平面直角坐標系中的一些簡便的計算一任何函數(shù)圖像上的任意倆點的斜率求法（以二次函數(shù)舉例）已知，A（x1,y1）和B（x2,y2）是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像上的倆點，求AB的斜率。方法一：一般方法（適用于A,和B倆點坐標是數(shù)字）K=(y2-y1)/(x2-x1)方法二：（適用于A和B倆點坐標是字母）K=a(x2+x1)+b推導(dǎo)：k=(y2-y1)/(x2-x1)=[(ax22+bx2+c)-(ax12-bx2+c)]/(x2-x1)=[a(x22-x12)+b(x2-x1)]/(x2-x1)=a(x1+x2)+b注意：此處的x2和x1不是二次方程的倆根。另外：方法二適用任何函數(shù)，但其他函數(shù)形式不是a(x1+x2)+b二二次函數(shù)的倆根和解析式的關(guān)系對于任意一個二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)b2-4ac≥0時ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中x1和x2是函數(shù)圖像與x軸倆個交點的橫坐標同時也是方程ax2+bx+c=0的倆個根。另外：y=ax2+bx+c中的c是函數(shù)圖像與y軸交點的縱坐標對稱軸為y=(x1+x2)/2因為ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)所以b=-a(x1+x2),c=ax1x2例如：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c與坐標軸的交點分別為A(-2,0),B(4,0),C（0,8）求該二次函數(shù)頂點坐標。解：根據(jù)二次函數(shù)圖像與坐標軸的交點關(guān)系，可知y=a(x+2)(x-4)-2*4*a=8所以y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8頂點坐標為[（-2+4）/2,(22+32)/-4]=(1,-9)三二次函數(shù)圖像上任意一點與固定直線的距離的算法已知直線AB：y=kx+b和二次函數(shù)y=ax2+mx+n,P為二次函數(shù)上一動點，求P到AB的距離的最小值。解：方法一(是上一個教程里的一般方法)第一步：過P作y軸的平行線與AB交于F，過P作PE⊥AB，垂足為E第二步：通過P的坐標求出F的坐標，然后求出PF的距離（縱坐標之差）第三步：通過AB斜率k求出∠EFP的正弦值為1/√(1+k2）第四步：PE=PF*1/√(1+k2）方法二第一步：平移AB到CD，設(shè)CD的解析式為y=kx+b1第二步：計算ax2+mx+n-（kx+b1）得到一個新的一元二次方程第三步：令這個新的一元二次方程只有一個實數(shù)根，并且計算出b1的值和這個唯一的根第四步：這個根就是所求的P的橫坐標，注意：方法一適用于求點P到AB距離的表達式，然后討論表達式的最小值，方法二適用于直接求P到AB距離的最小值思考：1在方法二中，為什么要平移直線AB到CD，直線CD和二次函數(shù)是什么關(guān)系呢？（相切）2為什么令新函數(shù)y=ax2+mx+n-（kx+b1）只有一個根呢？（相切時，只有一個交點）3新函數(shù)y=ax2+mx+n-（kx+b1）只有一個根的話，必須滿足什么條件呢？（判別式=0）4判別式=0，可以求出什么呢？因外a,m,n,k是已知的，（m-k）2-4a(n-b1)=0,可得b1的值5P到AB的距離最小值和b1是什么關(guān)系呢？距離d=|b-b1|*1/√(1+k2）6P的坐標到底是什么呢？P的橫坐標是y=ax2+mx+n-（kx+b1）的唯一根找點壓軸題來練下手解：（1）利用y=a(x-x1)(x-x2)L1:y=-1/2*(x+4)(x+1)=-x2/2-5x/2-2L2:y=-1/2*(x+1)(x-4)=-x2/2+3x/2+2(2)倆直線垂直，斜率的積=-1當(dāng)a=-1時L1：y=-1(x+4)(x-m)=-x2+(m-4)x+4mL2:y=-1(x-m)(x-4)=-x2-(m+4)x-4mD的橫坐標為(m-4)/2,E的橫坐標為（m+4）/2所以直線AD的斜率kAD=-[-4+(m-4)/2]+m-4=(m+4)/2利用[k=a(x1+x2)+b]同理直線BE的斜率kBE=(m-4)/2由題意可知(m+4)/2*(m-4)/2=-1，即m2=12解得m=±2√3（3）L1:y=a(x+4)(x-m)=ax2+a(4-m)x-4amL2:y=a(x-m)(x-4)=ax2-a(4+m)x+4am由（2）可知KAD=a(-4-m)/2KBE=-a(4-m)/2KAD*kBE=a2(m2-16)/4當(dāng)a2(16-m2)/4=-1時,m2=16-4/a2根據(jù)題意，當(dāng)16-4/a2＜0，不論m取和值，都不成立所以-1/2＜a＜0所以當(dāng)a=-1/100和a=-1/99時，AF和BF不可能垂直。解（1）由直線AB和坐標軸的交點可知：直線的解析式為y=3x/4+3(2)分析：要求證的是d關(guān)于x的解析式，所以我們采用方法一設(shè)P的坐標為（x,-x2+2x+1）,過P作y的平行線于AB交于F，過P作PE⊥AB于E所以F的坐標為（x,3x/4+3）所以PF的長度為-x2+2x+1-3x/4-3=-x2+5x/4-2由勾股定理可知AB=5又因PEF∽AOB所以PE：PF=4/5，PE=4PF/5所以PE=(-x2+5x/4-2)*4/5=-4x2/5+x-8/5d=-4x2/5+x-8/5由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x=-1/2*(-4/5)=5/8時，d取得最小值所以P的坐標為（5/8,61/8）所以d關(guān)于x的解析式為d=-4x2/5+x-8/5,d取得最小值時p的坐標為（5/8,61/8）（3）將軍飲馬型（牧童飲牛型）二次函數(shù)y=-x2+2x+1的對稱軸為x=1作C（0,1）關(guān)于x=1的對稱