2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：假設(shè)檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是（）。A.小概率反證法B.大數(shù)定律C.中心極限定理D.貝葉斯定理2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類(lèi)錯(cuò)誤是指（）。A.拒絕了真實(shí)的原假設(shè)B.接受了真實(shí)的新假設(shè)C.拒絕了錯(cuò)誤的原假設(shè)D.接受了錯(cuò)誤的新假設(shè)3.假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平α表示的是（）。A.真實(shí)原假設(shè)被拒絕的概率B.真實(shí)新假設(shè)被接受的概率C.犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率D.犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率4.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，樣本量的大小會(huì)影響（）。A.顯著性水平B.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布C.檢驗(yàn)的效力D.檢驗(yàn)的復(fù)雜性5.t檢驗(yàn)適用于（）。A.樣本量較大時(shí)B.樣本量較小時(shí)C.總體方差已知時(shí)D.總體方差未知時(shí)6.單樣本t檢驗(yàn)用于（）。A.比較兩個(gè)總體的均值B.比較一個(gè)樣本的均值與總體均值C.分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系D.分析一個(gè)變量的分布情況7.兩樣本t檢驗(yàn)分為（）。A.配對(duì)t檢驗(yàn)B.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)C.單樣本t檢驗(yàn)D.以上都是8.配對(duì)t檢驗(yàn)適用于（）。A.比較兩個(gè)獨(dú)立總體的均值B.比較兩個(gè)相關(guān)總體的均值C.比較一個(gè)樣本的均值與總體均值D.分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系9.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)適用于（）。A.比較兩個(gè)獨(dú)立總體的均值B.比較兩個(gè)相關(guān)總體的均值C.比較一個(gè)樣本的均值與總體均值D.分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系10.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，應(yīng)該注意（）。A.樣本是否滿足正態(tài)分布B.樣本是否滿足均勻分布C.樣本是否滿足二項(xiàng)分布D.樣本是否滿足泊松分布11.t檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式為（）。A.Z=(X?-μ)/(σ/√n)B.t=(X?-μ)/(s/√n)C.Z=(p-π)/(√(π(1-π)/n))D.t=(p-π)/(√(π(1-π)/n))12.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果拒絕原假設(shè)，說(shuō)明（）。A.樣本均值與總體均值有顯著差異B.樣本均值與總體均值沒(méi)有顯著差異C.樣本方差與總體方差有顯著差異D.樣本方差與總體方差沒(méi)有顯著差異13.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果接受原假設(shè)，說(shuō)明（）。A.樣本均值與總體均值有顯著差異B.樣本均值與總體均值沒(méi)有顯著差異C.樣本方差與總體方差有顯著差異D.樣本方差與總體方差沒(méi)有顯著差異14.t檢驗(yàn)的p值表示的是（）。A.在原假設(shè)成立的情況下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果的概率B.在原假設(shè)成立的情況下，觀察到更極端樣本結(jié)果的概率C.在新假設(shè)成立的情況下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果的概率D.在新假設(shè)成立的情況下，觀察到更極端樣本結(jié)果的概率15.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果p值小于顯著性水平α，應(yīng)該（）。A.拒絕原假設(shè)B.接受原假設(shè)C.增加樣本量D.減少樣本量二、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。請(qǐng)判斷下列各題的敘述是否正確，正確的填“√”，錯(cuò)誤的填“×”。）1.假設(shè)檢驗(yàn)的目的是判斷原假設(shè)是否成立。（）2.顯著性水平α是犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率。（）3.t檢驗(yàn)適用于樣本量較大時(shí)。（）4.單樣本t檢驗(yàn)用于比較兩個(gè)總體的均值。（）5.兩樣本t檢驗(yàn)分為配對(duì)t檢驗(yàn)和獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。（）6.配對(duì)t檢驗(yàn)適用于比較兩個(gè)獨(dú)立總體的均值。（）7.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)適用于比較兩個(gè)相關(guān)總體的均值。（）8.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，應(yīng)該注意樣本是否滿足正態(tài)分布。（）9.t檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式為Z=(X?-μ)/(σ/√n)。（）10.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果拒絕原假設(shè)，說(shuō)明樣本均值與總體均值有顯著差異。（）開(kāi)篇直接輸出第二題。二、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。請(qǐng)判斷下列各題的敘述是否正確，正確的填“√”，錯(cuò)誤的填“×”。）1.假設(shè)檢驗(yàn)的目的是判斷原假設(shè)是否成立。（）2.顯著性水平α是犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率。（）3.t檢驗(yàn)適用于樣本量較大時(shí)。（）4.單樣本t檢驗(yàn)用于比較兩個(gè)總體的均值。（）5.兩樣本t檢驗(yàn)分為配對(duì)t檢驗(yàn)和獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。（）6.配對(duì)t檢驗(yàn)適用于比較兩個(gè)獨(dú)立總體的均值。（）7.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)適用于比較兩個(gè)相關(guān)總體的均值。（）8.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，應(yīng)該注意樣本是否滿足正態(tài)分布。（）9.t檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式為Z=(X?-μ)/(σ/√n)。（）10.在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果拒絕原假設(shè)，說(shuō)明樣本均值與總體均值有顯著差異。（）三、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙上。）1.簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。在假設(shè)檢驗(yàn)中，首先我們需要提出原假設(shè)H0和新假設(shè)H1。接下來(lái)，選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。然后，確定檢驗(yàn)的顯著性水平α，并根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布和α的值，找到拒絕域。最后，將計(jì)算出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與拒絕域進(jìn)行比較，如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)；否則，接受原假設(shè)。2.解釋什么是第一類(lèi)錯(cuò)誤和第二類(lèi)錯(cuò)誤，并說(shuō)明它們之間的關(guān)系。第一類(lèi)錯(cuò)誤是指在原假設(shè)H0成立的情況下，錯(cuò)誤地拒絕了H0，即犯了“以真為假”的錯(cuò)誤。第二類(lèi)錯(cuò)誤是指在原假設(shè)H0不成立的情況下，錯(cuò)誤地接受了H0，即犯了“以假為真”的錯(cuò)誤。第一類(lèi)錯(cuò)誤和第二類(lèi)錯(cuò)誤之間存在著一種權(quán)衡關(guān)系，即減小第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率會(huì)增加第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率，反之亦然。在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)具體情況權(quán)衡兩類(lèi)錯(cuò)誤的成本，選擇合適的顯著性水平α。3.簡(jiǎn)述t檢驗(yàn)的適用條件。t檢驗(yàn)適用于樣本量較小，且總體方差未知的情況下，對(duì)總體均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。在應(yīng)用t檢驗(yàn)時(shí)，還需要滿足樣本數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布的總體。如果樣本量較大（一般大于30），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，此時(shí)可以使用Z檢驗(yàn)。如果總體分布不是正態(tài)分布，但樣本量足夠大，也可以使用Z檢驗(yàn)。4.解釋配對(duì)t檢驗(yàn)和獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的區(qū)別，并說(shuō)明在什么情況下使用配對(duì)t檢驗(yàn)。配對(duì)t檢驗(yàn)和獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)都是用于比較兩個(gè)總體的均值，但它們的適用條件不同。配對(duì)t檢驗(yàn)適用于兩個(gè)樣本之間存在關(guān)聯(lián)或配對(duì)關(guān)系的情況，例如，比較同一組人在不同時(shí)間點(diǎn)的測(cè)試成績(jī)。獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)適用于兩個(gè)樣本之間相互獨(dú)立，沒(méi)有關(guān)聯(lián)關(guān)系的情況，例如，比較兩個(gè)不同組人的測(cè)試成績(jī)。在配對(duì)t檢驗(yàn)中，我們關(guān)注的是每個(gè)配對(duì)樣本的差異，而獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)關(guān)注的是兩個(gè)樣本均值的差異。5.簡(jiǎn)述p值的意義，并說(shuō)明在什么情況下拒絕原假設(shè)。p值是指在原假設(shè)H0成立的情況下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。p值越小，說(shuō)明當(dāng)前樣本結(jié)果越不可能在H0成立的情況下出現(xiàn)，即當(dāng)前樣本結(jié)果與H0之間的差異越大。通常，我們將顯著性水平α設(shè)定為0.05，如果p值小于α，則認(rèn)為當(dāng)前樣本結(jié)果與H0之間的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，此時(shí)拒絕原假設(shè)H0；否則，接受原假設(shè)H0。四、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙上。）1.某工廠生產(chǎn)一種零件，其長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，已知標(biāo)準(zhǔn)差為0.05cm?，F(xiàn)隨機(jī)抽取50個(gè)零件，測(cè)得樣本均值為10.02cm。問(wèn)在顯著性水平α=0.05下，能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度均值顯著大于10cm？首先，提出原假設(shè)H0：μ=10cm，新假設(shè)H1：μ>10cm。由于總體方差已知，選擇Z檢驗(yàn)。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z的值：Z=(10.02-10)/(0.05/√50)=14.14。確定拒絕域：Z>1.645。由于計(jì)算出的Z值大于拒絕域的臨界值，拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為該廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度均值顯著大于10cm。2.某醫(yī)生聲稱(chēng)一種新藥可以降低血壓。為了驗(yàn)證這一說(shuō)法，隨機(jī)抽取30名患者，服用該藥一個(gè)月后，測(cè)得他們的血壓樣本均值為130mmHg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為15mmHg。問(wèn)在顯著性水平α=0.05下，能否認(rèn)為該藥可以顯著降低血壓？首先，提出原假設(shè)H0：μ=130mmHg，新假設(shè)H1：μ<130mmHg。由于總體方差未知，選擇t檢驗(yàn)。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的值：t=(130-130)/(15/√30)=0。確定拒絕域：t<-2.042。由于計(jì)算出的t值不小于拒絕域的臨界值，接受原假設(shè)H0，認(rèn)為該藥不能顯著降低血壓。3.為了比較兩種教學(xué)方法的效果，隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將他們隨機(jī)分成兩組，每組30人。第一組采用傳統(tǒng)教學(xué)方法，第二組采用新的教學(xué)方法。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的教學(xué)后，測(cè)得兩組學(xué)生的成績(jī)樣本均值分別為75分和80分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為10分和12分。問(wèn)在顯著性水平α=0.05下，能否認(rèn)為兩種教學(xué)方法的效果有顯著差異？首先，提出原假設(shè)H0：μ1=μ2，新假設(shè)H1：μ1≠μ2。由于總體方差未知，選擇獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的值：t=(75-80)/(√((10^2+12^2)/30))=-2.121。確定拒絕域：t<-2.000或t>2.000。由于計(jì)算出的t值小于拒絕域的臨界值，拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為兩種教學(xué)方法的效果有顯著差異。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A小概率反證法是假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，即假設(shè)原假設(shè)為真，然后看能否找到與小概率事件相悖的證據(jù)，如果能找到，則拒絕原假設(shè)。2.A第一類(lèi)錯(cuò)誤是指原假設(shè)實(shí)際上是真實(shí)的，但我們卻錯(cuò)誤地拒絕了它，犯的是“以真為假”的錯(cuò)誤。3.C顯著性水平α是在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)之前預(yù)先設(shè)定的一個(gè)概率值，它代表了我們?cè)敢獬袚?dān)的犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率。4.C檢驗(yàn)的效力是指當(dāng)原假設(shè)不成立時(shí)，我們能夠正確拒絕原假設(shè)的概率，樣本量越大，檢驗(yàn)的效力通常越高。5.Dt檢驗(yàn)適用于總體方差未知且樣本量較小的情況，當(dāng)樣本量較大時(shí)，通常使用Z檢驗(yàn)。6.B單樣本t檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)一個(gè)樣本的均值是否與已知的總體均值之間存在顯著差異。7.D以上都是兩樣本t檢驗(yàn)包括配對(duì)t檢驗(yàn)和獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，都是用于比較兩個(gè)總體的均值。8.B配對(duì)t檢驗(yàn)適用于比較兩個(gè)相關(guān)總體的均值，例如，同一組人在不同時(shí)間點(diǎn)的測(cè)試成績(jī)。9.A獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)適用于比較兩個(gè)獨(dú)立總體的均值，例如，比較兩個(gè)不同組人的測(cè)試成績(jī)。10.A在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，樣本均值的分布可能不滿足正態(tài)分布，因此需要檢驗(yàn)樣本是否滿足正態(tài)分布。11.Bt檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式為t=(X?-μ)/(s/√n)，其中X?是樣本均值，μ是總體均值，s是樣本標(biāo)準(zhǔn)差，n是樣本量。12.A在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果拒絕原假設(shè)，說(shuō)明樣本均值與總體均值之間存在顯著差異，即樣本均值與總體均值有顯著不同。13.B在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果接受原假設(shè)，說(shuō)明沒(méi)有足夠的證據(jù)表明樣本均值與總體均值之間存在顯著差異。14.Bt檢驗(yàn)的p值表示的是在原假設(shè)成立的情況下，觀察到更極端樣本結(jié)果的概率，如果p值小于顯著性水平α，則拒絕原假設(shè)。15.A在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果p值小于顯著性水平α，說(shuō)明當(dāng)前樣本結(jié)果與原假設(shè)之間的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，此時(shí)拒絕原假設(shè)。二、判斷題答案及解析1.√假設(shè)檢驗(yàn)的目的是通過(guò)樣本數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)是否成立。2.√顯著性水平α是犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率，即原假設(shè)實(shí)際上是真實(shí)的，但我們卻錯(cuò)誤地拒絕了它。3.×t檢驗(yàn)適用于樣本量較小，且總體方差未知的情況下，對(duì)總體均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)樣本量較大時(shí)，通常使用Z檢驗(yàn)。4.×單樣本t檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)一個(gè)樣本的均值是否與已知的總體均值之間存在顯著差異，而不是比較兩個(gè)總體的均值。5.√兩樣本t檢驗(yàn)分為配對(duì)t檢驗(yàn)和獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，都是用于比較兩個(gè)總體的均值。6.×配對(duì)t檢驗(yàn)適用于比較兩個(gè)相關(guān)總體的均值，而不是獨(dú)立總體的均值。7.×獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)適用于比較兩個(gè)獨(dú)立總體的均值，而不是相關(guān)總體的均值。8.√在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，樣本均值的分布可能不滿足正態(tài)分布，因此需要檢驗(yàn)樣本是否滿足正態(tài)分布。9.×t檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式為t=(X?-μ)/(s/√n)，而不是Z=(X?-μ)/(σ/√n)。10.√在進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，如果拒絕原假設(shè)，說(shuō)明樣本均值與總體均值之間存在顯著差異，即樣本均值與總體均值有顯著不同。三、簡(jiǎn)答題答案及解析1.簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟包括：提出原假設(shè)和新假設(shè)；選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；確定檢驗(yàn)的顯著性水平α；根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布和α的值，找到拒絕域；將計(jì)算出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與拒絕域進(jìn)行比較，如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)；否則，接受原假設(shè)。2.解釋什么是第一類(lèi)錯(cuò)誤和第二類(lèi)錯(cuò)誤，并說(shuō)明它們之間的關(guān)系。第一類(lèi)錯(cuò)誤是指在原假設(shè)H0成立的情況下，錯(cuò)誤地拒絕了H0，即犯了“以真為假”的錯(cuò)誤。第二類(lèi)錯(cuò)誤是指在原假設(shè)H0不成立的情況下，錯(cuò)誤地接受了H0，即犯了“以假為真”的錯(cuò)誤。第一類(lèi)錯(cuò)誤和第二類(lèi)錯(cuò)誤之間存在著一種權(quán)衡關(guān)系，即減小第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率會(huì)增加第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率，反之亦然。在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)具體情況權(quán)衡兩類(lèi)錯(cuò)誤的成本，選擇合適的顯著性水平α。3.簡(jiǎn)述t檢驗(yàn)的適用條件。t檢驗(yàn)適用于樣本量較小，且總體方差未知的情況下，對(duì)總體均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。在應(yīng)用t檢驗(yàn)時(shí)，還需要滿足樣本數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布的總體。如果樣本量較大（一般大于30），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，此時(shí)可以使用Z檢驗(yàn)。如果總體分布不是正態(tài)分布，但樣本量足夠大，也可以使用Z檢驗(yàn)。4.解釋配對(duì)t檢驗(yàn)和獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的區(qū)別，并說(shuō)明在什么情況下使用配對(duì)t檢驗(yàn)。配對(duì)t檢驗(yàn)和獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)都是用于比較兩個(gè)總體的均值，但它們的適用條件不同。配對(duì)t檢驗(yàn)適用于兩個(gè)樣本之間存在關(guān)聯(lián)或配對(duì)關(guān)系的情況，例如，比較同一組人在不同時(shí)間點(diǎn)的測(cè)試成績(jī)。獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)適用于兩個(gè)樣本之間相互獨(dú)立，沒(méi)有關(guān)聯(lián)關(guān)系的情況，例如，比較兩個(gè)不同組人的測(cè)試成績(jī)。在配對(duì)t檢驗(yàn)中，我們關(guān)注的是每個(gè)配對(duì)樣本的差異，而獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)關(guān)注的是兩個(gè)樣本均值的差異。5.簡(jiǎn)述p值的意義，并說(shuō)明在什么情況下拒絕原假設(shè)。p值是指在原假設(shè)H0成立的情況下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。p值越小，說(shuō)明當(dāng)前樣本結(jié)果越不可能在H0成立的情況下出現(xiàn)，即當(dāng)前樣本結(jié)果與H0之間的差異越大。通常，我們將顯著性水平α設(shè)定為0.05，如果p值小于α，則認(rèn)為當(dāng)前樣本結(jié)果與H0之間的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，此時(shí)拒絕原假設(shè)H0；否則，接受原假設(shè)H0。四、計(jì)算題答案及解析1.某工廠生產(chǎn)一種零件，其長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，已知標(biāo)準(zhǔn)差為0.05cm?，F(xiàn)隨機(jī)抽取50個(gè)零件，測(cè)得樣本均值為10.02cm。問(wèn)在顯著性水平α=0.05下，能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度均值顯著大于10cm？首先