#/7課題:2.2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和授課教師:南京市金陵中學(xué)王友偉教材:蘇教版必修5一、教學(xué)目標(biāo)1經(jīng)歷探索等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過(guò)程,體會(huì)化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想,掌握倒序相加求和法,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn);2．理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及不同形式,能夠靈活選用恰當(dāng)?shù)男问浇鉀Q問(wèn)題;二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)難點(diǎn):從圖形直觀的角度分析等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式.三、教學(xué)方法與教學(xué)手段啟發(fā)式教學(xué),探究式學(xué)習(xí),多媒體輔助教學(xué)．四、教學(xué)過(guò)程1.創(chuàng)設(shè)情境,引入課題前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列,研究了一種特殊的數(shù)列——等差數(shù)列,與學(xué)生一起回顧等差數(shù)列中的相關(guān)知識(shí).等差數(shù)列的定義：a"*廠a"=d(nwN)(a1是首項(xiàng),d是公差,n是項(xiàng)數(shù))等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;a二Q］+(n—l)d(nwN*,n±2)［設(shè)計(jì)意圖］通過(guò)復(fù)習(xí),幫助學(xué)生梳理知識(shí)框架,教會(huì)學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)的一般方法,同時(shí)為接下來(lái)應(yīng)用基本量分析具體的數(shù)列做鋪墊(播放閱兵視頻)我們能否從數(shù)列的視角重新看我們的閱兵隊(duì)列［設(shè)計(jì)意圖］緊貼時(shí)事與生活,在激發(fā)學(xué)生愛國(guó)熱情的同時(shí),讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)重新觀察世界,思考問(wèn)題.給出視頻中的幾個(gè)隊(duì)列變化的畫面,抽象成點(diǎn)陣如下：★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★J*-iiiifiiiiimnaa:rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr★'★?★?★**★?★?★*★?★?★*★*★?★?如★'★?★?★★?★?★?★★?★?★?★?★?★?★■★?★?#■★*★★】*****★:::rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr*★■?★★★★★婦********************-*★*?*★★★★★***★★**************匸★**★★**★★*★★★*★★?*★★★★*★★?★*★★★★★★★★*★★★*★****★***★?★*★*?★★*'rrrrrr*:xisiiiinaminammi"r-rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr-***★-*****f:f,:f,r,rr,:f,r,7T-★-★'★■★?★■★■★■★?★■★■★■★■★'★?★■★■★'★?★?*tfanurt"★★★★★★★★★★★★★★★★J:::?:r:J:r*r::…:;J:I:fI:r:f*'r:"ririr*ri★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★J★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★以第三幅圖中的藍(lán)色區(qū)域?yàn)槔?進(jìn)行研究問(wèn)題:對(duì)于這個(gè)方陣,你能用數(shù)列的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題嗎?［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生嘗試著去尋找隊(duì)列的人數(shù)與數(shù)列的關(guān)系,內(nèi)化等差數(shù)列中的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差等概念,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行描述,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察的能力,和從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)的能力同時(shí),讓學(xué)生自行提出問(wèn)題進(jìn)行研究,感受到研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和并不是“心血來(lái)潮",而是有據(jù)可依.2．探索質(zhì)詢,追根溯源(1)構(gòu)建研究方法問(wèn)題2:如何求這個(gè)區(qū)域的總?cè)藬?shù)?嘗試用多種方法（學(xué)生分組討論,5分鐘后小組匯報(bào)）S2］=3+4——22+23(預(yù)設(shè)方案1)從數(shù)的角度:3+23=4+22+-=12+143＋23X10+13=2731**￥￥￥***￥￥￥￥**￥******￥￥￥￥**￥￥￥*￥￥￥平竽平竽平早平平￥*竽￥*￥*￥￥*￥?￥￥*平￥￥*￥￥￥￥*￥￥**￥*#1**￥￥￥***￥￥￥￥**￥******￥￥￥￥**￥￥￥*￥￥￥平竽平竽平早平平￥*竽￥*￥*￥￥*￥?￥￥*平￥￥*￥￥￥￥*￥￥**￥*#**￥￥>￥■竽早歎★￥￥￥￥￥￥￥￥★★尢￥￥*￥*★★★★★★舉★★★★★★★★★■★★★★★★★★★★土★★★★★★★★★丈★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★*★★★*從數(shù)的角度:3+22=4+21=T2+133+22X10+23=273(預(yù)設(shè)方案3)從數(shù)的角度:S21=3+4+-+22+23S21=23+22+——4+32S21=(3+23)+(4+22)——(22+4)+(23+3)S=3+23S212X21★★★★★★*★★★★★★★★★★★★★★★★辛★★★★★★★★★衣:★★去★★★★★★*★★★★★★★★★★★★★★★★辛★★★★★★★★★衣:★★去★★★★★■★★★★★★■★★■★★★★*★★★★★★*★★★★★★★★★★★★★★★■★■★'★★★★★★★★★丈★★★★★★★★★尢、*★★★★★★★★★■★★★★★￡*★★★■★★★★★★★★★★*★★★★￡［設(shè)計(jì)意圖］因?yàn)楹芏鄬W(xué)生在小學(xué)的奧數(shù)中已經(jīng)"學(xué)習(xí)"了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式,但是對(duì)公式背后的意義并不是非常理解,尤其是對(duì)配對(duì)的思想更是一知半解,所以這個(gè)問(wèn)題中設(shè)定了奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列求和,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)配對(duì)時(shí)可能出現(xiàn)不是整數(shù)對(duì)的情形,也為接下來(lái)的奇偶項(xiàng)的討論和"倒序相加法"做好鋪墊.預(yù)設(shè)方案幾何角度:切掉左邊的兩列S91=2X21+1+2+-+21=2X21+^21X21212預(yù)設(shè)方案幾何角度:切掉左邊的三列S21=3X21+1+2+^+20=3X21+(1+20)X10［設(shè)計(jì)意圖］左邊設(shè)置的常數(shù)列,讓學(xué)生感受到相同的數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化成乘法,呼應(yīng)了前面"配對(duì)"的思想.在學(xué)生已經(jīng)擁有了"補(bǔ)"的方法后再拋出這一問(wèn)題,比較自然的引出了"割"這樣的方法,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從幾何角度給出不同的解釋,也為等差數(shù)列前n項(xiàng)和的第二種形式的推導(dǎo)做鋪墊.［設(shè)計(jì)意圖］這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì),讓學(xué)生充分感受到可以從數(shù)和形兩個(gè)角度對(duì)一個(gè)等差數(shù)列進(jìn)行求和,經(jīng)歷自行動(dòng)手推導(dǎo)的過(guò)程,感受配對(duì)思想在計(jì)算中的帶來(lái)的便捷,同時(shí)感受到可以使用“割”“補(bǔ)”方法對(duì)其進(jìn)行分析計(jì)算,為接下來(lái)探求一般的等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和奠定基礎(chǔ).(2)自主探究匯報(bào)交流問(wèn)題3:如何推導(dǎo)出等差數(shù)列｛a^的前n項(xiàng)之和Sn的公式追問(wèn):對(duì)于一個(gè)數(shù)列,已知哪些量可以求和?已知a,a,n；1n已知a1,d,n.追問(wèn)：已知a.,a,n,如何推出？1n小組討論,分鐘后小組匯報(bào)預(yù)設(shè)方案S+...+a’+a,①TOC\o"1-5"\h\zn12n－1nS=a+a’+...+a^+a,②nnn－121①+②相加得:2S=(a,+a)+(a2+a,)+.+(a+a,)=n(a,+a),12－111n(a+a)所以S=12.n2預(yù)設(shè)方案S=a+a+.+a+a\o"CurrentDocument"12－1n為偶數(shù)時(shí),Sn=(a1+an)+(a2+a^1)+=(a1+an)2=―n為奇數(shù)時(shí),S=(a,+a)+(a2+a,)+…+a_n1n2n—1n+1

/,、n—1|(a1+a丿—(a1+an)^T+2二n(aj+a")—2［階段總結(jié)］我們運(yùn)用倒序相加法得到了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式,其中的配對(duì)思想就是數(shù)學(xué)中的化歸思想,將不同的數(shù)轉(zhuǎn)化成相同的數(shù)相加,從而可以將加法轉(zhuǎn)化為成為進(jìn)行計(jì)算.［設(shè)計(jì)意圖］研究完具體數(shù)列的求和后,讓學(xué)生將掌握的方法遷移到一般的等差數(shù)列｛an｝中,繼續(xù)內(nèi)化“倒序相加法",并用最后兩個(gè)追問(wèn)讓學(xué)生真正理解為何要配對(duì),為何能配對(duì)(要證明).追問(wèn):已知a1,d,n,如何推出？預(yù)設(shè)方案Sn=a]+(a]+d)+(a]+2d)+...+[a]+(n—1)d]=nd]+[1+2+…+(n—1)]d_,n(n-1)—na】+2d追問(wèn):能否找到幾何解釋所對(duì)應(yīng)的圖形［階段總結(jié)］我們運(yùn)用"切割法"(分組求和)的方法得到了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的另外一種形式,其中d+2d+3d+..+(n-1)d還是化歸成了1+2++(n—1)的問(wèn)題.［設(shè)計(jì)意圖］從"割"的角度給出了公式的形象化解釋,也讓學(xué)生感受到等差數(shù)列的求和問(wèn)題其實(shí)就可以劃歸為"1+2+……+n"的問(wèn)題,體現(xiàn)出了化歸的思想.追問(wèn):兩個(gè)公式等價(jià)嗎?［設(shè)計(jì)意圖］通過(guò)這一問(wèn)題,讓學(xué)生觀察兩個(gè)公式的特點(diǎn),進(jìn)而發(fā)現(xiàn)兩公式的區(qū)別,即公式①中出現(xiàn)a,而公式②中出現(xiàn)d,為后面選擇恰當(dāng)?shù)墓浇鉀Q問(wèn)題做好n鋪墊.同時(shí),也讓學(xué)生感受到公式①中的a是由a.和d決定的,體會(huì)a.和d兩個(gè)n11基本量的地位與作用.追問(wèn):對(duì)比幾種推導(dǎo)S的方法,你覺得哪種方法簡(jiǎn)潔?n［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生重新回顧幾種推導(dǎo)方法,經(jīng)過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn),前幾種配對(duì)的方法中,最簡(jiǎn)約的是倒序相加法,而已知a,,d,n推導(dǎo)S的方法其實(shí)歸根結(jié)底就是11n+2+.+n的問(wèn)題,而1+2+...+n問(wèn)題最簡(jiǎn)約的解法還是倒序相加法.經(jīng)過(guò)這樣的分析,讓學(xué)生明白,推導(dǎo)公式其實(shí)還是為了追求簡(jiǎn)約,追求簡(jiǎn)約是數(shù)學(xué)研究的一大基本原則3.新知運(yùn)用,鞏固深化例1在等差數(shù)列｛a｝中,前n項(xiàng)之和為Snn(1)已知a1—2,a30—90,求S;(2)已知。］=5,d=3,求S12［設(shè)計(jì)意圖］通過(guò)例題,讓學(xué)生鞏固公式,會(huì)根據(jù)題設(shè)條件合理地選用公式.通過(guò)追問(wèn),讓學(xué)生體會(huì)n,a1,d,a,S這五個(gè)量,可以知三求二,從而加深學(xué)生對(duì)1nn公式的理解與運(yùn)用.同時(shí),對(duì)于公式的選擇,其原則還是追求簡(jiǎn)約例2求出下列各區(qū)域的總?cè)藬?shù).★★?★tiw***************************************T********************************************amai^****************************★★?★tiw***************************************T********************************************amai^****************************

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