專題5.5三角恒等變換【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用】 2【題型2利用和（差）角公式求三角函數(shù)式的值】 3【題型3利用和（差）角公式化簡三角函數(shù)式】 3【題型4利用和（差）角公式證明三角恒等式】 4【題型5輔助角公式的應(yīng)用】 5【題型6利用二倍角公式化簡】 7【題型7利用二倍角公式求值】 8【知識點(diǎn)1兩角和與差的三角函數(shù)公式】1．兩角差的余弦公式對于任意角，有.

此公式給出了任意角,的正弦、余弦與其差角的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作.

公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數(shù)值乘積的和.2．兩角和的余弦公式(1)公式的結(jié)構(gòu)特征(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧

兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”.

①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符號相反”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時用“”，兩角差時用“+”.3．兩角和與差的正弦公式(1)兩角和與差的正弦公式的結(jié)構(gòu)特征(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧

兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同”.

①“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符號相同”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時用“+”,兩角差時用“”.4．兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式的結(jié)構(gòu)特征符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.5．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式(1)角的代換代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用尤為突出.

常用的角的代換形式：①=(+)；

②=()；

③=[(+)+()]；

④=[(+)()]；

⑤=()()；

⑥=()+().(2)常值代換

用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其中要特別注意的是“1”的代換.(3)輔助角公式通過應(yīng)用公式[或?qū)⑿稳?a,b都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個三角函數(shù)[或].這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用】【例1】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知π2<θ<3π2，且cosθ+2π3=13，則sinθ的值為（A．22?36 B．26+1【變式11】（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知cosα+π12=3A．3?4310 B．45 C．?【變式12】（2023秋·四川宜賓·高三校考階段練習(xí)）已知角θ的終邊過點(diǎn)P?3,?1.則sin(πA．?255 B．255 【變式13】（2023秋·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）已知角α,β∈0,π，且sinα+β+cosA．?2 B．?12 C．1【題型2利用和（差）角公式求三角函數(shù)式的值】【例2】（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）求2cos10°A．3 B．?3 C．33 【變式21】（2023春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知tanα+tanβ=?6,tan(α+β)=?1A．13 B．3 C．23 【變式22】（2023秋·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若tanα?β=2,tanβ=4，則A．?75 B．75 C．?【變式23】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知cosπ4+θ=45，A．10021 B．C．7528 D．【題型3利用和（差）角公式化簡三角函數(shù)式】【例3】（2023春·甘肅蘭州·高一?？计谀┗啠?1)sinα?β(2)sinα+β【變式31】（2023秋·高一課時練習(xí)）化簡求值：(1)sin50(2)sinθ+75°【變式32】（2023·全國·高二專題練習(xí)）化簡求值：(1)sin((2)sin27【變式33】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡：(1)tan58°+(2)tan2θ?(3)tan83°+(4)cos15°?【題型4利用和（差）角公式證明三角恒等式】【例4】（2023·全國·高一課堂例題）求證：sin2x+y【變式41】（2023·全國·高一課堂例題）求證：(1)cosα(2)sinα【變式42】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知sinα+β=a，(1)sinα(2)cosα【變式43】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)fx+?(2)fx+2?【題型5輔助角公式的應(yīng)用】【例5】（2023秋·天津和平·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2(1)求fx(2)若fx0?【變式51】（2023秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知fx(1)求fx(2)求函數(shù)fx在0,【變式52】（2023秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=23(1)求函數(shù)fx(2)若fx0=65【變式53】（2023秋·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sin(1)求常數(shù)a的值；(2)求函數(shù)fx(3)求使fx≥0成立的【知識點(diǎn)2二倍角公式】1．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式函數(shù)公式β=α簡記符號正弦sin2α=2sinαcosαS(α+β)S2α余弦cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2αC(α+β)C2α正切T(α+β)T2α2．二倍角公式的變形應(yīng)用(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方變形

.

(3)因式分解變形

.

(4)升冪公式

；.【題型6利用二倍角公式化簡】【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡sin2A．－2 B．－12 C．－1 【變式61】（2023·四川雅安·校考模擬預(yù)測）化簡1?cos160°2A．cos10° B．C．2sin10°+cos【變式62】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列各式化簡結(jié)果為12的是（

A．1?2cos275°C．sin14°cos16°+【變式63】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知α∈?π4,πA．2sinα B．?2sinα 【題型7利用二倍角公式求值】【例7】（2023秋·江西九江·高二?？奸_學(xué)考試）已知tanα+(1)若α的終邊位于第三象限，求sin2α+(2)求1+sin【變式71】（2023春·天津河