第十四章全等三角形--與中點(diǎn)有關(guān)的問題和線段和差問題專項(xiàng)練初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級(jí)上冊(cè)1．如圖，在中，D為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的取值范圍．2．如圖，在中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．求證：．3．如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE＝2AM.4．如圖，AD是的中線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，，試說明：．5．如圖，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，求證：．6．如圖，為的中線，為上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，求證：．7．如圖．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延長(zhǎng)線交DE于F．(1)求證：點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)；(2)求證：S△ABC＝2S△BEF．8．如圖，點(diǎn)在四邊形的邊上，，且，求證：．9．如圖，四邊形中，，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：；(2)若，求證：．10．如圖，在中，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：(1)；(2)．11．如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．12．如圖，在等腰中，，是斜邊上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)探究與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．如圖，在四邊形中，，，，的兩邊分別交、于點(diǎn)、．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．14．已知：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上，ED⊥DF交BC所在的直線于點(diǎn)F，求證：AE+BF=BC；（2）當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形并判斷（1）中的結(jié)論是否成立，若不成立，請(qǐng)寫出相應(yīng)的結(jié)論并證明．

參考答案1．(1)證明見解析(2)【分析】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，證明，得出，根據(jù)可以證明；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，即可得出，根據(jù)，，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，∵D為的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．（2）解：∵，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角相等，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明．2．見解析【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，證明，則，由三角形三邊關(guān)系即可完成．【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，．為的中點(diǎn)，．在和中，，．，．又，，，．，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊的不等關(guān)系，倍長(zhǎng)中線是解題的關(guān)鍵．3．見解析.【分析】延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，證△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，求出∠EAD=∠ABN，證△EAD≌△ABN即可．【詳解】延長(zhǎng)AM至N，使MN＝AM，連接BN，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴CM=BM，在△AMC和△NMB中∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC=BN，∠C=∠NBM，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB=∠DAC=90°，∴∠EAD+∠BAC=180°，∴∠ABN=∠ABC+∠C=180゜-∠BAC=∠EAD，在△EAD和△ABN中∵，∴△ABN≌△EAD（SAS），∴DE=AN=2MN．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，再只證AN=DE即可，這就是“中線倍長(zhǎng)”，實(shí)質(zhì)是“補(bǔ)短法”．4．見解析【分析】延長(zhǎng)至，使得，證明（SAS），進(jìn)而證明，證明（SAS）即可得證．【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)至，使得，∵是的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴（SAS），∴，∵，∴，，，,在與中，，∴（SAS），，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，倍長(zhǎng)中線是解題的關(guān)鍵．5．見解析【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，首先根據(jù)全等三角形的判定得出，進(jìn)而得出，即可得出，進(jìn)而得出．【詳解】證明：如下圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在和中，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．6．見解析【分析】過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三角形的中線的定義可得，證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，再證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，然后得出．【詳解】證明：如下圖，過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，為的中線，，在和中，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，過點(diǎn)E作EM⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于M，證明再證明△ABC≌△BEM（AAS），可得BD＝EM，再證明△EMF≌△DBF（AAS），從而可得結(jié)論；（2）由△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，可得S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，再利用三角形中線的性質(zhì)可證結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于M，∵BE⊥AB，∴∠EBM+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，在△ABC和△BEM中，∵，∴△ABC≌△BEM（AAS），∴BC＝EM，∵BD＝BC，∴BD＝EM，在△EMF和△DBF中，∵，∴△EMF≌△DBF（AAS），∴EF＝DF，∴點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)；（2）證明：∵△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，∴S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，∵點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)，∴S△BEF＝S△DBFS△BEMS△ABC，∴S△ABC＝2S△BEF．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，掌握“利用AAS證明三角形全等”是解本題的關(guān)鍵．8．詳見解析【分析】根據(jù)等量代換證明出∠ACB=∠DCE及∠ABC=∠DEC，再證明△ABC≌△DEC（ASA），由全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】解：∵∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE∴∠ACB=∠DCE又∵，四邊形ABCE的內(nèi)角和為360°，∴∠ABC+∠AEC=180°，又∵∠AEC+∠DEC=180°，∴∠ABC=∠DEC在△ABC與△DEC中∴△ABC≌△DEC（ASA）∴AB=DE∴AD=AE+DE=AE+AB即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，結(jié)題的關(guān)鍵是通過等量代換證明∠ACB=∠DCE及∠ABC=∠DEC．9．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由，可得，，進(jìn)而可證，則；（2）由，可得，，進(jìn)而可證，則．【詳解】（1）證明：∵，∴，，又∵，∴，∴；（2）證明：由（1）可知，，∴，，∵，∴，∴，∴．10．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等得出，結(jié)合已知條件，直接證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，在和中，．（2）解：由（1）知，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．證明見解析【分析】如圖，在上截取證明再證明可得從而可得結(jié)論.【詳解】證明：如圖，在上截取平分平分【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握“利用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法證明兩條線段的和等于另一條線段”是解題的關(guān)鍵.12．(1)見解析(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義及各角之間的關(guān)系得出，然后利用全等三角形的判定證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定證明，得，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：為等腰直角三角形，且，，，，，在和中，，，；（2）解：．理由如下：在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．13．，見解析【分析】延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，證明，結(jié)合，，可得，，，再證明，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．，，．，，．，．．，，即．，．．．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定方法并靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．14．（1）證明過程見解析；（2）結(jié)論不成立，存在BF－AE＝BC，畫圖和證明過程見解析．【分析】（1）連接CD，構(gòu)造全等三角形△ADE≌△CDF，可得AE＝CF，再根據(jù)CF＋BF＝BC，即可得到AE＋BF＝BC；（2）當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CD，構(gòu)造全等三角形△ADE≌△CDF，可得AE＝CF，再根據(jù)BF－CF＝BC，即可得出BF－AE＝BC．【詳解】（1）證明：如圖，連接CD，∵△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∠DCF＝∠A＝45°，又∵ED⊥DF，∴∠CDF＝∠ADE，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，又∵CF＋BF＝BC，∴AE＋BF＝BC；（2）如圖所示，（1）中的結(jié)論不成立，存在BF－AE＝BC．證明：連接CD，∵△ABC中，