試題試題專題04立體幾何初步（期末壓軸專項訓(xùn)練33題）一、立體圖形中最短距離問題1．如圖，棱長為3的正方體中，點在線段上且，點分別為線段上的動點，則空間四邊形周長的最小值為（

）

A． B． C． D．2．在正四棱錐中，，為的中點，為的中點，則從點沿著四棱錐的表面到點的最短路徑的長度為（

）A． B． C． D．3．如圖，在圓錐SO的底面圓中，AC為直徑，O為圓心，點B在圓O上，且，D為線段AB上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．在長方體中，為線段的中點，是棱的中點，若點為線段上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．5．如圖，AB是圓柱的直徑且，PA是圓柱的母線且，點C是圓柱底面圓周上的點.若，D是PB的中點，點E是線段PA上一動點，則的最小值為.二、立體圖形中截面問題1．在正方體中，為的中點，為的中點，為線段上一動點（不含）．過與正方體的截面記為，下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)時，截面為五邊形B．當(dāng)時，截面只能是六邊形C．當(dāng)時，截面的面積最大D．當(dāng)時，截面只能是五邊形2．如圖，正方體中，、分別是、的中點，過點、、的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為，則（

）A． B． C． D．3．如圖，正方體的棱長為2，N為的中點，若過的平面平面，則截該正方體所得截面圖形的面積為.4．（1）如圖，棱長為2的正方體中，，是棱，的中點，在圖中畫出過底面中的心且與平面平行的平面在正方體中的截面，并求出截面多邊形的周長為：______；（2）作出平面與四棱錐的截面，截面多邊形的邊數(shù)為______．三、立體圖形中動點問題1．（多選）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點，是線段上的動點，則（

）.A．存在點，使平面 B．不存在點，使四點共面C．三棱錐的體積是定值 D．經(jīng)過四點的球的表面積為102．（多選）在直平行六面體中，，M為棱上的動點，四點均在球O的球面上，則（

）A．存在點M，使平面B．無論M的位置如何，三棱錐的體積為定值C．存在點M，使的周長為D．球O的表面積為3．（多選）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，為線段上一個動點，則（）A．存在點，使B．存在點，使平面平面C．三棱錐的體積為定值D．存在點G，使得平面截正方體所得截面為正六邊形4．（多選）如圖，正方體的棱長為2，，分別是，的中點，點是底面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（

）A．不存在點，使得平面B．過，，三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形C．三棱錐的體積為4D．三棱錐的外接球表面積為5．（多選）如圖，正方體的棱長為2，，分別是，的中點，點是底面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（

）A．存在點，使得平面B．過三點的平面截正方體所得截面圖形是平行四邊形C．三棱錐的體積為定值D．三棱錐的外接球表面積為四、內(nèi)切球和外接球問題1．已知一個圓臺的上，下底面半徑分別為1和4，高為．若該圓臺內(nèi)有一個正方體，且該正方體在圓臺內(nèi)能任意轉(zhuǎn)動，則該正方體棱長的最大值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱長為，，，點在上底面（包含邊界）上運動，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（

）

A． B． C． D．3．已知正四面體內(nèi)接于球，球半徑為3，為的中點，過點作球的截面，求截面圓半徑的最小值（

）A．1 B． C． D．4．已知某個正三棱臺的上、下底面面積分別為和，高為6，則該正三棱臺的外接球半徑為（

）A．4 B． C．3 D．5．如圖，兩個底面半徑相同的圓錐組合的一個幾何體，若底面圓的半徑為1，兩個圓錐的母線長分別為，則該幾何體內(nèi)切球的半徑為（

）A．1 B． C． D．6．已知正四棱錐的底面邊長為2，高為，則其內(nèi)切球半徑是（

）A．1 B． C． D．五、二面角問題1．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面.，為側(cè)棱的中點.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正切值.2．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，為棱的中點，，，直線與所成的角的大小為．(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)求二面角的正切值．3．如圖，在邊長為4的菱形中，分別是的中點，將沿折起，使點到的位置，且．(1)若平面平面，判斷與的位置關(guān)系并說明理由；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求二面角大小的余弦值．4．如圖①，已知是邊長為2的等邊三角形，D是的中點，，如圖②，將沿邊DH翻折至.(1)在線段BC上是否存在點F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；(2)若平面BHC與平面BDA所成的二面角的正切值為，求點B到直線CH的距離.5．如圖，在梯形中，，，．把沿翻折，使得二面角的平面角為，M，N分別是和中點.(1)若，E是線段的中點，動點F在三棱錐表面上運動，并且總保持，求動點F的軌跡的長度.(2)若，P，Q分別為線段，上異于端點的點，滿足，記分別與，所成角為，，若，求的取值范圍.(3)若，求二面角的正切值.6．如圖（1）梯形中，，，，，且，將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面平面，與和交于O，點P在上，且，R是的中點，過O、P、R三點的平面交于Q．在圖（2）中：(1)證明：Q是的中點；(2)M是上一點，已知二面角的正切值為，求的值．7．（建立空間直角坐標系答題不得分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面ABCD為矩形．(1)若面ABCD，，，求證：；(2)若二面角的大小為，，且，設(shè)直線BD和平面QCB所成角為，求的最大值．8．如圖，三棱柱中，在底面內(nèi)的射影為的外心，且，，三棱柱的側(cè)面積為.(1)求證：；(2)求三棱柱的體積；(3)分別求二面角和二面角的大小.六、體積問題（點到平面距離問題）1．如圖所示，三棱柱，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，點分別是棱，上的點，點是線段的中點，．(1)求證平面；(2)求與所成角的余弦值；(3)若，求多面體的體積.2．如圖，等腰直角三角形所在平面與半圓弧所在平面垂直，且，M是上異于A、B的點，N是的中點．(1)證明：平面；(2)若三棱錐體積最大為，設(shè)，（?。┣篌w積最大時α的值及此時二面角的余弦值；（ⅱ）當(dāng)M在弧上運動時（不與A、B重合），證明：點O到平面的距離．3．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，，，點E，F(xiàn)分別為棱AD，PC的中點．

(1)若，，求異面直線EF與AB的夾角的大?。?2)若直線PC與平面ABCD所成角的大小為．①求二面角的余弦值；②求點F到平面PAB的距離．4．如圖1，在矩形中，是線段上（包括端點）的一動點，如圖2，將沿著折起，使點到達點的位置，滿足點平面.

(1)如圖2，當(dāng)時，點是線段上點的，平面，求的值；(2)如圖2，若點在平面內(nèi)的射影落在線段上.①是否存在點，使得平面，若存在，求的長；若不存在，請說明理由；②當(dāng)三棱錐的體積最大值時，求點到平面的距離.5．如圖1，在矩形中，是線段上的一動點，如圖2，將沿著折起，使點到達點的位置，滿足點平面．(1)如圖2，當(dāng)時，點是線段的中點，求證：平面；(2)如圖2，若點在平面內(nèi)的射影落在線段上．①是否存在點，使得平面，若存在，求的長；若不存在，請說明理由；②當(dāng)三棱錐的體積最大值時，求點到平面的距離．專題04立體幾何初步（期末壓軸專項訓(xùn)練33題）一、立體圖形中最短距離問題1．如圖，棱長為3的正方體中，點在線段上且，點分別為線段上的動點，則空間四邊形周長的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【知識點】棱柱的展開圖及最短距離問題【分析】把平面與平面展開在同一平面上上，然后利用對稱將空間四邊形各邊長轉(zhuǎn)化到同一直線上，找到最小值即可求解；【詳解】把平面與平面展開在同一平面上上，

作點關(guān)于的對稱點，因為，且正方體邊長為3，易得為正三角形，由對稱性可得：，所以周長作，可得易得，,故選：C.2．在正四棱錐中，，為的中點，為的中點，則從點沿著四棱錐的表面到點的最短路徑的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】棱錐的展開圖【分析】對點到點的路徑進行分類討論，將相應(yīng)平面延展為同一平面，結(jié)合余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】分以下幾種情況討論：（1）當(dāng)點沿著平面、到點，將平面、延展為同一平面，如下圖所示：易知、均為等邊三角形，延展后，，，所以，四邊形為菱形，所以，且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，此時；（2）當(dāng)點沿著平面、到點，將平面、延展至同一平面，如下圖所示：連接，則，且，，，因為，由余弦定理可得；（3）當(dāng)點沿著平面、到點，連接，如下圖所示：則，，，由余弦定理可得；（4）當(dāng)點沿著平面、、到點，將這三個側(cè)面延展為同一平面，如下圖所示：易知、、三點共線，且，，，由余弦定理可得.綜上所述，從點沿著四棱錐的表面到點的最短路徑的長度為.故選：C.【點睛】方法點睛：（1）計算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；（2）對于幾何體內(nèi)部折線段長的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，結(jié)合勾股定理求解.3．如圖，在圓錐SO的底面圓中，AC為直徑，O為圓心，點B在圓O上，且，D為線段AB上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】余弦定理解三角形、圓錐的展開圖及最短距離問題【分析】將繞旋轉(zhuǎn)至同一平面，分析可知當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取到最小值，利用余弦定理運算求解.【詳解】由題意可知：，將繞旋轉(zhuǎn)至同一平面，如圖所示，可知：當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取到最小值，取的中點，可知，可得，，則，在中，由余弦定理可得，即，所以的最小值為.故選：A.4．在長方體中，為線段的中點，是棱的中點，若點為線段上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【知識點】棱柱的展開圖及最短距離問題【分析】連接，得出點、、在平面中，問題轉(zhuǎn)化為在直線上取一點，求點到定點的距離與到定直線的距離的和的最小值問題，建立平面直角坐標系，求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標，則答案可求．【詳解】連接，則，點、、在平面中，

且，，，在中，以為軸，為軸，建立平面直角坐標系，

則，，，；設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，的方程為，①，直線的方程為，②由①②組成方程組，解得，，直線與的交點,．對稱點，．則的最小值為2．故選：C．5．如圖，AB是圓柱的直徑且，PA是圓柱的母線且，點C是圓柱底面圓周上的點.若，D是PB的中點，點E是線段PA上一動點，則的最小值為.【答案】【知識點】余弦定理解三角形、圓柱的展開圖及最短距離問題【分析】將轉(zhuǎn)化到一個平面上，利用平面內(nèi)兩點之間線段最短求得最小值．【詳解】將繞著PA旋轉(zhuǎn)到使其與共面，且在AB的反向延長線上．，，，，由余弦定理得，∴的最小值為．故答案為：二、立體圖形中截面問題1．在正方體中，為的中點，為的中點，為線段上一動點（不含）．過與正方體的截面記為，下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)時，截面為五邊形B．當(dāng)時，截面只能是六邊形C．當(dāng)時，截面的面積最大D．當(dāng)時，截面只能是五邊形【答案】D【知識點】判斷正方體的截面形狀【分析】易知當(dāng)時，截面為正六邊形，可判斷A錯誤，當(dāng)與重合，可知截面只能是四邊形，可知B錯誤，比較時五邊形截面的面積與正六邊形截面面積大小可判斷C錯誤，作出圖形可判斷D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時，分別取的中點為，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可得，即可得為正六邊形，因此當(dāng)時，截面為六邊形，即A錯誤；對于B，如下圖：當(dāng)時，不妨取與重合，可知截面只能是四邊形，可知B錯誤；對于C，延長交于，交于，連接交于點，連接交于，如下圖所示：不妨取正方體的棱長為3，易知，可知為等腰三角形，其底邊上的高為，因此其面積為；又，可知四變形為等腰梯形；其高為，因此其面積為；此時五邊形面積為當(dāng)當(dāng)時，截面為邊長是的正六邊形，其面積為；顯然當(dāng)時，截面的面積不是最大的，即C錯誤；對于D，根據(jù)C選項中的分析可知，當(dāng)時，截面為在五邊形的基礎(chǔ)上繞著向下擺動，此時截面始終于有交點，此時截面只能是五邊形，即D正確.故選：D2．如圖，正方體中，、分別是、的中點，過點、、的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】判斷正方體的截面形狀、錐體體積的有關(guān)計算【分析】如圖所示，過點，，的截面下方幾何體轉(zhuǎn)化為一個大的三棱錐，減去兩個小的三棱錐，上方部分，用總的正方體的體積減去下方的部分體積即可.【詳解】如圖所示：設(shè)正方體的棱長為，則過點，，的截面下方體積為：，∴另一部分體積為，∴.故選：C.【點睛】本題主要考查了幾何的割補問題，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.3．如圖，正方體的棱長為2，N為的中點，若過的平面平面，則截該正方體所得截面圖形的面積為.【答案】【知識點】判斷正方體的截面形狀【分析】取BC的中點E，的中點F，先利用面面平行判定定理證明平面平面，得出四邊形為截正方體所得截面圖形，易得四邊形是菱形，求得該菱形的邊長即可求得面積.【詳解】如圖，取BC的中點E，的中點F，連接DE，，，F(xiàn)D，因為E，F(xiàn)分別為BC，的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，即四邊形為截正方體所得截面圖形.由正方體的棱長為2，易得四邊形是邊長為的菱形，對角線即為正方體的體對角線，又，所求截面的面積.故答案為：4．（1）如圖，棱長為2的正方體中，，是棱，的中點，在圖中畫出過底面中的心且與平面平行的平面在正方體中的截面，并求出截面多邊形的周長為：______；（2）作出平面與四棱錐的截面，截面多邊形的邊數(shù)為______．【答案】（1）作圖見解析，周長為；（2）作圖見解析，邊數(shù)為五．【知識點】判斷正方體的截面形狀、棱錐中截面的有關(guān)計算【分析】（1）利用面面平行的判定定理作出截面，求得各邊長度則可得周長；（2）利用延長找公共點的方法作出截面，可得形狀.【詳解】(1)分別取，為棱，的中點，則由中位線性質(zhì)得到：，所以四邊形為平面四邊形，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，由，平面，平面，所以平面，同理平面，，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四邊形即為所求截面，且為梯形，由截面作法可知，所以截面四邊形的周長為.（2）延長的延長線于，連接的延長線于連接于，連接，則五邊形即為所求.所以截面多邊形的邊數(shù)為五.三、立體圖形中動點問題1．（多選）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點，是線段上的動點，則（

）.A．存在點，使平面 B．不存在點，使四點共面C．三棱錐的體積是定值 D．經(jīng)過四點的球的表面積為10【答案】AC【知識點】錐體體積的有關(guān)計算、球的表面積的有關(guān)計算、判斷線面平行【分析】根據(jù)平行的傳遞性可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷A；當(dāng)Q與點重合時，四點共面，即可判斷B；結(jié)合三棱錐體積公式判斷C；易知經(jīng)過四點的球即為長方體的外接球，求出球的半徑即可判斷D.【詳解】連接，當(dāng)是的中點時，因為，所以．因為平面平面，所以平面，故A正確，如圖，在正方體中，連接．因為分別是的中點，所以．又因為，所以，所以四點共面，即當(dāng)Q與點重合時，四點共面，故B錯誤，直線上的點到面的距離為2，而，所以是定值，故C正確，設(shè)G,H分別為，的中點，則為長寬高分別為2，2，1的長方體，根據(jù)分割補形法知：經(jīng)過四點的球即為長方體的外接球，所求球的直徑滿足：，經(jīng)過四點的球的表面積為，故D錯誤．故選：AC.2．（多選）在直平行六面體中，，M為棱上的動點，四點均在球O的球面上，則（

）A．存在點M，使平面B．無論M的位置如何，三棱錐的體積為定值C．存在點M，使的周長為D．球O的表面積為【答案】ABD【知識點】錐體體積的有關(guān)計算、球的表面積的有關(guān)計算、多面體與球體內(nèi)切外接問題、判斷線面平行【分析】根據(jù)線面平行判定定理得出平面，判斷A，根據(jù)等體積計算判斷B，根據(jù)展開圖計算判斷C，根據(jù)截面計算求解外接球半徑判斷D.【詳解】A:由題意知直平行六面體的底面為菱形，且為等邊三角形，連接，四邊形為平行四邊形，所以，平面，DC1不在平面內(nèi)，平面，所以當(dāng)點M與點D重合時，平面，A選項正確；B.同體換底思想，，不隨M的位置發(fā)生變化，其高即A到平面的距離不變，B選項正確；C.將平面與平面沿展開，可得當(dāng)三點共線時，最小，且最小值為，所以周長的最小值為，故C錯誤；D.設(shè)為的外心，連接，，，過作平面的垂線，球心在此垂線上，要滿足到B，的距離相等，球心在垂線段的中點上.所以球O的半徑為，所以球O的表面積為，故D正確.故選：ABD.3．（多選）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，為線段上一個動點，則（）A．存在點，使B．存在點，使平面平面C．三棱錐的體積為定值D．存在點G，使得平面截正方體所得截面為正六邊形【答案】ACD【知識點】判斷正方體的截面形狀、錐體體積的有關(guān)計算、判斷線面平行、判斷面面平行【分析】對于A項，取點為與的交點，可證明即可判斷A項；對于B項，若平面平面，即可得出且，而，故G應(yīng)在延長線上，即可判斷B項；對于C項，G移動但G到面的距離始終不變即可判斷C項；對于D項，為靠近C的四等分點時畫出截面圖，由圖可可判斷D項.【詳解】對于A項，存在點為與的交點，使得，理由如下：若點為與的交點，則三點共線，由正方體性質(zhì)得，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為為中點，所以，所以，即，A正確；對于B項，如圖，連接，H為側(cè)面中心，則平面與平面和平面分別交于線，若存在G點使平面平面，則，又，則四邊形為平行四邊形，即，，此時G應(yīng)在延長線上，B錯誤；對于C項，易知平面，隨著G移動但G到平面的距離始終不變，即為，故是定值，C正確；對于D項，如圖，當(dāng)為靠近C的四等分點時，平面截正方體的截面為正六邊形，D正確故選：ACD4．（多選）如圖，正方體的棱長為2，，分別是，的中點，點是底面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（

）A．不存在點，使得平面B．過，，三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形C．三棱錐的體積為4D．三棱錐的外接球表面積為【答案】BD【知識點】錐體體積的有關(guān)計算、球的表面積的有關(guān)計算、多面體與球體內(nèi)切外接問題、判斷線面平行【分析】對于A，當(dāng)為中點時，利用中位線的性質(zhì)可證得，再證得線面平行；對于B，利用中位線的性質(zhì)可證得，對邊平行且不相等，可得到截面是梯形；對于C，利用等體積法可求得三棱錐的體積；對于D，三棱錐的外接球可以補形為長方體的外接球，先求半徑再求表面積即可.【詳解】對于A，當(dāng)為中點時，由中位線可得，因為平面，平面，所以平面.故A錯誤；對于B，由中位線可得，在正方體中，易證，所以，又因為，所以截面為梯形，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，三棱錐的外接球可以補形為長方體外接球，半徑，所以表面積，故D正確.故選：BD.5．（多選）如圖，正方體的棱長為2，，分別是，的中點，點是底面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（

）A．存在點，使得平面B．過三點的平面截正方體所得截面圖形是平行四邊形C．三棱錐的體積為定值D．三棱錐的外接球表面積為【答案】ACD【知識點】判斷正方體的截面形狀、錐體體積的有關(guān)計算、多面體與球體內(nèi)切外接問題、證明線面平行【分析】當(dāng)為中點時平面，即可判斷A，根據(jù)平行關(guān)系作出截面圖，即可判斷B，根據(jù)錐體的體積公式判斷C，轉(zhuǎn)化為求長方體的外接球，即可判斷D.【詳解】對于A：當(dāng)為中點時，因為是的中點，所以，平面，平面，所以平面，故A正確；對于B：因為，分別是，的中點，所以，在正方體中，易證，所以，過三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形，故B錯誤；對于C：因為，所以三棱錐的體積為定值，故C正確；對于D：三棱錐的外接球可以補形為長方體（長為，寬為，高為）的外接球，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積，故D正確，故選：ACD.四、內(nèi)切球和外接球問題1．已知一個圓臺的上，下底面半徑分別為1和4，高為．若該圓臺內(nèi)有一個正方體，且該正方體在圓臺內(nèi)能任意轉(zhuǎn)動，則該正方體棱長的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】多面體與球體內(nèi)切外接問題【分析】作出圓臺的軸截面，要使正方體棱長最大，則此時正方體的外接球應(yīng)為圓臺內(nèi)與，，相切的球，利用勾股定理求出棱長最大的正方體的外接球的半徑，進而可得出答案.【詳解】如圖，作出圓臺的軸截面，要使正方體棱長最大，則此時正方體的外接球應(yīng)為圓臺內(nèi)與，，相切的球，

設(shè)圓的半徑為，則，因為，所以，作，因為，所以，而，由勾股定理得，則，且，而，即得到，解得，設(shè)圓臺內(nèi)正方體的棱長最大值為，則，．故選：B.2．如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱長為，，，點在上底面（包含邊界）上運動，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識點】多面體與球體內(nèi)切外接問題、球的截面的性質(zhì)及計算【分析】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達式，從而求出半徑的取值范圍即可.【詳解】因為為等腰直角三角形，，所以的外接圓的圓心為的中點，且，設(shè)的中點為，連接，則，平面，設(shè)三棱錐外接球的球心為，由球的性質(zhì)可得點在上，設(shè)，，外接球的半徑為，因為，所以，即，又，則，因為，所以，則，故選：.

【點睛】方法點睛：常見幾何體的外接球半徑求法：（1）棱長為的正方體的外接球半徑為；（2）長方體的長，寬，高分別為，，，則其外接球的半徑為；（3）直棱柱的高為，底面多邊形的外接圓半徑為，則其外接球半徑為.3．已知正四面體內(nèi)接于球，球半徑為3，為的中點，過點作球的截面，求截面圓半徑的最小值（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知識點】正棱錐及其有關(guān)計算、多面體與球體內(nèi)切外接問題、球的截面的性質(zhì)及計算【分析】令正四面體的棱長為，由正四面體外接球的相關(guān)幾何關(guān)系列方程求得，再由截面圓半徑最小，只需垂直于截面圓，求該截面圓的半徑最小值.【詳解】如下圖示，，令正四面體的棱長為，則底面半徑，所以，所以，則，所以，則，可得，要使截面圓半徑最小，只需垂直于截面圓，而，所以截面圓半徑為.故選：D4．已知某個正三棱臺的上、下底面面積分別為和，高為6，則該正三棱臺的外接球半徑為（

）A．4 B． C．3 D．【答案】B【知識點】正棱臺及其有關(guān)計算、多面體與球體內(nèi)切外接問題【分析】分別求得上下底面所在平面截球所得圓的半徑，找到球心，求得半徑，再由球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，分別為上下底面的外心，則外接球球心在線段上，連接并延長交于，連接并延長交AB于D，設(shè)等邊三角形的邊長為，根據(jù)正三角形面積公式，∴，，設(shè)等邊三角形的邊長為，根據(jù)正三角形面積公式，∴，C=CD=，則，設(shè)正三棱臺的外接球的半徑,得，解得，即.故選：B.

5．如圖，兩個底面半徑相同的圓錐組合的一個幾何體，若底面圓的半徑為1，兩個圓錐的母線長分別為，則該幾何體內(nèi)切球的半徑為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知識點】圓錐中截面的有關(guān)計算、球的截面的性質(zhì)及計算【分析】由底面圓的半徑為1，兩個圓錐的母線長分別為，可得幾何體軸截面的一半是直角三角形，又因內(nèi)切球的球心在軸線上，它到兩圓錐母線的距離等于內(nèi)切球的半徑，可找出相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)列式即可求解.【詳解】如圖，軸截面的一半是三角形，底面圓的半徑為，兩個圓錐的母線長分別為，所以，，所以，所以,因而可知是直角三角形.又由該幾何體內(nèi)切球的球心在軸線上，它到兩圓錐母線的距離等于內(nèi)切球的半徑，可知與相似.設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，解得．故選：D.6．已知正四棱錐的底面邊長為2，高為，則其內(nèi)切球半徑是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知識點】多面體與球體內(nèi)切外接問題【分析】根據(jù)正四棱錐的軸截面，轉(zhuǎn)化成等腰三角形的內(nèi)切圓問題，轉(zhuǎn)化為直角三角形，運用勾股定理解出內(nèi)切球半徑.【詳解】設(shè)正四棱錐內(nèi)切球球心為，其在底面的投影為，則三點共線，內(nèi)切球半徑為，取中點，中點，則正四棱錐內(nèi)切球半徑即為的內(nèi)切圓半徑，因為底面邊長為，所以，，因為高為，即，則，所以，在中，即，解得，故選：D.五、二面角問題1．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面.，為側(cè)棱的中點.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明面面垂直、求二面角【分析】（1）通過線面垂直證明面面垂直可得結(jié)論.（2）通過構(gòu)造輔助線找到二面角的平面角，在直角三角形中利用銳角三角函數(shù)可得結(jié)果.【詳解】（1）∵平面，平面，∴.∵,平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）取中點，連接，過點作于點，連接.∵點分別為的中點，∴，，∴平面，∵平面，平面，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴為二面角的平面角，在直角梯形中，.∵，∴，∴，即二面角的正切值為.2．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，為棱的中點，，，直線與所成的角的大小為．(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)2【知識點】證明線面平行、證明線面垂直、證明面面垂直、求二面角【分析】（1）設(shè)與相交于點，連接，證明，利用線面平行的判定即可證明；（2）利用正弦定理得，再證明，最后利用線面垂直的判定定理即可證明；（3）過點作，垂足為.過作，垂足為，連接，找到二面角即為，最后根據(jù)正切定義即可得到答案.【詳解】（1）連接，設(shè)與相交于點，連接.四邊形是菱形，為的中點.是棱的中點，.又平面平面，平面.（2）直線與所成的角為，且，就是直線與所成的角或其補角.，，，在中，由正弦定理得，，即，解得.，即，從而.四邊形是菱形，且，,是等邊三角形，從而.又，.，從而.又平面平面，平面.（3）過點作，垂足為.過作，垂足為，連接.由（2）平面，又平面，平面平面.又平面平面平面，平面.平面平面，.平面平面，平面.平面，，二面角的平面角是，在Rt中，.，二面角的正切值是2【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是找出二面角的平面角，再根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到答案.3．如圖，在邊長為4的菱形中，分別是的中點，將沿折起，使點到的位置，且．(1)若平面平面，判斷與的位置關(guān)系并說明理由；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求二面角大小的余弦值．【答案】(1)，理由見解析；(2)；(3).【知識點】求線面角、求二面角、證明線面平行、線面平行的性質(zhì)【分析】（1）利用線面平行的判定、性質(zhì)判斷推理即得.（2）令，連接，求出點到平面的距離即可求得線面角的正弦.（3）取的中點，探求二面角的平面角，再利用余弦定理計算即可.【詳解】（1），理由如下：由分別是的中點，得，而平面，平面，則平面，又平面平面，平面，所以.（2）令，連接，由是菱形，，得都是正三角形，則，，而平面，于是平面，又平面，則平面平面，在平面內(nèi)過作于，由平面平面，因此平面，連接，則是直線與平面所成的角，在正中，，，，則，于是，，所以直線與平面所成角的正弦值是.（3）在中，，即，顯然，則有，同理，取的中點，連接，則，有，因此是二面角的平面角，而，則，所以二面角大小的余弦值是.【點睛】思路點睛：平面圖形翻折問題，在翻折過程中，始終位于同一平面內(nèi)的點線位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不變，否則將可能發(fā)生變化.4．如圖①，已知是邊長為2的等邊三角形，D是的中點，，如圖②，將沿邊DH翻折至.(1)在線段BC上是否存在點F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；(2)若平面BHC與平面BDA所成的二面角的正切值為，求點B到直線CH的距離.【答案】(1)存在，(2)【知識點】由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點所在的位置、由二面角大小求線段長度或距離、面面平行證明線面平行、證明線面垂直【分析】（1）在圖①中，取的中點M，連接AM，證明，則平面BDH，在線段BC上取點F使，連接MF，F(xiàn)A，證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得解；（2）連接，取的中點，連接，平面，易得，則即為平面BHC與平面BDA所成的二面角的平面角，求出，再利用等面積法求解即可.【詳解】（1）在圖①中，取的中點M，連接AM，如圖所示，因為是等邊三角形，的中點為M，所以,因為，所以，在圖②中，，平面BDH，平面BDH，所以平面BDH，且，在線段BC上取點F使，連接MF，F(xiàn)A，如圖所示，因為，所以，又因為平面BDH，平面BDH，所以平面BDH，又因為平面AMF，所以平面平面，又因為平面，所以平面BDH，所以存在點F滿足題意，且；（2）如圖所示，連接，取的中點，連接，由折疊性質(zhì)可得平面，平面，因為平面，所以平面，又平面，所以，因為為的中點，所以，所以即為平面BHC與平面BDA所成的二面角的平面角，由（1）可得，，因為平面BHC與平面BDA所成的二面角的正切值為，所以，所以，所以，所以，設(shè)點B到直線CH的距離為，則，即，解得，即點B到直線CH的距離為.【點睛】方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質(zhì).5．如圖，在梯形中，，，．把沿翻折，使得二面角的平面角為，M，N分別是和中點.(1)若，E是線段的中點，動點F在三棱錐表面上運動，并且總保持，求動點F的軌跡的長度.(2)若，P，Q分別為線段，上異于端點的點，滿足，記分別與，所成角為，，若，求的取值范圍.(3)若，求二面角的正切值.【答案】(1)(2)(3)【知識點】證明線面平行、空間平行的轉(zhuǎn)化、證明線面垂直、求二面角【分析】（1）由，故只需找出過點且與直線垂直的平面即可得，結(jié)合題目所給條件，取，的中點為F，O，連接，，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得平面，即可得動點F的軌跡的長度；（2）在線段上取點結(jié)合等角定理得到，，結(jié)合三角形大邊對大角計算即可得；（3）作于點S，作于點T，連接，結(jié)合題目條件，借助二面角定義可得即為二面角的平面角，從而可通過正切定義計算即可得.【詳解】（1）在梯形中，由，，，則，又，故，則四邊形是正方形，則在三棱錐中有，，，，平面，所以平面，二面角的平面角即為，分別取，的中點為F，O，連接，，則，平面，平面，所以平面，同理平面，由于，，平面，故平面平面，平面，故點F的軌跡為三角形，因此點F的軌跡長度為：；（2）在線段取點R使得，則，，由于平面，平面，所以，即，易得，，且，若，則，即，即，又，得；（3）作于點S，作于點T，連，由，得是邊長為的等邊三角形，則S為的中點，且，由S為的中點，易得，由平面，平面，得，又，，得平面，又，得，又，，得平面，則即為二面角的平面角，故其正切值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）中關(guān)鍵點在于找出過點且與直線垂直的平面即可得；（2）中關(guān)鍵點在于線段上取點結(jié)合等角定理得到，；（3）中關(guān)鍵點在于借助二面角定義找到二面角的平面角.6．如圖（1）梯形中，，，，，且，將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面平面，與和交于O，點P在上，且，R是的中點，過O、P、R三點的平面交于Q．在圖（2）中：(1)證明：Q是的中點；(2)M是上一點，已知二面角的正切值為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面垂直、求二面角、證明線面平行【分析】（1）只需證明，根據(jù)中位線性質(zhì)，可得結(jié)論.（2）先做出二面角的平面角，再在直角三角形中求解即可.【詳解】（1）如圖（1）：因為，，，，且，所以，，.圖（2）中：在中，，，所以，又平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，在中，為中點，所以為中點.（2）如圖：因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面.作于，則平面，作于，連，則為二面角的平面角.設(shè)，因為.因為為等腰直角三角形，所以.又.在直角中，.即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：問題的關(guān)鍵是構(gòu)造二面角的平面角.因為平面平面，作于，則平面，再作于，連，則為二面角的平面角.7．（建立空間直角坐標系答題不得分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面ABCD為矩形．(1)若面ABCD，，，求證：；(2)若二面角的大小為，，且，設(shè)直線BD和平面QCB所成角為，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】求線面角、線面垂直證明線線垂直、半角公式、基本不等式求和的最小值【分析】（1）問題轉(zhuǎn)化為證明平面，即證明和，轉(zhuǎn)化為證明平面，而則只需證明（2）作出二面角的平面角以及直線與平面所成的角，列出的表達式，最后把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，在中，，則，，所以，，由，，所以，所以，又因為，，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）在平面中，過點作，因為為矩形，所以，所以為二面角的平面角，且，又，平面，所以平面，在平面中，過點作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，即，，又因為，所以，由可得，，設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號，所以的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角以及直線與平面所成的角，然后寫出的表達式，最后求函數(shù)最值問題利用了換元法和基本不等式.8．如圖，三棱柱中，在底面內(nèi)的射影為的外心，且，，三棱柱的側(cè)面積為.(1)求證：；(2)求三棱柱的體積；(3)分別求二面角和二面角的大小.【答案】(1)證明見詳解.(2)(3).【知識點】求二面角、線面垂直證明線線垂直、柱體體積的有關(guān)計算【分析】（1）連接并延長交于，由在底面內(nèi)的射影為的外心得平面，，再通過證明平面即可；（2）由（1）可知，證明，，根據(jù)側(cè)面積為得，再由余弦定理計算底面外接圓半徑即可；（3）取中點，連接,證明為等邊三角形，即二面角即為,同理可得二面角為.【詳解】（1）連接并延長交于.如圖①所示，因為在底面內(nèi)的射影為的外心，且，即為等腰三角形，所以平面，,為的中點，因為平面，所以，因為平面，且，所以平面,因為，所以.（2）由題意可知，，，在三棱柱中，,，，所以四邊形與四邊形全等，所以，，設(shè)，因為三棱柱的側(cè)面積為，

所以，解得.即，在中，由余弦定理得，所以,由正弦定理得，即，所以三棱柱的高，所以三棱柱的體積為.（3）取中點，連接,如圖②所示，由（2）可知，，，所以均為等邊三角形，所以，,即，所以為等邊三角形，所以二面角即為,延長至點，過作，延長至，使得，連接,即四邊形為矩形，，因為,所以,即，故為等邊三角形,所以二面角為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了線面垂直、棱柱的體積及二面角，解題的關(guān)鍵在于通過側(cè)面積求側(cè)棱的長度，由正弦定理求三角形外接圓半徑以及作二面角.六、體積問題（點到平面距離問題）1．如圖所示，三棱柱，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，點分別是棱，上的點，點是線段的中點，．(1)求證平面；(2)求與所成角的余弦值；(3)若，求多面體的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【知識點】錐體體積的有關(guān)計算、求異面直線所成的角、證明線面平行【分析】（1）取的中點，連接；證明，根據(jù)線面平行判定定理證明平面.（2）根據(jù)異面直線夾角定義證明為直線與所成角，解三角形求其余弦值即可.（3）求出四棱錐及三棱柱的體積，再利用割補法求出多面體的體積.【詳解】（1）取的中點，連接，由分別為的中點，得，，而，且，則，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，，則為直線與所成角，由平面，，得平面，而平面，則，，，直角梯形中，，則，在中，由可得，在中，，，在中，，，所以與所成角的余弦值為.（3）在棱柱中，取中點，連接，則，由平面，平面，得，而，平面，則平面，而，，四棱錐的體積，由，得，三棱柱的體積，所以多面體的體積為.2．如圖，等腰直角三角形所在平面與半圓弧所在平面垂直，且，M是上異于A、B的點，N是的中點．(1)證明：平面；(2)若三棱錐體積最大為，設(shè)，（ⅰ）求體積最大時α的值及此時二面角的余弦值；（ⅱ）當(dāng)M在弧上運動時（不與A、B重合），證明：點O到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)（ⅰ），；（ⅱ）證明見解析【知識點】錐體體積的有關(guān)計算、證明線面垂直、求點面距離、求二面角【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)即可證明；（2）（?。┯扇忮F體積最大為求得半徑及，再根據(jù)二面角的定義求解即可；（ⅱ）根據(jù)等體積法即可證明．【詳解】（1）證明：因為M是半圓弧上一點，所以，即，因為分別是的中點，所以，，因為是等腰直角三角形，，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為平面，，所以平面．（2）（ⅰ）設(shè)的半徑為r，過點M作交于點G，如圖，則，因為，故當(dāng)最大時，體積最大，此時M位于的中點處，所以，，所以．由（1）知，平面，因為平面，所以，因為，平面平面，所以為二面角的平面角，因為平面，平面，所以，因為時，，，在中，，所以，所以二面角的平面角的余弦值為．（ⅱ）：過點M作交于點G，如圖所示，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，由（ⅰ）知，當(dāng)時，，則，所以，由等腰三角形得，，因為平面，平面，所以，所以，在中，，，所以，又因為，所以．3．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，，，點E，F(xiàn)分別為棱AD，PC的中點．

(1)若，，求異面直線EF與AB的夾角的大??；(2)若直線PC與平面ABCD所成角的大小為．①求二面角的余弦值；②求點F到平面PAB的距離．【答案】(1)．(2)①；②．【知識點】求異面直線所成的角、證明線面垂直、求二面角【分析】（1）連接BD，AC，設(shè)交點為，由中點得到平行關(guān)系，找到所求角解三角形可得，（2）先證平面，證明線面垂直與線線垂直關(guān)系找到線面角與二面角的平面角，利用余弦定理求二面角，再利用等體積法求點到面的距離.【詳解】（1）連接BD，AC，記，再連接EO，F(xiàn)O，如圖所示，因為四邊形ABCD是菱形，所以O(shè)是AC的中點，又E是AD的中點，所以，所以異面直線EF與AB的夾角，因為O是AC的中點，F(xiàn)