高等工程流體力學(xué)1高等工程流體力學(xué)1流體力學(xué)的基本認(rèn)識與基本內(nèi)容2流體力學(xué)的基本認(rèn)識與基本內(nèi)容2工程熱物理基礎(chǔ)物質(zhì)狀態(tài)傳熱學(xué)流體力學(xué)物質(zhì)傳遞[宏觀]熱力學(xué)能量傳遞流體力學(xué)地位3工程熱物理基礎(chǔ)物質(zhì)狀態(tài)傳熱學(xué)流體力學(xué)物質(zhì)傳遞[宏觀]熱力學(xué)能流體性質(zhì)流體基本性質(zhì)（與固體相對應(yīng)）流體分類理想流體，粘性流體不可壓流體，可壓縮流體單相流體，多相流體牛頓流體，非牛頓流體正常流體，稀薄流體4流體性質(zhì)流體基本性質(zhì)（與固體相對應(yīng)）4流體力學(xué)理想流體力學(xué)粘性流體力學(xué)可壓縮流體力學(xué)多相流體力學(xué)非牛頓流體稀薄氣體流體力學(xué)微尺度流體力學(xué)磁流體力學(xué)工程流體力學(xué)基礎(chǔ)氣動力學(xué)生物流體力學(xué)葉輪機(jī)械流體力學(xué)海洋流體力學(xué)兩相流體力學(xué)5流體力學(xué)理想流體力學(xué)工程流體力學(xué)基礎(chǔ)氣動力學(xué)5教科書

高等工程流體力學(xué)，張鳴遠(yuǎn)、景思睿、李國君編著，西安交通大學(xué)出版社，2006年7月，西安主要參考書流體力學(xué)，張兆順，崔貴香，清華大學(xué)出版社，2006，北京其他參考書FundamentalMechanicsofFluids,I.G.Curries,3rdEdition,MarcelDekker,Inc.,2003，NewYork流體力學(xué)，吳望一編著，北京大學(xué)出版社，1995，北京流體力學(xué)，周光炯等編著，高教出版社，2002，北京高等工程流體力學(xué)練習(xí)題解，張鳴遠(yuǎn)編著，2008，西安交通大學(xué)出版社，西安6教科書其他參考書6先修課程本科生流體力學(xué)高等數(shù)學(xué)微積分微分方程矢量分析，場論數(shù)理方程，復(fù)變函數(shù)工程熱力學(xué)7先修課程7本科流體力學(xué)研究生流體力學(xué)基本物理概念理論分析

流體、粘性、可壓縮性系統(tǒng)推導(dǎo)控制方程組積分方程（宏觀） 微分方程（微觀）動量定理，邊界層方程速度場，壓強(qiáng)場定常流動 非定常流動

伯努利方程，非定常，非慣性系，一維流動 多維流動

一維等熵流動可壓縮流體平面勢流流動基本無紊流介紹 紊流工程師

科學(xué)研究人員8本科流體力學(xué)研究生流體力學(xué)基本物理概念本課程主要內(nèi)容流體力學(xué)基本概念、方程與定理（重點(diǎn)）理想不可壓流體流動（掌握）粘性不可壓縮流體流動（重點(diǎn)）理想可壓縮流體流動（了解）實(shí)際流體的流動（介紹）水波動力學(xué)，多相流體，血液流動流體力學(xué)數(shù)值模擬（介紹）9本課程主要內(nèi)容9第一部分流體力學(xué)的控制方程第一章流體力學(xué)的基本概念10第一部分流體力學(xué)的控制方程10流體力學(xué)基本概念拉格朗日參考系與歐拉參考系跡線、流線、脈線物質(zhì)導(dǎo)數(shù)速度分解定理有旋運(yùn)動概念物質(zhì)積分隨體導(dǎo)數(shù)-----雷諾輸運(yùn)方程張量基本概念[附錄]應(yīng)力張量本構(gòu)方程11流體力學(xué)基本概念拉格朗日參考系與歐拉參考系11第一部分流體力學(xué)的控制方程第一章流體力學(xué)的基本概念12第一部分流體力學(xué)的控制方程121.1歐拉和拉格朗日參考系連續(xù)介質(zhì)假說

流體由無窮多的流體質(zhì)點(diǎn)連續(xù)無間隙地組成。流體質(zhì)點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)是在流體力學(xué)中研究的最小單元。當(dāng)討論流體速度、密度等變量時，實(shí)際上是指流體質(zhì)點(diǎn)的速度和密度。由確定流體分子組成的流體團(tuán)。流體質(zhì)點(diǎn)的體積在微觀上充分大，在宏觀上充分小。

131.1歐拉和拉格朗日參考系連續(xù)介質(zhì)假說流體由無窮多的流拉格朗日參考系理論力學(xué)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，14拉格朗日參考系理論力學(xué)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，14流體中有無數(shù)多流體質(zhì)點(diǎn)，需加以區(qū)別，以t=t0

時刻流體質(zhì)點(diǎn)空間位置的坐標(biāo)，，作為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)號，物理量，

改變,t不變，表示同一時刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置或相關(guān)變量；t改變,

不變，表示同一流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置或相關(guān)變量隨時間的變化。拉格朗日參考系15流體中有無數(shù)多流體質(zhì)點(diǎn)，需加以區(qū)別，以t=t0物理量上式括號內(nèi)的自變量表示，它的指標(biāo)j并非自由指標(biāo)，只表示在其取值范圍內(nèi)逐一取值。張量下標(biāo)表示法拉格朗日參考系16物理量上式括號內(nèi)的自變量表示歐拉參考系改變,t不變，表示同一時刻不同空間點(diǎn)上的場變量；t改變,不變，表示同一空間點(diǎn)上的場變量隨時間的變化。當(dāng)采用歐拉參考系時，就定義了空間的場?；蚬こ态F(xiàn)場或?qū)嶒?yàn)室測量速度、溫度、壓強(qiáng)等；氣象站測量空氣速度、溫度、濕度；此時速度、溫度、密度、壓強(qiáng)等是空間點(diǎn)和時間的函數(shù)。17歐拉參考系改變,t不在歐拉參考系中x,y,z,t是相互間無函數(shù)關(guān)系的獨(dú)立變量。在拉格朗日參考系中x,y,z不再是獨(dú)立變量，他們都是時間t和的函數(shù)，x-x0=u(t-t0)y-y0=v(t-t0）z-z0=w(t-t0)歐拉參考系18在歐拉參考系中x,y,z,t是相互間無函數(shù)關(guān)系的獨(dú)流體微團(tuán)體積變化和雅克比行列式在上述微分中t可視為常數(shù)。19流體微團(tuán)體積變化和雅克比行列式在上述微分中t可視為常數(shù)。流體微團(tuán)體積變化和雅克比行列式20流體微團(tuán)體積變化和雅克比行列式20雅克比行列式J表示一流體微團(tuán)或流體質(zhì)點(diǎn)在t時刻和初始時刻t0的體積之比，也表示初始時刻t0和時刻t的密度比。流體微團(tuán)體積變化和雅克比行列式質(zhì)量守恒，21雅克比行列式J表示一流體微團(tuán)或流體質(zhì)點(diǎn)在t時刻和初兩種參考系的轉(zhuǎn)換由于行列式J表示同一流體質(zhì)點(diǎn)在時刻t和初始時刻t0的體積之比，因此總是一個有限大的正數(shù)，于是從數(shù)學(xué)上講上述函數(shù)和反函數(shù)總是存在的。22兩種參考系的轉(zhuǎn)換由于行列式J表示同一流體質(zhì)點(diǎn)在時刻t拉格朗日參考系轉(zhuǎn)換為歐拉參考系已知代入兩種參考系的轉(zhuǎn)換23拉格朗日參考系轉(zhuǎn)換為歐拉參考系已知代入兩種參考系的轉(zhuǎn)換23歐拉參考系轉(zhuǎn)換為拉格朗日參考系已知初始條件如已知代入兩種參考系的轉(zhuǎn)換24歐拉參考系轉(zhuǎn)換為拉格朗日參考系已知初始條件如已知代入兩種參考例1.

拉格朗日變數(shù)(x0,y0,z0)給出的流體運(yùn)動規(guī)律為1)

求以歐拉變數(shù)描述的速度場；2)

問流動是否定常；3)

求加速度。解:1)設(shè)速度場的三個分量是兩種參考系的轉(zhuǎn)換由題給流體運(yùn)動規(guī)律表示式，25例1.

拉格朗日變數(shù)(x0,y0,z0)給出的流體運(yùn)動2)歐拉表達(dá)式中包括變量t,是不定常流動。3)在拉格朗日參考系中求加速度兩種參考系的轉(zhuǎn)換262)歐拉表達(dá)式中包括變量t,是不定常流動。3)在拉1.2跡線、流線和脈線271.2跡線、流線和脈線271.2跡線、流線和脈線跡線是流體質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動過程中描繪出來的曲線，即軌跡。由上式可見一個流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量總是和該質(zhì)點(diǎn)的跡線相切，因此跡線也可以定義為始終與同一個流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量相切的曲線。跡線281.2跡線、流線和脈線跡線是流體質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動過程中由上式在以上方程組中是自變量。是流體質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)，因此都是的函數(shù)。跡線微分方程或求跡線是在拉格朗日參考系中進(jìn)行的。積分得初始條件即29在以上方程組中是自變量。消去得，由條件時，可解出解：積分得，例2設(shè)兩維流動求時刻通過（1，1）點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的跡線。跡線注：滿足上述速度分布的流場中有無數(shù)個流體質(zhì)點(diǎn)，于是有無數(shù)條跡線，本題只求其中一條。30消去得，由條件時流線流線是流場中的一條曲線，曲線上每一點(diǎn)的速度矢量方向和曲線在該點(diǎn)的切線方向相同。對于非定常流動，空間給定點(diǎn)的速度大小和方向隨時間而變化，因此談到流線總是指某一給定時刻的流線。31流線流線是流場中的一條曲線，曲線上每一點(diǎn)的速度矢量方向和曲線因?yàn)槭乔竽骋粫r刻的流線，可視時間t

為常數(shù)，積分以上方程組即得流線方程。積分在歐拉參考系中進(jìn)行，這時x,y,z,t是相互獨(dú)立的變量；微分方程流線32因?yàn)槭乔竽骋粫r刻的流線，可視時間t為常數(shù)，積分以上方程組即求通過(1,1)點(diǎn)的流線,令解出，于是例3設(shè)兩維流動，求時刻通過（1，1）點(diǎn)的流線。解：流線可見通過(1,1)點(diǎn)的流線隨時間不同而不同。在時刻33求通過(1,1)點(diǎn)的流線,令從流場中的一個固定點(diǎn)向流場中連續(xù)地注入與流體密度相同的染色液，該染色液形成一條纖細(xì)色線，稱為脈線。把相繼經(jīng)過流場同一空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)在某瞬時順序連接起來得到的一條線。脈線又稱煙線，染色線。脈線34從流場中的一個固定點(diǎn)向流場中連續(xù)地注入與流體密度相同的染色液初始條件，求

時刻從點(diǎn)進(jìn)入流場的流體質(zhì)點(diǎn)的跡線方程，即求

時刻通過點(diǎn)的跡線，脈線方程積分上述方程得，脈線35初始條件，求時刻從點(diǎn)進(jìn)入因此當(dāng)τ取的值時，方程即描繪出t時刻的脈線。t固定τ變化（）時，t瞬時前不同時刻τ經(jīng)由(x*,y*,z*

)點(diǎn)注入流場的不同流體質(zhì)點(diǎn)在t時刻的空間位置。脈線方程τ固定t變化（）時，τ時刻由點(diǎn)(x*,y*,z*)注入流場的一個流體質(zhì)點(diǎn)的跡線；不同的τ表示不同的跡線。脈線脈線切線與速度矢量方向不一定相同。36因此當(dāng)τ取的值時，方由條件時x=y=1可解出，解：由例2，當(dāng)τ取的值時，上式即通過（1，1）點(diǎn)的脈線參數(shù)方程。顯然在不同時刻（t取不同值時）脈線形狀也不同。消去得，在時刻，脈線例3設(shè)兩維流動，求時刻通過（1，1）點(diǎn)的脈線。37由條件時x=y=1可解在非定常流動條件下，三種曲線一般是不重合的。在定常流動條件下，三種曲線合而為一。例題小結(jié)流線和脈線都是t=0時刻流場中的一條線，跡線則表示了一個流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的歷史過程，從t=0一直到時刻t；38在非定常流動條件下，三種曲線一般是不重合的。例題小結(jié)流線和脈在流場內(nèi)作一非流線且不自相交的封閉曲線，在某一瞬時通過該曲線上各點(diǎn)的流線構(gòu)成一個管狀表面，稱流管。若流管的橫截面無限小，則稱流管元。流管表面由流線組成，所以流體不能穿過流管側(cè)面流進(jìn)流出，而只能從流管一端流入，而從另一端流出。流管39在流場內(nèi)作一非流線且不自相交的封閉曲線，在某一瞬時通過該曲線1.3物質(zhì)導(dǎo)數(shù)401.3物質(zhì)導(dǎo)數(shù)40在歐拉參考系下用表示流體質(zhì)點(diǎn)的速度變化。歐拉和拉格朗日參考系中的時間導(dǎo)數(shù)歐拉參考系：某一空間點(diǎn)上的流體速度隨時間的變化，稱當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)或局部導(dǎo)數(shù)。拉格朗日參考系：流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時間的變化，即加速度。1.3物質(zhì)導(dǎo)數(shù)41在歐拉參考系下用表示流體質(zhì)點(diǎn)的速度變化流體質(zhì)點(diǎn)的物理量隨時間的變化率。又稱質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，隨體導(dǎo)數(shù)。設(shè)場變量，則表示某一流體質(zhì)點(diǎn)的隨時間的變化。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)42流體質(zhì)點(diǎn)的物理量隨時間的變化率。又稱質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，隨體導(dǎo)數(shù)。物質(zhì)在歐拉參考系下的表達(dá)式（在歐拉參考系下推導(dǎo)）時刻，時刻，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)按定義可計(jì)算為，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)43在歐拉參考系下的表達(dá)式（在歐拉參考系下推導(dǎo)）時刻，時刻，物質(zhì)在歐拉參考系下的表達(dá)式（在拉格朗日參考系下推導(dǎo)）是流體質(zhì)點(diǎn)的某物理量，或?qū)憺橛谑俏镔|(zhì)導(dǎo)數(shù)44在歐拉參考系下的表達(dá)式（在拉格朗日參考系下推導(dǎo)）以矢量和張量下標(biāo)形式表示的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)算符物質(zhì)導(dǎo)數(shù)45以矢量和張量下標(biāo)形式表示的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)算符物質(zhì)導(dǎo)數(shù)45稱對流導(dǎo)數(shù)或位變導(dǎo)數(shù)，由于流體質(zhì)點(diǎn)在不均勻的

場內(nèi)移動而引起的物理量的變化，由場的不均勻性引起。歐拉參考系中的時間導(dǎo)數(shù)，稱局部導(dǎo)數(shù)或就地導(dǎo)數(shù)，表示空間某一點(diǎn)流體物理量隨時間的變化，由場的不定常性引起。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，隨體導(dǎo)數(shù)；物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物理意義參閱11頁。46稱對流導(dǎo)數(shù)或位變導(dǎo)數(shù)，由于流體質(zhì)點(diǎn)在不均勻的場內(nèi)移動而正交曲線坐標(biāo)系中物質(zhì)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式參閱附錄D,409，410頁。47正交曲線坐標(biāo)系中物質(zhì)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式參閱附錄D,409，410例5為研究城市的空氣污染情況，需測量某項(xiàng)污染指標(biāo)s隨時間的變化率，采用了三種方法：1)把測量探頭安裝在一高塔上；2)把探頭安裝在一直升飛機(jī)上，直升飛機(jī)速度為；3)把探頭安裝在一氣球上，設(shè)氣球隨氣流運(yùn)動，氣流速度為。試用數(shù)學(xué)公式分別表示上述三種方法的測量結(jié)果。2)直升飛機(jī)上探頭測得的s變化率應(yīng)等于的s當(dāng)?shù)刈兓始由蟬的空間變化率與直升飛機(jī)速度的乘積，3)由于氣球與空氣速度相同，氣球上探頭測得的s變化率就是s的隨體導(dǎo)數(shù)或物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，解：1）高塔探頭測得的是在流場某一固定點(diǎn)上s的隨時間的變化率，即s的當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù),48例5為研究城市的空氣污染情況，需測量某項(xiàng)污染指標(biāo)s隨例6考慮圖示收縮通道內(nèi)理想不可壓縮流體的一維定常流動，分別求歐拉和拉格朗日參考系內(nèi)的速度和加速度表達(dá)式。解：1)歐拉參考系。由不可壓縮流體，49例6考慮圖示收縮通道內(nèi)理想不可壓縮流體的一維定常流動，分2)在拉格朗日參考系中，欲求的是

t=0時刻從x=0出發(fā)的流體質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度表達(dá)式，分別對時間求1階和2階導(dǎo)數(shù)，

502)在拉格朗日參考系中，欲求的是t=0時刻從x1.4速度分解定理511.4速度分解定理51為流場中一任意點(diǎn)，為點(diǎn)鄰域內(nèi)另一點(diǎn)，如果速度場已知，則同一瞬時上述點(diǎn)對于點(diǎn)的相對運(yùn)動速度可計(jì)算如下：1.4

速度分解定理1.4.1速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量52為流場中一任意點(diǎn)，為點(diǎn)鄰域內(nèi)另一速度梯度張量速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量53速度梯度張量速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量53速度梯度張量速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量54速度梯度張量速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量54只有6個獨(dú)立分量，除對角線元素外，非對角線元素兩兩對應(yīng)相等，可表示為，是一個對稱張量。該張量描述流體微團(tuán)的變形運(yùn)動。應(yīng)變率張量速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量55只有6個獨(dú)立分量，除對角線元素外，非對角線元素兩只有3個獨(dú)立分量，對角線元素為零，非對角線元素兩兩互為負(fù)數(shù)，可表示為，是一個反對稱張量。該張量描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。旋轉(zhuǎn)率張量速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量56只有3個獨(dú)立分量，對角線元素為零，非對角線元素兩反對稱張量只有三個獨(dú)立分量，可看作一個矢量的三個分量，旋轉(zhuǎn)率張量速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量57反對稱張量只有三個獨(dú)立分量，可看作一個矢量的三個分旋轉(zhuǎn)率張量速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量58旋轉(zhuǎn)率張量速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量58表示由于流體微團(tuán)繞瞬時軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的點(diǎn)相對于M點(diǎn)的速度變化。表示由于流體微團(tuán)變形而產(chǎn)生的點(diǎn)相對于M點(diǎn)的速度變化。速度分解定理速度分解定理，應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量59表示由于流體微團(tuán)繞瞬時軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的點(diǎn)相對于M點(diǎn)只有AOBCBOCA1.4.2應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義相對伸長率60只有AOBCBOCA1.4.2應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理應(yīng)變率張量對角線分量表示與坐標(biāo)軸平行的線段元的相對伸長率。同理應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義相對伸長率61應(yīng)變率張量對角線分量表示與坐標(biāo)軸平行的線段元的相對伸長率。同相對體積膨脹率速度的散度等于流體微團(tuán)的相對體積膨脹率。應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義相對體積膨脹率意味著單位體積流體單位時間內(nèi)增加了多少體積，也可理解為單位時間有多少流體體積從單位體積內(nèi)流出。62相對體積膨脹率速度的散度等于流體微團(tuán)的相對體積膨脹率。應(yīng)變同樣可推得，旋轉(zhuǎn)角速度00BCABA應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義63同樣可推得，旋轉(zhuǎn)角速度00BCABA應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的流體微團(tuán)繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)的角速度，定義流體線OA和OB的角速度和的平均值為流體微團(tuán)繞z軸旋轉(zhuǎn)的角速度（逆時針為正）應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義旋轉(zhuǎn)角速度由旋轉(zhuǎn)率張量3個非零分量組成的矢量就是流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度，64流體微團(tuán)繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)的角速度，定義流體線O速度分解定理應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義旋轉(zhuǎn)角速度表示流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)引起的兩相鄰點(diǎn)間速度變化，這里認(rèn)為點(diǎn)周圍很小鄰域內(nèi)的流體像剛體一樣以角速度旋轉(zhuǎn)。剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動65速度分解定理應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義旋轉(zhuǎn)角速度表示流,OA和OB間夾角為

0BAx軸和y軸間夾角變形率，角變形率(剪切變形率)應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義應(yīng)變率張量的非對角線分量或表示分別與x軸和y軸平行的兩個微元線段元之間夾角變化率一半的負(fù)值。66,OA和OB間夾角為0BAx軸和y軸間夾角變形角變形率(剪切變形率)同樣可以推得，

S23或

S32

表示分別與y軸和z軸平行的兩個微元線段元之間夾角變化率一半的負(fù)值，S31或S13表示分別與z軸和x軸平行的兩個微元線段元之間夾角變化率一半的負(fù)值。應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義67角變形率(剪切變形率)同樣可以推得，S23或S3應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義速度分解定理給出線相對伸長率和剪切變形率對于流體微團(tuán)內(nèi)兩相鄰點(diǎn)間速度變化的貢獻(xiàn)。角變形率(剪切變形率)68應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義速度分解定理1)

流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度2)

應(yīng)變率張量

3)

旋轉(zhuǎn)率張量4)

變形速度和旋轉(zhuǎn)速度例7.設(shè)平面簡單剪切運(yùn)動的速度分布為，試求:

解:

1)2)691)

流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度例7.設(shè)平面簡單剪切運(yùn)動的3)4)5)703)4)5)70以上結(jié)果表明一個平面剪切運(yùn)動可以分解為一個剪切變形運(yùn)動和一個旋轉(zhuǎn)運(yùn)動,可以用下圖直觀的表示。71以上結(jié)果表明一個平面剪切運(yùn)動可以分解為一個剪切變形運(yùn)動和一個1.5有旋運(yùn)動的基本概念721.5有旋運(yùn)動的基本概念721.5有旋運(yùn)動的基本概念渦量速度的旋度稱為渦量渦量是流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍。731.5有旋運(yùn)動的基本概念渦量速度的旋度稱為渦量渦量是流體微有旋運(yùn)動與無旋運(yùn)動流場中處處渦量為零，稱勢流，或。否則稱有旋流動。勢流74有旋運(yùn)動與無旋運(yùn)動流場中處處渦量為零，稱勢流，有旋運(yùn)動與無旋運(yùn)動勢流流動是否有旋主要看流場中的流體微團(tuán)自身是否旋轉(zhuǎn)，而與其運(yùn)動軌跡無關(guān)。在點(diǎn)渦流動中流體微團(tuán)作圓周運(yùn)動，但其自身并不旋轉(zhuǎn)；在簡單剪切流動中，流體微團(tuán)作直線運(yùn)動，但自身卻作順時針方向的旋轉(zhuǎn)平面剪切流動點(diǎn)渦流動

參閱404頁。75有旋運(yùn)動與無旋運(yùn)動勢流流動是否有旋主要看流場中的流體微團(tuán)自身稱速度勢函數(shù)。易證以的梯度形式表示的速度場是無旋場，速度勢函數(shù)上式即為某一標(biāo)量函數(shù)全微分的充要條件，有旋運(yùn)動與無旋運(yùn)動76稱速度勢函數(shù)。易證以的梯度形式表示的速度場是無旋場，速度環(huán)量速度環(huán)量是流體繞封閉曲線旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度的度量，線積分沿逆時針方向進(jìn)行。速度環(huán)量和渦通量，斯托克斯公式渦通量77速度環(huán)量速度環(huán)量是流體繞封閉曲線旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度的度量，線積分沿逆時Stokes定理由于速度環(huán)量是線積分，被積函數(shù)是速度本身，而渦通量則是面積分，被積函數(shù)是速度的偏導(dǎo)數(shù)（渦量的分量以速度偏導(dǎo)數(shù)表示），因此利用速度環(huán)量常常比使用渦通量更為簡便。速度環(huán)量和渦通量，斯托克斯公式78Stokes定理由于速度環(huán)量是線積分，被積函數(shù)是速度本身，而渦線

流場中的一條曲線，曲線上各點(diǎn)的渦量矢量方向和曲線在該點(diǎn)的切線方向相同。渦管

在流場內(nèi)作一非渦線且不自相交的封閉曲線，在某瞬時通過該曲線上各點(diǎn)的渦線組成一管狀表面，稱渦管。渦管橫截面無限小時稱微元渦管。渦線、渦面和渦管渦面在渦量場內(nèi)取一非渦線的曲線，過曲線每一點(diǎn)作渦線，這些渦線組成的曲面稱渦面。在某一給定時刻，通過空間同一點(diǎn)的流線和渦線，一般來說方向不同。在平面流動和軸對稱流動中，流線與渦線正交。79渦線流場中的一條曲線，曲線上各點(diǎn)的渦量矢量方向和曲線在該矢量恒等式，渦量場內(nèi)無源無匯。渦量場的運(yùn)動學(xué)性質(zhì)

渦量場是無源場80矢量恒等式，渦量場內(nèi)無源無匯。渦量場的運(yùn)動學(xué)性質(zhì)渦量場是無渦線和渦管都不能在流體內(nèi)部中斷由于渦旋場是無源場，可以推斷，渦線和渦管都不能在流體內(nèi)部中斷。(如果發(fā)生中斷，取封閉曲面，將中斷處包在其中，則通過封閉曲面的渦通量將不為零，與無源場事實(shí)相矛盾)。渦線和渦管只能在流體中自行封閉，形成渦環(huán)，或?qū)⑵漕^尾搭在固壁或自由面，或延伸至無窮遠(yuǎn)。不可壓縮流體的速度場是無源場，因此流線和流管也不能在流體內(nèi)部終止，它們必須自行封閉，或延伸至無窮遠(yuǎn)，或?qū)⑵漕^尾搭在固壁或自由面上。渦量場的運(yùn)動學(xué)性質(zhì)

81渦線和渦管都不能在流體內(nèi)部中斷由于渦旋場是無源場，可以推斷，由，對圖示渦管，渦量場的運(yùn)動學(xué)性質(zhì)

對一個確定的渦管，它的任一橫截面上的渦通量相等。該常數(shù)稱為渦管強(qiáng)度。渦管強(qiáng)度當(dāng)橫截面積增加時，截面的平均渦量值減?。环粗嗳?。引入平均截面渦量概念，82由，對圖示渦管，渦量場的運(yùn)動學(xué)性質(zhì)對一個渦量場的運(yùn)動學(xué)性質(zhì)

即在同一時刻圍繞周界的速度環(huán)量與圍繞周界的速度環(huán)量相等，也可以說渦管任意橫截面上的環(huán)量相等。引用斯托克斯公式，渦管強(qiáng)度83渦量場的運(yùn)動學(xué)性質(zhì)即在同一時刻圍繞周界的速度環(huán)量1.6物質(zhì)積分的隨體導(dǎo)數(shù)——雷諾輸運(yùn)定理841.6物質(zhì)積分的隨體導(dǎo)數(shù)——雷諾輸運(yùn)定理84相對體積膨脹率速度的散度等于流體微團(tuán)的相對體積膨脹率。應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量的物理意義相對體積膨脹率意味著單位體積流體單位時間內(nèi)增加了多少體積，也可理解為單位時間有多少流體體積從單位體積內(nèi)流出。85相對體積膨脹率速度的散度等于流體微團(tuán)的相對體積膨脹率。應(yīng)變系統(tǒng)某一確定流體質(zhì)點(diǎn)集合的總體。隨時間改變其空間位置、大小和形狀；系統(tǒng)邊界上沒有質(zhì)量交換；始終由同一些流體質(zhì)點(diǎn)組成。在拉格朗日參考系中，通常把注意力集中在流動的系統(tǒng)上，應(yīng)用質(zhì)量、動量和能量守恒定律于系統(tǒng)，即可得到拉格朗日參考系中的基本方程組。系統(tǒng)和控制體1.6物質(zhì)積分的隨體導(dǎo)數(shù)——雷諾輸運(yùn)定理86系統(tǒng)某一確定流體質(zhì)點(diǎn)集合的總體。系統(tǒng)和控制體1.6物質(zhì)積分控制體流場中某一確定的空間區(qū)域，其邊界稱控制面。流體可以通過控制面流進(jìn)流出控制體，占據(jù)控制體的流體質(zhì)點(diǎn)隨時間變化。在歐拉參考系中通常把注意力集中在通過控制體的流體上，應(yīng)用質(zhì)量、動量和能量守恒定律于控制體，即可得到歐拉參考系中的基本方程組。系統(tǒng)和控制體通常力學(xué)和熱力學(xué)定律都是針對系統(tǒng)的，于是需要在拉格朗日參考系下推導(dǎo)基本守恒方程，而絕大多數(shù)流體力學(xué)問題又是在歐拉參考系下求解的，因此需要尋求聯(lián)系兩種參考系下場變量及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式87控制體流場中某一確定的空間區(qū)域，其邊界稱控制面。系統(tǒng)和控制體對系統(tǒng)體積分的隨體導(dǎo)數(shù)動量定理88對系統(tǒng)體積分的隨體導(dǎo)數(shù)動量定理88設(shè)是單位體積流體的物理量分布函數(shù)，而是系統(tǒng)體積內(nèi)包含的總物理量，則對系統(tǒng)體積分的隨體導(dǎo)數(shù)89設(shè)是單位體積流體的物理量分布函數(shù)，如果利用一個在時刻t與重合，空間位置及大小形狀均不隨時間變化的體積（控制體）來替換，上述體積分結(jié)果將保持不變，雷諾輸運(yùn)定理把歐拉參考系的積分改變?yōu)槔窭嗜諈⒖枷档姆e分，積分域由可變體積變?yōu)楣潭w積，求導(dǎo)和積分運(yùn)算順序可相互交換。90如果利用一個在時刻t與重合，空間位置及雷諾輸運(yùn)定理高斯公式，公式左側(cè)表示一個系統(tǒng)的總物理量對時間的變化率；公式右側(cè)第一項(xiàng)表示在t時刻與系統(tǒng)重合的固定控制體內(nèi)的物理量的變化率，這個變化是由于分布函數(shù)的不定常性引起的；公式右側(cè)第二項(xiàng)表示通過控制面凈流出控制體的物理量流率，此項(xiàng)是由于分布函數(shù)的不均勻性以及系統(tǒng)的空間位置和體積形狀隨時間改變而引起的。公式右側(cè)分別是針對靜止控制體和靜止控制面的積分，被積函數(shù)是歐拉參考系中的變量。91雷諾輸運(yùn)定理高斯公式，公式左側(cè)表示一個系統(tǒng)的總物理量對時間的用靜止控制體替換

雷諾輸運(yùn)定理令考慮到92用靜止控制體替換雷諾輸運(yùn)定理令考慮到92例8給定一流場的速度分布和密度分布為：其中,k為非零常數(shù)，求1)在流場中某點(diǎn)的流體密度隨時間的變化率；

2)流體質(zhì)點(diǎn)密度在運(yùn)動過程中隨時間的變化率；

3)證明體積

中的流體質(zhì)量的隨體導(dǎo)數(shù)等于零。

解:

1)2)93例8給定一流場的速度分布和密度分布為：其中3)在體積

中流體質(zhì)量為

是以0點(diǎn)為圓心，半徑為的圓面。943)在體積中流體質(zhì)量為9595于是，96于是，96上一節(jié)課程內(nèi)容拉格朗日參考系與歐拉參考系跡線、流線、脈線物質(zhì)導(dǎo)數(shù)速度分解定理基準(zhǔn)速度+伸縮變形+剪切變形+旋轉(zhuǎn)有旋運(yùn)動概念物質(zhì)積分隨體導(dǎo)數(shù)-----雷諾輸運(yùn)方程97上一節(jié)課程內(nèi)容拉格朗日參考系與歐拉參考系97補(bǔ)充內(nèi)容：張量分析98補(bǔ)充內(nèi)容：張量分析98為什么學(xué)習(xí)張量以張量表示的數(shù)學(xué)式更為簡潔；用張量表示的公式具有更清楚的物理意義；以矢量、張量表示的公式適用于任意坐標(biāo)系；可方便地進(jìn)行數(shù)學(xué)推演；便于閱讀科技文獻(xiàn)。99為什么學(xué)習(xí)張量以張量表示的數(shù)學(xué)式更為簡潔；99（1）指標(biāo)表示法和求和約定

x、y、z分別計(jì)作x1、x2、x3，分別計(jì)作指標(biāo)表示法直角坐標(biāo)的3個方向記做1、2、3，ax、ay、az

分別計(jì)作a1、a2、a3，100（1）指標(biāo)表示法和求和約定x、y、z分別計(jì)作x1求和約定

在同一項(xiàng)中如有兩個指標(biāo)相同時，表示對該指標(biāo)分別取1、2和3，然后求和。在方程同一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)。（1）指標(biāo)表示法和求和約定101求和約定在同一項(xiàng)中如有兩個指標(biāo)相同時，表示對該指標(biāo)分別取1例1.展開下列求和式，解：（1）指標(biāo)表示法和求和約定在方程同一項(xiàng)中只出現(xiàn)一次的指標(biāo)稱自由指標(biāo)。102例1.展開下列求和式，（1）指標(biāo)表示法和求和約定在方程同一啞指標(biāo)在作求和運(yùn)算后就消失了，因此改變啞指標(biāo)的字母不改變表達(dá)式的內(nèi)容，自由指標(biāo)和啞指標(biāo)（1）指標(biāo)表示法和符號約定在同一方程的所有項(xiàng)中出現(xiàn)的自由指標(biāo)必須相同。如果一個方程中只有一個自由指標(biāo)，表示是一個矢量方程，有3個分量方程；如果有2個自由指標(biāo)，則表示9個分量方程。為避免混淆，同一項(xiàng)中相同指標(biāo)出現(xiàn)的次數(shù)不能多于2。103啞指標(biāo)在作求和運(yùn)算后就消失了，因此改變啞指標(biāo)的字母不改變表達(dá)克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號

（1）指標(biāo)表示法和求和約定104克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號（1）指標(biāo)表示法和求和與相乘，相當(dāng)于把的下標(biāo)j置換為i。符號具有以下重要性質(zhì)：克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號

（1）指標(biāo)表示法和求和約定105與相乘，相當(dāng)于把的下標(biāo)j置換為符號具有以下重要性質(zhì)：克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號

（1）指標(biāo)表示法和求和約定106符號具有以下重要性質(zhì)：克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號置換符號

i、j、k偶排列，123，231，312i、j、k中有兩個以上指標(biāo)相同時i,j,k

奇排列，213，321，132（1）指標(biāo)表示法和求和約定任意兩個指標(biāo)交換位置，會改變奇偶性；將首位指標(biāo)移至末位，奇偶性不變。107置換符號i、j、k偶排列，123，231，312i、j有以下重要性質(zhì)：

置換符號

（1）指標(biāo)表示法和求和約定108有以下重要性質(zhì)：置換符號（1）指標(biāo)表示法和求和約定108用指標(biāo)表示法表示矢量運(yùn)算（1）指標(biāo)表示法和求和約定109用指標(biāo)表示法表示矢量運(yùn)算（1）指標(biāo)表示法和求和約定109（1）指標(biāo)表示法和求和約定兩個矢量相乘（點(diǎn)乘或叉乘），它們的下標(biāo)應(yīng)取不同的字母（下標(biāo)相同則就表示求和，與題意不符）。用指標(biāo)表示法表示矢量運(yùn)算110（1）指標(biāo)表示法和求和約定兩個矢量相乘（點(diǎn)乘或叉乘），它們的（1）指標(biāo)表示法和求和約定用指標(biāo)表示法表示矢量運(yùn)算111（1）指標(biāo)表示法和求和約定用指標(biāo)表示法表示矢量運(yùn)算111重要公式匯總（1）指標(biāo)表示法和求和約定112重要公式匯總（1）指標(biāo)表示法和求和約定112例2.已知, ,求:

解（1）

（1）指標(biāo)表示法和求和約定是位置矢量。（2）113例2.已知, （1）指標(biāo)表示法和求和約定（3）（4）114（1）指標(biāo)表示法和求和約定（3）（4）114（1）指標(biāo)表示法和求和約定（5）（6）115（1）指標(biāo)表示法和求和約定（5）（6）115例3.證明

證明:

（1）指標(biāo)表示法和求和約定116例3.證明證明:（1）指標(biāo)表示法和求和約定116哈密頓算子利用張量下標(biāo)表示法哈密頓算子可寫為一個具有微分及矢量雙重運(yùn)算的算子（1）指標(biāo)表示法和求和約定117哈密頓算子利用張量下標(biāo)表示法哈密頓算子可寫為一個具有微分及矢利用哈密頓算子進(jìn)行運(yùn)算時，需分別進(jìn)行微分和矢量兩種運(yùn)算。梯度散度哈密頓算子（1）指標(biāo)表示法和求和約定118利用哈密頓算子進(jìn)行運(yùn)算時，需分別進(jìn)行微分和矢量兩種運(yùn)算。梯旋度哈密頓算子（1）指標(biāo)表示法和求和約定119旋度哈密頓算子（1）指標(biāo)表示法和求和約定119拉普拉斯算子哈密頓算子（1）指標(biāo)表示法和求和約定120拉普拉斯算子哈密頓算子（1）指標(biāo)表示法和求和約定120例題4.分別寫出

在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式.解:

（1）指標(biāo)表示法和求和約定121例題4.分別寫出（1）指標(biāo)表示法和求和約定122（1）指標(biāo)表示法和求和約定122

例5.

是位置矢量,,證明:

是常矢量。證明:

(2).

(1).

（1）指標(biāo)表示法和求和約定123

是常矢量。證明:(2).(1).（1）指標(biāo)表示法和求和(4).

(3).（1）指標(biāo)表示法和求和約定124(4).(3).（1）指標(biāo)表示法和求和約定124例題6.證明證明：

（1）指標(biāo)表示法和求和約定梯度場是無旋場125例題6.證明證明：（1）指標(biāo)表示法和求和約定梯度場是無旋

（1）指標(biāo)表示法和求和約定求導(dǎo)時當(dāng)作常數(shù)對待。渦旋場是無源場126 （1）指標(biāo)表示法和求和約定求導(dǎo)時當(dāng)作常數(shù)對待。渦旋場是標(biāo)量是一維的量，它只需1個數(shù)來表示，如溫度、密度等。矢量則不僅有數(shù)量的大小，而且有指定的方向，它必需由沿某一空間坐標(biāo)系的3個坐標(biāo)軸方向的3個分量來表示，矢量是三維的量，如力，速度，加速度，動量等。三維空間中的二階張量是一個9維的量，必須用9個分量才可完整地表示，如應(yīng)力，變形速率。三維空間中的n

階張量由3n個分量組成。標(biāo)量和矢量是低階張量，標(biāo)量為零階張量，而矢量為一階張量。笛卡爾張量。（2）笛卡爾張量標(biāo)量、矢量和張量127標(biāo)量是一維的量，它只需1個數(shù)來表示，如溫度、密度等。（2）笛

二階張量

二階張量有9個分量，二階張量也可表示為矩陣形式，

標(biāo)量、矢量和張量（2）笛卡爾張量張量可以用黑體大寫字母表示，也可用它的一個分量表示。128

二階張量標(biāo)量、矢量和張量（2）笛卡爾張量張量可以用黑體大寫張量相等兩個張量相等則各分量一一對應(yīng)相等。設(shè)，，若則二階張量的代數(shù)運(yùn)算坐標(biāo)變換；若兩個張量在某一直角坐標(biāo)系中相等，則它們在任意一個直角坐標(biāo)系中也相等。張量相等與矩陣相等運(yùn)算相同。（2）笛卡爾張量129二階張量的代數(shù)運(yùn)算坐標(biāo)變換；若兩個張量在某一直角坐標(biāo)系中相等張量加減設(shè)、，則二階張量的代數(shù)運(yùn)算張量的加減為其同一坐標(biāo)系下對應(yīng)元素相加減，只有同階的張量才能相加減。張量加減運(yùn)算與矩陣的相應(yīng)運(yùn)算相同。（2）笛卡爾張量130張量加減二階張量的代數(shù)運(yùn)算張量的加減為其同一坐標(biāo)系下對應(yīng)元素兩個矢量的并矢定義為

也可寫成

并矢是一個二階張量。單位矢量的兩兩并矢稱為并基，三維空間的二階并基共有9個。并矢運(yùn)算不服從交換律,并矢二階張量的代數(shù)運(yùn)算（2）笛卡爾張量矩陣無類似運(yùn)算。131并矢二階張量的代數(shù)運(yùn)算（2）笛卡爾張量矩陣無類似運(yùn)算。131二階張量的代數(shù)運(yùn)算張量乘積設(shè)、，分量相乘，是4階張量?？梢宰C明一個m階張量和一個n階張量的乘積是m+n階張量。（2）笛卡爾張量矩陣無類似運(yùn)算。132二階張量的代數(shù)運(yùn)算張量乘積可以證明一個m階張量和一個n張量數(shù)乘二階張量乘以標(biāo)量,，則

張量數(shù)乘等于以該標(biāo)量乘所有的張量分量。與矩陣運(yùn)算相同。二階張量的代數(shù)運(yùn)算（2）笛卡爾張量133張量數(shù)乘二階張量的代數(shù)運(yùn)算（2）笛卡爾張量133設(shè)，，定義點(diǎn)積為點(diǎn)積和雙點(diǎn)積

二階張量點(diǎn)積即兩個張量中相鄰的兩個單位矢量作點(diǎn)積運(yùn)算，得到一個新的二階張量。1)張量點(diǎn)積二階張量的代數(shù)運(yùn)算（2）笛卡爾張量134設(shè)，2)二階張量與矢量的點(diǎn)積

矢量與一個二階張量點(diǎn)積得到一個新的矢量。

（2）笛卡爾張量二階張量的代數(shù)運(yùn)算點(diǎn)積和雙點(diǎn)積

1352)二階張量與矢量的點(diǎn)積（2）笛卡爾張量二階張量的代數(shù)運(yùn)3)二階張量的雙點(diǎn)積二個二階張量的雙點(diǎn)積結(jié)果為一個新的標(biāo)量。二階張量的代數(shù)運(yùn)算點(diǎn)積和雙點(diǎn)積

（2）笛卡爾張量1363)二階張量的雙點(diǎn)積二個二階張量的雙點(diǎn)積結(jié)果為一個新的標(biāo)二階張量的代數(shù)運(yùn)算點(diǎn)積和雙點(diǎn)積

（2）笛卡爾張量矩陣無點(diǎn)積運(yùn)算。137二階張量的代數(shù)運(yùn)算點(diǎn)積和雙點(diǎn)積（2設(shè)是一個二階張量，則也是一個二階張量，稱為P的共軛張量。共軛張量共軛張量、對稱張量、反對稱張量和張量的分解（2）笛卡爾張量138設(shè)是一個二階張量，則若二階張量分量之間滿足則稱此張量為對稱張量，可表示為,一個對稱張量，只有6個獨(dú)立的分量。對稱張量共軛張量、對稱張量、反對稱張量和張量的分解（2）笛卡爾張量139若二階張量分量之間滿足對稱張量共軛張量、對稱若二階張量分量之間滿足則稱此張量為反對稱張量，可表示為

一個二階反對稱張量只有3個獨(dú)立的分量，對角線各元素均為零。反對稱張量共軛張量、對稱張量、反對稱張量和張量的分解（2）笛卡爾張量140若二階張量分量之間滿足反對稱張量共軛張量、對張量分解定理一個二階張量可以唯一地分解為一個對稱張量和一個反對稱張量之和容易驗(yàn)證上式右邊第一項(xiàng)是對稱張量，第二項(xiàng)是反對稱張量。共軛張量、對稱張量、反對稱張量和張量的分解（2）笛卡爾張量141張量分解定理共軛張量、對稱張量、反對稱張量和張量的分解（2）梯度設(shè)矢量，則一個矢量的梯度是一個新的二階張量。一般來講，一個n階張量的梯度是階張量。張量的微分運(yùn)算（2）笛卡爾張量142張量的微分運(yùn)算（2）笛卡爾張量142一個二階張量的散度是一個矢量。一般來講，一個階張量的散度是階張量，散度設(shè)二階張量，張量的微分運(yùn)算（2）笛卡爾張量143一個二階張量的散度是一個矢量。一般來講，一個階張張量的微分運(yùn)算（2）笛卡爾張量拉普拉斯算子張量的積分運(yùn)算高斯公式144張量的微分運(yùn)算（2）笛卡爾張量拉普拉斯算子張量的積分運(yùn)算高斯例7.設(shè)，求.解：

（2）笛卡爾張量145例7.設(shè)（2）笛卡爾張量146（2）笛卡爾張量146例題8.

解:（2）笛卡爾張量147例題8.（2）笛卡爾張量147例題9.寫出下述方程在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式

是切應(yīng)力張量(二階張量)。解:將上述矢量用張量下標(biāo)表示法寫出,（2）笛卡爾張量148例題9.寫出下述方程在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式（2）笛卡爾張量例題10.設(shè)是對稱張量,證明證明:

（2）笛卡爾張量149例題10.設(shè)是對稱張量,證明（2）笛卡爾張量149各向同性張量在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，通常認(rèn)為介質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)與所取的坐標(biāo)方向無關(guān)，即介質(zhì)是各向同性的連續(xù)介質(zhì)。表示這類力學(xué)性質(zhì)的張量稱為各向同性張量，如流體粘性，電導(dǎo)率等。若一個張量在正交笛卡爾坐標(biāo)系中的每一個分量值，經(jīng)過任一旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換后均保持不變，則稱此張量為各向同性張量。（2）笛卡爾張量150各向同性張量（2）笛卡爾張量150三階各向同性張量都可寫成的形式，其中為一標(biāo)量常數(shù)。零階張量（標(biāo)量）和任意階零張量都是各向同性張量。零張量是指全部分量值均為零的張量。二階各向同性張量都可寫成的形式，其中為一標(biāo)量常數(shù)。一階張量（矢量）除零矢量外，都是各向異性張量。（2）笛卡爾張量各向同性張量151三階各向同性張量都可寫成的形式，四階各向同性張量都可表示為，其中、、都是標(biāo)量常數(shù)。當(dāng)對i、j兩指標(biāo)對稱時，

其中和都是標(biāo)量常數(shù)。對k和l也是對稱的。（2）笛卡爾張量各向同性張量152四階各向同性張量都可表示為，（2）笛卡爾張量各向同性張量15矢量和張量的兩種表示法-----實(shí)體表示法與分量表示法（2）笛卡爾張量153矢量和張量的兩種表示法-----實(shí)體表示法與分量表示法（2）1.7應(yīng)力張量1541.7應(yīng)力張量154下標(biāo)表示面元的法線方向。1.7應(yīng)力張量應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量方向與法線方向不一定重合。應(yīng)力矢量是一個特殊矢量。155下標(biāo)表示面元的法線方向。1.7應(yīng)力，正側(cè)流體對負(fù)側(cè)流體的作用應(yīng)力；，負(fù)側(cè)流體對正側(cè)流體的作用應(yīng)力。應(yīng)力矢量156，正側(cè)流體對負(fù)側(cè)流體的作用應(yīng)力；，負(fù)側(cè)流體對正側(cè)流體的作用應(yīng)應(yīng)力矢量的投影應(yīng)力矢量157應(yīng)力矢量的投影應(yīng)力矢量157應(yīng)力的雙下標(biāo)表示法：第1個下標(biāo)表示應(yīng)力所在平面的法線方向，第2個下標(biāo)表示應(yīng)力投影方向。應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量的投影應(yīng)力矢量向坐標(biāo)軸投影，158應(yīng)力的雙下標(biāo)表示法：應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量的投影應(yīng)力矢量向坐標(biāo)軸投系統(tǒng)中流體動量的變化率等于作用在該系統(tǒng)上的質(zhì)量力和表面力之和。積分形式的動量方程由動量定理得積分形式的動量方程如下,系統(tǒng)的動量，作用在系統(tǒng)上的重力，作用在系統(tǒng)上的表面力,應(yīng)力張量159系統(tǒng)中流體動量的變化率等于作用在該系統(tǒng)上的質(zhì)量力和表面力之和引入系統(tǒng)的一個特征長度，，于是系統(tǒng)的體積為，而系統(tǒng)表面積則與成正比。用遍除上式各項(xiàng)，然后讓上述流體系統(tǒng)在保持原形狀不變的條件下收縮到一點(diǎn)，即令，則兩個體積分項(xiàng)趨于零，積分形式的動量方程應(yīng)力張量160引入系統(tǒng)的一個特征長度，，應(yīng)力張量四面體流體元受力平衡傾斜面外法線單位矢量為傾斜面和其余三個面的面積分別為傾斜面和其余三個面上作用的應(yīng)力矢量分別為，取四面體流體元。四面體表面力合力，161應(yīng)力張量四面體流體元受力平衡傾斜面外法線單位矢量為傾斜面和其四面體流體元受力平衡應(yīng)力張量

四面體體積在保持形狀不變條件下趨于零，一個流體微團(tuán)所受到的表面力是局部平衡的。162四面體流體元受力平衡應(yīng)力張量 四面體體積在保持形狀不變條件下四面體流體元受力平衡應(yīng)力張量163四面體流體元受力平衡應(yīng)力張量163應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量應(yīng)力張量164應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量應(yīng)力張量164或稱應(yīng)力張量。應(yīng)力張量的對角線元素為法向應(yīng)力分量，非對角線元素為切向應(yīng)力分量。應(yīng)力張量應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量165或稱應(yīng)力張量。應(yīng)力張量的對角線元素為法向應(yīng)力分量，非對角線元應(yīng)力張量的9個獨(dú)立分量某瞬時在每一空間點(diǎn)都有唯一確定的值，與無關(guān)，只是空間點(diǎn)位置和時間的函數(shù)，應(yīng)力張量應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量由九個分量（下文中將證明只有6個獨(dú)立分量）組成的應(yīng)力張量完全表達(dá)了給定時刻一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。如何求一點(diǎn)沿某個方位的應(yīng)力矢量；166應(yīng)力張量的9個獨(dú)立分量某瞬時在每一空間點(diǎn)都有唯一確定的值，應(yīng)應(yīng)力張量動量方程上述積分的被積函數(shù)是連續(xù)的，積分區(qū)域是任選的，欲使上式恒等于零，被積函數(shù)需恒等于零，以張量下標(biāo)形式可寫為

167應(yīng)力張量動量方程上述積分的被積函數(shù)是連續(xù)的，積分區(qū)域是任選的應(yīng)力張量的對稱性動量矩定理系統(tǒng)的角動量或動量矩 作用于流體系統(tǒng)的力矩，包括由質(zhì)量力（重力）和表面力產(chǎn)生的力矩，將動量距和力矩的表達(dá)式代入動量距方程，168應(yīng)力張量的對稱性動量矩定理系統(tǒng)的角動量或動量矩 作用于流體應(yīng)力張量的對稱性169應(yīng)力張量的對稱性169應(yīng)力張量的對稱性應(yīng)力張量是對稱張量，獨(dú)立分量只有6個。170應(yīng)力張量的對稱性應(yīng)力張量是對稱張量，獨(dú)立分量只有6個。170例10.流體內(nèi)某處的應(yīng)力張量可表示為試求作用于平面

外側(cè)（離開原點(diǎn)一側(cè)）的應(yīng)力矢量及應(yīng)力矢量的法向和切向分量。解:

求該平面外側(cè)的法向單位矢量，

171例10.流體內(nèi)某處的應(yīng)力張量可表示為試求作用于平面172172同一點(diǎn)各個不同方向上的法向應(yīng)力是相等的；取是強(qiáng)調(diào)壓強(qiáng)與作用面的法線方向相反；在理想流體或靜止流體中，只要用一個標(biāo)量函數(shù)即壓強(qiáng)函數(shù)便完全地描述了一點(diǎn)上的應(yīng)力狀態(tài)。理想流體與靜止流體的應(yīng)力張量在理想流體或靜止流體中切應(yīng)力為零，173同一點(diǎn)各個不同方向上的法向應(yīng)力是相等的；理想流體與靜止流體的稱單位張量。一個單位張量和矢量的點(diǎn)積等于這個矢量本身，

理想流體與靜止流體的應(yīng)力張量174稱單位張量。一個單位張量和矢量的點(diǎn)積等于這個矢量本身， 理例11.圓球表面應(yīng)力如下,

求圓球所受的力。以上表達(dá)中，為無窮遠(yuǎn)處壓強(qiáng)和流體速度，為動力粘性系數(shù)，a為圓球半徑。球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)關(guān)系,解:

175例11.圓球表面應(yīng)力如下,求圓球所受的力。以上表達(dá)中，注意：176注意：176又解:由于，與對方向?qū)ΨQ，因此它們無方向和垂直于z軸方向的分量，只有沿z軸方向的分量177又解:由于，與例12.試求圖示圓柱坐標(biāo)系微元體所受表面力的合力。計(jì)算中可取每個表面中心的應(yīng)力作為該表面的平均應(yīng)力。已知單位矢量和均是θ的函數(shù)，且微元體中心的應(yīng)力張量已知。

解:

178例12.試求圖示圓柱坐標(biāo)系微元體所受表面力的合力。計(jì)算中可179179同理180同理180考慮到181考慮到181整理得

182整理得1821.8本構(gòu)方程1831.8本構(gòu)方程1831.8本構(gòu)方程應(yīng)力與應(yīng)變，應(yīng)力與應(yīng)變率。牛頓內(nèi)摩擦定律與廣義牛頓定律，牛頓流體與非牛頓流體。1841.8本構(gòu)方程應(yīng)力與應(yīng)變，應(yīng)力與應(yīng)變率。牛頓內(nèi)摩擦定律與廣偏應(yīng)力張量。由于流體運(yùn)動而引起，當(dāng)運(yùn)動消失時趨于零,也趨于靜力學(xué)壓強(qiáng)。由于，均是對稱張量，因此偏應(yīng)力張量也是對稱張量。1.運(yùn)動流體的應(yīng)力張量在運(yùn)動停止后應(yīng)趨于靜止流體的應(yīng)力張量，流體壓強(qiáng)即為靜力學(xué)壓強(qiáng)，據(jù)此應(yīng)力張量可表示為，應(yīng)力張量熱力學(xué)壓強(qiáng)三點(diǎn)假設(shè)牛頓流體的本構(gòu)方程185偏應(yīng)力張量。由于流體運(yùn)動而引起，當(dāng)運(yùn)動消失時趨于零2.偏應(yīng)力張量的各分量是局部速度梯度張量各分量的線性齊次函數(shù)，這里假設(shè)應(yīng)力張量是速度梯度張量的線性函數(shù)，而且只和速度梯度張量有關(guān)，滿足上述關(guān)系的流體稱牛頓流體，不滿足此關(guān)系的流體則稱非牛頓流體。比例常數(shù)應(yīng)是一個4階張量。牛頓流體的本構(gòu)方程三點(diǎn)假設(shè)1862.偏應(yīng)力張量的各分量是局部速度梯度張量各由，考慮到對i、j兩個指標(biāo)是對稱的，對指標(biāo)i、j

也應(yīng)該是對稱的，于是可進(jìn)一步簡化為，3.流體是各向同性的,是各向同性張量,對k，l也是對稱的。牛頓流體的本構(gòu)方程三點(diǎn)假設(shè)187由，考慮到對i、j兩個指標(biāo)是對稱由于對k，l

對稱，而旋轉(zhuǎn)率張量對k，l反對稱，因此上式從數(shù)學(xué)上證明了偏應(yīng)力與旋轉(zhuǎn)無關(guān)，而只和變形有關(guān)。偏應(yīng)力與旋轉(zhuǎn)無關(guān)牛頓流體的本構(gòu)方程三點(diǎn)假設(shè)188由于對k，l對稱，而旋轉(zhuǎn)率張量對k，l反對稱上式中的、需由實(shí)驗(yàn)確定，其物理意義也需要進(jìn)一步解釋。本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程189上式中的、需由實(shí)驗(yàn)確定，其物理意義也需要進(jìn)一步解釋。本構(gòu)，壓強(qiáng)，各向同性；，由運(yùn)動流體變形率引起的粘性應(yīng)力。，由體積膨脹或收縮引起的各向同性粘性應(yīng)力；牛頓流體的本構(gòu)方程本構(gòu)方程190，壓強(qiáng)，各向同性；，由運(yùn)動流體變形率引起的粘性應(yīng)力。，由體積與牛頓內(nèi)摩擦定律比較可看出，即動力粘性系數(shù)。動力粘性系數(shù)牛頓內(nèi)摩擦定律不可壓縮流體粘性系數(shù)191與牛頓內(nèi)摩擦定律比較可看出，即動力粘性系數(shù)。牛頓內(nèi)摩擦定式中，稱體積粘性系數(shù)。第二粘性系數(shù)和體積粘性系數(shù)一點(diǎn)的平均正應(yīng)力粘性系數(shù)192式中，稱體積粘性系數(shù)。第二粘性系數(shù)和體粘性系數(shù)體積膨脹引起粘性應(yīng)力的微觀機(jī)理與體積變化時的能量耗散機(jī)制有關(guān)，但是除高溫和高頻聲波等極端情況外，在一般的氣體運(yùn)動中可近似認(rèn)為

或稱上式為斯托克斯假設(shè)。斯托克斯假設(shè)193粘性系數(shù)體積膨脹引起粘性應(yīng)力的微觀機(jī)理與體積變化時的能量耗散粘性系數(shù)斯托克斯假設(shè)194粘性系數(shù)斯托克斯假設(shè)194包含的項(xiàng)自動消失，不可壓縮流體粘性系數(shù)斯托克斯假設(shè)195包含的項(xiàng)自動消失，不可壓縮流體粘性系數(shù)斯托克斯假設(shè)1951.2，1.5，1.8，1.11，1.17，1.19，1.23課后練習(xí)題1961.2，1.5，1.8，1.11，1.17，1.19，高等工程流體力學(xué)197高等工程流體力學(xué)1流體力學(xué)的基本認(rèn)識與基本內(nèi)容198流體力學(xué)的基本認(rèn)識與基本內(nèi)容2工程熱物理基礎(chǔ)物質(zhì)狀態(tài)傳熱學(xué)流體力學(xué)物質(zhì)傳遞[宏觀]熱力學(xué)能量傳遞流體力學(xué)地位199工程熱物理基礎(chǔ)物質(zhì)狀態(tài)傳熱學(xué)流體力學(xué)物質(zhì)傳遞[宏觀]熱力學(xué)能流體性質(zhì)流體基本性質(zhì)（與固體相對應(yīng)）流體分類理想流體，粘性流體不可壓流體，可壓縮流體單相流體，多相流體牛頓流體，非牛頓流體正常流體，稀薄流體200流體性質(zhì)流體基本性質(zhì)（與固體相對應(yīng)）4流體力學(xué)理想流體力學(xué)粘性流體力學(xué)可壓縮流體力學(xué)多相流體力學(xué)非牛頓流體稀薄氣體流體力學(xué)微尺度流體力學(xué)磁流體力學(xué)工程流體力學(xué)基礎(chǔ)氣動力學(xué)生物流體力學(xué)葉輪機(jī)械流體力學(xué)海洋流體力學(xué)兩相流體力學(xué)201流體力學(xué)理想流體力學(xué)工程流體力學(xué)基礎(chǔ)氣動力學(xué)5教科書

高等工程流體力學(xué)，張鳴遠(yuǎn)、景思睿、李國君編著，西安交通大學(xué)出版社，2006年7月，西安主要參考書流體力學(xué)，張兆順，崔貴香，清華大學(xué)出版社，2006，北京其他參考書FundamentalMechanicsofFluids,I.G.Curries,3rdEdition,MarcelDekker,Inc.,2003，NewYork流體力學(xué)，吳望一編著，北京大學(xué)出版社，1995，北京流體力學(xué)，周光炯等編著，高教出版社，2002，北京高等工程流體力學(xué)練習(xí)題解，張鳴遠(yuǎn)編著，2008，西安交通大學(xué)出版社，西安202教科書其他參考書6先修課程本科生流體力學(xué)高等數(shù)學(xué)微積分微分方程矢量分析，場論數(shù)理方程，復(fù)變函數(shù)工程熱力學(xué)203先修課程7本科流體力學(xué)研究生流體力學(xué)基本物理概念理論分析

流體、粘性、可壓縮性系統(tǒng)推導(dǎo)控制方程組積分方程（宏觀） 微分方程（微觀）動量定理，邊界層方程速度場，壓強(qiáng)場定常流動 非定常流動

伯努利方程，非定常，非慣性系，一維流動 多維流動

一維等熵流動可壓縮流體平面勢流流動基本無紊流介紹 紊流工程師

科學(xué)研究人員204本科流體力學(xué)研究生流體力學(xué)基本物理概念本課程主要內(nèi)容流體力學(xué)基本概念、方程與定理（重點(diǎn)）理想不可壓流體流動（掌握）粘性不可壓縮流體流動（重點(diǎn)）理想可壓縮流體流動（了解）實(shí)際流體的流動（介紹）水波動力學(xué)，多相流體，血液流動流體力學(xué)數(shù)值模擬（介紹）205本課程主要內(nèi)容9第一部分流體力學(xué)的控制方程第一章流體力學(xué)的基本概念206第一部分流體力學(xué)的控制方程10流體力學(xué)基本概念拉格朗日參考系與歐拉參考系跡線、流線、脈線物質(zhì)導(dǎo)數(shù)速度分解定理有旋運(yùn)動概念物質(zhì)積分隨體導(dǎo)數(shù)-----雷諾輸運(yùn)方程張量基本概念[附錄]應(yīng)力張量本構(gòu)方程207流體力學(xué)基本概念拉格朗日參考系與歐拉參考系11第一部分流體力學(xué)的控制方程第一章流體力學(xué)的基本概念208第一部分流體力學(xué)的控制方程121.1歐拉和拉格朗日參考系連續(xù)介質(zhì)假說

流體由無窮多的流體質(zhì)點(diǎn)連續(xù)無間隙地組成。流體質(zhì)點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)是在流體力學(xué)中研究的最小單元。當(dāng)討論流體速度、密度等變量時，實(shí)際上是指流體質(zhì)點(diǎn)的速度和密度。由確定流體分子組成的流體團(tuán)。流體質(zhì)點(diǎn)的體積在微觀上充分大，在宏觀上充分小。

2091.1歐拉和拉格朗日參考系連續(xù)介質(zhì)假說流體由無窮多的流拉格朗日參考系理論力學(xué)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，210拉格朗日參考系理論力學(xué)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，14流體中有無數(shù)多流體質(zhì)點(diǎn)，需加以區(qū)別，以t=t0

時刻流體質(zhì)點(diǎn)空間位置的坐標(biāo)，，作為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)號，物理量，

改變,t不變，表示同一時刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置或相關(guān)變量；t改變,

不變，表示同一流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置或相關(guān)變量隨時間的變化。拉格朗日參考系211流體中有無數(shù)多流體質(zhì)點(diǎn)，需加以區(qū)別，以t=t0物理量上式括號內(nèi)的自變量表示，它的指標(biāo)j并非自由指標(biāo)，只表示在其取值范圍內(nèi)逐一取值。張量下標(biāo)表示法拉格朗日參考系212物理量上式括號內(nèi)的自變量表示歐拉參考系改變,t不變，表示同一時刻不同空間點(diǎn)上的場變量；t改變,不變，表示同一空間點(diǎn)上的場變量隨時間的變化。當(dāng)采用歐拉參考系時，就定義了空間的場?；蚬こ态F(xiàn)場或?qū)嶒?yàn)室測量速度、溫度、壓強(qiáng)等；氣象站測量空氣速度、溫度、濕度；此時速度、溫度、密度、壓強(qiáng)等是空間點(diǎn)和時間的函數(shù)。213歐拉參考系改變,t不在歐拉參考系中x,y,z,t是相互間無函數(shù)關(guān)系的獨(dú)立變量。在拉格朗日參考系中x,y,z不再是獨(dú)立變量，他們都是時間t和的函數(shù)，x-x0=u(t-t0)y-y0=v(t-t0）z-z0=w(t-t0)歐拉參考系214在歐拉參考系中x,y,z,t是相互間無函數(shù)關(guān)系的獨(dú)流體微團(tuán)體積變化和雅克比行列式在上述微分中t可視為常數(shù)。215流體微團(tuán)體積變化和雅克比行列式在上述微分中t可視為常數(shù)。流體微團(tuán)體積變化和雅克比行列式216流體微團(tuán)體積變化和雅克比行列式20雅克比行列式J表示一流體微團(tuán)或流體質(zhì)點(diǎn)在t時刻和初始時刻t0的體積之比，也表示初始時刻t0和時刻t的密度比。流體微團(tuán)體積變化和雅克比行列式質(zhì)量守恒，217雅克比行列式J表示一流體微團(tuán)或流體質(zhì)點(diǎn)在t時刻和初兩種參考系的轉(zhuǎn)換由于行列式J表示同一流體質(zhì)點(diǎn)在時刻t和初始時刻t0的體積之比，因此總是一個有限大的正數(shù)，于是從數(shù)學(xué)上講上述函數(shù)和反函數(shù)總是存在的。218兩種參考系的轉(zhuǎn)換由于行列式J表示同一流體質(zhì)點(diǎn)在時刻t拉格朗日參考系轉(zhuǎn)換為歐拉參考系已知代入兩種參考系的轉(zhuǎn)換219拉格朗日參考系轉(zhuǎn)換為歐拉參考系已知代入兩種參考系的轉(zhuǎn)換23歐拉參考系轉(zhuǎn)換為拉格朗日參考系已知初始條件如已知代入兩種參考系的轉(zhuǎn)換220歐拉參考系轉(zhuǎn)換為拉格朗日參考系已知初始條件如已知代入兩種參考例1.

拉格朗日變數(shù)(x0,y0,z0)給出的流體運(yùn)動規(guī)律為1)

求以歐拉變數(shù)描述的速度場；2)

問流動是否定常；3)

求加速度。解:1)設(shè)速度場的三個分量是兩種參考系的轉(zhuǎn)換由題給流體運(yùn)動規(guī)律表示式，221例1.

拉格朗日變數(shù)(x0,y0,z0)給出的流體運(yùn)動2)歐拉表達(dá)式中包括變量t,是不定常流動。3)在拉格朗日參考系中求加速度兩種參考系的轉(zhuǎn)換2222)歐拉表達(dá)式中包括變量t,是不定常流動。3)在拉1.2跡線、流線和脈線2231.2跡線、流線和脈線271.2跡線、流線和脈線跡線是流體質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動過程中描繪出來的曲線，即軌跡。由上式可見一個流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量總是和該質(zhì)點(diǎn)的跡線相切，因此跡線也可以定義為始終與同一個流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量相切的曲線。跡線2241.2跡線、流線和脈線跡線是流體質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動過程中由上式在以上方程組中是自變量。是流體質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)，因此都是的函數(shù)。跡線微分方程或求跡線是在拉格朗日參考系中進(jìn)行的。積分得初始條件即225在以上方程組中是自變量。消去得，由條件時，可解出解：積分得，例2設(shè)兩維流動求時刻通過（1，1）點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的跡線。跡線注：滿足上述速度分布的流場中有無數(shù)個流體質(zhì)點(diǎn)，于是有無數(shù)條跡線，本題只求其中一條。226消去得，由條件時流線流線是流場中的一條曲線，曲線上每一點(diǎn)的速度矢量方向和曲線在該點(diǎn)的切線方向相同。對于非定常流動，空間給定點(diǎn)的速度大小和方向隨時間而變化，因此談到流線總是指某一給定時刻