數(shù)學(xué)建模入門教材

建模之聲

主編：李坤張美

安徽工程大學(xué)

大學(xué)生數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)

內(nèi)容提要

全書共分為五篇，以通俗易懂的文字介紹了數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)知識及相關(guān)情況。其中第

一篇簡單介紹數(shù)學(xué)建模以及我校數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)的相關(guān)情況；第二篇系統(tǒng)介紹了各類數(shù)學(xué)模

型建模的常用方法以及論文的寫作、格式等；第三篇簡單介紹數(shù)學(xué)建模常用軟件；第四篇

收錄三篇我校大學(xué)生撰寫的優(yōu)秀論文；第五篇收集歷年來的大型建模競賽賽題作為練習(xí)。.

本書具有較強(qiáng)的實(shí)用性和針對性，為數(shù)理學(xué)院建模教練組老師授課的學(xué)生用書，能很好的

鍛煉建模必備技能，書中根據(jù)大部分閱讀者是初次接觸建模的實(shí)際情況，盡可能的將復(fù)雜

的問題簡單化，抽象的問題具體化，這也是本書作為數(shù)學(xué)建模入門教材的一大特色。

由于書中內(nèi)容淺顯易懂，方法實(shí)用靈活，所以不失為一本建模入門的好教材，木書部分

內(nèi)容也可為MCM培訓(xùn)及數(shù)學(xué)應(yīng)用提供有益的參考價(jià)值，對于廣大數(shù)學(xué)愛好者是一本好的

工具書。

《建模之聲》

李坤［張美~~iS

（內(nèi)部資料不得翻?。?/p>

2000年10月第一版2000年10月第一次印刷

20XX年10月第二版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第三版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第四版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第五版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第六版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第七版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第八版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第九版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第十版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第-I^一版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第十二版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第十三版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第十三版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第十三版20XX年10月第一次印刷

印數(shù)：3150—3350冊

第2頁，共121頁

-XX.-

刖5

我們身邊的模型無處不在，而照片就是反映我們相貌的模型，地圖上的特定符號表示

山川、道路、河流的模型.當(dāng)然數(shù)學(xué)模型要抽象一些。它是由數(shù)字、字母和符號組成的，描

述研究對象的數(shù)量規(guī)律公式、圖表或程序，并揭示其本質(zhì)。

數(shù)學(xué)建模通俗地講就是用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的知識去解決來自工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐中五花八門

的實(shí)踐問題.因此它不是紙上談兵，它所要解決的問題是從實(shí)踐中得出來的，而解決這些問

題往往沒有現(xiàn)成的方法可以套用，因此我們要建立模型來解決并經(jīng)過實(shí)踐的不斷考驗(yàn)，最

終應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中去。參賽同學(xué)必須像參加一個(gè)實(shí)際科研項(xiàng)目那樣，不僅要充分發(fā)揮每個(gè)人

的主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造力，而且要全隊(duì)密切配合，協(xié)同作戰(zhàn)，才能盡善盡美地作出解答。這

在課堂學(xué)習(xí)中往往是難以做到的。正因如此，這項(xiàng)活動(dòng)才具有強(qiáng)大的生命力，并必將不斷

發(fā)展，日漸完善。

我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是92年開始由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)舉辦的，教育部對此

十分重視，決定自94年起由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)每年共同主辦一次.

XX年來，參賽規(guī)模每年以平均20%的速度增長，而我校自95年參賽以來取得驕人成績，

為了提高我校大學(xué)生的素質(zhì)，為了繼續(xù)保持和不斷發(fā)揚(yáng)所取得的成績，校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模

協(xié)會(huì)本著“沒有最好，只求更好”的精神一直辛勤地耕耘著.今年理事會(huì)聽取了建模指導(dǎo)老

師的建議以及廣大學(xué)生的意見，在第九屆理事會(huì)編寫的《建模之聲》的基礎(chǔ)上，經(jīng)過改編,

以供廣大大學(xué)生以及數(shù)學(xué)建模愛好者深刻地認(rèn)識和了解數(shù)學(xué)建模競賽。全書由我校數(shù)理學(xué)

院副院長、數(shù)學(xué)建模主任王傳玉教授主審，在改版過程中得到了鄧壽年、周金明、徐紅霞、

胡慧敏和潘海峰老師的支持和幫助，并提出了許多寶貴的意見，在此表示衷心感謝！

由于編者的水平有限，再加上時(shí)間倉促，書中不可避免地存在錯(cuò)誤和疏漏，敬請大家

批評指正。

編者

20XX年10月

第3頁，共I21頁

目錄

第一篇協(xié)會(huì)簡介............................................................-1-

§1.1協(xié)會(huì)章程.........................................................-1-

§1.2數(shù)學(xué)建模的無窮魅力VS傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀.............................-2-

§1.3大學(xué)生數(shù)學(xué)建模簡介..............................................-3-

§1.4全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽簡介......................................-5-

§1.5蕪湖高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽簡介........................................-6-

§1.6我校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)簡介......................................-8-

第二篇數(shù)學(xué)模型............................................................-9-

第一章運(yùn)籌學(xué)......................................................-9-

§1.1線性規(guī)劃模型................................................-9-

§1.2整數(shù)規(guī)劃模型...............................................-12-

§1.3非線性規(guī)劃與優(yōu)化模型.......................................-15-

第二章離散模型......................................................-18-

§2.1層次分析法.................................................-19-

§2.2圖論......................................................-27-

第三章微分建模......................................................-36-

§3.1發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級火箭...................................-31-

§3.2人口模型...................................................-43-

§3.3作戰(zhàn)模型：納爾遜秘訣與蘭徹斯特方程.........................-45-

第四章數(shù)據(jù)擬合......................................................-48-

§4.1擬合.......................................................-49-

§4.2用MATLAB解擬合問題........................................-52-

§4.3MATLAB解應(yīng)用問題實(shí)例......................................-55-

§4.4估計(jì)水塔的流?.............................................-57-

第五章建模論文......................................................-61-

§5.1論文的寫作.................................................-61-

§5.2如何寫好數(shù)學(xué)建模競賽答案...................................-63-

§5.3數(shù)學(xué)建?？蓞⒖冀滩?........................................-66-

第三篇軟件介紹.........................................................-67-

1.MATLAB.........................................................................................................................-67-

2.SPSS.................................................................................................................................-68-

3.SAS..................................................................................................................................-69-

4.Mathematica....................................................................................................................-70-

5.Lindo................................................................................................................................-70-

第四篇建模論文集.......................................................-71-

第4頁，共121頁

§1.1洗衣機(jī)的最佳節(jié)水研究*...............................................-71-

§1.2最優(yōu)捕魚策略........................................................-76-

§1.3SARS的傳播問題..................................................-82-

第五篇賽題集錦.........................................................-93-

第一章全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模賽題.......................................-93-

20xx高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目...........................-93-

20xx高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目...........................-94-

20xx高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目...........................-95-

20xx高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目...........................-97-

20xx高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目...........................-99-

20xx高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目..........................-100-

第二章數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽賽題...............................................-101-

20xx年三校建模聯(lián)賽題目...................................................-101-

20xx年第六屆蕪湖高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽題目............................-103-

20xx年第七屆蕪湖高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽題目............................-104-

20xx年第八屆蕪湖高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽題目............................-105-

20xx年第九屆蕪湖高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽題目............................-108-

20xx年第十屆蕪湖高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽題目............................-108-

20xx年第十一屆蕪湖高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽題目..........................-109-

第三章紛呈賽題.....................................................-109-

題一..............................................................-109-

題二..............................................................-111-

題三..............................................................-112-

題四..............................................................-114-

題五..............................................................-116-

第5頁，共121頁

第一篇協(xié)會(huì)簡介

§1.1協(xié)會(huì)章程

第一條：大學(xué)生數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)是我校一個(gè)學(xué)生科技學(xué)術(shù)性團(tuán)體，是聯(lián)系數(shù)學(xué)建模愛好

者的橋梁和紐帶，接受校相關(guān)部門的指導(dǎo)和監(jiān)督。

第二條：協(xié)會(huì)的宗旨：

（1）培養(yǎng)我校大學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的知識（包括數(shù)學(xué)知識、現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)和軟件及其他

各方面知識）去解決實(shí)際問題的的綜合能力。

（2）培養(yǎng)適應(yīng)科學(xué)研究、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等各方面對數(shù)學(xué)建模的要求日益增長這

一客觀形勢的需要。

（3）逐步引導(dǎo)我校大學(xué)生步入數(shù)學(xué)建模的殿堂，進(jìn)一步提高我校參加全國及美國大學(xué)

生數(shù)學(xué)建模競賽的能力。

第三條：協(xié)會(huì)的任務(wù)：

（1）為同學(xué)們提供一個(gè)良好的學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的環(huán)境，培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和各

種技術(shù)手段（尤其是計(jì)算機(jī)和相應(yīng)教學(xué)軟件），解決實(shí)際問題的能力；

（2）組織同學(xué)們參加全國及美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等。

第四條：協(xié)會(huì)的活動(dòng)的形式：

（1）組織有關(guān)學(xué)術(shù)報(bào)告和講座；（2）協(xié)助開辦數(shù)學(xué)建模選修課；（3）組織校級數(shù)學(xué)建

模競賽；（4）全國及美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)等.

第五條：協(xié)會(huì)設(shè)立理事會(huì)，由主席和副主席組成，主席一人，副主席若干人，理事會(huì)

每屆任期一年，司職管理協(xié)會(huì)日常事務(wù)，主席與副主席均由協(xié)會(huì)會(huì)員推舉產(chǎn)生。

第六條：會(huì)員招收辦法：對數(shù)學(xué)建模感興趣，并且白愿遵守本章程的同學(xué)均可提出申

請，通過考試合格后便可成為本協(xié)會(huì)會(huì)員（注：“大一”新生免筆試），發(fā)給會(huì)員證。

第七條：會(huì)員有參加協(xié)會(huì)各項(xiàng)活動(dòng)的權(quán)利和義務(wù)，有維護(hù)協(xié)會(huì)聲譽(yù)和團(tuán)結(jié)的權(quán)利和義

務(wù)，有借閱協(xié)會(huì)圖書資料的權(quán)利，為對協(xié)會(huì)理事會(huì)提出建議和進(jìn)行監(jiān)督的權(quán)利和義務(wù)以及

按時(shí)繳納會(huì)費(fèi)的義務(wù)等。

第八條：任何個(gè)人未經(jīng)理事會(huì)同意，在外不得代表協(xié)會(huì)進(jìn)行任何活動(dòng)，否則，協(xié)會(huì)要

追究其責(zé)任。

第九條：會(huì)員管理：每年對不履行會(huì)員義務(wù)以及不遵守本章程規(guī)定者予以除名，沒收

其會(huì)員證。

第十條：合格會(huì)員資格：上課率80%以上，培訓(xùn)期間至少完成兩篇論文，凡培訓(xùn)合格

者，協(xié)會(huì)將頒發(fā)結(jié)業(yè)證書，按照10%評出優(yōu)秀會(huì)員頒發(fā)榮譽(yù)證書。

第十一條：會(huì)費(fèi)管理：會(huì)費(fèi)來源于會(huì)員所繳會(huì)費(fèi)以及學(xué)校撥款，用于購買所有教材、

論文紙、會(huì)員證、結(jié)業(yè)證書和開展所有活動(dòng)。

第十二條：本章程自公布之日起開始生效。

第6頁，共121頁

§1.2數(shù)學(xué)建模的無窮魅力VS傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀

目前，我國工科院校除開設(shè)《高等教學(xué)》外，還開設(shè)了數(shù)門工程數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)不可謂

不重視?？墒莾H修完這些數(shù)學(xué)課程，同學(xué)們在面對實(shí)際問題時(shí)往往還是不知從何著手，不

知如何把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化，抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并運(yùn)用自己掌握的教學(xué)知識

去分析求解，從而解決實(shí)際問題。出現(xiàn)這種現(xiàn)象與我們傳統(tǒng)的教育觀念不無關(guān)系。

近幾十年來各國都過分強(qiáng)調(diào)純粹數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家分成純粹的和應(yīng)用的。教學(xué)中

重傳授知識、培養(yǎng)邏輯推演和計(jì)算能力，越來越形式、抽象，只見定義、定理、推導(dǎo)、證

明、計(jì)算，而越來越少論及數(shù)學(xué)與我們周圍世界的密切聯(lián)系.同學(xué)們將數(shù)學(xué)理解成許多其他

現(xiàn)代科學(xué)的重要基礎(chǔ)知識，而對數(shù)學(xué)本身及對其他學(xué)科的重要作用不甚了解，習(xí)慣于用練

習(xí)和記誦的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

長期以來數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在這種傾向，致使不少數(shù)學(xué)工作者缺乏從實(shí)際問題中提取

數(shù)學(xué)模型的能力。同時(shí)，各行各業(yè)的不少實(shí)際工作者更缺乏運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，建立數(shù)學(xué)模型

處理問題的能力.

而數(shù)學(xué)對其他科學(xué)的有效性，在很大程度上是通過建立數(shù)學(xué)模型來體現(xiàn)的，建立數(shù)學(xué)

模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵而重要的一步.作為一名初學(xué)者，首先應(yīng)當(dāng)清楚“數(shù)學(xué)建?！蓖耆?/p>

同于其他數(shù)學(xué)分支，學(xué)習(xí)該課程的困難不在于學(xué)習(xí)和理解所用的數(shù)學(xué)，而在于明白在何處

用它，怎樣用它，而“學(xué)著用”數(shù)學(xué)和“學(xué)”數(shù)學(xué)是根本不同的.掌握成功運(yùn)用數(shù)學(xué)建立數(shù)

學(xué)模型所需的技能與理解數(shù)學(xué)概念、證明定理、求解方程所需的技巧也迥然不同.因?yàn)樵趯?shí)

際工作中，純粹只用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識就能解決的實(shí)際問題的幾乎沒有，你所能遇到的都是

數(shù)學(xué)知識和其他學(xué)科知識混雜在一起的問題，其中數(shù)學(xué)的奧妙不是明擺著等待你去解決，

而是暗藏深處等著你去發(fā)現(xiàn).

訓(xùn)練有素的數(shù)學(xué)建模工作者們面對各類實(shí)際問題，他們將各個(gè)問題轉(zhuǎn)化為某種數(shù)學(xué)形

式，建立起令人贊嘆的數(shù)學(xué)模型，成功地解決實(shí)際問題.今后你會(huì)學(xué)習(xí)到《高等教學(xué)》、《線

性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》等等數(shù)學(xué)課程，這些可以幫助你更好地閱讀它.如果你掌握

了不少數(shù)學(xué)知識，通讀了一些數(shù)學(xué)建模相關(guān)的書籍，你可能會(huì)對數(shù)學(xué)建模有/比較深的了

解，卻未必能熟練掌握建模技巧.

那么初學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)如何發(fā)展自己的建模能力呢?我們的建議是去做、去實(shí)踐，多參加我們

組織的一些正規(guī)數(shù)學(xué)建模競賽.數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)就像學(xué)習(xí)游泳一樣必須親身實(shí)踐，站在岸邊

永遠(yuǎn)學(xué)不會(huì)游泳.只是欣賞別人的數(shù)學(xué)模型的人，永遠(yuǎn)不會(huì)擁有讓別人欣賞的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)

你親身參與了真正的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，你會(huì)發(fā)覺自己處于一種良性循環(huán)之中：越多的參與越

感到自己數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思考方法的不足，更激起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.數(shù)學(xué)本領(lǐng)高了，參與

數(shù)學(xué)建模工作就更得心應(yīng)手，興趣更濃.

第7頁，共121頁

§1.3大學(xué)生數(shù)學(xué)建模簡介

讓我們先聽聽全國著名數(shù)學(xué)大師是如何談?wù)摂?shù)學(xué)建模競賽的，他們的話或許更有說明

力，從中你可以更好的領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模是怎么回事。

數(shù)學(xué)建模競賽，我認(rèn)為是一個(gè)非常有意義的活動(dòng).很多人都知道，數(shù)學(xué)是非常重要的.

我們教了兒卜年的數(shù)學(xué)，曾經(jīng)花了很多力氣想使得大家能夠認(rèn)識到數(shù)學(xué)的重要性.但是我們

沒有找到一個(gè)合適的方法.我覺得，建模競賽是一個(gè)很好的方法，使得更多的學(xué)生，包括他

們有關(guān)的朋友，能夠認(rèn)識到數(shù)學(xué)的真正用處.因?yàn)?，?shù)學(xué)克?于學(xué)生的培養(yǎng)，不只是數(shù)學(xué)定理、

數(shù)學(xué)公式，這其實(shí)是次要的,更重要的是培養(yǎng)同學(xué)們一個(gè)正確的思想方法，而且依據(jù)自己所

學(xué)到的知識，能夠不斷創(chuàng)新，不斷地找出新的途徑.這不是在課堂里死啃幾個(gè)定理就能夠解

決的.我們用什么辦法才能讓更多的人，更多的學(xué)生認(rèn)識到這個(gè)事情呢？我覺得，提供他們

更多的建模實(shí)踐機(jī)會(huì)是一個(gè)很好的途徑。

一一全國人大常委會(huì)副委員長、著名數(shù)學(xué)家丁石孫

數(shù)學(xué)建模競賽的特點(diǎn)是題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實(shí)際問題簡化加工而成，對數(shù)

學(xué)知識要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才

智和創(chuàng)造精神.由于競賽是由三名大學(xué)生組成一隊(duì)，在三天時(shí)間內(nèi)分工合作，共同完成一篇

論文，因而也培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神.加之競賽評獎(jiǎng)以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果

的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)，因此，這項(xiàng)活動(dòng)的開展有利于對學(xué)生知識、

能力和素質(zhì)的全面培養(yǎng)，既豐富、活躍了廣大同學(xué)的課外生活，也為優(yōu)秀學(xué)生脫穎而出創(chuàng)

造了條件。

一一教育部副部長周遠(yuǎn)清

同學(xué)們不要忘記，中華文化是博大精深的，很可能下個(gè)世記是中西文化的合璧.現(xiàn)在已

經(jīng)有很多苗頭，光靠西方的演繹或者是還原論的東西解決不了問題，說不定要借助于東方

的文化，正像萊布尼茲借助于中國的哲學(xué)一樣，還有控制論、系統(tǒng)論是借助于中國的思維.

希望同學(xué)們看怎么樣能夠把中華文化的精華和西方的結(jié)合起來，我看我們大有前途.下個(gè)世

紀(jì)，有人說是知識經(jīng)濟(jì)，是美國人提出來的，我們可以同意，也可以不同意.但有一點(diǎn)，知

識在經(jīng)濟(jì)或者社會(huì)發(fā)展當(dāng)中所占的比例是越來越大，甚至?xí)饹Q定性的作用，而知識思維

的方式，不管是定量的或是定性的描述，都離不開數(shù)學(xué)。

一一中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事長、中科院院士曾慶存

數(shù)學(xué)建模、專家給它下的定義是：“通過對實(shí)際問題的抽象、簡化，確定變量和參數(shù)，

并應(yīng)用某些‘規(guī)律'建立起變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學(xué)何題（也可稱為一個(gè)數(shù)學(xué)模型），求

解該數(shù)學(xué)問題，解釋驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否用于解決問題多次循環(huán)、不斷深化的

過程簡而言之，就是建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實(shí)際問題的過程

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姜啟源教授介紹說，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是面向全國大學(xué)生的群眾性科技活動(dòng).參賽者

應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計(jì)算機(jī)方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)

現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文（即答卷）.競賽題目一般來源于工程技

術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡化加工的實(shí)現(xiàn)問題，有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造

性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn).全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的規(guī)模逐年

擴(kuò)大，參賽學(xué)生也從幾百人增加到幾千人.每年還有不少學(xué)生參加美國大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競

賽，成績優(yōu)秀，在國際上產(chǎn)生了很大的影響。

為什么這樣的單項(xiàng)競賽能夠產(chǎn)生如此的吸引力呢？開展這項(xiàng)競賽并開設(shè)相關(guān)的課程，

對高等院校的教學(xué)工作會(huì)起什么樣的作用？對大學(xué)生全面素質(zhì)的提高又有什么樣的幫助？

葉其孝教授解釋是：這種競賽對參加者來說，是一種綜合的訓(xùn)練，在相當(dāng)程度上模擬

了大學(xué)生畢業(yè)以后的工作環(huán)境.參賽者不要求預(yù)先掌握深入的專門知識，只需要學(xué)過普通高

等的數(shù)學(xué)課程；更主要的是要靠參賽者自己動(dòng)腦子，自己查找文獻(xiàn)資料，同隊(duì)成員討論研

究，齊心協(xié)力完成答卷.因此，它對學(xué)生的能力培養(yǎng)是多方面的.葉教授將之歸納為：應(yīng)用數(shù)

學(xué)進(jìn)行分析、推理、證明和計(jì)算的能力；“雙向翻譯”（即用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題，用普

通人能理解的語言表達(dá)數(shù)學(xué)的結(jié)果）的能力；應(yīng)用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件的能力；應(yīng)變能

力（即獨(dú)立查找文獻(xiàn)，消化和應(yīng)用的能力）；組織、協(xié)調(diào)、管理特別是及時(shí)妥協(xié)的能力；交

流表達(dá)的能力；寫作的能力；創(chuàng)造性、想象力、聯(lián)想力和洞察力.它還可以培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的

意志，培養(yǎng)自律、“慎獨(dú)”的優(yōu)秀品質(zhì)，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀。

很多象牛頓一樣偉人的科學(xué)家都是建立和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的人師，他們將各個(gè)不同的科

學(xué)領(lǐng)域同數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，在不同的學(xué)科中取得了巨大的成就.如力學(xué)中的牛頓定律，

電磁學(xué)中的麥克斯偉方程組，化學(xué)中的門捷列夫周期表，生物學(xué)中的孟德爾遺傳定律等都

是經(jīng)典學(xué)科中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的光輝范例.目前在計(jì)算機(jī)的幫助下數(shù)學(xué)模型在生態(tài)、地質(zhì)、航

空等方面有了更加廣泛和深入的應(yīng)用.因此，從某種意義上講，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)現(xiàn)代化高科

技人才的重要途徑。

數(shù)學(xué)建模不同于其他數(shù)學(xué)分支，從教學(xué)的角度來看，重點(diǎn)不是學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)知識本身,

而在于數(shù)學(xué)方法的掌握、數(shù)學(xué)思維的建立.開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程是為了使學(xué)生將學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)

方法和知識同周圍的現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來，甚至和真正的實(shí)際應(yīng)用問題聯(lián)系起來.不僅應(yīng)使學(xué)

生知道數(shù)學(xué)有用、怎樣用，更要使學(xué)生體會(huì)到在真正的應(yīng)用中還需要繼續(xù)學(xué)習(xí).為使學(xué)生們

能將學(xué)過的數(shù)學(xué)知識與方法應(yīng)用于?實(shí)踐，開設(shè)的數(shù)學(xué)建模課程以介紹數(shù)學(xué)建模的一般方法

為主線，著重訓(xùn)練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型的技能技巧，著重能力和相關(guān)素質(zhì)的培養(yǎng).

?數(shù)學(xué)建模課程可以培養(yǎng)和提高學(xué)生下列能力：

（1）洞察能力.許多提出的問題往往不是數(shù)學(xué)化的，這就是需要建模工作者善于從實(shí)

際工作提供的原形中抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)；

（2）數(shù)學(xué)語言翻譯能力，即把經(jīng)過一定抽象和簡化的實(shí)際用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)出來，形

成數(shù)學(xué)模型，并對數(shù)學(xué)的方法和理論推導(dǎo)或計(jì)算得到的結(jié)果，能用大眾化的語言表達(dá)出來,

在此基礎(chǔ)上提出解決某一問題的方案或建議；

（3）綜合應(yīng)用分析能力.用已學(xué)到的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行綜合應(yīng)用分析，并能學(xué)習(xí)一

些新的知識；

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(4)聯(lián)想能力.對于不少的實(shí)際問題，看起來完全不同，但在一定的簡化層次下，它

們的數(shù)學(xué)模型是相同的或相似的.這正是數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的體現(xiàn)，這就是培養(yǎng)學(xué)生有廣泛的

興趣，多思考，勤奮踏實(shí)地工作，通過熟能生巧達(dá)到觸類旁通的境界；

(5)各種當(dāng)代科技最新成果的使用能力.目前主要是計(jì)算機(jī)和相應(yīng)的各種軟件包，這

不僅能夠節(jié)省時(shí)間，得到直觀形象的結(jié)果，有利與用戶深入討論，而且能夠養(yǎng)成自覺應(yīng)用

最新科技成果的良好習(xí)慣。

盡管數(shù)學(xué)建模已有了很久的歷史，數(shù)學(xué)建模課程卻還是很年輕的一門課程.在70年代

末和80年代初，英國著名的劍橋大學(xué)專門為研究生開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，差不多同時(shí)，歐

美一些發(fā)達(dá)國家開始把數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容列入研究生、大學(xué)生以至中學(xué)生的教學(xué)計(jì)劃中去，

并于1983年開始舉行兩年一度的“數(shù)學(xué)建模教學(xué)和應(yīng)用國際會(huì)議”進(jìn)行定期交流.數(shù)學(xué)建

模教學(xué)及其各種活動(dòng)發(fā)展異常迅速，成為當(dāng)代數(shù)學(xué)教育改革的主要方向之一。

§1.4全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽簡介

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建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的過程，是各行各業(yè)、各科技領(lǐng)域大量需要的，也是我

們的大學(xué)生在走向工作崗位后常常要做的工作.做這樣的事情遠(yuǎn)不只是數(shù)學(xué)知識和解數(shù)學(xué)

題目的能力，而需要多方面的綜合知識與能力.因此，大學(xué)生在校期間應(yīng)當(dāng)努力培養(yǎng)和提高

在這方面的能力。

正是由于認(rèn)識到培養(yǎng)應(yīng)用型、研究型科技人才的重要性，而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)競賽不能擔(dān)當(dāng)

這個(gè)任務(wù)，從1983年起，美國就有一些有識之士探討組織一項(xiàng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的競賽的可能

性.經(jīng)過論證、爭論、爭取資助等過程，1985年舉行了美國第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

（MathematicalContestinModeling）,簡稱MCM.競賽由美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)和美國運(yùn)

籌學(xué)學(xué)會(huì)聯(lián)合主辦.從1985年起每年舉行一屆，時(shí)間定為每年的二月下旬或三月初的某個(gè)

星期五到星期日舉行，到2CXX年他們已舉行了20屆.這項(xiàng)競賽的宗旨是鼓勵(lì)大學(xué)生運(yùn)用

所學(xué)的知識（包括數(shù)學(xué)知識及其他方面的知識）去參與解決實(shí)際問題的全過程.這些實(shí)際問

題并不限于某個(gè)特定領(lǐng)域，可以涉及非常廣泛的、并不固定的范圍。

競賽是真正的團(tuán)體賽，每個(gè)參賽隊(duì)由三個(gè)人組成，在規(guī)定的三天時(shí)間內(nèi)共同完成一份

答卷.每個(gè)參賽隊(duì)有一個(gè)指導(dǎo)教師，在比賽前負(fù)責(zé)培訓(xùn)并接受考題，將考題在規(guī)定的時(shí)間發(fā)

給學(xué)生，然后由學(xué)生自行完成，教師不得參賽.每次的考題設(shè)計(jì)了兩個(gè)，都是來自實(shí)際的問

題或有強(qiáng)烈實(shí)際背景的問題.每個(gè)參賽隊(duì)從兩個(gè)考題中選做一道題.參賽隊(duì)的三名隊(duì)員可以

相互討論，可以查閱資料，可以使用計(jì)算機(jī)和計(jì)算機(jī)軟件，但不允許三人以外的其他人（包

括指導(dǎo)教師）幫助做題.參賽隊(duì)的答卷應(yīng)是一篇完整的論文，還要有一個(gè)不超過一頁的論文

內(nèi)容的摘要。

專家們在評卷時(shí)并不對論文給出分?jǐn)?shù)，也不采用“通過”、“失敗”這種記分，而只是

將論文評出一些等級：Outstanding（特等獎(jiǎng)）、Meritorious（一等獎(jiǎng)）、

Hon?orableMention（二等獎(jiǎng)）、SuccessfulParticipa二on（成功參賽獎(jiǎng)）。評卷的標(biāo)準(zhǔn)并不

只是看答案對不對，而是主要看論文的思想方法好不好以及論述是否清晰.Out-standing

的論文作為優(yōu)秀論文在專業(yè)雜志上發(fā)表，而所有參賽的隊(duì)員和教師都能得到一張獎(jiǎng)狀，

美國的MCM雖然只是美國的國內(nèi)賽，但它歡迎其他國家的大學(xué)組隊(duì)參加，而且越來越

多國家的大學(xué)參加這一競賽.因此，在某種意義上它已經(jīng)是國際比賽.我國最早由北京的三

所大學(xué)組隊(duì)參加美國的MCM競賽，繼后我國參加此項(xiàng)競賽的大學(xué)越來越多.經(jīng)過醞釀、籌備

和在一些城市試辦，從1992年開始由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)舉辦我國自己的全國大學(xué)生

數(shù)學(xué)模型競賽.國家教委對這項(xiàng)活動(dòng)非常重視，決定從1994年開始由國家教委高教司和中

國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同舉辦，每年?次.這樣，我國舉辦大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽已有十年，

發(fā)展非常迅速，已成為我國大學(xué)生參賽規(guī)模最大的一項(xiàng)科技比賽。

數(shù)學(xué)建模競賽為學(xué)生們打開了一扇窗戶，把他們的目光從書本引向充滿新奇的世界.

競賽培訓(xùn)及三天三夜緊張激烈的競賽使他們終身難忘.他們都感謝學(xué)校給他們參加競賽的

機(jī)會(huì)，感謝教師們對他們的培養(yǎng)，認(rèn)為競賽活動(dòng)“學(xué)以致用，終身受益，終身難忘?！?/p>

§1.5蕪湖高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽簡介

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蕪湖高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽是由安徽工程大學(xué)教務(wù)處、團(tuán)委、數(shù)理學(xué)院聯(lián)合主辦；安徽師

范大學(xué)、皖南醫(yī)學(xué)院、蕪湖信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院、安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院和蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)

院協(xié)辦；安徽工程大學(xué)數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)承辦的面向我校和各協(xié)辦高校在籍大學(xué)牛.的數(shù)學(xué)建模

競賽。聯(lián)賽一直以“重在參與、公平競爭、深化交流、理論創(chuàng)新”為宗旨，目的在于更好

地促進(jìn)數(shù)學(xué)建模事業(yè)的發(fā)展，給廣大同學(xué)提供更多的參賽機(jī)會(huì)和更廣闊的鍛煉平臺(tái)，并以

此為契機(jī)來進(jìn)一步加強(qiáng)蕪湖各兄弟高校之間的交流與溝通，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，培養(yǎng)廣

大學(xué)生的參與意識、競爭意識和合作意識，夯實(shí)數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)知識，激發(fā)數(shù)學(xué)建模理性思

維，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際和科技創(chuàng)新能力。同時(shí)，蕪湖聯(lián)賽也擔(dān)負(fù)著我校選拔優(yōu)秀學(xué)生

參加每年九月份全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的重任。

蕪湖聯(lián)賽自20XX年開始舉辦首屆，一直以來都受到我校各級相關(guān)部門領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)心和

指導(dǎo)，同時(shí)也得到各協(xié)辦高校的鼎力支持。聯(lián)賽由省“十佳社團(tuán)”安徽工程大學(xué)大學(xué)生數(shù)

學(xué)建模協(xié)會(huì)組織報(bào)名，數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)建模教練組教師負(fù)責(zé)每年的賽題擬定、論文的評審和

評獎(jiǎng)等工作。競賽分學(xué)校組織進(jìn)行，每個(gè)學(xué)校的參賽地點(diǎn)自行安排，以隊(duì)為參賽單位，每

個(gè)參賽隊(duì)由至多三名具有正式學(xué)籍的在校大學(xué)生組成，專業(yè)不限，參賽隊(duì)從A、B、C、D題

中任選一題（本科生在A、B題中任選一題，?？粕贑、D題中任選一題），并在規(guī)定的時(shí)

間內(nèi)完成參賽論文，本科組和?？平M分開評閱。

聯(lián)賽報(bào)名時(shí)間一般為每年的4月中下旬，為期七天，報(bào)名結(jié)束后將在網(wǎng)上公布賽題。

比賽正式開始，各參賽隊(duì)成員之間可以相互探討，合理分工，利用各種圖書資源、計(jì)算機(jī)

軟件，上網(wǎng)搜集相關(guān)信息、資料等，在五一期間完成參賽作品，比賽過程中不得與本組隊(duì)

員以外任何人（包括教師）討論賽題。一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，取消參賽資格。論文上交后，數(shù)理學(xué)院

數(shù)學(xué)建模教練組教師負(fù)責(zé)上交論文的評審工作，在公平、公正的原則下按照上交論文總數(shù)

的5%、10%、15%評出一、二、三等獎(jiǎng)，凡成功提交論文的參賽隊(duì)均可獲成功參賽獎(jiǎng)。

對獲獎(jiǎng)?wù)邔⒂尚＝虅?wù)處、團(tuán)委、數(shù)理學(xué)院聯(lián)合頒發(fā)獲獎(jiǎng)證書，并給予一定的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)，

時(shí)至今日，蕪湖高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽已成功舉辦多屆，得到了廣大同學(xué)的積極響應(yīng)和大

力支持，并從中涌現(xiàn)出不少數(shù)學(xué)建模人才，為我校數(shù)學(xué)建模的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基

礎(chǔ)，我們有理由相信，在各位老師的細(xì)心指導(dǎo)下，在大家的關(guān)心和幫助下，我們會(huì)取得更

加輝煌的成就，我校數(shù)學(xué)建模成績會(huì)上一個(gè)新臺(tái)階。

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§1.6我校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)簡介

安徽工程大學(xué)于1995年由教練組率隊(duì)參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，并在僅有兩隊(duì)參

賽的情況下獲得一個(gè)全國一等獎(jiǎng)，一個(gè)成功參賽獎(jiǎng)，1996年又獲得了一個(gè)全國一等獎(jiǎng)，一

個(gè)安徽賽區(qū)一等獎(jiǎng).受到這些喜人成績的鼓舞，為了給廣大學(xué)生一個(gè)更好地認(rèn)識、了解、參

加數(shù)學(xué)建模的機(jī)會(huì)，在校團(tuán)委和數(shù)理學(xué)院（原基礎(chǔ)教學(xué)部）的大力倡導(dǎo)下，我校大學(xué)生數(shù)

學(xué)建模協(xié)會(huì)便應(yīng)運(yùn)而生了.

1996年，我校正式創(chuàng)建了校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)，數(shù)理學(xué)院成立后，便在數(shù)理學(xué)院中

的教學(xué)骨干組成的數(shù)學(xué)建模教練組直接領(lǐng)導(dǎo)下開展工作，旨在培養(yǎng)協(xié)會(huì)會(huì)員運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)

知識并輔以計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代化工具解決實(shí)際問題的能力，并逐步引導(dǎo)他們步入數(shù)學(xué)建模的殿

堂.進(jìn)一步提高我校參加全國數(shù)學(xué)建模的能力.在歷屆理事會(huì)成員的努力和廣大會(huì)員的積極

參與下，協(xié)會(huì)已經(jīng)歷了摸索、發(fā)展、成熟三個(gè)階段，日趨完善，現(xiàn)在新老會(huì)員1300余人，

連續(xù)幾年被評為校優(yōu)秀社團(tuán)，20xx年末被評為“省十佳社團(tuán)”.

圍繞協(xié)會(huì)的宗旨和原則，我們將努力在全校范圍內(nèi)營造一種良好的氛圍，讓我們的會(huì)

員更好地學(xué)習(xí)和創(chuàng)造，我們將聘請校建模教練組的教練為我們授課.使會(huì)員掌握一些建?；?/p>

木知識和常用方法，提高他們解決實(shí)際問題的能力，為他們接觸建模，了解建模并最終參

加建模打下一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).我們還將組織相關(guān)的學(xué)術(shù)講座，協(xié)助各系部開辦建模選修課并

承辦校內(nèi)的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，選拔優(yōu)秀會(huì)員參加全國大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽和美國的競賽,

我校于1997年、20xx年、20xx年和20xx年四次參加美國賽均獲得三等獎(jiǎng)。

回首過去，展望未來，數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)已由過去的一粒種子長成了一棵大樹，十多年來

的風(fēng)風(fēng)雨雨已使它顯得格外粗壯繁茂，我們相信有廣大會(huì)員的大力支持和積極參與，協(xié)會(huì)

的明天會(huì)更好！我校歷年來參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽成績一覽表：

全國獲獎(jiǎng)情況安徽賽區(qū)獲獎(jiǎng)情況

年份參賽總隊(duì)數(shù)

一等二等一等二等三等成功參賽獎(jiǎng)

19952隊(duì)1隊(duì)1隊(duì)1隊(duì)

19964隊(duì)1隊(duì)2隊(duì)1隊(duì)1隊(duì)

19974隊(duì)2隊(duì)1隊(duì)1隊(duì)

19984隊(duì)2隊(duì)4隊(duì)

19994隊(duì)3隊(duì)1隊(duì)

20006隊(duì)1隊(duì)2隊(duì)2隊(duì)2隊(duì)

20XX6隊(duì)3隊(duì)3隊(duì)

20XX3隊(duì)3隊(duì)

20XX6隊(duì)1隊(duì)1隊(duì)3隊(duì)1隊(duì)

20XX4隊(duì)2隊(duì)1隊(duì)1隊(duì)

20XX6隊(duì)1隊(duì)2隊(duì)1隊(duì)3隊(duì)

20XX10隊(duì)4隊(duì)3隊(duì)3隊(duì)

20XX10隊(duì)1隊(duì)2隊(duì)2隊(duì)3隊(duì)3隊(duì)

20XX15隊(duì)1隊(duì)1隊(duì)2隊(duì)3隊(duì)5隊(duì)5隊(duì)

20XX17隊(duì)1隊(duì)1隊(duì)5隊(duì)7隊(duì)4隊(duì)

20X

17隊(duì)1隊(duì)2隊(duì)4隊(duì)3隊(duì)5隊(duì)

X

20XX17隊(duì)2隊(duì)2隊(duì)5隊(duì)4隊(duì)4隊(duì)

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第二篇數(shù)學(xué)模型

第一章運(yùn)籌學(xué)

（主講老師：鄧壽年）

§1.1線性規(guī)劃模型

在有經(jīng)濟(jì)建設(shè)、企業(yè)管理和生產(chǎn)實(shí)踐等方面的各項(xiàng)活動(dòng)中，我們常常需要合理分配有

限資源，以期獲得最大的效益，請看下列幾個(gè)簡單模型.

［模型一］（生產(chǎn)計(jì)劃問題）某廠生產(chǎn)A、B和C三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都需經(jīng)過三道工

序；零件加工、電鍍和裝配根據(jù)該廠在每道工序上現(xiàn)有的設(shè)備和勞動(dòng)力等生產(chǎn)條件，可以

確定各工序每周的生產(chǎn)能力，我們把它折合成有效工時(shí)來表示，每件產(chǎn)品在每道工序上所

花費(fèi)的工時(shí)，每道工序每周可利用的有效工時(shí)以及每件產(chǎn)品的利潤情況由下表給出.試問：

為使每一周內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品中獲得最大的利潤，三種產(chǎn)品各應(yīng)生產(chǎn)多少件？

加工每件產(chǎn)品的工時(shí)每周可利用

生產(chǎn)工序

ABC的有效工時(shí)

零件加工1.01.21.14800

電鍍0.50.60.61800

裝配0.70.70.82100

每日利潤（元）12158

［建模思路］設(shè)修、制和X3分別表示產(chǎn)品A、8和C一周內(nèi)的生產(chǎn)件數(shù).于是一周內(nèi)獲得

的利潤可寫成下列形式：/=12xi+15工2+8%3

我們希望在定型條件下/能取得最大值.首先，零件加工不能超過4800工時(shí).由于生產(chǎn)總件

產(chǎn)品A所需零件加工的工時(shí)數(shù)為lOt”生產(chǎn)X2件產(chǎn)品8所需零件加工的工時(shí)數(shù)為12。

生產(chǎn)布件產(chǎn)品。所需零件加工的工時(shí)數(shù)為14口，故汨、12和13應(yīng)滿足下列條件：

1.Oxi+1.2x2+1.4x3<4800.

類似地，考慮到電鍍工序和裝配工序的生產(chǎn)條件，修、X2和不還應(yīng)滿足下面兩個(gè)條件：

0.5內(nèi)+06x2+0.6x3W1800,

0.7x1+0.7x2+0.8x3^2400.

此外，由、X2和X3顯然只能取非負(fù)值，故有:

20,X22o，

于是，問題可以寫成下列數(shù)學(xué)形式：

max/=12xi+l542+8%3

s.t.1.0M+1.2口+1.4x3^4800,

0.5即+0.64+0.6工3<1800,

0.7x1+0.7x2+0.8x3^2400,

x\^0,也20，

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其中max/=I2XI+I5X2+8X3表示要求函數(shù)/=12^1+15叫+84達(dá)到最大，s.t.為英文“subject

t?！保ㄊ芗s束于）的縮寫.因此我們要求在上面所列出的全部條件下，求不、必和布的一組值，

使函數(shù)/=12內(nèi)+15X2+8X3達(dá)到最大.

［模型二］（運(yùn)輸問題）現(xiàn)要從兩個(gè)倉庫（發(fā)點(diǎn)）運(yùn)送庫存原棉來滿足三個(gè)紡織廠（收點(diǎn)）

的需要.三個(gè)紡織廠所需數(shù)量和兩個(gè)倉庫現(xiàn)有庫存量，以及每噸原棉從各個(gè)倉庫運(yùn)送到各個(gè)

紡織廠所需的運(yùn)費(fèi)見下表.試問在保證各個(gè)紡織廠的需求都得到滿足的條件下，應(yīng)采用哪一

明）.

［建模思路］設(shè)期表示產(chǎn)倉庫運(yùn)送到了廠的原棉數(shù)量.于是，總運(yùn)費(fèi)/為:

/=2V||+X|2+3X13+1V2|+2X22+4X23

我們的目標(biāo)是在一定條件下使/達(dá)到最小值，由于從各倉庫運(yùn)出之原棉數(shù)量不能超過它的

庫存量，故應(yīng)有：

X11+X12+X13W5O,

X21+X22+X23<30.

同時(shí)，還應(yīng)保證各紡織廠所需的原棉都得到滿足，故應(yīng)有：

孫+121=4。，

X|2+X22=15,

X|3+A-23=25.

此外，運(yùn)送量沏都應(yīng)取非負(fù)值:沏20,i=l,2：j=l,2,3.

于是，問題可以寫成下列形式：minf=2,vii+xi2+3xi3+2x2i+2x22+4^23

S.tJV|1+X12+X13^SO,X21+X22+X23W30,（1.1）

Xll+X2l=40,X12+X22=15,X13+及3=25，

殉20,1=1,2；j=\,2,3.

可以注意到，兩個(gè)倉庫的庫存總量恰等于三個(gè)紡織廠的需求總量，即：

504-30=40+15+25.

因此要保證各個(gè)紡織廠的需求都得到滿足，兩個(gè)倉庫中的庫存原棉就需全部運(yùn)走，于是問

題（1.1）中前兩個(gè)不等式都可以改寫成等式.

運(yùn)輸問題一般地可敘述如下：要把m個(gè)發(fā)點(diǎn)的貨物運(yùn)送到n個(gè)收點(diǎn)去.已知i#發(fā)點(diǎn)

有貨物ai噸，j#收點(diǎn)需要貨物bj噸，單位貨物從i#發(fā)點(diǎn)運(yùn)送到j(luò)收點(diǎn)的運(yùn)費(fèi)為兩元.那么

在保證每個(gè)收點(diǎn)對貨物的需求條件下，應(yīng)采用哪一種運(yùn)輸方案才能使總運(yùn)費(fèi)最省？

設(shè)殉為從產(chǎn)發(fā)點(diǎn)運(yùn)送到了收點(diǎn)的貨物量，則上述問題可以描述為：

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mn

“7,

Xy=bj9J=,.?.，〃，（1.2）

Xij2,z=l,???,in；j=\,??.,n.

ntn

特別地，當(dāng)〃?個(gè)發(fā)點(diǎn)所具有的貨物總量恰等于〃個(gè)收點(diǎn)所需貨物的總量（即=

?=i;=i

ntn

時(shí)，它又可寫成下列形式：山山/二ZZ

i=lj=\J1

n

s.t.Z馬二4，z=l,...?ni,

j=i，

m

工/=bj,y=l,…，〃,（1.3）

1=1

.520,i=l,...?m；j=\,n.

［模型三］（營養(yǎng)問題）某養(yǎng)雞場欲利用〃種天然飼料來配制一批配合飼料.要求在這批

配合飼料中必須含有m種不同的營養(yǎng)成分，并要求產(chǎn)營養(yǎng)成分的含量不低于尻己知產(chǎn)營養(yǎng)

成分在每單位,天然飼料中的含量為劭，每單位/天然飼料的價(jià)格為小那么，在保證營

養(yǎng)的條件下，應(yīng)采用哪種配方才能使這批配合飼料的費(fèi)用最小？

［建模思路J設(shè)2為了天然飼料的用量.那么，。網(wǎng)即為所用了天然飼料中產(chǎn)營養(yǎng)成分的

含量，￡%毛即為在這批配合飼料中產(chǎn)營養(yǎng)成分的總含量，它不應(yīng)低于玩于是，問題就可

j=i

寫成下列數(shù)學(xué)形式：minf=tj5

j=i

n

s.tZi=\,…，m,（1.4）

j=i

為NO,j=l,…，n.

在上述幾個(gè)例題中，都首先需要確定一組具有明確含量的變量，稱之為決策變量.問

題的目標(biāo)是選取這些決策變量的值使?個(gè)函數(shù)取得最大值或最小值，此函數(shù)稱之為目標(biāo)函

數(shù).我們乂利用決策變量把府題的條件表示成等式或不等式，并稱這些等式和不等式為約束

條件.如果目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)，而且約束條件也都是關(guān)于決策變量的線性等式

或線性不等式，則相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題就稱為一個(gè)線性規(guī)劃問題.顯然，上述三例都是線性規(guī)劃

問題.在解決實(shí)際問題時(shí)，把問題歸結(jié)成一個(gè)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型是很重要的一步，但往往也

是困難的一步，模型建立得是否適當(dāng)，直接影響到求解.而選擇適當(dāng)?shù)臎Q策變量，是我們建

立有效模型的關(guān)鍵之一，希望讀者能重視這方面的實(shí)踐.

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§1.2整數(shù)規(guī)劃模型

在上一節(jié)簡單介紹了線性規(guī)劃問題，得到的最大優(yōu)解不一定是整數(shù)，然而，在實(shí)現(xiàn)生

活中，卻非要整數(shù)不可，像人員的分配、機(jī)器設(shè)備的調(diào)度等用分?jǐn)?shù)或者小數(shù)就不合要求了，

因此，在解規(guī)劃過程，就必須在原始的可行域中取整數(shù)解.這種要求線性規(guī)劃有整數(shù)解的問

題，就稱為整數(shù)線性規(guī)劃.在有些實(shí)際問題的解必須滿足一些特殊的約束條件，此時(shí)，我們

往往要引取“是''（用1表示）和“非''（用（）表示）為值的邏輯變量（又稱0—1變量），決

策變量均為0—1變量的整數(shù)規(guī)劃稱0—1規(guī)劃

［模型一］一公司欲將一定數(shù)量的資金，分配到不同的投資項(xiàng)目中去，在若干種投資方

案中作出選擇，以使投資獲利最大.

［建模思想］設(shè)該公司可用資金為從共有〃個(gè)投資項(xiàng)目可供選擇，其中第7個(gè)項(xiàng)目需

要的資金是劭其單位利潤為。如果不考慮對某個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行部分投資，可設(shè)變量

.二『對策/個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資；

對第7個(gè)項(xiàng)目不進(jìn)行投資

按題設(shè)，上述問題可用如下數(shù)量模型表述

n

max/=Ea：x：（2.1）

y=i）

E產(chǎn)b

＜J"

芍=0或1（J=1,2,…，ri'）

如果在實(shí)際投資中，要求在〃個(gè)項(xiàng)目中的前k個(gè)項(xiàng)目里，只允許選擇一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投

資，式（2.1）還應(yīng)增加以下約束條件：Sx/Wl這樣就保證這2個(gè)項(xiàng)目互相

j=i

排斥。

［模型二1某電冰箱廠為了增加產(chǎn)量，需增加一條生產(chǎn)線，有兩種方案可供選擇：一種

是從國外引進(jìn)一條自動(dòng)化程度很高的生產(chǎn)線，由于產(chǎn)量大，因而分配到每臺(tái)冰箱的變動(dòng)成

本就降低；另一種方案是安裝本國的半自動(dòng)化生產(chǎn)線，由于產(chǎn)量少，分配到每臺(tái)冰箱的變

動(dòng)成本可能增加.已知由國外引進(jìn)生產(chǎn)線投產(chǎn)以后每臺(tái)冰箱的固定成本為加元，變動(dòng)成本為

C.元：安裝國內(nèi)半自動(dòng)生產(chǎn)線投產(chǎn)后每臺(tái)冰箱的固定成本為bl（岳＜6）元，變動(dòng)成本為

C2（C2＞。）元.問應(yīng)選擇哪種方案，可使生產(chǎn)成本最小？

［建模思想］在經(jīng)營管理中，生產(chǎn)成本應(yīng)是固定成本與變動(dòng)成本的總和.在這個(gè)問題中，

我們只從成本的角度來確定增添設(shè)備的方式，因此暫不考慮其他約束條件.

令用表示引進(jìn)國外的生產(chǎn)線在單位時(shí)間內(nèi)的產(chǎn)量；

令X2表示安裝國內(nèi)的半自動(dòng)生產(chǎn)線在單位時(shí)間內(nèi)的產(chǎn)量；

令”表示前一種方式的生產(chǎn)總成本，〃2表示后一種方式的生產(chǎn)總成本.于是有

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rbi+axi(x,>0)

IL(/=1>2)

I0(x/=0)

為了把兩種方式的成本統(tǒng)一起來，我們引進(jìn)0—1型變景：)，｛?=1,2)；

「1,當(dāng)采用第，種方式，即為＞()

"Y(2.2)

〔0,不采用第i種方式，即即＞0

式(2.2)的這個(gè)規(guī)定可由下述兩個(gè)線性約束條件

x/WyM(/=1,2)(2.3)

來代替，其中M是個(gè)充分大的數(shù).上式表明，當(dāng)為＞0時(shí)，》是1；當(dāng)劉二0時(shí)，此時(shí)只有)，尸0

才有意義.于是得目標(biāo)函數(shù)為

2

f=(瓦y+J』)+(by+cx)=工(瓦片+c/j)

2222i=l

因此數(shù)學(xué)模型為

2

min/=Z(〃)，i+c/i)

i=i

1(2.4)

LMNO且為整數(shù)(i=l,2)

【模型三］某工廠生產(chǎn)48兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品均要在甲、乙、內(nèi)各臺(tái)設(shè)備上加工，

每件第i種產(chǎn)品在第i臺(tái)設(shè)備上消耗的工時(shí)為劭(i=l，2,3；j=l,2).現(xiàn)在各臺(tái)設(shè)備可用

于生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的工時(shí)分別為瓦(i=l,2,3).每件產(chǎn)品可以提供的