨(dú)立參數(shù)確定，即自由質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)有

2個(gè)自由度。

在空間內(nèi)，一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)的位置需要

3個(gè)獨(dú)立參數(shù)確定，即自由質(zhì)點(diǎn)在空間內(nèi)有

3個(gè)自由度。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到約束，則質(zhì)點(diǎn)的自由度數(shù)減少。

對(duì)于一個(gè)由

n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，如果該質(zhì)點(diǎn)系受到

s

個(gè)完整約束，則質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)(平面質(zhì)點(diǎn)系)(空間質(zhì)點(diǎn)系)§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)二、自由度與廣義坐標(biāo)單擺(由無(wú)重剛桿、小球構(gòu)成)幾何約束小球是平面內(nèi)的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)平面質(zhì)點(diǎn)系自由度xyOl小球自由度數(shù)§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)二、自由度與廣義坐標(biāo)小球在半徑為R的半球面上運(yùn)動(dòng)幾何約束小球是空間內(nèi)的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)空間質(zhì)點(diǎn)系自由度小球自由度數(shù)Mxyz§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)二、自由度與廣義坐標(biāo)對(duì)于完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)數(shù)目

=系統(tǒng)自由度數(shù)廣義坐標(biāo)：描述質(zhì)點(diǎn)系在空間中位置的獨(dú)立參數(shù)。xyOl廣義坐標(biāo)：小球自由度數(shù)§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)二、自由度與廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)：、廣義坐標(biāo)的選擇不是唯一的。小球自由度數(shù)§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)二、自由度與廣義坐標(biāo)單擺系統(tǒng)自由度k=2，以球坐標(biāo)θ和φ作為廣義坐標(biāo)，即可確定擺錘M

的位置：z

lOxy§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)二、自由度與廣義坐標(biāo)曲柄連桿機(jī)構(gòu)自由度k=1，以曲柄OA的轉(zhuǎn)角φ為廣義坐標(biāo)，即可確定質(zhì)點(diǎn)系的位置：rlOxy

由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，受有

s個(gè)雙側(cè)定常完整約束的質(zhì)點(diǎn)系約束方程§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)二、自由度與廣義坐標(biāo)系統(tǒng)自由度k=3n-s，取q1,q2,…,qk

作為質(zhì)點(diǎn)系廣義坐標(biāo)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系為變分計(jì)算§13-1

約束

自由度與廣義坐標(biāo)二、自由度與廣義坐標(biāo)系統(tǒng)各點(diǎn)的坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo)

來(lái)表示，則系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移也可用廣義坐標(biāo)的變分，即廣義虛位移

表示。實(shí)位移：§13-2

虛位移原理一、虛位移虛功理想約束虛位移：在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的任何無(wú)限小的位移。

—

變分符號(hào)OABB''A''OABB'A'虛功：質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功

在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中,所有約束力所作虛功之和等于零的約束為理想約束。力偶的虛功力F的虛功理想約束的約束力在虛位移中所作的虛功：一、虛位移虛功理想約束§13-2

虛位移原理mi質(zhì)點(diǎn)系平衡質(zhì)點(diǎn)系約束為理想約束—

虛功方程

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)，取質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)mi，作用于此質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力為

，約束力為給質(zhì)點(diǎn)mi虛位移§13-2

虛位移原理二、虛位移原理虛位移原理：對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充要條件是作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作虛功之和等于零。約束不是理想約束時(shí),把約束力看作主動(dòng)力代入—

虛功方程—

虛功方程§13-2

虛位移原理⑴取研究對(duì)象應(yīng)用虛位移原理的步驟:⑵對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析⑶確定虛位移的關(guān)系①作幾何關(guān)系圖;②選擇一個(gè)自變量,確定有關(guān)的坐標(biāo)后再變分;③應(yīng)用虛速度關(guān)系確定虛位移.⑷應(yīng)用虛位移原理求解未知量§13-2

虛位移原理解法一解析法§13-2

虛位移原理例13-1圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu),連桿AB長(zhǎng)為l,不計(jì)桿重和滑道、鉸鏈上的摩擦力,求在圖示位置平衡時(shí),主動(dòng)力FA和FB之間的關(guān)系。解:⑴取機(jī)構(gòu)整體為研究對(duì)象系統(tǒng)約束為理想約束，自由度為1，取

為廣義坐標(biāo)，主動(dòng)力為FA,FB⑵由虛位移原理可得OABxy§13-2

虛位移原理由

的任意性可得OABxy主動(dòng)力作用點(diǎn)A、B的坐標(biāo)§13-2

虛位移原理?xiàng)UAB為剛桿，則有⑵在約束允許下，分別給主動(dòng)力

作用點(diǎn)一虛位移解法二幾何法系統(tǒng)的虛功方程由虛位移的任意性可得OABxy§13-2

虛位移原理例13-2圖示曲柄式壓榨機(jī)，桿OA

和AB

與鉛垂線的夾角均為θ，且OA=AB=l，在中間鉸鏈A上連接一手柄，水平力作用在手柄上拉動(dòng)手柄，使得壓板D

壓榨物體。求系統(tǒng)平衡時(shí)，作用于被壓榨物體上的壓力。解:⑴取整體為研究對(duì)象⑵在約束允許下，給系統(tǒng)一組虛位移壓榨機(jī)可簡(jiǎn)化為曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，自由度為1，受有定常、理想約束。被壓榨物體作用于壓板上的力

、手柄上的力

為系統(tǒng)所受主動(dòng)力。設(shè)OA桿有一虛轉(zhuǎn)角

，壓板被限制在鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，與壓板連接的B點(diǎn)的虛位移只能沿鉛垂方向。OABCDxy§13-2

虛位移原理C點(diǎn)為AB桿的速度瞬心⑶

系統(tǒng)的虛功方程由虛位移的任意性可得作用于被壓榨物體上的壓力與

為作用與反作用力。OABCDxy例13-3

圖示平面機(jī)構(gòu)，已知各桿和彈簧的原長(zhǎng)均為l，滑塊A重為P，彈簧剛度系數(shù)為k，桿與彈簧重量均可忽略，且不計(jì)摩擦的。試求平衡時(shí)，重力P與θ之間的關(guān)系?！?3-2

虛位移原理解:⑴去掉彈簧，以彈簧彈力代替系統(tǒng)自由度為1，取θ

為廣義坐標(biāo)。約束為理想約束，系統(tǒng)在主動(dòng)力（重力P

、彈簧彈力FD、FB）的作用下處于平衡。彈簧彈力ABDxy§13-2

虛位移原理主動(dòng)力作用點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)⑵由虛位移原理

可得由虛位移的任意性可得ABDxy例13-4

求圖示多跨靜定梁支座B的約束力?！?3-2

虛位移原理解:⑴解除支座B

處約束，

用與約束性質(zhì)相應(yīng)的約

束力FB

代替系統(tǒng)約束為理想約束，在主動(dòng)力F1、F2、F3、FB和M的作用下處于平衡。⑵在約束允許下，設(shè)B處虛位移為一向上的

rB，由于各桿為剛性桿，則其余主動(dòng)力的虛位移如圖(b)所示。ABCEFGMDABCEFGMD§13-2

虛位移原理虛位移的關(guān)系：⑶

系統(tǒng)的虛功方程由虛位移的任意性可得ABCEFGMD§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件設(shè)作用在第i

個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力第i

個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑一、以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件代入虛功方程§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件一、以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件則有虛功方程令或Qj—對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qj的廣義力廣義力的量綱由其對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)而定：qj為線位移，Qj的量綱是力的量綱；qj為角位移，Qj的量綱是力矩的量綱。以廣義坐標(biāo)表示的平衡條件：

具有完整、雙側(cè)、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某位置平衡的必要與充分條件是，對(duì)應(yīng)于每個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力都等于零?！?3-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件一、以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件若質(zhì)點(diǎn)系有k個(gè)自由度，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)應(yīng)有k個(gè)廣義力，以及k個(gè)互相獨(dú)立的平衡方程，可聯(lián)立求解質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題。

由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，廣義虛位移可任意取值，要使虛功方程成立，必須滿足§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件

在勢(shì)力場(chǎng)中,質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都為有勢(shì)力,勢(shì)能應(yīng)為各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)虛功虛位移原理：

在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能在平衡位置處的一階變分為零。由勢(shì)力場(chǎng)的性質(zhì)可得：二、在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義力廣義坐標(biāo)表示的平衡條件：

在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢(shì)能對(duì)于每個(gè)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。二、在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件

用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系位置,則勢(shì)力場(chǎng)中,質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能可表示為廣義坐標(biāo)函數(shù)方法一：定義法§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件三、廣義力的求解方法二：虛功法§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件三、廣義力的求解完整系統(tǒng)廣義力的虛功之和δqj

彼此獨(dú)立，可令質(zhì)點(diǎn)系某一廣義虛位移δqj≠0，而其它k-1個(gè)廣義虛位移都等于零，則有與廣義坐標(biāo)qj對(duì)應(yīng)的廣義力方法三：勢(shì)能法§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件三、廣義力的求解當(dāng)作用于系統(tǒng)的主動(dòng)力都是有勢(shì)力時(shí)，可利用勢(shì)能法求廣義力，即與廣義坐標(biāo)qj

對(duì)應(yīng)的廣義力為§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件例13-5圖示雙擺懸掛于O點(diǎn)，擺桿OA、AB長(zhǎng)度分別為l1、l2，不計(jì)擺桿自重，擺錘A、B分別重為PA、PB，擺錘B上作用一水平力F。試求雙擺平衡時(shí)兩擺桿與鉛垂線之間的夾角θ1、θ2。解:⑴取雙擺為研究對(duì)象雙擺可看做由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)自由度為2，取擺桿與鉛垂線之間的夾角θ1、θ2為廣義坐標(biāo)，其對(duì)應(yīng)的廣義虛位移為δθ1、δθ2。⑵計(jì)算對(duì)應(yīng)于θ1、θ2

的廣義力方法一：定義法OABxy§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件擺錘A、B的坐標(biāo)為θ1：

θ2

：OABxy§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件方法二：虛功法設(shè)δθ1≠0，δθ2=0（擺桿AB平移）擺錘A、B的虛位移：系統(tǒng)在虛位移中的虛功之和：對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)θ1的廣義力：OABxy§13-3

以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件設(shè)δθ2≠0，δθ1=0系統(tǒng)在虛位移中的虛功之和：對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)θ2的廣義力：⑶由平衡條件，令廣義力等于零OABxy擺錘A、B的虛位移：

限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束，表示這些限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程。幾何約束：限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間幾何位置的條件運(yùn)動(dòng)約束：限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)情況的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件一、約束及其分類定常約束：約束條件不隨時(shí)間變化非定常約束：約束條件隨時(shí)間變化本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束約束方程中含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),且不能積分為有限形式的稱非完整約束,否則為完整約束,約束方程為等式的是雙側(cè)約束,約束方程為不等式的是單側(cè)約束?！拘〗Y(jié)】

對(duì)于一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系,如果該質(zhì)點(diǎn)系具有s

個(gè)完整約束，則該質(zhì)點(diǎn)系總自由度數(shù)為對(duì)于完整系統(tǒng),廣義坐標(biāo)數(shù)目

=系統(tǒng)自由度數(shù)目廣義坐標(biāo)：描述質(zhì)點(diǎn)系在空間中位置的獨(dú)立參數(shù)。(平面質(zhì)點(diǎn)系)(空間質(zhì)點(diǎn)系)二、自由度和廣義坐標(biāo)【小結(jié)】三、虛位移、虛功、理想約束

在某給定瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的任何無(wú)限小的位移稱為質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的虛位移?！拘〗Y(jié)】虛功：質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功。理想約束：在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，所有約束力所作虛功的和等于零。力偶的虛功力F的虛功理想約束—

虛功方程四、虛位移原理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)，取質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)mi，作用于此質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力為

，約束力為虛位移原理：對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充要條件是作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作虛功的和等于零。約束不是理想約束時(shí),把約束力看作主動(dòng)力代入【小結(jié)】具有完整、雙側(cè)、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某位置平衡的必要與充分條件是，對(duì)應(yīng)于每個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力都等于零，即五、廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件【小結(jié)】方法一：定義法方法二：虛功法六、廣義力的求解方法【小結(jié)】令質(zhì)點(diǎn)系某一廣義虛位移δqj≠0，其它k-1個(gè)廣義虛位移都等于零，則與廣義坐標(biāo)qj對(duì)應(yīng)的廣義力PAG51方法三：勢(shì)能法六、廣義力的求解方法【小結(jié)】當(dāng)作用于系統(tǒng)的主動(dòng)力都是有勢(shì)力時(shí)，可利用勢(shì)能法求廣義力，即與廣義坐標(biāo)qj

對(duì)應(yīng)的廣義力為PAG52謝謝！第十四章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)第十四章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)說話，聲帶振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。研究振動(dòng)的目的：

消除或減小有害振動(dòng)，充分利用有利振動(dòng)。聽聲，耳膜振動(dòng)利：振動(dòng)給料機(jī)振動(dòng)篩振動(dòng)沉拔樁機(jī)弊：磨損,減少壽命,影響強(qiáng)度引起噪聲,影響勞動(dòng)條件消耗能量,降低精度裝在梁上的電動(dòng)機(jī)第十四章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)

電動(dòng)機(jī)工作時(shí)會(huì)引起梁在鉛垂方向的振動(dòng)，當(dāng)梁的質(zhì)量相對(duì)于電動(dòng)機(jī)的質(zhì)量較小可以忽略時(shí)，梁的彈性對(duì)電動(dòng)機(jī)就相當(dāng)于一根不計(jì)質(zhì)量的彈簧，電動(dòng)機(jī)則可抽象為質(zhì)量為m

的物塊，電動(dòng)機(jī)和梁組成的振動(dòng)系統(tǒng)最終可簡(jiǎn)化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（單自由度系統(tǒng)）。第十四章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)本章只研究單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)體的振動(dòng)按振動(dòng)系統(tǒng)的自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)自激振動(dòng)按振動(dòng)產(chǎn)生原因無(wú)阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)123單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)第十四章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)4減振與隔振模型：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（彈簧原長(zhǎng)l0,剛度系數(shù)k）

在重力作用下彈簧變形δst為靜變形,該位置為平衡位置。平衡取重物平衡位置O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),x

軸鉛直向下為正xOx§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)一、自由振動(dòng)微分方程由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程可得：—

恢復(fù)力（始終指向原點(diǎn)）—

無(wú)阻尼自由振動(dòng)

(只在恢復(fù)力作用

下維持的振動(dòng))§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)xOx一、自由振動(dòng)微分方程—

二階線性常系數(shù)齊次微分方程方程的解PAG60振幅—

相對(duì)于振動(dòng)中心點(diǎn)O的最大位移初相位—

決定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起始位置§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)相位角—

決定質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)t的位置自由振動(dòng)的振幅和初相位都與運(yùn)動(dòng)的初始條件有關(guān)二、無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)—簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期振動(dòng)：

對(duì)任意瞬時(shí)t,都有如下運(yùn)動(dòng)規(guī)律—

周期函數(shù)T—周期(常數(shù)),單位為秒(s)§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)二、無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)的周期：其中,—振動(dòng)頻率,每秒振動(dòng)次數(shù)(1/s或Hz赫茲)—角(圓)頻率,2π秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)(rad/s,弧度/秒)二、無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)

ω0只與表征系統(tǒng)本身特性的質(zhì)量m和剛度k有關(guān),與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān),它是振動(dòng)系統(tǒng)固有的特性?！逃薪?圓)頻率/固有頻率平衡位置設(shè)為O點(diǎn)，則物塊平衡時(shí),彈簧變形量例17-1

物塊質(zhì)量m=0.5kg,沿光滑斜面無(wú)初速下滑h=0.1m時(shí),與無(wú)重彈簧相撞(撞后不分開),已知k=0.8kN/m,β=30°,求系統(tǒng)的固有頻率和振幅,及物塊的運(yùn)動(dòng)方程。§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)解:⑴取質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為研究對(duì)象⑵以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程xOhxM§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)取物塊剛碰上彈簧為振動(dòng)起點(diǎn)振幅物塊的運(yùn)動(dòng)方程初相位系統(tǒng)的通解固有頻率xOhxM§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)三、固有頻率的計(jì)算方法一：定義法—

已知無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)只在重力作用下的靜變形,

即可求得系統(tǒng)的固有頻率方法二：靜變形法彈簧質(zhì)量系統(tǒng)平衡時(shí)§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例14-2

兩彈簧剛度分別為k1和k2，試分別求下列兩種情況下，系統(tǒng)的固有頻率：兩彈簧并聯(lián)，如圖(a)；兩彈簧串聯(lián)，如圖(b)。設(shè)彈簧懸掛的物體質(zhì)量為m。解:彈簧的等效處理，是指在等值的力作用下，質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的靜位移（即彈簧的靜變形）應(yīng)與原系統(tǒng)相等。將并聯(lián)、串聯(lián)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)均簡(jiǎn)化為如圖(c)所示等效彈簧剛度為k的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)?！?4-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)⑴彈簧并聯(lián)

設(shè)物塊的靜變形為δst，兩彈簧對(duì)物塊的力平衡令等效彈簧的靜變形等于δst等效彈簧剛度：并聯(lián)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率：多彈簧并聯(lián)，等效彈簧剛度=多個(gè)彈簧剛度之和§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)⑵彈簧串聯(lián)總靜伸長(zhǎng)：系統(tǒng)平衡時(shí),兩彈簧的靜伸長(zhǎng)分別為等效彈簧剛度：多彈簧串聯(lián)，等效彈簧剛度的倒數(shù)=多個(gè)彈簧剛度倒數(shù)之和并聯(lián)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率：§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)三、固有頻率的計(jì)算方法三：解微分方程法已知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例14-3

如圖所示，礦井提升設(shè)備的轎廂質(zhì)量m=5100kg，以速度v0=3m/s勻速下降，鋼索的剛度系數(shù)k=4000kN/m，鋼索重量不計(jì)。試求鋼索上端突然被卡住時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率及轎廂的運(yùn)動(dòng)方程。解:轎廂勻速下降，鋼索上端突然被卡住時(shí)，由于慣性和鋼索彈性的存在，轎廂不會(huì)立刻靜止。以轎廂為研究對(duì)象，可將其簡(jiǎn)化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。xOx§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)m=5100kgv0=3m/sk=4000kN/m系統(tǒng)平衡由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，可得化為標(biāo)準(zhǔn)形式系統(tǒng)固有頻率鋼索卡住瞬間，設(shè)轎廂所在位置O為靜平衡位置，以O(shè)為原點(diǎn)，x軸豎直向下為正。§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)m=5100kgv0=3m/sk=4000kN/m振幅初相位轎廂的運(yùn)動(dòng)方程§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例14-4

如圖所示，扭振系統(tǒng)由垂直軸和圓盤組成。垂直軸一端固定，一端與圓盤中心固接。已知圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，軸的扭轉(zhuǎn)剛度為kt（表示使圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需要的力矩，單位為N?m/rad）。解:圓盤扭轉(zhuǎn)一微小角度后松開，系統(tǒng)將作扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)。設(shè)θ為圓盤上任一半徑從其靜平衡位置的轉(zhuǎn)角（以圖示方向?yàn)檎?，系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，圓盤受到與θ反向的彈性恢復(fù)力矩ktθ。由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得扭振系統(tǒng)固有頻率§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例14-5

如圖所示，復(fù)擺可繞水平軸O擺動(dòng)，擺的質(zhì)最為m，質(zhì)心為C，擺對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。解:由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得復(fù)擺固有頻率復(fù)擺微幅擺動(dòng)時(shí)，lOC§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)三、固有頻率的計(jì)算方法四：能量法對(duì)于保守系統(tǒng)，如果只需求解固有頻率，應(yīng)用能量法則比較簡(jiǎn)便。能量法從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，利用自由振動(dòng)中最大動(dòng)能和最大勢(shì)能相等的關(guān)系來(lái)建立方程，從而求得固有頻率。僅有保守力作用的質(zhì)點(diǎn)成質(zhì)點(diǎn)系，在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，即§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)不考慮彈簧質(zhì)量，質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的物塊在距平衡位置O任意x處的速度為系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)勢(shì)能振動(dòng)系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)能位置。系統(tǒng)在平衡位置時(shí)，勢(shì)能為零，動(dòng)能系統(tǒng)離平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，動(dòng)能為零，勢(shì)能OxmA§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由機(jī)械能守恒可得系統(tǒng)固有頻率采用能量法所得系統(tǒng)固有頻率計(jì)算式與前面所討論的完全相同。

采用能量法所得系統(tǒng)固有頻率計(jì)算式與前面所討論的完全相同。OxmA§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例14-6

如圖所示，擺振系統(tǒng)，己知OA=a，OB=l，小球質(zhì)量為m，彈簧剛度為k，彈簧及桿OB的質(zhì)量不計(jì)。擺桿在鉛垂位置時(shí)系統(tǒng)平衡，試求系統(tǒng)作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率。解:系統(tǒng)為保守系統(tǒng)。系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，小球最大速度系統(tǒng)最大動(dòng)能設(shè)任意瞬時(shí)擺桿的擺角取平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)。OAB§14-1

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由機(jī)械能守恒可得系統(tǒng)固有頻率系統(tǒng)最大勢(shì)能微幅振動(dòng)，OAB—

振動(dòng)過程中的阻力§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、阻尼在介質(zhì)中振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的介質(zhì)阻尼；由于結(jié)構(gòu)材料變形而產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)內(nèi)阻尼；由于接觸面的摩擦而產(chǎn)生的干摩擦阻尼(庫(kù)侖阻尼)……粘性阻尼：當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí),由介質(zhì)粘性引起的阻力近似與速度一次方成正比的阻尼。粘性阻尼力負(fù)號(hào)表示阻尼力與速度方向相反—

振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度；c

—

粘性阻力系數(shù)，簡(jiǎn)稱阻力系數(shù)?！?/p>

振動(dòng)過程中的阻力阻力系數(shù)c：與物體的形狀、尺寸及阻尼介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)

單位是N?s/m（牛?秒/米）一般的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)都可簡(jiǎn)化為：由慣性元件（m）

彈性元件（k）

阻尼元件（c）組成的系統(tǒng)m§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、阻尼本節(jié)只研究粘性阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響。mxOx系統(tǒng)振動(dòng)微分方程粘性阻尼力：恢復(fù)力：彈簧剛度為k，阻力系數(shù)為c，物塊質(zhì)量為m，彈簧靜變形δst

§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)二、振動(dòng)微分方程以靜平衡位置O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，物塊在任意位置x處時(shí)方向指向平衡位置O方向與速度方向相反彈簧彈力：物塊振動(dòng)微分方程—

有阻尼自由振動(dòng)微分方程§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)兩個(gè)特征根為特征方程設(shè)其解為方程通解為二、振動(dòng)微分方程令（

為阻尼系數(shù)）二階線性常系數(shù)齊次微分方程§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)二、振動(dòng)微分方程特征根為共軛復(fù)數(shù)微分方程的解阻力系數(shù)任意常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)初始條件決定1、小阻尼δ

<ω0§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)二、振動(dòng)微分方程通解A

、

：由振動(dòng)的初始條件決定的積分常數(shù)；—有阻尼自由振動(dòng)的固有圓頻率設(shè)時(shí)，、，可得1、小阻尼δ

<ω0§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)二、振動(dòng)微分方程衰減振動(dòng)：振動(dòng)的振幅隨時(shí)間不斷衰減。這種振動(dòng)不是周期振動(dòng)，但仍圍繞平衡位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)，仍具有振動(dòng)的特點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)圖線tx1、小阻尼δ

<ω0Td

：衰減振動(dòng)周期§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)阻尼比：二、振動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)最大偏離位置到下一個(gè)最大偏離位置所需的時(shí)間。ζ

是振動(dòng)系統(tǒng)中反映阻尼特性的重要參數(shù)，小阻尼時(shí)ζ<1。1、小阻尼δ

<ω0運(yùn)動(dòng)圖線tx有阻尼自由振動(dòng)周期固有圓頻率頻率§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)T、f和ω0對(duì)應(yīng)于無(wú)阻尼自由振動(dòng)由于存在阻尼，系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期增大、頻率減小二、振動(dòng)微分方程由于空氣中的振動(dòng)系統(tǒng)阻尼較小1、小阻尼δ

<ω0相當(dāng)于振幅減縮因數(shù)：兩相鄰振幅之比§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)衰減振動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律二、振動(dòng)微分方程—

對(duì)數(shù)減縮兩端取自然對(duì)數(shù)反映阻尼特性的一個(gè)參數(shù)1、小阻尼δ

<ω02、大阻尼δ

>

ω0特征根為兩不等負(fù)實(shí)根微分方程的解§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)圖線(不再具有振動(dòng)性質(zhì))二、振動(dòng)微分方程3、臨界阻尼δ

=ω0特征根為兩相等實(shí)根微分方程的解

物體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限趨于平衡位置，運(yùn)動(dòng)已不具有振動(dòng)的特點(diǎn)?！?4-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)二、振動(dòng)微分方程由運(yùn)動(dòng)初始條件決定的積分常數(shù)例14-7

如圖所示，無(wú)重剛桿端部固連一質(zhì)量為m的重物，剛桿處于水平位置時(shí)，彈簧變形量為0。已知彈簧剛度為k，阻力系數(shù)為c。桿的轉(zhuǎn)角非常微小時(shí)，試寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求出系統(tǒng)的固有頻率。解:由動(dòng)量矩定理可得整理上式可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程則有，固有頻率§14-2

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)mcOmOm交流電通過電磁鐵產(chǎn)生交變的電磁力引起的振動(dòng)彈性梁上的電動(dòng)機(jī)由于轉(zhuǎn)子偏心在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)引起的振動(dòng)受迫振動(dòng):在外加激振力作用下的振動(dòng)?！?4-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振力:典型的周期變化的激振力H:激振力力幅;ω:激振力的角頻率;φ:激振力初相位。取平衡位置O為原點(diǎn)，豎直向下為正物塊受恢復(fù)力Fe和激振力F作用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程：—

無(wú)阻尼受迫振動(dòng)微分方程mxxOm一、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)彈簧原長(zhǎng)為l0，剛度系數(shù)為k物塊質(zhì)量為m，彈簧靜變形為δst設(shè)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解由兩部分組成齊次方程的通解：B、φ為待定常數(shù)設(shè)特解為將x2代入無(wú)阻尼受迫振動(dòng)微分方程，得：一、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)無(wú)阻尼受迫振動(dòng)微分方程的全解：無(wú)阻尼受迫振動(dòng)是由兩個(gè)諧振動(dòng)合成：第一部分是頻率為固有頻率的自由振動(dòng)；第二部分是頻率為激振力頻率的受迫振動(dòng)。自由振動(dòng)的振幅A和初位相θ由運(yùn)動(dòng)初始條件決定。一、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)由于實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)中阻尼的存在，自由振動(dòng)部分將迅速衰減，只剩下受迫振動(dòng)部分，我們著重研究第二部分穩(wěn)態(tài)的受迫振動(dòng)。

在簡(jiǎn)詣激振力作用下，系統(tǒng)受迫振動(dòng)頻率與激振力的頻率ω相同，而與系統(tǒng)的固有參數(shù)（m、k）無(wú)關(guān)。一、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)無(wú)阻尼受迫振動(dòng)微分方程的全解：

在簡(jiǎn)詣激振力作用下，系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅大小與振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率ω0、激振力的頻率ω及激振力的力幅H有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅：一、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)—

彈簧在靜力H作下的靜變形；—頻率比振幅比：幅頻響應(yīng)曲線：以λ為橫坐標(biāo)，β為縱坐標(biāo)（振幅比取絕對(duì)值）⑴當(dāng)ω=0時(shí)，β

=1幅頻響應(yīng)曲線⑵

當(dāng)0<λ<1（即0<ω<ω0）時(shí)§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)激振力為一恒力，系統(tǒng)不發(fā)生振動(dòng)，而振幅B0實(shí)際上是在靜力H作用下系統(tǒng)的靜變形，即受迫振動(dòng)的振幅受迫振動(dòng)振幅B與激振力幅值H成正比。隨著λ值（或ω值）的增加，β值（或振幅B）愈來(lái)愈大。⑶當(dāng)λ>1（即ω>ω0）時(shí)幅頻響應(yīng)曲線§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)隨著λ值（或ω值）的增加，β值（或振幅B）愈來(lái)愈小。λ→∞時(shí)，

β→0，即B→0⑷當(dāng)λ=1（即ω=ω0）時(shí)當(dāng)激振力頻率ω與系統(tǒng)的固有頻率ω0相等時(shí)，系統(tǒng)的振幅B在理論上趨于無(wú)窮大，這種現(xiàn)象稱為共振。激振力頻率ω=ω0時(shí)，稱為共振頻率。共振頻率的附近區(qū)域稱為共振區(qū)，工程上任務(wù)共振區(qū)為

0.75≤λ≤1.25。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)無(wú)意義或無(wú)阻尼受迫振動(dòng)微分方程的特解應(yīng)設(shè)為：并代入無(wú)阻尼受迫振動(dòng)微分方程可得振動(dòng)的幅值隨著時(shí)間的增加而無(wú)限地增大。

實(shí)際系統(tǒng)由于存在阻尼，共振振幅不可能達(dá)到無(wú)限大，但共振往往使機(jī)器產(chǎn)生過大的變形，甚至造成破壞。

旋轉(zhuǎn)機(jī)器的轉(zhuǎn)軸由于加工及安裝不當(dāng)，可能引起一定的偏心，當(dāng)轉(zhuǎn)軸角速度ω（等于干擾力激振力的頻率）與系統(tǒng)固有頻率ω0相等，則會(huì)發(fā)生共振?！?4-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)臨界角速度ωcr：轉(zhuǎn)軸發(fā)生共振時(shí)的角速度。臨界轉(zhuǎn)速ncr：轉(zhuǎn)軸發(fā)生共振時(shí)的轉(zhuǎn)速。利用振動(dòng)：最好在臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速附近工作減輕振動(dòng)：避開臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速工作（不要等于臨界轉(zhuǎn)速）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程：—

有阻尼受迫振動(dòng)微分方程二、有阻尼受迫振動(dòng)§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)設(shè)，，取平衡位置O為原點(diǎn)，豎直向下為正，物塊在任意位置x處受受恢復(fù)力Fe、粘性阻尼Fd和激振力F作用。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解由兩部分組成§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)二、有阻尼受迫振動(dòng)在小阻尼(δ

<ω0)情形下，齊次方程的通解：B、ε為待定常數(shù)設(shè)特解為將x2代入有阻尼受迫振動(dòng)微分方程，得：A

、

為由振動(dòng)的初始條件決定的積分常數(shù)；比較上兩式：可解得：§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)二、有阻尼受迫振動(dòng)B：有阻尼受迫振動(dòng)的振幅；ε：激振力與有阻尼受迫振動(dòng)的相位差。有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的全解：有阻尼受迫振動(dòng)是由兩個(gè)諧振動(dòng)合成：第一部分是頻率為固有頻率的衰減振動(dòng)；第二部分是頻率為激振力頻率的受迫振動(dòng)?！?4-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)衰減振動(dòng)只在振動(dòng)開始后的一段時(shí)間內(nèi)才有意義，所以稱為瞬態(tài)振動(dòng)，通常不考慮。由于阻尼力的存在，第一部分很快全部衰減，之后系統(tǒng)將按受迫振動(dòng)的規(guī)律振動(dòng)，這是一種持續(xù)等幅振動(dòng)，稱為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。二、有阻尼受迫振動(dòng)⑴有阻尼受迫振動(dòng)的規(guī)律仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并不因有阻尼而衰減；⑵不論有無(wú)阻尼力，受迫振動(dòng)的頻率都等于激振力頻率；⑶受迫振動(dòng)振幅為一常數(shù)，其值由h、ω0、ω、δ決定。txOtxOtxO(a)(b)(c)§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)有阻尼受迫振動(dòng)的振幅：二、有阻尼受迫振動(dòng)考慮

、頻率比

，設(shè)阻尼比或無(wú)量綱化§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)以λ為橫坐標(biāo)、β為縱坐標(biāo)，畫出不同ζ值下幅頻響應(yīng)曲線二、有阻尼受迫振動(dòng)⑴當(dāng)λ→1時(shí)，振幅B雖然很大，但并不是無(wú)限大。共振振幅隨ζ值的增大顯著減小；⑵當(dāng)λ<<1及λ>>1時(shí)，有阻尼受迫振動(dòng)的振幅與無(wú)阻尼受迫振動(dòng)的振幅大小相差無(wú)幾，即在遠(yuǎn)離共振阻尼對(duì)振幅的影響可忽略。§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)二、有阻尼受迫振動(dòng)—

共振頻率工程實(shí)際中的阻尼往往較?。é?lt;<1），可以認(rèn)為激振力頻率等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振。共振振幅：§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)二、有阻尼受迫振動(dòng)—

相位差以λ為橫坐標(biāo)、ε為縱坐標(biāo)，畫出不同ζ值下幅頻響應(yīng)曲線ε總在0至π區(qū)間變化，且隨λ的增加而單調(diào)上升?！?4-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)二、有阻尼受迫振動(dòng)⑴當(dāng)λ<<1時(shí)，相位差ε→1，即受迫振動(dòng)與激振力同相位；⑵

當(dāng)λ>>1時(shí)，相位差ε→π

，即受迫振動(dòng)與激振力相位相反；⑶當(dāng)λ=1時(shí)，相位差ε→π/2，共振時(shí)系統(tǒng)相位比激振力滯后π/2

(共振的重要特征)。共振時(shí)，ε與阻尼的大小無(wú)關(guān)，這與幅頻特性曲線有很大區(qū)別?！?4-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)例14-8

如圖所示，電機(jī)(含轉(zhuǎn)子)質(zhì)量m1=30000kg，基礎(chǔ)質(zhì)量為m2=48000kg，基礎(chǔ)底面積A=20m2，其下為夯實(shí)地基(比剛度μ=6×107N/m3)。轉(zhuǎn)子角速度ω=314rad/s，由轉(zhuǎn)子偏心引起的周期激振力F=0.2Hsinωt，且H=45kN。求電機(jī)與基礎(chǔ)作鉛直受迫振動(dòng)的振幅、電機(jī)共振時(shí)的臨界轉(zhuǎn)速。解:取電機(jī)與基礎(chǔ)為研究對(duì)象，電

機(jī)、基礎(chǔ)和地基可簡(jiǎn)化為一

彈簧質(zhì)量系統(tǒng)§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量：彈簧剛度系數(shù)：（由地基決定）整理上式可得§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)取系統(tǒng)平衡位置O

為原點(diǎn)，δst為靜變形，分析系統(tǒng)在任一位置x時(shí)受力：電機(jī)與基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)微分方程：xOx重力地基彈性力周期激振力由無(wú)阻尼系統(tǒng)受迫振動(dòng)微分方程可得§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)系統(tǒng)受迫振動(dòng)振幅xOx激振力頻率ω等于振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率ω0時(shí)，系統(tǒng)共振。§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速：由于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率ω0遠(yuǎn)比激振力頻率ω小。在電機(jī)啟動(dòng)過程中，轉(zhuǎn)子角速度到達(dá)臨界角速度ωcr時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振。

當(dāng)轉(zhuǎn)子角速度超過臨界角速度ωcr之后，隨著角速度的繼續(xù)增大，振動(dòng)逐漸減弱。在停車過程中，由于在共振區(qū)域過渡時(shí)間較長(zhǎng)，這種共振現(xiàn)象更為明顯。電機(jī)臨界角速度：例14-9

如圖所示，精密設(shè)備用橡膠隔振器隔振，已知系統(tǒng)的固有頻率為3.8Hz，橡膠隔振器的阻尼系數(shù)ζ=0.125。如地面振動(dòng)的垂直分量是正弦振動(dòng)，振幅為0.002m，最大振動(dòng)速度為0.1256mm/s，試求設(shè)備的振幅。地面垂直振動(dòng)的規(guī)律：§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)重力與彈性力的合力：阻尼力：解:設(shè)備、基礎(chǔ)和隔振器可簡(jiǎn)化為圖示系統(tǒng)隔振器設(shè)備基礎(chǔ)系統(tǒng)在任意位置處的受力：kmcm§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)將兩個(gè)激振力合成為同頻率的一個(gè)簡(jiǎn)諧激振力其中激振力：經(jīng)彈簧傳遞的力+經(jīng)阻尼器傳遞的力

(位相比前者超前90°)設(shè)，，物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程：§14-3

單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)特解：式中設(shè)備振幅：減小或消除振