高三數(shù)學(xué)上學(xué)期專題突破練：數(shù)列一．選擇題（共8小題）1．（2025春?邯鄲期中）已知等差數(shù)列{an}的公差為﹣2，且a2+a4+a6＝39，則a5＝（）A．9 B．11 C．13 D．152．（2025春?立山區(qū)校級期中）正項等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，S5＝6，S15＝78，則S20＝（）A．144 B．7813 C．162 3．（2025春?興寧區(qū)校級期中）數(shù)列3，4，5，6，?的一個通項公式為（）A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n+1 C．a(chǎn)n＝n+2 D．a(chǎn)n＝2n4．（2025春?順義區(qū)校級期中）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a9=12a12+6，a2＝4，若數(shù)列{A．11 B．10 C．9 D．85．（2025春?湖北月考）一個等差數(shù)列{an}的前n項和、前2n項和、前3n項和分別為Sn，S2n，S3n，公差為d，則下列說法正確的是（）A．若S2n＝4Sn，則2a1＝d B．若S3n＝9Sn，則3a1＝d C．Sn，S2n，S3n成等比數(shù)列 D．Sn，S2n，S3n成等差數(shù)列6．（2025?青羊區(qū)校級開學(xué)）已知數(shù)列{an}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，在a1，a2之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為d1，在a2，a3之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，公差為d2，…，在an，an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列，公差為dn．以下能使得數(shù)列{dn}單調(diào)遞增的是（）A．q＞1 B．1＜q＜32 C．d1＜d2 D．d2＜7．（2025?重慶模擬）已知等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若SnTn=n2n+3，對?n∈N*，?A．15 B．14 C．18．（2025?重慶模擬）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＞0，4Sn=an+12?2an+1+1，將數(shù)列{an}與數(shù)列{n2﹣1}的公共項從小到大排列得到新數(shù)列{cA．4041 B．8041 C．2021二．多選題（共3小題）（多選）9．（2025春?保亭縣校級期中）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知SnA．{an}是遞增數(shù)列 B．a(chǎn)10＝﹣12 C．當(dāng)n＞4時，an＜0 D．當(dāng)n＝3時，Sn取得最大值（多選）10．（2025春?安慶校級月考）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a1A．存在s，t∈N*，滿足a2s﹣1＝a2t B．a(chǎn)2025﹣a2024＝2025 C．{a2n+1+a2n﹣1}構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列 D．a(chǎn)2n+2+a2n＝1（多選）11．（2025春?湖北校級期末）已知n∈N*，記集合{1，2，?，n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的非空子集的個數(shù)為Tn，例如T1＝1，T3＝4，對于數(shù)列{Tn}，下列說法正確的是（）A．2Tn+1+1＝Tn+2+Tn B．T1+T3+?+T2n﹣1＝T2n﹣n C．T4n﹣2+1一定為3的倍數(shù) D．k=1三．填空題（共3小題）12．（2025春?羅平縣期末）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a5＝2，若{an}的前9項和為125，則數(shù)列{1a13．（2025春?立山區(qū)校級期中）數(shù)列{xn}首項為12，xn+1=?2xn2+3x14．（2025春?北京校級期中）已知數(shù)列{an}滿足an+1①當(dāng)a1＝4時，a10＝；②當(dāng){an}為遞增數(shù)列時，a1的取值集合是．四．解答題（共5小題）15．（2025春?簡陽市校級期中）已知在等差數(shù)列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．16．（2025春?雁江區(qū)校級期中）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，a1＝5，a2+a5＝20且b2+b5＝a7+1，b3b4＝a5+a8．（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；（2）設(shè)cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．17．（2025春?邯鄲期中）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an+2n﹣6．（1）證明：{an﹣1}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；（2）記bn=(?1)n(4an?2)①求T2n；②若存在n∈N*，使得λ≥Tn，求λ的取值范圍．18．（2025?肇慶一模）對于一個給定的數(shù)列{an}，令bn＝an+an+1，則數(shù)列{bn}稱為數(shù)列{an}的一階和數(shù)列，再令cn＝bn+bn+1，則數(shù)列{cn}是數(shù)列{an}的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列{an}的p階和數(shù)列．（1）若{an}的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且a1＝0，a2＝1，a3＝0，a4＝3，求a7；（2）若an＝n，求{an}的二階和數(shù)列的前n項和；（3）若{an}是首項為1的等差數(shù)列，{bn}是{an}的一階和數(shù)列，且3ak﹣1≤2bk﹣1，a1+a2+?+ak＝1000，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時{an}的公差．19．（2025春?個舊市校級期中）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝1+an﹣1（n＞1，n∈N*），數(shù)列{bn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1＝2，且2b2，b3，8成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）若數(shù)列{cn}滿足an?cn=bn(anan+2+1)（3）若數(shù)列{dn}滿足dn=1bn+(?1)n，求證：d1+d2

高三數(shù)學(xué)上學(xué)期專題突破練：數(shù)列參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BDCBACCA二．多選題（共3小題）題號91011答案BCACDBCD一．選擇題（共8小題）1．（2025春?邯鄲期中）已知等差數(shù)列{an}的公差為﹣2，且a2+a4+a6＝39，則a5＝（）A．9 B．11 C．13 D．15【解答】解：因為等差數(shù)列{an}的公差為﹣2，且a2+a4+a6＝39，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得3a4＝39，即a4＝13，所以a5＝a4+d＝a4﹣2＝11．故選：B．2．（2025春?立山區(qū)校級期中）正項等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，S5＝6，S15＝78，則S20＝（）A．144 B．7813 C．162 【解答】解：正項等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，S5＝6，S15＝78，由題意可知S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則S15?S10S即（S10﹣24）（S10+18）＝0，解得S10＝24，由S20?S15S15故選：D．3．（2025春?興寧區(qū)校級期中）數(shù)列3，4，5，6，?的一個通項公式為（）A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n+1 C．a(chǎn)n＝n+2 D．a(chǎn)n＝2n【解答】解：由數(shù)列的第一項為3可排除ABD，因為數(shù)列3，4，5，6，?，所以數(shù)列的一個通項公式為an＝n+2．故選：C．4．（2025春?順義區(qū)校級期中）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a9=12a12+6，a2＝4，若數(shù)列{A．11 B．10 C．9 D．8【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a9=12則a1+8d=12（a1+11d）+6，a1+解得a1＝d＝2，則an＝2n，Sn＝2n+n(n?1)2×2=n2+n＝n則數(shù)列{1sn}的前k項和11×2則k＝10．故選：B．5．（2025春?湖北月考）一個等差數(shù)列{an}的前n項和、前2n項和、前3n項和分別為Sn，S2n，S3n，公差為d，則下列說法正確的是（）A．若S2n＝4Sn，則2a1＝d B．若S3n＝9Sn，則3a1＝d C．Sn，S2n，S3n成等比數(shù)列 D．Sn，S2n，S3n成等差數(shù)列【解答】解：由等差數(shù)列{an}的公差為d，可得Sn＝na1+12n（n﹣1）即有Sn=12n[2a1+（n﹣1）d]，S2n＝n[2a1+（2n﹣1）S3n=32n[2a1+（3n﹣1）對于A，若S2n＝4Sn，可得n[2a1+（2n﹣1）d]＝2n[2a1+（n﹣1）d]，兩邊同時除以n，可得2a1+（2n﹣1）d＝2（2a1+（n﹣1）d），化為2a1＝d．故選項A正確；對于B，若S3n＝9Sn，則32n[2a1+（3n﹣1）d]=92n[2a1+（n所以2a1＝d，故選項B錯誤；對于C，取a1＝1，d＝1，n＝1，可得S1＝1，S2＝3，S3＝6，顯然不滿足Sn，S2n，S3n成等比數(shù)列，故選項C錯誤；對于D，取a1＝1，d＝1，n＝1，可得S1＝1，S2＝3，S3＝6，顯然不滿足Sn，S2n，S3n成等差數(shù)列，故選項D錯誤．故選：A．6．（2025?青羊區(qū)校級開學(xué)）已知數(shù)列{an}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，在a1，a2之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為d1，在a2，a3之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，公差為d2，…，在an，an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列，公差為dn．以下能使得數(shù)列{dn}單調(diào)遞增的是（）A．q＞1 B．1＜q＜32 C．d1＜d2 D．d2＜【解答】解：等比數(shù)列{an}中，an+1＝an?q（q＞0，各項為正）．在an與an+1間插入n個數(shù)，形成n+2項等差數(shù)列，公差為dn．由等差數(shù)列通項性質(zhì)：an+1＝an+（n+1）dn，代入an+1＝an?q，得：dn又an=a數(shù)列單調(diào)遞增需dn+1＞dn，即：dn+1dn因n+2n+1=1+1n+1是遞減數(shù)列，最大值為故當(dāng)q＞32時，q＞n+2n+1對所有n選項AB：若1＜q＜32，則d1=a1(q?1)2，d2=a選項C：d2＞d1等價于d2d1=2q3＞1?q＞32.此時，對任意選項D：d3＞d2等價于d3d2=3q4＞1?q＞43.但當(dāng)q∈(43故選：C．7．（2025?重慶模擬）已知等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若SnTn=n2n+3，對?n∈N*，?A．15 B．14 C．1【解答】解：由已知可得S2n?1且當(dāng)n→+∞時，an因為?n∈N*，?M＞0，anbn＜M，則M≥1故選：C．8．（2025?重慶模擬）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＞0，4Sn=an+12?2an+1+1，將數(shù)列{an}與數(shù)列{n2﹣1}的公共項從小到大排列得到新數(shù)列{cA．4041 B．8041 C．2021【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＞0，設(shè)公差為d，d＞0，由4Sn=an+12?2an+1+1，可得4a1＝（a2﹣1）2＝（a1+又4（2a1+d）＝（a3﹣1）2＝（a1+2d﹣1）2，解得a1＝1，d＝2，則an＝2n﹣1，將數(shù)列{an}與數(shù)列{n2﹣1}的公共項從小到大排列得到新數(shù)列{cn}，可得cn＝（2n﹣1）（2n+1），2c則i=1202ci=1故選：A．二．多選題（共3小題）（多選）9．（2025春?保亭縣校級期中）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知SnA．{an}是遞增數(shù)列 B．a(chǎn)10＝﹣12 C．當(dāng)n＞4時，an＜0 D．當(dāng)n＝3時，Sn取得最大值【解答】解：因為Sn所以當(dāng)n＝1時，a1＝﹣1+7＝﹣2+8＝6，當(dāng)n≥2時，an當(dāng)n＝1時，也滿足上式，所以an＝﹣2n+8，對于A，因為an+1﹣an＝﹣2（n+1）+8+2n﹣8＝﹣2＜0，所以{an}是遞減數(shù)列，故A錯誤；對于B，a10＝﹣2×10+8＝﹣12，故B正確；對于C，當(dāng)an＝﹣2n+8＝0，得n＝4，所以當(dāng)n＞4時，an＜0，故C正確；對于D，因為Sn=?n2+7n=?(n?所以當(dāng)且僅當(dāng)n＝3，或n＝4時，Sn取得最大值12，故D錯誤．故選：BC．（多選）10．（2025春?安慶校級月考）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a1A．存在s，t∈N*，滿足a2s﹣1＝a2t B．a(chǎn)2025﹣a2024＝2025 C．{a2n+1+a2n﹣1}構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列 D．a(chǎn)2n+2+a2n＝1【解答】解：對于A，由a1＝2，可得a2+a1＝1，即有a2＝﹣1，a3﹣a2＝2，即有a3＝1，a4+a3＝3，則a4＝2，有a1＝a4，即存在s＝1，t＝2，滿足a2s﹣1＝a2t，故A正確；對于B，a2k+1﹣a2k＝2k，則a2025﹣a2024＝2024，故B錯誤；對于C，a2k+a2k﹣1＝2k﹣1，則a2k+1+a2k﹣1＝4k﹣1，（a2k+3+a2k+1）﹣（a2k+1+a2k﹣1）＝4（k+1）﹣1﹣（4k﹣1）＝4，{a2n+1+a2n﹣1}構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，故C正確；對于D，a2n+2+a2n+1＝2n+1，a2n+1﹣a2n＝2n，則a2n+2+a2n＝1，故D正確．故選：ACD．（多選）11．（2025春?湖北校級期末）已知n∈N*，記集合{1，2，?，n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的非空子集的個數(shù)為Tn，例如T1＝1，T3＝4，對于數(shù)列{Tn}，下列說法正確的是（）A．2Tn+1+1＝Tn+2+Tn B．T1+T3+?+T2n﹣1＝T2n﹣n C．T4n﹣2+1一定為3的倍數(shù) D．k=1【解答】解：設(shè)集合{1，2，?，n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的非空子集構(gòu)成的集合為An，因此A2＝{{1}，{2}}，因此T2＝2，對于A選項，當(dāng)n≥3時，集合An可由以下兩種方式構(gòu)成：①若n不是集合{1，2，?，n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的非空子集的元素，這樣的子集個數(shù)等于集合{1，2，?，n﹣1}的所有不包含相鄰正整數(shù)的非空子集的個數(shù)，為Tn﹣1；②若n是集合{1，2，?，n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的非空子集的元素，因此n﹣1不在這類非空子集中，這類非空子集等同于將集合{1，2，?，n﹣2}中的每個符合條件的子集中加入元素n，其個數(shù)為Tn﹣2，同時符合條件的這類子集中，包含集合{n}，因此包含n的非空子集的個數(shù)為Tn﹣2+1，因此當(dāng)n≥3且n∈N*時，Tn＝Tn﹣1+Tn﹣2+1，因此對任意的n∈N*，Tn+2＝Tn+1+Tn+1，A選項錯；對于B選項，當(dāng)n≥2且n∈N*時，由題意可得T2n＝T2n﹣1+T2n﹣2+1，因此T2n﹣1＝﹣T2n﹣2+T2n﹣1，此時T1+T3+T5+?+T2n﹣1＝1+（﹣T2+T4﹣1）+?+（﹣T2n﹣2+T2n﹣1）＝1﹣T2+T2n﹣（n﹣1）＝1﹣2+T2n﹣（n﹣1）＝T2n﹣n，當(dāng)n＝1時，T1＝1＝2﹣1＝T2﹣1，合乎題意，因此對任意的n∈N*，T1+T3+?+T2n﹣1＝T2n﹣n，B選項對；對于C選項，T4n+2＝T4n+1+T4n+1＝2T4n+2+T4n﹣1＝2T4n+2+（﹣T4n﹣2+T4n﹣1）＝3T4n+1﹣T4n﹣2，因此T4n+2+1＝3T4n+2﹣T4n﹣2＝3（T4n+1）﹣（T4n﹣2+1），猜想：T4n﹣2+1能被3整除，因為T2+1＝3能被3整除，假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時，猜想成立，即T4k﹣2+1能被3整除，因為T4k+2+1＝3（T4k+1）﹣（T4k﹣2+1），且3（T4k+1）、T4k﹣2+1都能被3整除，因此T4k+2+1＝3（T4k+1）﹣（T4k﹣2+1）能被3整除，由數(shù)學(xué)歸納法可知T4n﹣2+1能被3整除，C選項對；對于D選項，當(dāng)k≥2時，(T所以k=1+（﹣T1+T3）+（﹣T2+T4）+（﹣T3+T5）+?+（﹣Tn﹣1+Tn+1）＝4﹣2+TnTn+1﹣1﹣2+Tn+Tn+1＝TnTn+1+Tn+Tn+1﹣1，D選項對．故選：BCD．三．填空題（共3小題）12．（2025春?羅平縣期末）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a5＝2，若{an}的前9項和為125，則數(shù)列{1an}【解答】解：顯然等比數(shù)列公比不是1，否則S9記數(shù)列{an}的公比為q，且q≠1，則S9故1?q注意到1a9，則{1an故答案為：3513．（2025春?立山區(qū)校級期中）數(shù)列{xn}首項為12，xn+1=?2xn2+3xn+a，已知數(shù)列{x【解答】解：由數(shù)列{xn}首項為12，x可得xn+1=?2(xn?3則12根據(jù)單調(diào)性有xn+1xn所以，1?1+2a2＜xn所以xn隨n的增大無限接近于1+1+2a2，則1+1+2a由x2=?2x12即有a的取值范圍為（?12，故答案為：（?12，14．（2025春?北京校級期中）已知數(shù)列{an}滿足an+1①當(dāng)a1＝4時，a10＝4；②當(dāng){an}為遞增數(shù)列時，a1的取值集合是（4，6）∪（8，+∞）．【解答】解：①因為a1＝4，由數(shù)列{an}滿足an+1得到a2=14(4?6)3+6=14②當(dāng){an}為遞增數(shù)列，可得an+1＞an，即f（an）＞an對于任意的n∈N*都成立．設(shè)t＝an﹣6，則不等式化為：14解得t∈（﹣2，0）∪（2，+∞），即an＝6+t∈（4，6）∪（8，+∞）．所以a1∈（4，6）∪（8，+∞），下面說明此時，能保證an∈（4，6）∪（8，+∞），從而根據(jù)上面分析能保證數(shù)列{an}為單調(diào)遞增的數(shù)列．當(dāng)a1∈（4，6）時：設(shè)a1＝6+t，其中t∈（﹣2，0），則a2由于t3∈（﹣8，0），故t34∈(?2，0)，即a2∈（4，6），同理依次得到a當(dāng)a1∈（8，+∞）時：設(shè)a1＝6+t，其中t＞2，則a2由于t3＞8，故t34＞2，即a2＞8，同理依次得到a綜上，a1的取值集合為（4，6）∪（8，+∞）．故答案為：4；（4，6）∪（8，+∞）．四．解答題（共5小題）15．（2025春?簡陽市校級期中）已知在等差數(shù)列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．【解答】解：（1）在等差數(shù)列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則4d＝a9﹣a5＝﹣5﹣3＝﹣8，解得d＝﹣2，∴an＝a5+（n﹣5）d＝3﹣2（n﹣5）＝13﹣2n；（2）∵a1＝11，∴Sn16．（2025春?雁江區(qū)校級期中）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，a1＝5，a2+a5＝20且b2+b5＝a7+1，b3b4＝a5+a8．（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；（2）設(shè)cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a1＝5，a2+a5＝20，所以a1+d+a1+4d＝10+5d＝20，解得d＝2，所以an＝5+2（n﹣1）＝2n+3，所以b2+b5＝a7+1＝18，b3b4＝a5+a8＝13+19＝32，因數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，則可設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q（q＞1），因為b3b4＝b2b5，所以b2解得b2=2，b所以q3=b所以bn則數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n+3，{bn}的通項公式為bn（2）由（1）知cn則Tn＝5×20+7×21×9×22+…+（2n+3）?2n﹣1①，所以2Tn＝5×21+7×22×9×23+…+（2n+1）?2n﹣1+（2n+3）?2n②，①﹣②得：﹣Tn＝5+2（21+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n+3）?2n＝5+2×2(1?2n?1)＝1+2×2n﹣（2n+3）?2n＝1﹣（2n+1）?2n，所以Tn17．（2025春?邯鄲期中）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an+2n﹣6．（1）證明：{an﹣1}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；（2）記bn=(?1)n(4an?2)①求T2n；②若存在n∈N*，使得λ≥Tn，求λ的取值范圍．【解答】解：（1）證明：根據(jù)題目：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an+2n﹣6，數(shù)列{an}中，2Sn＝3an+2n﹣6，當(dāng)n≥2時，2Sn﹣1＝3an﹣1+2（n﹣1）﹣6，兩式相減得2an＝3an﹣3an﹣1+2，整理得an＝3an﹣1﹣2，于是an﹣1＝3（an﹣1﹣1），而2a1＝3a1+2﹣6，即a1＝4，則a1﹣1＝3，所以數(shù)列{an﹣1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，an?1=3（2）①根據(jù)題目：記bn=(?1)n(4an?2)由（1）知，an=3T2n=?1②由①知，T2n=?1T2n?1而數(shù)列{?14?因此Tn≥?720，由存在n∈N*，使得λ≥T所以λ的取值范圍是[?718．（2025?肇慶一模）對于一個給定的數(shù)列{an}，令bn＝an+an+1，則數(shù)列{bn}稱為數(shù)列{an}的一階和數(shù)列，再令cn＝bn+bn+1，則數(shù)列{cn}是數(shù)列{an}的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列{an}的p階和數(shù)列．（1）若{an}的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且a1＝0，a2＝1，a3＝0，a4＝3，求a7；（2）若an＝n，求{an}的二階和數(shù)列的前n項和；（3）若{an}是首項為1的等差數(shù)列，{bn}是{an}的一階