2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)：正態(tài)分布檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)推斷的實(shí)際操作解析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。請(qǐng)把所選字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.當(dāng)我們想要檢驗(yàn)一個(gè)樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于正態(tài)分布時(shí)，通常會(huì)采用哪種統(tǒng)計(jì)方法？A.卡方檢驗(yàn)B.夏皮羅-威爾克檢驗(yàn)C.克魯斯卡爾-沃利斯檢驗(yàn)D.費(fèi)舍爾精確檢驗(yàn)。我記得在課堂上，老師特別強(qiáng)調(diào)過(guò)，這種情況下用夏皮羅-威爾克檢驗(yàn)最靠譜，其他幾個(gè)要么是檢驗(yàn)不同總體差異，要么是處理非參數(shù)數(shù)據(jù)，跟咱們現(xiàn)在要考察的正態(tài)性可沒(méi)什么關(guān)系。2.如果一個(gè)正態(tài)分布的樣本均值為50，標(biāo)準(zhǔn)差為10，那么大約68%的數(shù)據(jù)會(huì)落在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？A.(40,60)B.(30,70)C.(20,80)D.(10,90)。這個(gè)太經(jīng)典了，老師上課時(shí)舉過(guò)好幾次例子，正態(tài)分布的三西格瑪原則嘛，68%肯定是在均值加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，所以選A。3.在進(jìn)行單樣本t檢驗(yàn)時(shí)，自由度等于多少？A.樣本量減1B.樣本量加1C.總體量減1D.總體量加1。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)我印象特別深，老師畫過(guò)表格，自由度就是樣本量減去1，不然計(jì)算出來(lái)的t值會(huì)不對(duì)勁，所以選A。4.如果檢驗(yàn)的p值小于0.05，我們通常會(huì)做出什么判斷？A.拒絕原假設(shè)B.接受原假設(shè)C.無(wú)法判斷D.需要更多數(shù)據(jù)。我記得老師說(shuō)過(guò)，p值小于顯著性水平，比如0.05，就說(shuō)明結(jié)果挺顯著的，有理由拒絕原假設(shè)，所以選A。5.雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)的主要區(qū)別是什么？A.雙側(cè)檢驗(yàn)關(guān)注均值差異，單側(cè)檢驗(yàn)關(guān)注均值方向B.雙側(cè)檢驗(yàn)使用t分布，單側(cè)檢驗(yàn)使用z分布C.雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕域在兩端，單側(cè)檢驗(yàn)拒絕域在一端D.雙側(cè)檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率大于單側(cè)檢驗(yàn)。這個(gè)老師講過(guò)好幾次，區(qū)別就在于拒絕域的位置，雙側(cè)是兩邊都要看，單側(cè)就看一邊，所以選C。6.當(dāng)樣本量較小時(shí)，我們通常使用什么分布來(lái)近似正態(tài)分布？A.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布B.t分布C.F分布D.卡方分布。我記得老師說(shuō)過(guò)，樣本量小的時(shí)候，正態(tài)分布的估計(jì)不太穩(wěn)定，這時(shí)候用t分布更穩(wěn)妥，所以選B。7.在進(jìn)行方差分析時(shí)，我們需要滿足哪些假設(shè)條件？A.數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布B.各組方差相等C.樣本相互獨(dú)立D.以上都是。這個(gè)老師特別強(qiáng)調(diào)過(guò)，方差分析是個(gè)很敏感的檢驗(yàn)，這三個(gè)假設(shè)都得滿足，不然結(jié)果會(huì)很有偏差，所以選D。8.如果一個(gè)樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，我們應(yīng)該怎么辦？A.放棄這個(gè)數(shù)據(jù)B.嘗試用非參數(shù)檢驗(yàn)C.增加樣本量D.以上都對(duì)。我記得老師說(shuō)過(guò)，數(shù)據(jù)不正常時(shí)，可以考慮非參數(shù)檢驗(yàn)，或者用其他方法轉(zhuǎn)換一下，所以選B。9.在進(jìn)行回歸分析時(shí)，我們通常用哪個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量模型的擬合優(yōu)度？A.R平方B.p值C.t值D.F值。這個(gè)太重要了，老師上課時(shí)講了半天，R平方就是看模型解釋了多少變異，所以選A。10.如果一個(gè)回歸模型的R平方為0.8，這意味著什么？A.80%的因變量變異可以用自變量解釋B.80%的自變量變異可以用因變量解釋C.模型完全沒(méi)有預(yù)測(cè)能力D.模型完全沒(méi)有解釋力。我記得老師舉過(guò)例子，R平方就是自變量解釋因變量變異的比例，所以選A。11.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，我們犯第一類錯(cuò)誤的概率是多少？A.總是0B.總是1C.取決于顯著性水平D.取決于樣本量。這個(gè)老師講過(guò)，第一類錯(cuò)誤就是拒絕了本來(lái)成立的假設(shè)，概率就是顯著性水平α，所以選C。12.如果一個(gè)樣本均值為50，標(biāo)準(zhǔn)差為10，樣本量為30，那么樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤是多少？A.10B.5C.3.33D.1.67。我記得老師推過(guò)公式，標(biāo)準(zhǔn)誤就是標(biāo)準(zhǔn)差除以根號(hào)下樣本量，所以選D。13.在進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)時(shí)，我們需要假設(shè)兩組數(shù)據(jù)來(lái)自的總體方差相等嗎？A.是B.否C.有時(shí)候需要D.取決于樣本量。這個(gè)老師講過(guò)，有兩種檢驗(yàn)方法，一種是假設(shè)方差相等，一種是假設(shè)不相等，所以選C。14.如果一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的p值等于0.05，我們應(yīng)該怎么判斷？A.拒絕原假設(shè)B.接受原假設(shè)C.無(wú)法判斷D.需要更多數(shù)據(jù)。我記得老師說(shuō)過(guò)，p值等于顯著性水平時(shí)，處于臨界狀態(tài)，可以拒絕也可以不拒絕，所以選C。15.在進(jìn)行方差分析時(shí)，我們通常使用什么統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)各組均值是否存在顯著差異？A.F值B.t值C.z值D.卡方值。這個(gè)太重要了，老師上課時(shí)講了半天，F(xiàn)值就是用來(lái)比較各組方差的，所以選A。16.如果一個(gè)回歸模型的系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的p值小于0.05，這意味著什么？A.自變量對(duì)因變量有顯著影響B(tài).自變量對(duì)因變量沒(méi)有顯著影響C.模型完全沒(méi)有預(yù)測(cè)能力D.模型完全沒(méi)有解釋力。我記得老師講過(guò)，p值小于0.05說(shuō)明系數(shù)統(tǒng)計(jì)顯著，所以選A。17.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，我們犯第二類錯(cuò)誤的概率是多少？A.總是0B.總是1C.取決于顯著性水平D.取決于樣本量。這個(gè)老師講過(guò)，第二類錯(cuò)誤就是沒(méi)拒絕本來(lái)不成立的假設(shè)，概率就是1減去統(tǒng)計(jì)功效，所以選D。18.如果一個(gè)樣本數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布，樣本均值為50，標(biāo)準(zhǔn)差為10，樣本量為30，那么95%的置信區(qū)間是多少？A.(45.36,54.64)B.(44.13,55.87)C.(42.93,57.07)D.(41.70,58.30)。我記得老師推過(guò)公式，95%置信區(qū)間就是均值加減兩倍標(biāo)準(zhǔn)誤，所以選A。19.在進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)時(shí)，我們通常使用什么公式來(lái)計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量？A.t=(x?1-x?2)/(s_p*sqrt(1/n1+1/n2))B.t=(x?1-x?2)/(s1*sqrt(1/n1)+s2*sqrt(1/n2))C.t=(x?1-x?2)/(s_p*sqrt(2/(n1+n2)))D.t=(x?1-x?2)/(s1/s2*sqrt(1/n1+1/n2))。這個(gè)公式我記在筆記本上，老師講過(guò)兩種情況，一種是假設(shè)方差相等，一種是假設(shè)不相等，所以選A。20.如果一個(gè)樣本數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布，樣本均值為50，標(biāo)準(zhǔn)差為10，樣本量為30，那么樣本均值的95%置信區(qū)間是多少？A.(45.36,54.64)B.(44.13,55.87)C.(42.93,57.07)D.(41.70,58.30)。我記得老師推過(guò)公式，95%置信區(qū)間就是均值加減兩倍標(biāo)準(zhǔn)誤，所以選A。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。請(qǐng)把答案填寫在橫線上。）1.當(dāng)我們想要檢驗(yàn)一個(gè)樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于正態(tài)分布時(shí)，通常會(huì)采用__________統(tǒng)計(jì)方法。2.如果一個(gè)正態(tài)分布的樣本均值為50，標(biāo)準(zhǔn)差為10，那么大約__________%的數(shù)據(jù)會(huì)落在均值加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間。3.在進(jìn)行單樣本t檢驗(yàn)時(shí)，自由度等于__________。4.如果檢驗(yàn)的p值小于0.05，我們通常會(huì)做出__________判斷。5.雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)的主要區(qū)別在于__________。6.當(dāng)樣本量較小時(shí)，我們通常使用__________分布來(lái)近似正態(tài)分布。7.在進(jìn)行方差分析時(shí)，我們需要滿足__________假設(shè)條件。8.如果一個(gè)樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，我們應(yīng)該嘗試使用__________檢驗(yàn)。9.在進(jìn)行回歸分析時(shí)，我們通常用__________指標(biāo)來(lái)衡量模型的擬合優(yōu)度。10.如果一個(gè)回歸模型的R平方為0.8，這意味著__________。答案：一、選擇題1.B2.A3.A4.A5.C6.B7.D8.B9.A10.A11.C12.D13.C14.C15.A16.A17.D18.A19.A20.A二、填空題1.夏皮羅-威爾克2.683.樣本量減14.拒絕原假設(shè)5.拒絕域的位置6.t7.數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布、各組方差相等、樣本相互獨(dú)立8.非參數(shù)9.R平方10.80%的因變量變異可以用自變量解釋三、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上對(duì)應(yīng)位置。）1.簡(jiǎn)述單樣本t檢驗(yàn)的基本原理和應(yīng)用場(chǎng)景。我記得老師上課時(shí)說(shuō)過(guò)，單樣本t檢驗(yàn)就是拿一個(gè)樣本的均值跟一個(gè)已知或者假設(shè)的總體均值比一比，看看差別大不大。原理就是算出t統(tǒng)計(jì)量，看看它是不是足夠大，大到足以說(shuō)明樣本均值跟總體均值真的有差距，而不是純屬運(yùn)氣。應(yīng)用場(chǎng)景嘛，就是總體方差不知道的時(shí)候，或者樣本量比較小的時(shí)候，想檢驗(yàn)樣本均值是不是真的能代表某個(gè)總體均值。比如，想知道咱們學(xué)校學(xué)生的平均身高是不是跟全國(guó)同齡人平均值有差異，但咱們又沒(méi)全國(guó)所有同齡人的身高數(shù)據(jù)，就只好拿咱們學(xué)校抽樣測(cè)出來(lái)的一批學(xué)生數(shù)據(jù)，用單樣本t檢驗(yàn)來(lái)推斷一下。2.解釋什么是假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平，并說(shuō)明其作用。老師講過(guò)啊，顯著性水平就是咱們?cè)陂_(kāi)始檢驗(yàn)前定好的一個(gè)閾值，可以說(shuō)是一個(gè)"容忍犯第一類錯(cuò)誤"的程度。比如咱們定顯著性水平為0.05，意思就是咱們?cè)敢庥?%的概率犯第一類錯(cuò)誤，也就是把本來(lái)沒(méi)錯(cuò)的原假設(shè)給拒絕了。它的作用呢，就是用來(lái)判斷檢驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)顯著性，決定了咱們拒絕原假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)。p值小于顯著性水平，咱們就認(rèn)為結(jié)果是顯著的，有理由拒絕原假設(shè)；p值大于顯著性水平，咱們就認(rèn)為結(jié)果不顯著，沒(méi)充分理由拒絕原假設(shè)?？梢哉f(shuō)，顯著性水平是咱們做出統(tǒng)計(jì)決策的"分界線"。3.比較一下雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)的異同點(diǎn)。我記得老師特別強(qiáng)調(diào)過(guò)，這兩種檢驗(yàn)的主要區(qū)別就在拒絕域的位置上。雙側(cè)檢驗(yàn)是看結(jié)果是不是特別極端，無(wú)論是太大還是太小，只要特別就拒絕原假設(shè)，拒絕域在兩邊。而單側(cè)檢驗(yàn)?zāi)?，是看結(jié)果是不是特別大或者特別小，但只看一個(gè)方向，比如只關(guān)心是不是特別大，那就只在右側(cè)拒絕。相同點(diǎn)嘛，都是通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，然后跟臨界值比較，或者看p值，來(lái)決定是否拒絕原假設(shè)。選擇哪種檢驗(yàn)，主要看咱們事先對(duì)假設(shè)有沒(méi)有明確的方向性預(yù)期。如果咱們不確定結(jié)果會(huì)好還是會(huì)差，就用雙側(cè)；如果咱們根據(jù)理論或者經(jīng)驗(yàn)知道結(jié)果只會(huì)朝一個(gè)方向發(fā)展，就用單側(cè)。老師還說(shuō)過(guò)，單側(cè)檢驗(yàn)通常更有說(shuō)服力，因?yàn)榫芙^原假設(shè)的概率更大。4.描述一下進(jìn)行方差分析的基本步驟。方差分析啊，老師講過(guò)可以分成這么幾步：第一步是檢查數(shù)據(jù)是否符合方差分析的前提條件，主要是正態(tài)性、方差齊性和樣本獨(dú)立性。如果不符合，可能需要數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換或者使用非參數(shù)檢驗(yàn)。第二步是提出假設(shè)，原假設(shè)是各組均值相等，備擇假設(shè)是至少有兩個(gè)組均值不等。第三步是計(jì)算各組樣本均值、樣本方差，然后算出總平方和、組間平方和、組內(nèi)平方和。第四步是根據(jù)這些平方和算出MSB和MSW，然后算出F統(tǒng)計(jì)量。第五步是查F分布表，找到臨界值，或者計(jì)算p值，然后跟顯著性水平比較，決定是否拒絕原假設(shè)。最后一步是根據(jù)結(jié)果做出結(jié)論，如果拒絕原假設(shè)，還需要用多重比較方法找出哪些組之間有顯著差異。老師還說(shuō)過(guò)，方差分析是個(gè)很"講究"的檢驗(yàn)，前提條件不滿足，結(jié)果就不可信。5.解釋什么是回歸分析中的R平方，并說(shuō)明其含義。老師講過(guò)啊，R平方就是回歸模型的"解釋力"指標(biāo)，它表示因變量的總變異中，有多少比例可以被自變量解釋。具體來(lái)說(shuō)，就是回歸平方和占總平方和的比例。R平方的取值范圍在0到1之間，越接近1說(shuō)明模型解釋力越強(qiáng)，自變量對(duì)因變量的解釋程度越高；越接近0說(shuō)明模型解釋力越弱，自變量對(duì)因變量的解釋程度越低。比如，如果R平方是0.8，就說(shuō)明80%的因變量變異可以用自變量解釋，剩下的20%是其他因素或者隨機(jī)誤差導(dǎo)致的。老師還說(shuō)過(guò)，R平方雖然很常用，但也不是越高越好，有時(shí)候模型可能過(guò)擬合，R平方很高但泛化能力差，這時(shí)候就需要考慮其他指標(biāo)，比如調(diào)整后的R平方。四、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請(qǐng)將計(jì)算過(guò)程和答案寫在答題紙上對(duì)應(yīng)位置。）1.某班級(jí)30名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?2,85,63,90,78,82,75,68,88,95,70,85,80,77,92,65,78,88,76,84,79,91,73,87,74,83,69,86,80,81。假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)該班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的均值是否顯著高于80分（α=0.05）。我記得老師上課時(shí)說(shuō)過(guò)，先要算出樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差，然后才能算t統(tǒng)計(jì)量。算出來(lái)樣本均值是81，標(biāo)準(zhǔn)差是7.87，樣本量是30。然后算t統(tǒng)計(jì)量，就是(81-80)/(7.87/sqrt(30))，等于0.79。查t分布表，自由度是29，顯著性水平是0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值是2.045。因?yàn)?.79小于2.045，所以p值大于0.05，不能拒絕原假設(shè)，也就是說(shuō)沒(méi)有充分證據(jù)表明該班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)顯著高于80分。2.從兩個(gè)班級(jí)分別隨機(jī)抽取了10名學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢喊嗉?jí)A：78,82,85,80,83,79,81,84,77,82；班級(jí)B：75,78,72,76,74,77,73,79,71,80。檢驗(yàn)兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)是否有顯著差異（α=0.05）。我記得老師講過(guò)，因?yàn)椴恢婪讲钍欠裣嗟?，所以要先用F檢驗(yàn)檢驗(yàn)方差齊性。算出來(lái)班級(jí)A的均值是81.3，標(biāo)準(zhǔn)差是2.93；班級(jí)B的均值是74.8，標(biāo)準(zhǔn)差是2.68。算出MSB是8.58，MSW是7.18，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量是1.20。查F分布表，分子自由度是9，分母自由度是18，顯著性水平是0.05，臨界值是2.46。因?yàn)?.20小于2.46，所以p值大于0.05，不能拒絕方差相等的假設(shè)。然后用兩組方差相等的t檢驗(yàn)，算出t統(tǒng)計(jì)量是4.24，自由度是18，臨界值是2.101。因?yàn)?.24大于2.101，所以p值小于0.05，拒絕原假設(shè)，說(shuō)明兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)有顯著差異。3.某研究想要檢驗(yàn)三種不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)是否有顯著影響，隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，平均分成三組，分別用三種方法教學(xué)，期末考試成績(jī)?nèi)缦拢悍椒ˋ：85,82,88,90,84；方法B：78,80,75,82,79；方法C：88,90,92,86,89。檢驗(yàn)三種教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)是否有顯著影響（α=0.05）。我記得老師講過(guò)，先要算出各組樣本均值和樣本方差，然后才能做方差分析。算出來(lái)方法A的均值是85.4，方差是9.7；方法B的均值是79.2，方差是7.7；方法C的均值是88.6，方差是9.3。然后算總平方和是452，組間平方和是532.8，組內(nèi)平方和是19.2。算出MSB是266.4，MSW是6.4，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量是41.5。查F分布表，分子自由度是2，分母自由度是27，顯著性水平是0.05，臨界值是3.35。因?yàn)?1.5大于3.35，所以p值小于0.05，拒絕原假設(shè)，說(shuō)明三種教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)有顯著影響。但老師還說(shuō)過(guò)，這只是說(shuō)明有差異，具體是哪兩個(gè)組有差異，還需要用多重比較來(lái)檢驗(yàn)。4.某研究想要檢驗(yàn)一種新的教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否有顯著影響，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生，其中10名學(xué)生用新方法教學(xué)，10名學(xué)生用傳統(tǒng)方法教學(xué)，期末考試成績(jī)?nèi)缦拢盒路椒ǎ?5,82,88,90,84,87,86,89,83,80；傳統(tǒng)方法：78,80,75,82,79,81,80,77,76,83。檢驗(yàn)新教學(xué)方法是否顯著提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（α=0.05）。我記得老師講過(guò)，因?yàn)椴恢婪讲钍欠裣嗟?，要先做F檢驗(yàn)。算出來(lái)新方法的均值是85.3，標(biāo)準(zhǔn)差是3.14；傳統(tǒng)方法的均值是78.8，標(biāo)準(zhǔn)差是2.83。算出MSB是48.4，MSW是8.6，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量是5.6。查F分布表，分子自由度是1，分母自由度是18，顯著性水平是0.05，臨界值是4.41。因?yàn)?.6大于4.41，所以p值小于0.05，拒絕方差相等的假設(shè)。然后用兩組方差不等的t檢驗(yàn)，算出t統(tǒng)計(jì)量是3.8，分子自由度是9.2，分母自由度是11.4，臨界值是2.262。因?yàn)?.8大于2.262，所以p值小于0.05，拒絕原假設(shè)，說(shuō)明新教學(xué)方法顯著提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。5.某研究想要檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(x)和物理成績(jī)(y)之間是否存在線性關(guān)系，隨機(jī)抽取了15名學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦拢簲?shù)學(xué)成績(jī)：85,82,88,90,84,87,86,89,83,80,78,75,82,79,81；物理成績(jī)：88,80,85,87,82,86,84,90,81,77,74,72,80,78,76。計(jì)算回歸方程，并解釋其含義。我記得老師講過(guò)，先要計(jì)算相關(guān)系數(shù)，然后才能計(jì)算回歸方程。算出來(lái)相關(guān)系數(shù)是0.89，然后計(jì)算回歸系數(shù)b1是0.75，b0是-1.2。所以回歸方程是y=-1.2+0.75x。這個(gè)方程的意思是，數(shù)學(xué)成績(jī)每提高1分，物理成績(jī)平均提高0.75分；當(dāng)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?分時(shí)，物理成績(jī)預(yù)測(cè)值為-1.2分，當(dāng)然這個(gè)在實(shí)際中沒(méi)什么意義。老師還說(shuō)過(guò)，這個(gè)方程可以用來(lái)預(yù)測(cè)物理成績(jī)，但預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性需要用決定系數(shù)R平方來(lái)評(píng)價(jià)，算出來(lái)R平方是0.79，說(shuō)明79%的物理成績(jī)變異可以用數(shù)學(xué)成績(jī)解釋。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于正態(tài)分布，最常用且精確的方法是夏皮羅-威爾克檢驗(yàn)（Shapiro-Wilktest），它專門用于小樣本的正態(tài)性檢驗(yàn)?？ǚ綑z驗(yàn)主要用于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)。克魯斯卡爾-沃利斯檢驗(yàn)是非參數(shù)檢驗(yàn)，用于比較多組獨(dú)立樣本的中位數(shù)差異。費(fèi)舍爾精確檢驗(yàn)是用于小樣本比例的檢驗(yàn)，與正態(tài)性檢驗(yàn)無(wú)關(guān)。因此，選擇B。2.A解析：根據(jù)正態(tài)分布的3西格瑪原則，約68%的數(shù)據(jù)落在均值加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間。題中樣本均值為50，標(biāo)準(zhǔn)差為10，所以68%的數(shù)據(jù)落在50-10到50+10之間，即(40,60)。因此，選擇A。3.A解析：?jiǎn)螛颖総檢驗(yàn)的自由度計(jì)算公式為樣本量減1。這是因?yàn)閠分布是基于樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，樣本量減1是為了得到無(wú)偏的方差估計(jì)。因此，選擇A。4.A解析：在假設(shè)檢驗(yàn)中，p值小于顯著性水平（通常為0.05）意味著檢驗(yàn)結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)顯著性，有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。因此，選擇A。5.C解析：雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)的主要區(qū)別在于拒絕域的位置。雙側(cè)檢驗(yàn)關(guān)注樣本統(tǒng)計(jì)量是否顯著偏離假設(shè)值，拒絕域位于分布的兩端；單側(cè)檢驗(yàn)關(guān)注樣本統(tǒng)計(jì)量是否顯著大于或小于假設(shè)值，拒絕域位于分布的一端。因此，選擇C。6.B解析：當(dāng)樣本量較小時(shí)（通常小于30），樣本均值的分布近似于t分布，而不是正態(tài)分布。t分布考慮了樣本量小帶來(lái)的抽樣誤差，因此更適用于小樣本推斷。因此，選擇B。7.D解析：方差分析（ANOVA）需要滿足三個(gè)基本假設(shè)條件：數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布、各組方差相等（方差齊性）、樣本相互獨(dú)立。這三個(gè)假設(shè)條件保證了方差分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。因此，選擇D。8.B解析：如果一個(gè)樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，可以考慮使用非參數(shù)檢驗(yàn)方法，如符號(hào)檢驗(yàn)、秩和檢驗(yàn)等。非參數(shù)檢驗(yàn)不依賴于數(shù)據(jù)的分布假設(shè)，因此適用于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)。放棄數(shù)據(jù)或增加樣本量可能無(wú)法解決分布問(wèn)題，或者導(dǎo)致信息損失。因此，選擇B。9.A解析：在回歸分析中，R平方（決定系數(shù)）是衡量模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)，它表示因變量的總變異中有多少比例可以被自變量解釋。因此，選擇A。10.A解析：如果一個(gè)回歸模型的R平方為0.8，意味著80%的因變量變異可以用自變量解釋，即80%的因變量變異可以被模型解釋。因此，選擇A。11.C解析：在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率就是顯著性水平α。顯著性水平是研究者事先設(shè)定的閾值，用于控制拒絕原假設(shè)時(shí)犯錯(cuò)的概率。因此，選擇C。12.D解析：樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本量的平方根。題中標(biāo)準(zhǔn)差為10，樣本量為30，所以標(biāo)準(zhǔn)誤為10/sqrt(30)≈1.67。因此，選擇D。13.C解析：雙樣本t檢驗(yàn)有兩種情況：一種是假設(shè)兩組數(shù)據(jù)來(lái)自的總體方差相等（等方差t檢驗(yàn)），另一種是假設(shè)不相等（異方差t檢驗(yàn)）。在開(kāi)始檢驗(yàn)前，需要先檢驗(yàn)兩組方差是否相等，然后選擇合適的t檢驗(yàn)方法。因此，選擇C。14.C解析：如果p值等于顯著性水平（通常為0.05），意味著檢驗(yàn)結(jié)果處于臨界狀態(tài)。在這種情況下，既不能明確拒絕也不能明確接受原假設(shè)，需要更多的信息或數(shù)據(jù)來(lái)做出決策。因此，選擇C。15.C解析：雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)的主要區(qū)別在于拒絕域的位置。雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域位于分布的兩端，而單側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域位于分布的一端。其他選項(xiàng)描述的不是主要區(qū)別。因此，選擇C。16.A解析：如果一個(gè)回歸模型的系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的p值小于0.05，意味著該系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上顯著異于0，即自變量對(duì)因變量有顯著影響。因此，選擇A。17.D解析：在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第二類錯(cuò)誤的概率取決于樣本量、效應(yīng)大小和顯著性水平。樣本量越大、效應(yīng)越大、顯著性水平越高，犯第二類錯(cuò)誤的概率越低。因此，選擇D。18.A解析：對(duì)于一個(gè)正態(tài)分布的樣本，95%的置信區(qū)間計(jì)算公式為均值加減1.96倍的標(biāo)準(zhǔn)誤。題中均值是50，標(biāo)準(zhǔn)誤是1.67（標(biāo)準(zhǔn)差10除以根號(hào)30），所以95%置信區(qū)間為50-1.96*1.67到50+1.96*1.67，即(45.36,54.64)。因此，選擇A。19.A解析：在進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)時(shí)，如果假設(shè)兩組數(shù)據(jù)來(lái)自的總體方差相等，使用等方差t檢驗(yàn)的公式為t=(x?1-x?2)/(s_p*sqrt(1/n1+1/n2))，其中s_p是合并標(biāo)準(zhǔn)差。其他選項(xiàng)描述的不是等方差t檢驗(yàn)的公式。因此，選擇A。20.A解析：與第18題相同，對(duì)于一個(gè)正態(tài)分布的樣本，95%的置信區(qū)間計(jì)算公式為均值加減1.96倍的標(biāo)準(zhǔn)誤。題中均值是50，標(biāo)準(zhǔn)誤是1.67（標(biāo)準(zhǔn)差10除以根號(hào)30），所以95%置信區(qū)間為50-1.96*1.67到50+1.96*1.67，即(45.36,54.64)。因此，選擇A。二、填空題答案及解析1.夏皮羅-威爾克解析：檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于正態(tài)分布，最常用且精確的方法是夏皮羅-威爾克檢驗(yàn)（Shapiro-Wilktest），它專門用于小樣本的正態(tài)性檢驗(yàn)。因此，填寫夏皮羅-威爾克。2.68解析：根據(jù)正態(tài)分布的3西格瑪原則，約68%的數(shù)據(jù)落在均值加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間。因此，填寫68。3.樣本量減1解析：?jiǎn)螛颖総檢驗(yàn)的自由度計(jì)算公式為樣本量減1。這是因?yàn)閠分布是基于樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，樣本量減1是為了得到無(wú)偏的方差估計(jì)。因此，填寫樣本量減1。4.拒絕原假設(shè)解析：在假設(shè)檢驗(yàn)中，p值小于顯著性水平（通常為0.05）意味著檢驗(yàn)結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)顯著性，有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。因此，填寫拒絕原假設(shè)。5.拒絕域的位置解析：雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)的主要區(qū)別在于拒絕域的位置。雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域位于分布的兩端，而單側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域位于分布的一端。因此，填寫拒絕域的位置。6.t解析：當(dāng)樣本量較小時(shí)（通常小于30），樣本均值的分布近似于t分布，而不是正態(tài)分布。t分布考慮了樣本量小帶來(lái)的抽樣誤差，因此更適用于小樣本推斷。因此，填寫t。7.數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布、各組方差相等、樣本相互獨(dú)立解析：方差分析（ANOVA）需要滿足三個(gè)基本假設(shè)條件：數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布、各組方差相等（方差齊性）、樣本相互獨(dú)立。這三個(gè)假設(shè)條件保證了方差分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。因此，填寫數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布、各組方差相等、樣本相互獨(dú)立。8.非參數(shù)解析：如果一個(gè)樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，可以考慮使用非參數(shù)檢驗(yàn)方法，如符號(hào)檢驗(yàn)、秩和檢驗(yàn)等。非參數(shù)檢驗(yàn)不依賴于數(shù)據(jù)的分布假設(shè)，因此適用于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)。因此，填寫非參數(shù)。9.R平方解析：在回歸分析中，R平方（決定系數(shù)）是衡量模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)，它表示因變量的總變異中有多少比例可以被自變量解釋。因此，填寫R平方。10.80%的因變量變異可以用自變量解釋解析：如果一個(gè)回歸模型的R平方為0.8，意味著80%的因變量變異可以用自變量解釋，即80%的因變量變異可以被模型解釋。因此，填寫80%的因變量變異可以用自變量解釋。三、簡(jiǎn)答題答案及解析1.單樣本t檢驗(yàn)的基本原理是，通過(guò)計(jì)算樣本均值與假設(shè)的總體均值之間的差異，并將其標(biāo)準(zhǔn)化，來(lái)檢驗(yàn)樣本均值是否顯著不同于假設(shè)的總體均值。具體來(lái)說(shuō)，首先計(jì)算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，然后根據(jù)樣本量計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量。t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為（樣本均值-假設(shè)的總體均值）/（樣本標(biāo)準(zhǔn)差/樣本量平方根）。接下來(lái)，根據(jù)自由度（樣本量減1）和顯著性水平，查找t分布表或使用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算p值。如果p值小于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為樣本均值顯著不同于假設(shè)的總體均值；否則，不能拒絕原假設(shè)。應(yīng)用場(chǎng)景包括檢驗(yàn)樣本均值是否顯著不同于某個(gè)已知或假設(shè)的總體均值，尤其是在總體方差未知且樣本量較小時(shí)。例如，可以用來(lái)檢驗(yàn)?zāi)嘲嗉?jí)學(xué)生的平均身高是否顯著高于全國(guó)同齡人平均值。2.顯著性水平（α）是在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)之前設(shè)定的一個(gè)閾值，用于控制犯第一類錯(cuò)誤的概率。犯第一類錯(cuò)誤是指拒絕了實(shí)際上成立的原假設(shè)。顯著性水平通常設(shè)定為0.05、0.01或0.10等，表示研究者愿意承擔(dān)的犯第一類錯(cuò)誤的概率。例如，如果顯著性水平設(shè)定為0.05，意味著研究者愿意承擔(dān)5%的概率錯(cuò)誤地拒絕了原假設(shè)。顯著性水平的作用是提供一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，用于判斷檢驗(yàn)結(jié)果是否具有統(tǒng)計(jì)顯著性。如果檢驗(yàn)得到的p值小于顯著性水平，則認(rèn)為檢驗(yàn)結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)顯著性，有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)；如果p值大于或等于顯著性水平，則認(rèn)為檢驗(yàn)結(jié)果不具有統(tǒng)計(jì)顯著性，沒(méi)有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。通過(guò)設(shè)定顯著性水平，研究者可以在控制犯第一類錯(cuò)誤概率的同時(shí)，做出統(tǒng)計(jì)決策。3.雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)的主要區(qū)別在于拒絕域的位置。雙側(cè)檢驗(yàn)關(guān)注樣本統(tǒng)計(jì)量是否顯著偏離假設(shè)值，拒絕域位于分布的兩端；單側(cè)檢驗(yàn)關(guān)注樣本統(tǒng)計(jì)量是否顯著大于或小于假設(shè)值，拒絕域位于分布的一端。具體來(lái)說(shuō)，雙側(cè)檢驗(yàn)的原假設(shè)是樣本統(tǒng)計(jì)量等于假設(shè)值，備擇假設(shè)是樣本統(tǒng)計(jì)量不等于假設(shè)值，拒絕域位于分布的兩端。單側(cè)檢驗(yàn)可以分為左側(cè)檢驗(yàn)和右側(cè)檢驗(yàn)，左側(cè)檢驗(yàn)的原假設(shè)是樣本統(tǒng)計(jì)量大于或等于假設(shè)值，備擇假設(shè)是樣本統(tǒng)計(jì)量小于假設(shè)值，拒絕域位于分布的左側(cè)；右側(cè)檢驗(yàn)的原假設(shè)是樣本統(tǒng)計(jì)量小于或等于假設(shè)值，備擇假設(shè)是樣本統(tǒng)計(jì)量大于假設(shè)值，拒絕域位于分布的右側(cè)。選擇雙側(cè)檢驗(yàn)還是單側(cè)檢驗(yàn)取決于研究者對(duì)假設(shè)的方向性預(yù)期。如果研究者對(duì)假設(shè)的方向沒(méi)有明確預(yù)期，或者關(guān)心樣本統(tǒng)計(jì)量是否顯著偏離假設(shè)值，應(yīng)選擇雙側(cè)檢驗(yàn)；如果研究者對(duì)假設(shè)的方向有明確預(yù)期，或者關(guān)心樣本統(tǒng)計(jì)量是否顯著大于或小于假設(shè)值，應(yīng)選擇單側(cè)檢驗(yàn)。4.進(jìn)行方差分析的基本步驟包括：首先，檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合方差分析的前提條件，主要是正態(tài)性、方差齊性和樣本相互獨(dú)立。如果不符合這些前提條件，可能需要進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換或使用非參數(shù)檢驗(yàn)方法。其次，提出假設(shè)，原假設(shè)是所有組的均值相等，備擇假設(shè)是至少有兩個(gè)組的均值不等。然后，計(jì)算各組樣本均值、樣本方差，以及總平方和、組間平方和、組內(nèi)平方和。接下來(lái)，根據(jù)這些平方和計(jì)算均值平方（MSB和MSW），然后計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量（MSB/MSW）。最后，根據(jù)自由度和顯著性水平，查找F分布表或使用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算p值。如果p值小于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為至少有兩個(gè)組的均值不等；否則，不能拒絕原假設(shè)。如果拒絕原假設(shè)，還需要進(jìn)行多重比較，以確定哪些組之間有顯著差異。方差分析是一種常用的統(tǒng)計(jì)方法，用于比較多組獨(dú)立樣本的均值差異，廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域。5.回歸分析中的R平方（決定系數(shù)）是衡量模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)，它表示因變量的總變異中有多少比例可以被自變量解釋。具體來(lái)說(shuō)，R平方的計(jì)算公式為回歸平方和（SSR）除以總平方和（SST），即R平方=SSR/SST。R平方的取值范圍在0到1之間，越接近1說(shuō)明模型解釋力越強(qiáng)，自變量對(duì)因變量的解釋程度越高；越接近0說(shuō)明模型解釋力越弱，自變量對(duì)因變量的解釋程度越低。例如，如果R平方是0.8，就說(shuō)明80%的因變量變異可以用自變量解釋，剩下的20%是其他因素或者隨機(jī)誤差導(dǎo)致的。R平方的作用是提供一個(gè)直觀的指標(biāo)，用于評(píng)價(jià)模型的擬合程度。然而，R平方也有一些局限性，比如它隨著自變量個(gè)數(shù)的增加而增加，即使自變量之間沒(méi)有實(shí)際關(guān)系，R平方也會(huì)增加。因此，在評(píng)價(jià)模型擬合優(yōu)度時(shí)，還需要考慮其他指標(biāo)，如調(diào)整后的R平方、F統(tǒng)計(jì)量等。四、計(jì)算題答案及解析1.檢驗(yàn)該班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的均值是否顯著高于80分（α=0.05）。首先，計(jì)算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差。樣本數(shù)據(jù)為：72,85,63,90,78,82,75,68,88,95,70,85,80,77,92,65,78,88,76,84,79,91,73,87,74,83,69,86,80,81。樣本均值：x?=(72+85+63+90+78+82+75+68+88+95+70+85+80+77+92+65+78+88+76+84+79+91+73+87+74+83+69+86+80+81)/30x?=2430/30x?=81樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s=sqrt(((72-81)^2+(85-81)^2+...+(81-81)^2)/(30-1))s=sqrt(6328/29)s≈14.93然后，計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：t=(x?-μ)/(s/sqrt(n))t=(81-80)/(14.93/sqrt(30))t≈0.79查t分布表，自由度df=30-1=29，顯著性水平α=0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值t_critical≈2.045。因?yàn)閨t|=0.79<2.045，所以p值>0.05。因此，不能拒絕原假設(shè)，即沒(méi)有充分證據(jù)表明該班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)顯著高于80分。2.檢驗(yàn)兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)是否有顯著差異（α=0.05）。班級(jí)A數(shù)據(jù)：78,82,85,80,83,79,81,84,77,82班級(jí)B數(shù)據(jù)：75,78,72,76,74,77,73,79,71,80首先，計(jì)算兩組樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差：班級(jí)A：x?A=(78+82+85+80+83+79+81+84+77+82)/10x?A=814/10x?A=81.4sA=sqrt(((78-81.4)^2+...+(82-81.4)^2)/(10-1))sA≈2.93班級(jí)B：x?B=(75+78+72+76+74+77+73+79+71+80)/10x?B=760/10x?B=76sB=sqrt(((75-76)^2+...+(80-76)^2)/(10-1))sB≈2.68然后，進(jìn)行F檢驗(yàn)，檢驗(yàn)兩組方差是否相等：MSA=sA^2=(2.93)^2≈8.58MSB=sB^2=(2.68)^2≈7.18F=MSA/MSBF=8.58/7.18F≈1.20查F分布表，分子自由度df1=10-1=9，分母自由度df2=10-1=9，顯著性水平α=0.05，臨界值F_critical≈2.46。因?yàn)镕=1.20<2.46，所以p值>0.05。因此，不能拒絕方差相等的假設(shè)。t=(x?A-x?B)/sqrt((MSA+MSB)/(nA+nB)*(1/nA+1/nB))t=(81.4-76)/sqrt((8.58+7.18)/(10+10)*(1/10+1/10))t=5.4/sqrt(15.76/20*0.2)t=5.4/sqrt(0.394)t≈4.24查t分布表，自由度df=nA+nB-2=18，顯著性水平α=0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值t_critical≈2.101。因?yàn)閨t|=4.24>2.101，所以p值<0.05。因此，拒絕原假設(shè)，即兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)有顯著差異。3.檢驗(yàn)三種不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)是否有顯著影響（α=0.05）。方法A數(shù)據(jù)：85,82,88,90,84方法B數(shù)據(jù)：78,80,75,82,79方法C數(shù)據(jù)：88,90,92,86,89首先，計(jì)算各組樣本均值和樣本方差：方法A：x?A=(85+82+88+90+84)/5x?A=419/5x?A=83.8sA^2=((85-83.8)^2+...+(84-83.8)^2)/(5-1)sA^2≈9.7sA≈3.11方法B：x?B=(78+80+75+82+79)/5x?B=394/5x?B=78.8sB^2=((78-78.8)^2+...+(79-78.8)^2)/(5-1)sB^2≈7.7sB≈2.78方法C：x?C=(88+90+92+86+89)/5x?C=445/5x?C=89sC^2=((88-89)^2+...+(89-89)^2)/(5-1)sC^2≈9.3sC≈3.05然后，進(jìn)行方差分析：總平方和：SST=((85-81.6)^2+...+(89-81.6)^2)SST=452組間平方和：SSB=5*((83.8-81.6)^2+(78.8-81.6)^2+(89-81.6)^2)SSB=5*(4.84+7.84+57.76)SSB=5*70.44SSB=352.2組內(nèi)平方和：SSE=9.7+7.7+9.3SSE=26.7MSB=SSB/(k-1)=352.2/(3-1)=176.1MSW=SSE/(N-k)