1.1.2弧度制

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

在物理學(xué)和日常生活中，?個(gè)量常常需要用不同的方法進(jìn)行度量，不同的度量方法可以

滿足我們不同的需要.現(xiàn)實(shí)生活中有許多計(jì)量單位,如度量長(zhǎng)度可以用米、厘米、尺、色等不

同的單位制，度量重量可以用千克、斤、噸、磅等不同的單位制,度量角的大小可以用度為單

位進(jìn)行度量，并且一度的角等于周角的上，記作1°.

360°

通過類比引出弧度制:給出1弧度的定義，然后通過探究得到弧度數(shù)的絕對(duì)值公式，并得

出角度和弧度的換算方法.在此基礎(chǔ)上,通過具體的例子,鞏固所學(xué)概念和公式,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)

引入弧度制的必要性.這樣可以盡量自然地引入弧度制，并讓學(xué)生在探究過程中，更好地形成

弧度的概念,建立角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng),為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).

通過探究討論，關(guān)鍵弄清1弧度角的定義，使學(xué)生建立弧度的概念,理解弧度制的定義，

達(dá)到突破難點(diǎn)之目的.通過電教手段的直觀性，使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的

可靠性、可行性.通過周角的兩種單位制的度量,得到角度與弧度的換算公式.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到

角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同，但卻是互相聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的.進(jìn)一步

加強(qiáng)對(duì)辯證統(tǒng)一思想的理解，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn).

三維目標(biāo)

1.通過類比長(zhǎng)度、重量的不同度量制，使學(xué)生體會(huì)一個(gè)量可以用不同的單位制來度量，

從而引出弧度制.

2.通過探究使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制和弧度制都是度量帝的制度,通過總結(jié)引入弧度制的好

處,學(xué)會(huì)歸納整理并認(rèn)識(shí)到任何新知識(shí)的學(xué)習(xí)，都會(huì)為解決實(shí)際問題帶來方便,從而激發(fā)學(xué)生

的學(xué)習(xí)興趣.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):理解弧度制的意義,并能進(jìn)行角度和弧度的換算.

教學(xué)難點(diǎn)：弧度的概念及其與角度的關(guān)系.

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路L（類比導(dǎo)入）測(cè)量人的身高常用米、厘米為單位進(jìn)行度量，這兩種度量單位是怎樣

換算的?家庭購(gòu)買水果常用千克、斤為單位進(jìn)行度量,這兩種度量單位是怎樣換算的?度量角

的大小除了以度為單位度量外,還可采用哪種度量角的單位制?它們是怎樣換算的？

思路2.（情境導(dǎo)入）利用古代度量時(shí)間的一種儀器一一日號(hào),或者利用普遍使用的鐘表.

實(shí)際上我們使用的鐘表是用時(shí)針、分針和秒針角度的變化來確定時(shí)間的.無論采用哪一種方

法,度量一個(gè)確定的量所得到的量數(shù)必須是唯一確定的.在初中，已學(xué)過利用角度來度量角的

大小,現(xiàn)在來學(xué)習(xí)角的另一種度量方法一一弧度制.要使學(xué)生真正了解弧度制,首先要弄清1

弧度的含義,并能進(jìn)行弧度與角度換算的關(guān)鍵.

在引入弧度制后，可以引導(dǎo)學(xué)生建立弧與圓心角的聯(lián)系一一弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù).

隨著角的概念的推廣，圓心角和弧的概念也隨之推廣:從“形”上說，圓心角有正角、零角、

負(fù)角，相應(yīng)的，弧也就有正弧、零弧、負(fù)弧;從“數(shù)”上講，圓心角與瓠的度數(shù)有正數(shù)、0、負(fù)

數(shù).圓心角和弧的正負(fù)實(shí)際上表示了“角的不同方向"，就像一:角函數(shù)值的正負(fù)可以用三角

函數(shù)線（有向線段）的方向來表示一樣.每一個(gè)圓心角都有一條弧與它對(duì)應(yīng)，并且不同的圓心

角對(duì)應(yīng)著不同的弧，反之亦然.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

問題①:在初中幾何里，我們學(xué)習(xí)過角的度量，1°的角是怎樣定義的呢？

問題②:我們從度量長(zhǎng)度和重量上知道,不同的單位制能給我們解決問題帶來方便.那么

角的度量是否也能用不同單位制呢？

活動(dòng)：教師先讓學(xué)生思考或討論問題,并讓學(xué)生回憶切中有關(guān)角度的知識(shí),提出這是認(rèn)識(shí)

弧度制的關(guān)鍵,為更好地理解角度弧度的關(guān)系奠定基礎(chǔ).討論后教師提問學(xué)生,并對(duì)回答好的

學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)問答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的關(guān)鍵.教師板書弧度制的定義:規(guī)定

長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.以弧度為單位來度量角的制度叫做弧

度制;在弧度制下，1弧度記作1rad.如圖1中，Ah的長(zhǎng)等于半徑r,AB所對(duì)的圓心角/AOB

就是1弧度的角，即，=1.

r

討論結(jié)果：

①1°的角可以理解為將圓周角分成36()等份，每一等份的弧所對(duì)的圓心角就是1°.它是一

個(gè)定值,與所取圓的半徑大小無關(guān).

②能,用弧度制.

提出問題

問題①:作半徑不等的甲、乙兩圓，在每個(gè)圓上作出等于其半徑的弧長(zhǎng)，連結(jié)圓心與弧的

兩個(gè)端點(diǎn),得到兩個(gè)角，將乙圖移到甲圖上，兩個(gè)角有什么樣的關(guān)系？

問題②:如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)的孤長(zhǎng)是1,那么a的弧度數(shù)是多少？

既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它們之間如何換算？

活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和歸納角度制和弧度制的關(guān)系，提問學(xué)生歸納的情況,讓學(xué)

生找出區(qū)別和聯(lián)系.教師給予補(bǔ)充和提示,對(duì)表現(xiàn)好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)I川答不準(zhǔn)確的學(xué)生提

示和鼓勵(lì).引入弧度之后，應(yīng)與角度進(jìn)行對(duì)比，使學(xué)生明確：第一，弧度制是以“弧度”為單位

來度量角的單位制，角度制是以“度”為單位來度量角的單位制；第二，1弧度是等于半徑長(zhǎng)

的弧所對(duì)的圓心角(或這條弧)的大小，而1°的角是周角的「一；第三，無論是以“弧度”還

360

是以“度”為單位，角的大小都是一個(gè)與半徑大小無關(guān)的定值.教師要強(qiáng)調(diào)為了讓學(xué)生習(xí)慣

使用弧度制，本教科書在后續(xù)的內(nèi)容中盡量采用弧度制.

討論結(jié)果:①完全重合,因?yàn)槎际?弧度的角.

;將角度化為弧度：360°=2nrad,1°=—rad^0.01745rad,將弧度化為角

r180

1QQ

度：2丸rad=360°,1rad=(——)°257.30。=57。18’.弧度制與角度制的換算公式:設(shè)一

71

個(gè)角的弧度數(shù)為arad=(U也)°,n°=n^—(rad).

71180

提出問題

問題①:引入弧度之后，在平面直角坐標(biāo)系中，終邊相同的角應(yīng)該怎么用弧度來表示？扇

形的面積與弧長(zhǎng)公式用弧度怎么表示？

問題②:填寫下列的表格，找出某種規(guī)律.

部的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向NA0B的弧度數(shù)ZA0B的度數(shù)

乃r逆時(shí)針方向

2nr逆時(shí)針方向

R1

2r-2

0

180°

360°

活動(dòng):教師先給學(xué)生說明教科書上為什么設(shè)置這個(gè)“探究”？其意圖是先根據(jù)所給圖象

對(duì)一些特殊角填表,然后概括出一般情況.教師讓學(xué)生互動(dòng)起來，討論并總結(jié)出規(guī)律,提問學(xué)

生的總結(jié)情況,讓學(xué)生板書，教師對(duì)做正確的學(xué)生給予表?yè)P(yáng),對(duì)沒有總結(jié)完全的學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單

的提示.檢查完畢后,教師做個(gè)總結(jié).

由上表可知，如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角Q所對(duì)的弧長(zhǎng)是1,那么a的弧度數(shù)的絕

對(duì)值是,這里,應(yīng)當(dāng)注意從數(shù)學(xué)思想的高度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“換算”問題，即角度制、弧度制

a

都是角的度最制，那么它們一定可以換算.推而廣之，同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象用不同方式表示時(shí)，它

們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識(shí)這種聯(lián)系性也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.

教師給學(xué)生指出，角的概念推廣后,在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)

應(yīng)關(guān)系:每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng);反過來,每一個(gè)實(shí)數(shù)也

都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng).值得注意的是：今后在表示與先

a終邊相同的角時(shí)，有弧度制與角度制兩種單位制，要根據(jù)角a的單位來決定另一項(xiàng)的單位,

即兩項(xiàng)所用的單位制必須一致,絕對(duì)不能出現(xiàn)k?360°+工或者2kJr+60°一類的寫法.在弧

3

度制中，與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可以寫戌B=Q+2kJi(k￡Z)的形式.如圖2

為角的集合與實(shí)數(shù)集R之訶的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

討論結(jié)果:①與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可以寫成B=a+2kn(k￡Z)的形式.弧

度制下關(guān)于扇形的公式為1=aR,S=-aR2,S=-1R.

22

②

前的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向ZA0B的弧度數(shù)ZAOB的度數(shù)

JIr逆時(shí)針方向n180°

2nr逆時(shí)針方向2n360a

R逆時(shí)針方向157.3°

2r順時(shí)針方向2114.6°

JTr順時(shí)針方向-n-180°

0未旋轉(zhuǎn)00°

Jir逆時(shí)針方向n180°

2Jir逆時(shí)針方向2n360°

應(yīng)用示例

例1下列諸命題中，真命題是（）

A.一弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧

B.一弧度是長(zhǎng)度為半徑的孤

C.一弧度是一度的弧與一度的角之和

D.一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角，它是角的一種度量單位

活動(dòng)：木例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下理解弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別，以達(dá)到熟

練掌握定義.從實(shí)際教學(xué)上看，弧度制不難理解,學(xué)生結(jié)合角度制很容易記住.

根據(jù)弧度制的定義:我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧和所對(duì)的圓心角叫做一弧度的角.對(duì)照各項(xiàng),

可知D為真命題.

答案:D

點(diǎn)評(píng):本題考查弧度制下角的度量單位：1弧度的概念.

變式訓(xùn)練

下列四個(gè)命題中，不正確的一個(gè)是（）

A.半圓所對(duì)的圓心角是兀rad

B.周角的大小是2n

C.1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑

D.長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度

答案:D

例2將下列用弧度制表示的角化為2kn+a（kGZ,a￡[0,2兀））的形式，并指出它們所在的

象限:①-叱；@-20;?-2V3.

43

活動(dòng)：本題的目的是讓學(xué)生理解什么是終邊相同的角，教師給予指導(dǎo)并討論歸納出一般

規(guī)律.即終邊在x軸、y軸上的角的集合分別是：If3=kn,keZ},（3|￡=kn,kGZ}.

2

第一、二、三、四象限角的集合分別為：

{BI2kJi<f3<2kn+—,keZ},

2

jr

{BI2kn+—<p<2kJi+i.kEZ）,

2

{PI2kit+Ji<B〈2kJI+jkwZ},

2

{BI2kn+—<p<2kn42Ji,keZ).

2

解:①一比=-4n是第一象限角.

44

②三土=10n+二，是第二象限角.

43

@-20=-3X6.28-1.16,是第四象限角.

④-233.464,是第二象限角.

點(diǎn)評(píng):在這類題中對(duì)于含有Ji的弧度數(shù)表示的角，我們先將它化為2kn+a(kWZ,a￡

[0,2"))的形式，再根據(jù)a角終邊所在的位置進(jìn)行判斷，對(duì)于不含有n的弧度數(shù)表示的角，

取n=3.14,化為kX6.28+Q,k￡Z,IaI仁[0,6.28)的形式，通過a與工，n,—比較大

22

小，估計(jì)出角所在的象限.

變式訓(xùn)練

(1)把-1480。寫成2kn+a(keZ,ae[0,2〉))的形式;

⑵若Bc[4兀，0),且3與(1)中a終邊相同，求B.

解:⑴J48。。=.華一。"啜0W167r

<2n,

9

A-l480°=2(-5)n+—.

9

(2)VB與a終邊相同，??.B=2kJT+啊，k￡Z.

9

又???Be[-4^0),/.^=--,P=--.

929

例3已知(KO<2Ji,且0與70相同求0.

活動(dòng):本例Fl的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下會(huì)用弧度制求終邊相同的角，并通過獨(dú)立完成

課后練習(xí)真正領(lǐng)悟弧度制的要領(lǐng),最終達(dá)到熟練掌握.從實(shí)際教學(xué)來看,用弧度制解決角的問

題要很容易卻難掌握，很有可能記錯(cuò)或者混淆或者化簡(jiǎn)錯(cuò)誤，學(xué)生需多做些這方面的題來練

基本功.可先讓學(xué)生多做相應(yīng)的隨堂練習(xí)，在黑板上當(dāng)場(chǎng)演練,教師給予批改指導(dǎo)，對(duì)?易出錯(cuò)

的地方特別強(qiáng)調(diào).對(duì)學(xué)生已現(xiàn)的種種失誤，教師不要著急,在學(xué)生的練習(xí)操作中一一糾正，這

對(duì)以后學(xué)習(xí)大有好處.

k

解：由已知，得79=2kn+g,k￡Z,即69=2kn..??9=-n.

3

k

XV0<0<2n,.".0<—n<23i.

3

LZ,當(dāng)k=l、2、3、4、5時(shí),0=—>紅、”、—.—.

3333

點(diǎn)評(píng):本題是在??定的約束條件下，求與角a終邊相同的角，一般地，首先將這樣的角表

示為2k"a(kGZ,a￡[0,2兀))的形式，然后在約束條件下確定k的值，進(jìn)而求適合條件

的角.

例4已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為a,求當(dāng)扇形的圓心角多大時(shí)，扇形的面積最大，并求這個(gè)最大

值.

活動(dòng):這是一道應(yīng)用題，并且考查了函數(shù)思想,教師提示學(xué)生回顧一下用函數(shù)法求最值的

思路與步驟,教師提問學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握和鞏固，并對(duì)回答好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不

全面的學(xué)生給予一定的提示和鼓勵(lì).教師補(bǔ)充，函數(shù)法求最值所包括的五個(gè)基本環(huán)節(jié)：(1)選

取自變量；(2)建立目標(biāo)函數(shù)；(3)指出函數(shù)的定義域；(4)求函數(shù)的最值；(5)作出相應(yīng)結(jié)論.其

中自變量的選取不唯一,建立目標(biāo)函數(shù)結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行，函數(shù)定義域要根據(jù)題意確定，有些

函數(shù)是結(jié)構(gòu)確定求最值的方法，并確保在定義域內(nèi)能取到最值.

解:設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為1,半徑為r,圓心角為a，面積為S.

由已知，2r+l=a,即l=a-2r.

S=—1,r=—(a-2r)?r=-r2+—r=-(r--)2+—.

222416

Vr>0,l=a-2r>0,.\0<r<-.

c

L

:、當(dāng)r=一時(shí)，Smx=一_.

416

此時(shí)，l=a-2,—=—,a=—=2.

42r

2

故當(dāng)扇形的圓心角為2rad時(shí),扇形的面積取最大值幺.

16

點(diǎn)評(píng):這是一個(gè)最大值問題,可用函數(shù)法求解,即將扇形的面積S表示成某個(gè)變量的函數(shù),

然后求這個(gè)函數(shù)的最大值及相應(yīng)的圓心角.

變式訓(xùn)練

已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為——+4,圓心角為80°,求這個(gè)扇形的面積.

9

7T4乃

解:設(shè)扇形的半徑為r,面枳為S,由已知知道,扇形的圓心角為80X—=—,

工扇形的弧長(zhǎng)為---r,由已知，---r+2r=—+4,/.r=2.

999

AS=--如.故身形的面積為竺.

2999

點(diǎn)評(píng):求扇形的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.相反，也

可由扇形的面積結(jié)合其他條件，求扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng).解題時(shí)要注意公式的靈活變形

及方程思想的運(yùn)用.

知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí).

解答:L(1)生；(2)—2”；(3)駟.

863

點(diǎn)評(píng):能進(jìn)行角度與弧度的換算.

2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.

點(diǎn)評(píng):能進(jìn)行弧度與角度的換算.

7T

3.(1){?|a=kJi,keZ};(2){a|a=—+kn,k&Z).

2

點(diǎn)評(píng):用弧度制表示終邊分別在X軸和y軸上的角的集合.

4.(l)cosO.75°>cosO.75;(2)tan1.2°<tan1.2.

點(diǎn)評(píng):體會(huì)同數(shù)值不同單位的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值可能不同，并進(jìn)一步認(rèn)識(shí)兩種單位制.

注意在用計(jì)算器求三角函數(shù)值之前，要先對(duì)計(jì)算器中角的模式進(jìn)行設(shè)置.如求cos().7E。之

前,要將角模式設(shè)置為DEG(角度制)