第3章多維隨機變量及其分布3.1二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)3.2二維離散型隨機變量及其聯(lián)合分布律3.3二維連續(xù)型隨機變量及其聯(lián)合概率密度3.4邊緣分布3.5條件分布3.6隨機變量的獨立性3.7二維隨機變量函數(shù)及其分布習(xí)題３

3.1二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)

在實際問題中，許多隨機試驗的結(jié)果需要用兩個或兩個以上的隨機變量來描述。例如：炮彈的彈著點就需要由它的橫坐標(biāo)X和縱坐標(biāo)Y來確定，而X、Y是定義在同一樣本空間上的兩個隨機變量；某鋼材的質(zhì)量需要由鋼材的硬度X、鋼材的含碳量Y和鋼材的含硫量Z來確定，而X、Y、Z是定義在同一樣本空間上的三個隨機變量。一般地，有如下的定義。

定義1設(shè)隨機試驗的樣本空間為Ω，

X、Y是定義在Ω上的隨機變量，則稱由X、Y構(gòu)成的向量(X，

Y)為二維隨機變量。

類似地，有n維隨機變量的定義，因為n維隨機變量和二維隨機變量沒有本質(zhì)的區(qū)別，所以以下僅討論二維隨機變量的情形，所得結(jié)果不難推廣到n維隨機變量的情況。在定義了多維隨機變量后，我們也稱單個隨機變量為一維隨機變量。

二維隨機變量(X，

Y)的性質(zhì)不僅與X及Y有關(guān)，而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系，因此逐個研究隨機變量X及Y是不夠的，需要將X及Y作為一個整體(X，

Y)來討論。像一維隨機變量一樣，可以用分布函數(shù)來討論二維隨機變量，此時的分布函數(shù)稱為聯(lián)合分布函數(shù)。

定義2設(shè)(X，

Y)是二維隨機變量，稱二元函數(shù)

為二維隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。

從幾何上來看，如果把二維隨機變量(X，

Y)看成是平面上隨機點的坐標(biāo)，那么聯(lián)合分布函數(shù)F(x

，

y)在(x，

y)處的函數(shù)值就是隨機點(X，

Y)落在以(x，

y)為右上頂點的左下無界區(qū)域內(nèi)的概率，如圖3－1所示。圖3－1

定理設(shè)二維隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(

x，

y)，則?x1<x2，

y1<y2，有P

(x1<X≤x2，

y1<Y≤y2)=F(x2，

y2)-F(x1，

y2)-F(x2，

y1)+F(x1，

y1)

證明由聯(lián)合分布函數(shù)的定義，得

圖3－2

二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)具有以下的性質(zhì)。

性質(zhì)10≤F

(x

，

y)≤1，

x、y∈R

，且F(-∞，

y)=F(x，

-∞)=F(-∞，

-∞)=0，

F(+∞，

+∞)=1。

證明由于?x、y∈R，

0≤P(X≤x，

Y≤y)≤1，因此

0≤F(x，

y)≤1

且對于任意固定的對于任意固定的x

，

在幾何上可以作如下解釋:在圖3－1中固定上邊邊界，將無窮矩形的右邊邊界向左無限平移，即x→-∞，則“隨機點(X，

Y)落在以(x，

y)為右上頂點的左下無界區(qū)域內(nèi)”這一事件趨于不可能事件，從而其概率趨于零，即F(-∞，

y)=0，類似地，

F(x，

-∞)=0;在圖3－1中將無窮矩形的右邊邊界向左無限平移，同時將上邊邊界向下無限平移，即(x，

y)→(-∞，-∞)，則“隨機點(X，

Y)落在以(x，

y)為右上頂點的左下無界區(qū)域內(nèi)”這一事件趨于不可能事件，從而其概率趨于零，即F(-∞，

-∞)=0;

在圖3－1中將無窮矩形的右邊邊界向右無限平移，同時將上邊邊界向上無限平移，即(x，

y)→(+∞，

+∞)，則圖3－1中的區(qū)域趨于全平面，從而“隨機點(X，

Y)落在以(x，

y)為右上頂點的左下無界區(qū)域內(nèi)”這一事件趨于必然事件，從而其概率趨于1，即F(+∞，

+∞)=1。

性質(zhì)2對于一個固定的變量，

F(

x，

y)是另一個變量的單調(diào)不減函數(shù)，即：對于任意固定的y，當(dāng)x1

<x2

時，

F(x1

，

y)≤F(x2

，

y)；對于任意固定的x

，當(dāng)y1<y2

時，F(xiàn)(x，

y1)≤F(x，

y2

)。

證明由于當(dāng)x1<x2

時，{X≤x1

}?{X≤x2}，因此{X≤x1}∩{Y≤y}?{X≤x2

}∩{Y≤y}，從而P(X≤x2

，

Y≤y)≤P(X≤x1

，

Y≤y)，即．

同理可證，對于任意固定的x，當(dāng)y1

<y2

時，

F(x，

y1

)≤F(x，

y2)。

性質(zhì)3對于一個固定的變量，

F(x，

y)是另一個變量的右連續(xù)函數(shù)，即:對于任意固定的y，

F(x，

y)關(guān)于x

右連續(xù)，

F(x+0，

y)=F(x，

y)；對于任意固定的x，

F(x，

y)關(guān)于y

右連續(xù)，

F(x，

y+0)=F(x，

y)。

性質(zhì)4設(shè)x1<x2

，

y1

<y2

，則

F(x2

，

y2

)-F(x1

，

y2

)-F(x2

，

y1)+F(x1

，

y1

)≥0。

證明由(3.1.2)式及概率的非負性可直接推得。

需要指出的是，如果函數(shù)F(x，

y)滿足上述性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)3及性質(zhì)4，那么F

(x，

y)一定是某個二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)。

例3－1判斷函數(shù)

是否為聯(lián)合分布函數(shù)。

解在性質(zhì)4中，取x1=0，

x2=1，

y1=0，

y2=1，則

因而F

(x，

y)不是聯(lián)合分布函數(shù)。

3.2二維離散型隨機變量及其聯(lián)合分布律

1.二維離散型隨機變量的定義定義1設(shè)(X，

Y)是二維隨機變量，如果(X，

Y)可能的取值為有限對或可列無限多對，則稱(X，

Y)為二維離散型隨機變量。顯然，要掌握一個二維離散型隨機變量(X，

Y)的統(tǒng)計規(guī)律，必須且只需知道(X，

Y)所有可能的取值以及取每一對值的概率。

2.二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律

定義2(二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律)設(shè)(X，

Y)是二維離散型隨機變量，其可能的取值為(xi，

yj)(i，

j=1，

2，…)，則稱

為(X，

Y)的聯(lián)合分布律，或表示為

例3－2設(shè)隨機變量X

在1，

2，

3，

4四個整數(shù)中等可能地取一個值，另一個隨機變量Y在1，

2，…，

X中等可能地取一個值，求(X，

Y)的聯(lián)合分布律。

解X、Y可能的取值為1，

2，

3，

4，且

即(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

例3－3袋中裝有3只球，它們上面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、2。從該袋中取球兩次，每次取1只，取出的球不再放回。設(shè)X、Y分別表示第一次、第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求(X，

Y)的聯(lián)合分布律。

解

X、Y可能的取值為1、2，且

即(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

例3－4設(shè)箱子中裝有12件產(chǎn)品，其中2件是次品。從中任取產(chǎn)品兩次，每次取1件。令

(1)若第一次取出的產(chǎn)品放回，求(X，

Y)的聯(lián)合分布律;

(2)若第一次取出的產(chǎn)品不放回，求(X，

Y)的聯(lián)合分布律。

解

(1)X、Y可能的取值為0、1，且

即(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

(2)X、Y可能的取值為0、1，且

即(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

例3－5袋中裝有3只黑球，

2只紅球，

2只白球。從中任取4只球，設(shè)X、Y分別表示取到的黑球數(shù)與紅球數(shù)，試求:

(1)(X，

Y)的聯(lián)合分布律;

(2)P(X>Y)、P(Y=2X)、P(X+Y=3)和P(X<3-Y)。

即(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

3.二維離散型隨機變量聯(lián)合分布律的性質(zhì)

4.二維離散型隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)

設(shè)二維離散型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

由概率的可列可加性，得(X，

Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

即

例3－6設(shè)二維離散型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

試求：(1)常數(shù)a

；(2)P(X=2Y)。

例3－7設(shè)二維離散型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

求(X，

Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。

解由(3.2.2)式，得(X，

Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

3.3二維連續(xù)型隨機變量及其聯(lián)合概率密度

1.二維連續(xù)型隨機變量的定義定義1設(shè)(X，

Y)是二維隨機變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為F

(x，

y)，如果存在非負可積函數(shù)f

(x，

y)，使得則稱(X，

Y)為二維連續(xù)型隨機變量，稱f(x，

y)為(X，

Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱聯(lián)合概率密度。

例3－8設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

試求：(1)常數(shù)c；

(2)(X，

Y)的聯(lián)合分布函數(shù)；

(3)P(0<X≤1，

0<Y≤2)。

解

故c=12。

3.幾種重要的二維連續(xù)型隨機變量

1)二維均勻分布

定義2若二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

其中A為區(qū)域G的面積，則稱(X，

Y)在區(qū)域G上服從均勻分布，記為(X，

Y)~U(G)。

例3－11設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)在區(qū)域

上服從均勻分布，求(X，

Y)的聯(lián)合概率密度及P(X+Y≥1)。

解由于區(qū)域G的面積A=π，因此(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

結(jié)合幾何概率，容易得到:

定理設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)~U(G)，則(X，

Y)在G的任一子區(qū)域上取值的概率等價于平面區(qū)域G上的幾何概率。

例3－12設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)~U(G)，其中

解

由于平面區(qū)域G的面積為2，平面區(qū)域

是平面區(qū)域G的一部分，且面積為π/2，因此

同理可得

2)二維正態(tài)分布

定義3若二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

x、y∈R(3.3.3)其中μ1

、μ2、σ1

(σ1

>0)、σ2

(σ2

>0)

是常數(shù)，則稱(X，

Y)服從參數(shù)為μ1、μ2

、σ21

、σ22

、ρ的二維正態(tài)分布，記為(X，

Y)~N(μ1，

μ2;σ21

，

σ22

;ρ)。

f(x，

y)的圖像如圖3－3所示，它在x=μ1，

y=μ2處取得最大值為圖3－3

3.4邊緣分布

二維隨機變量(X，

Y)作為一個整體具有聯(lián)合概率分布(聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合分布律或聯(lián)合概率密度)，而X和Y都是隨機變量，各自也具有概率分布，這樣的分布就是邊緣分布。

例3－13設(shè)二維隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

解由(3.4.1)式得

由(3.4.2)式得

2.二維離散型隨機變量的邊緣分布律

定理2設(shè)二維離散型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

則(X，

Y)關(guān)于X、Y的邊緣分布律分別為

或在(X，

Y)的聯(lián)合分布律中表示為

證明由(3.4.1)式和(3.2.2)式得

再由第二章的(2.3.2)式得

同理可證

例3－14袋中裝有2只白球、3只黑球，從袋中取球兩次，每次取1只球，令

(1)若第一次取出的球放回，求(X，

Y)的邊緣分布律;

(2)若第一次取出的球不放回，求(X，

Y)的邊緣分布律。

解

(1)X、Y可能的取值為0、1，且

故(X，

Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律為

(2)X、Y可能的取值為0、1，且

故(X，

Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律為

3.二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度

定理3設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為f(x，

y)，則(X，

Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率密度分別為

證明由(3.4.1)式和(3.3.1)式得

再由第二章的(2.4.1)式得

同理可證

例3－15設(shè)平面區(qū)域G是由y=x2

和y=x所圍成

(如圖3－4所示)的，且二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)在區(qū)域G上服從均勻分布，求(X，

Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率密度。圖3－4

例3－16設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)~N

即(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

求(X，

Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率密度。

該結(jié)果說明:如果(X，

Y)~N(μ1

，

μ2;σ21

，σ22

;ρ

)，那么X~N(μ1

，σ21)，

Y~N(μ2

，σ2

2

)，且都不依賴于參數(shù)ρ。也就是說，對于任意給定的μ1

、μ2

、σ21

、σ22

，不同的ρ對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，它們的邊緣分布卻都是一樣的，即單由關(guān)于X、Y的邊緣分布一般不能確定X、Y的聯(lián)合分布，并且(X，

Y)不一定服從二維正態(tài)分布。

例3－17設(shè)

(1)證明f(x，

y)是二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合概率密度;

(2)求(X

，

Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率密度

解

(1)證明：由于f

(x，

y)≥0是顯然的，且

因此f

(x，

y)是二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合概率密度。

同理可得

該例說明:雖然有X~N(0，

1)，

Y~N(0，

1)，但(X，

Y)卻不服從二維正態(tài)分布，也即是說，若X、Y都服從正態(tài)分布，則(X，

Y)不一定服從二維正態(tài)分布。

3.5條件分布

由于隨機變量可以表示隨機事件，而且隨機事件有條件概率的概念，因此把隨機事件的條件概率引入到隨機變量的分布上來，便產(chǎn)生了條件分布的概念。

1.二維離散型隨機變量的條件分布律

例3－18設(shè)二維離散型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

(1)設(shè)p·j>0，求在隨機事件{Y=yj

}已發(fā)生的條件下，隨機事件{X=xi

}的條件概率P(X=xi

Y=yj)(i

=1，

2，…)；

(2)設(shè)pi·>0，求在隨機事件{X=xi}已發(fā)生的條件下，隨機事件{Y=yj}的條件概率P(Y=yjX=xi)(j=1，

2，…)。

定義1設(shè)二維離散型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

例3－19設(shè)二維離散型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

求:

(1)在Y=1的條件下X的條件分布律;

(2)在X=2的條件下Y的條件分布律。

解由(X，

Y)的聯(lián)合分布律得X、Y的邊緣分布律為

(1)

即在Y=1的條件下，

X的條件分布律為

(2)

即在X=2的條件下，

Y的條件分布律為

例3－20一射手進行射擊，擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1)，射擊直至擊中目標(biāo)兩次為止。設(shè)X表示首次擊中目標(biāo)所進行的射擊次數(shù)，

Y表示總共進行的射擊次數(shù)，試求

(X，

Y)的聯(lián)合分布律與條件分布律。

解

X可能的取值為1，

2，…，

Y可能的取值為2，

3，…。依題設(shè)知，

Y=n表示在第n次射擊時擊中目標(biāo)，且在前n-1次射擊中恰有一次擊中目標(biāo)，已知各次射擊是相互獨立的，因此

當(dāng)m<n時，

當(dāng)m≥n時，

即(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

又由于

因此當(dāng)n=2，

3，…時，

X的條件分布律為

2.二維連續(xù)型隨機變量的條件概率密度

我們知道，當(dāng)(X，

Y)是二維連續(xù)型隨機變量時，則?x、y∈R，有P(X=x)=0，P

(Y=y)=0。因此就不能像二維離散型隨機變量那樣，直接由條件概率引入(X，

Y)的條件分布。自然就有了下面的極限方法。

定義2設(shè)二維隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(

x，

y)，關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù)為FY

(y)，給定y

及其增量Δy(不妨設(shè)Δy>0)，使得P(y<Y≤y+Δy)>0，如果極限

存在，則稱該極限為在Y=y的條件下隨機變量X的條件分布函數(shù)，記為即

類似地，有

設(shè)(X，

Y)為二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合概率密度為f(x，

y)，關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY

(y)，由連續(xù)型隨機變量概率密度的性質(zhì)，得

定義3設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

f(x，

y)，如果對于任意固定的y

，有fY

(y

)>0，則稱

為在Y=y的條件下隨機變量X的條件概率密度。

如果對于任意固定的x，有fX

(x)>0，則稱

為在X=x的條件下隨機變量Y的條件概率密度。

例3－21設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

例3－23設(shè)隨機變量X~U(0，

1)，在X=x(0<x<1)的條件下，隨機變量Y~U(0，

x)，求:

(1)(X，

Y)的聯(lián)合概率密度;

(2)Y的邊緣概率密度f

Y(y

);

(3)P(X+Y>1)。

例3－25設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)在區(qū)域G上服從均勻分布，其中G是由x-y=0、x+y=2與y=0所圍成的三角形區(qū)域。試求:

(1)(X，

Y)關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x);

3.6隨機變量的獨立性

我們已經(jīng)討論過隨機事件的獨立性，現(xiàn)在從這一概念出發(fā)引進隨機變量的獨立性，它在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究中是十分重要的。

定義1設(shè)二維隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x，

y)，邊緣分布函數(shù)分別為FX

(x)和FY

(y

)，如果

則稱隨機變量X與Y相互獨立。

從定義可以看出，隨機變量X與Y相互獨立等價于:?x、y∈R

，隨機事件{X≤x}與{Y≤y}相互獨立，即

定理1設(shè)二維離散型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布律為P(X=xi

，

Y=yj)=pij(i，

j=1，

2，…)，邊緣分布律分別為pi

·和p·j，則X與Y相互獨立的充要條件是

證明必要性:設(shè)X與Y相互獨立，則對(X，

Y)任一對可能的取值(xi

，

yj

)及自然數(shù)m、n，有

在上面等式的兩邊，先令m→∞，再令n→∞，由第一章的(1.3.8)式得

即

故

定理2設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合概率密度f(x，

y)及邊緣概率密度fX

(x)、fY(y)是除有限個點外的連續(xù)函數(shù)，則X與Y相互獨立的充要條件是

證明必要性:設(shè)X

與

Y相互獨立，則F(x，

y)=FX

(x)FY

(y)(x，

y∈R)，兩邊對x、y求偏導(dǎo)數(shù)，得

即

例3－27一電子儀器由兩個部件構(gòu)成，以X與Y分別表示兩個部件的壽命(單位:千小時)，已知(X，

Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

(1)問X與Y是否相互獨立?

(2)求兩個部件的壽命都超過100小時的概率。

解

(1)由于

且

因此X與Y相互獨立。

(2)所求的概率為

例3－28設(shè)二維離散型隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

判斷X與Y是否相互獨立。

解由于

因此X與Y相互獨立。

例3－29設(shè)隨機變量X、Y相互獨立同分布，

X的概率密度為

解由于X、Y相互獨立，因此事件A={X>a}、B={Y>a}相互獨立，又由于

所以

解之得a=1/2。

例3－30設(shè)離散型隨機變量X、Y的分布律分別為

且P(XY=0)=1。

(1)求(X，

Y)的聯(lián)合分布律;

(2)問X、Y是否相互獨立，為什么?

解由于P(XY=0)=1，因此

從而(X，

Y)的聯(lián)合分布律有如下結(jié)構(gòu):

由聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系得

故(X，

Y)的聯(lián)合分布律為

(2)由于P(X=-1，

Y=0)=

因此X、Y不相互獨立。

例3－31設(shè)隨機變量X、Y相互獨立，且X~U(

0，

1)，

Y~U(0，

2)，求P(X+Y≤1)。

解由于X~U(0，

1)，

Y~U(0，

2)，因此X、Y的概率密度分別為

又由于X、Y相互獨立，故(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

所以

由該例我們不難得到下列一般性的重要結(jié)果。

定理3設(shè)隨機變量X、Y相互獨立，且X~U[a，

b]，

Y~U[c，

d]，則二維隨機變量(X，

Y)~U[a

，

b;c，

d]，其中[a，

b;c，

d]={(x，

y)a≤x≤b，

c≤y≤d};反之亦然。

證明由于X~U[a，

b]，

Y~U[c，

d]，因此X、Y的概率密度分別為

又由于X、Y相互獨立，故(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

例332設(shè)隨機變量X、Y相互獨立，且X~U[-1，

1]，

Y~U[-1，

1]，求P(Y>X2)。

解

由于X、Y相互獨立，且X~U[-1，

1]，

Y~U[-1，

1]，因此(X，

Y)~U[-1，

1;-1，

1]。又由于平面區(qū)域[-1，

1;-1，

1]的面積為4，平面區(qū)域{(

x，

y)y>x2

}含在平面區(qū)域[-1，

1;-1，

1]中的部分的面積為

定理4設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)~N(μ1

，

μ2;σ21

，σ22;ρ

)，則X、Y相互獨立的充要條件是ρ=0。

證明設(shè)(X，

Y)~N(μ1

，

μ2;σ21

，

σ22;ρ)，則(X，

Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度分別為

充分性:設(shè)ρ=0，則(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

故X、Y相互獨立。

必要性:設(shè)X、Y相互獨立，則f(x，

y)=fX(x)fY

(y)(x，

y∈R)。特別地，取x

=

μ1

，

y=μ2

，得

即

故

ρ=0

例3－33設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，

Y)~N(1，

1;4，

4;0)，求P(X≤1，

Y≤1)。

解

由于(X，

Y)~N(1，

1;4，

4;0)，且ρ=0，因此X~N(1，

4)，

Y~N(1，

4)，且X、Y相互獨立，從而

例3－34(1)設(shè)X、Y是非負的連續(xù)型隨機變量且相互獨立，

X的分布函數(shù)為FX(x

)，

Y

的概率密度為fY(y

)，證明P(X<Y)=

(2)若X、Y相互獨立且分別服從參數(shù)為λ1

、λ2

的指數(shù)分布，利用上述結(jié)果求P(X<Y)。

解

(1)設(shè)X的概率密度分別為fX

(x)，由于X、Y是非負的連續(xù)型隨機變量且相互獨立，因此(X，

Y)的聯(lián)合概率密度為

從而

例3－35把三只球等可能地放入編號為1、2、3的三個盒子中，記落入第1號盒子中的球的個數(shù)為X，落入第2號盒子中的球的個數(shù)為Y。

(1)求二維隨機變量(X，

Y)的聯(lián)合分布律;

(2)問X、Y是否相互獨立，為什么?

(3)求在Y=1的條件下X的條件分布律。

解

(1)X、Y可能的取值為0，

1，

2，

3，且

由于在X=i的條件下，剩下的3-i只球等可能落入第2號與第3號盒子中，因此在X=i的條件下，

即(X，

Y)的聯(lián)合概率分布為

即在Y=1的條件下X的條件分布律為

3.7二維隨機變量函數(shù)及其分布

1.二維隨機變量函數(shù)的定義定義設(shè)(X，