2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試——統(tǒng)計(jì)推斷與檢驗(yàn)題型解析案例考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.在參數(shù)估計(jì)中，用來衡量估計(jì)量抽樣分布集中程度的是（）A.標(biāo)準(zhǔn)誤差B.方差C.抽樣極限誤差D.置信水平2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），當(dāng)σ2已知時(shí)，關(guān)于μ的置信區(qū)間長(zhǎng)度L與置信水平1-α的關(guān)系是（）A.L隨1-α增大而增大B.L隨1-α增大而減小C.L與1-α無關(guān)D.L隨1-α的變化不確定3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率記作α，犯第二類錯(cuò)誤的概率記作β，則下列說法正確的是（）A.α+β=1B.α和β不能同時(shí)減小C.α和β可以同時(shí)減小D.α和β的大小取決于樣本量4.設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布B（n，p），其中n已知，p未知，要檢驗(yàn)H?：p=p?vsH?：p≠p?，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)5.對(duì)于正態(tài)總體X的均值μ的假設(shè)檢驗(yàn)，若拒絕域?yàn)閨t|>tα/2（n-1），則該檢驗(yàn)的顯著性水平為（）A.α/2B.αC.1-α/2D.1-α6.設(shè)總體X的分布未知，要檢驗(yàn)H?：μ=μ?vsH?：μ≠μ?，當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)方法是（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)7.在方差分析中，若要檢驗(yàn)k個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等，應(yīng)選擇的方法是（）A.單因素方差分析B.雙因素方差分析C.回歸分析D.相關(guān)分析8.設(shè)總體X和Y的協(xié)方差矩陣為Σ，則X和Y的線性組合Z=AX+b（A為矩陣，b為向量）的協(xié)方差矩陣為（）A.ΣAB.AΣA?C.ΣD.A?ΣA9.在回歸分析中，若回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕H?：β=0，則說明（）A.自變量對(duì)因變量有顯著影響B(tài).自變量對(duì)因變量沒有顯著影響C.因變量對(duì)自變量有顯著影響D.因變量對(duì)自變量沒有顯著影響10.設(shè)總體X服從泊松分布P（λ），要檢驗(yàn)H?：λ=λ?vsH?：λ≠λ?，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)11.在卡方檢驗(yàn)中，若要檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否獨(dú)立，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)方法是（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)12.設(shè)總體X和Y的聯(lián)合分布已知，要估計(jì)X和Y的協(xié)方差，應(yīng)使用的估計(jì)量是（）A.X的樣本方差B.Y的樣本方差C.X和Y的樣本協(xié)方差D.X和Y的樣本相關(guān)系數(shù)13.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕H?，則說明（）A.H?為真B.H?為假C.H?為真D.H?為假14.設(shè)總體X服從指數(shù)分布Exp（λ），要檢驗(yàn)H?：λ=λ?vsH?：λ≠λ?，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)15.在方差分析中，若要檢驗(yàn)兩個(gè)因素的交互作用是否顯著，應(yīng)選擇的方法是（）A.單因素方差分析B.雙因素方差分析C.回歸分析D.相關(guān)分析16.設(shè)總體X和Y的聯(lián)合分布已知，要估計(jì)X和Y的協(xié)方差，應(yīng)使用的估計(jì)量是（）A.X的樣本方差B.Y的樣本方差C.X和Y的樣本協(xié)方差D.X和Y的樣本相關(guān)系數(shù)17.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若檢驗(yàn)結(jié)果為不拒絕H?，則說明（）A.H?為真B.H?為假C.H?為真D.H?為假18.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ未知，σ2已知，要檢驗(yàn)H?：μ=μ?vsH?：μ≠μ?，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)19.在回歸分析中，若回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果為不拒絕H?：β=0，則說明（）A.自變量對(duì)因變量有顯著影響B(tài).自變量對(duì)因變量沒有顯著影響C.因變量對(duì)自變量有顯著影響D.因變量對(duì)自變量沒有顯著影響20.設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布B（n，p），其中n已知，p未知，要檢驗(yàn)H?：p=p?vsH?：p<p?，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。請(qǐng)將答案填寫在題中橫線上。）1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ未知，σ2已知，要估計(jì)μ，應(yīng)使用的估計(jì)量是________。2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率記作α，犯第二類錯(cuò)誤的概率記作β，則α和β的關(guān)系是________。3.設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布B（n，p），其中n已知，p未知，要檢驗(yàn)H?：p=p?vsH?：p≠p?，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)方法是________。4.對(duì)于正態(tài)總體X的均值μ的假設(shè)檢驗(yàn)，若拒絕域?yàn)閨t|>tα/2（n-1），則該檢驗(yàn)的顯著性水平為________。5.設(shè)總體X的分布未知，要檢驗(yàn)H?：μ=μ?vsH?：μ≠μ?，當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)方法是________。6.在方差分析中，若要檢驗(yàn)k個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等，應(yīng)選擇的方法是________。7.設(shè)總體X和Y的協(xié)方差矩陣為Σ，則X和Y的線性組合Z=AX+b（A為矩陣，b為向量）的協(xié)方差矩陣為________。8.在回歸分析中，若回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕H?：β=0，則說明________。9.設(shè)總體X服從泊松分布P（λ），要檢驗(yàn)H?：λ=λ?vsH?：λ≠λ?，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是________。10.在卡方檢驗(yàn)中，若要檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否獨(dú)立，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)方法是________。三、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上對(duì)應(yīng)題號(hào)下。）1.簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)的兩種基本方法及其特點(diǎn)。在咱們統(tǒng)計(jì)學(xué)這門課上，參數(shù)估計(jì)這部分的干貨可真不少啊。它就像是給未知的世界畫個(gè)大概的輪廓，讓我們知道總體的特征。主要有兩種方法，一種是點(diǎn)估計(jì)，另一種是區(qū)間估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)呢，就是找一個(gè)具體的數(shù)值來代表總體參數(shù)，比如用樣本均值來估計(jì)總體均值，用樣本方差來估計(jì)總體方差。這種方法簡(jiǎn)單直接，計(jì)算起來方便，但缺點(diǎn)就是太絕對(duì)了，容易讓人誤以為這個(gè)數(shù)值就是百分之百準(zhǔn)確，其實(shí)不然。就像你給我猜個(gè)數(shù)，我猜個(gè)50，你說準(zhǔn)了，但其實(shí)可能是60，也可能是40，點(diǎn)估計(jì)就是這種“一把抓”的方式。而區(qū)間估計(jì)呢，它就聰明多了，它不會(huì)給你一個(gè)確定的數(shù)值，而是給你一個(gè)范圍，比如95%的置信區(qū)間，這意味著如果我們重復(fù)抽樣很多次，有95%的次數(shù)，這個(gè)范圍會(huì)包含真實(shí)的總體均值。這種方法更科學(xué)，因?yàn)樗姓J(rèn)了不確定性，給了我們一個(gè)大概的范圍。但缺點(diǎn)是范圍可能有點(diǎn)大，不夠精確。總的來說，點(diǎn)估計(jì)就是給個(gè)精確的答案，但可能不對(duì)；區(qū)間估計(jì)就是給個(gè)大概的范圍，但比較靠譜。2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，如何理解顯著性水平α和犯第二類錯(cuò)誤的概率β之間的關(guān)系？在假設(shè)檢驗(yàn)的世界里，α和β這兩個(gè)小家伙可有意思了。α啊，就是咱們犯第一類錯(cuò)誤的概率，簡(jiǎn)單來說，就是原假設(shè)H?其實(shí)為真，但咱們卻把它拒絕了，這就叫“冤枉好人”。而β呢，就是犯第二類錯(cuò)誤的概率，就是原假設(shè)H?其實(shí)為假，但咱們卻沒把它拒絕，這就叫“放跑壞人”。這兩者之間的關(guān)系，就像是咱們?cè)诖虻厥?，你每次都瞄?zhǔn)，但要么打得太高，要么打得太低，就是沒打中。α就像是你的瞄準(zhǔn)點(diǎn)，你定得太高，就容易打得太高（犯第一類錯(cuò)誤）；你定得太低，就容易打得太低（犯第二類錯(cuò)誤）。這兩者通常是相互制約的，你想要降低α，也就是提高檢驗(yàn)的嚴(yán)格程度，那β就傾向于升高，反之亦然。這就像你把地鼠打得更準(zhǔn)了，但地鼠跑得更快更隱蔽了。所以，在實(shí)際操作中，咱們需要在α和β之間做一個(gè)權(quán)衡，看看哪個(gè)更重要。比如說，在醫(yī)學(xué)試驗(yàn)中，如果你檢驗(yàn)一種新藥，原假設(shè)是這藥沒用，備擇假設(shè)是這藥有用，那你肯定不希望犯第二類錯(cuò)誤，也就是不希望這藥真的有用但你卻沒發(fā)現(xiàn)，所以你會(huì)傾向于控制β，即使這意味著可能會(huì)犯第一類錯(cuò)誤（即這藥沒用但你卻覺得它有用）?？傊梁挺率且粚?duì)“歡喜冤家”，得看情況好好處理。3.簡(jiǎn)述單因素方差分析和雙因素方差分析的主要區(qū)別。咱們學(xué)方差分析，就好比是給不同的小組做比較，看看它們之間有沒有啥實(shí)質(zhì)性的差異。單因素方差分析啊，就好比是一個(gè)裁判只關(guān)注一個(gè)方面，比如只看不同組別（比如不同教學(xué)方法）的分?jǐn)?shù)有沒有差異。它只有一個(gè)“影響因素”，也就是一個(gè)因子，你要檢驗(yàn)的就是這個(gè)因子的不同水平（比如不同教學(xué)方法）對(duì)結(jié)果（比如成績(jī)）有沒有顯著影響。簡(jiǎn)單說，就是“一個(gè)老師只看一個(gè)方面”。而雙因素方差分析呢，就好比是裁判不僅看組別，還看性別，或者同時(shí)看教學(xué)方法和性別兩個(gè)方面。它有兩個(gè)“影響因素”，也就是兩個(gè)因子，你要檢驗(yàn)的就有兩個(gè)方面：一是第一個(gè)因子單獨(dú)有沒有影響，二是第二個(gè)因子單獨(dú)有沒有影響，三是這兩個(gè)因子之間有沒有“勾結(jié)”（也就是交互作用）。比如，教學(xué)方法對(duì)成績(jī)有沒有影響？性別對(duì)成績(jī)有沒有影響？而且，教學(xué)方法是不是對(duì)男生和女生的影響還不一樣？這就是交互作用。所以，單因素方差分析是“單打獨(dú)斗”，雙因素方差分析是“聯(lián)手作戰(zhàn)”，考慮得更全面，當(dāng)然也更復(fù)雜一點(diǎn)。就像你評(píng)價(jià)一個(gè)學(xué)生，單因素就是只看成績(jī)，雙因素就可能同時(shí)看成績(jī)和性格，還要看看成績(jī)和性格是不是相互影響。4.解釋什么是回歸分析中的多重共線性問題，并簡(jiǎn)述其可能帶來的后果。在回歸分析的世界里，多重共線性是個(gè)挺頭疼的小妖精。啥叫多重共線性呢？簡(jiǎn)單來說，就是你的自變量們自己就“關(guān)系太好”了，比如它們之間高度線性相關(guān)，你把一個(gè)自變量加進(jìn)去，另一個(gè)自變量基本上就是它的“影子”，倆人膩歪在一起，分不開。這在統(tǒng)計(jì)學(xué)里就有點(diǎn)麻煩了，因?yàn)槟Ｐ透悴磺宓降资钦l在起作用，哪個(gè)自變量的影響是“真功夫”，哪個(gè)是“虛的”。這就像你讓一個(gè)老師給兩個(gè)成績(jī)特別好的學(xué)生評(píng)分，老師可能都搞混了誰更厲害。多重共線性主要帶來的后果有幾點(diǎn)：第一，回歸系數(shù)的估計(jì)值會(huì)變得非常不穩(wěn)定，一點(diǎn)點(diǎn)改動(dòng)數(shù)據(jù)或者自變量，系數(shù)的數(shù)值可能就大變樣，讓人感覺不靠譜。第二，回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)容易出問題，本來有顯著影響的自變量，可能因?yàn)楣簿€性而被誤判為沒影響（即t檢驗(yàn)不顯著），這就叫“假陰性”。這就像本來兩個(gè)學(xué)生都挺聰明的，但因?yàn)殛P(guān)系太好，老師反而覺得他們都不太行。第三，雖然預(yù)測(cè)可能還行，但解釋模型就變得很困難，你無法準(zhǔn)確判斷每個(gè)自變量對(duì)因變量的獨(dú)立貢獻(xiàn)，模型的意義就打了折扣。所以，在建立回歸模型時(shí)，得警惕多重共線性這個(gè)問題，可以通過一些方法來檢測(cè)和緩解，比如移除一個(gè)高度相關(guān)的自變量，或者用變量轉(zhuǎn)換等方法。5.簡(jiǎn)述卡方檢驗(yàn)的基本思想及其應(yīng)用場(chǎng)景?？ǚ綑z驗(yàn)啊，這可是個(gè)用途廣泛的統(tǒng)計(jì)工具，它的基本思想其實(shí)挺直觀的，就是比較咱們觀察到的數(shù)據(jù)和咱們預(yù)期的數(shù)據(jù)之間有沒有啥“大不了”的差別。你可以把它想象成一場(chǎng)選舉，你觀察到的結(jié)果是某個(gè)候選人得到了多少票，你預(yù)期的結(jié)果是如果大家投票是均勻的，那么每個(gè)候選人應(yīng)該得到多少票?？ǚ綑z驗(yàn)就是看看這個(gè)觀察值和預(yù)期值之間的差距，如果差距不大，說明大家投票還挺均勻的，沒啥特別的偏好，那么就認(rèn)為兩個(gè)事物（比如候選人和投票結(jié)果）是獨(dú)立的；如果差距特別大，說明大家肯定有偏心，不是隨便投的，那么就認(rèn)為這兩個(gè)事物之間有關(guān)系。這個(gè)“差距”到底多大才算“大”，卡方檢驗(yàn)是用一個(gè)叫做卡方統(tǒng)計(jì)量的值來衡量的，這個(gè)值計(jì)算出來后，跟一個(gè)卡方分布表里的值比較，看看它是不是“異?！钡?，從而決定我們是否拒絕“獨(dú)立”這個(gè)原假設(shè)。卡方檢驗(yàn)的應(yīng)用場(chǎng)景也挺多的，最常見的比如，你想知道兩個(gè)分類變量之間有沒有關(guān)聯(lián)，比如性別和喜好（喜歡蘋果還是香蕉），你可以用卡方檢驗(yàn)來看看男生和女生在喜好上有沒有顯著差異；又比如，在質(zhì)量控制中，你想檢驗(yàn)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品中不同類型的次品數(shù)是否符合預(yù)期；再比如，在基因遺傳中，你想檢驗(yàn)觀察到的基因型組合數(shù)是否符合孟德爾遺傳定律的預(yù)期比例?？傊?，只要你想比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)，看看它們之間有沒有顯著差異，卡方檢驗(yàn)都是一個(gè)強(qiáng)有力的武器。四、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上對(duì)應(yīng)題號(hào)下。）1.從正態(tài)總體N（μ，16）中抽取容量為25的樣本，樣本均值為80。假設(shè)要檢驗(yàn)H?：μ=78vsH?：μ>78，若采用α=0.05的顯著性水平，求拒絕域，并說明檢驗(yàn)過程。好的，這道題讓我們來模擬一下檢驗(yàn)均值的過程。咱們知道總體是正態(tài)分布的，而且方差是16，這很方便，因?yàn)闃颖玖恳矇虼螅?5個(gè)），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布也會(huì)近似正態(tài)分布，而且我們知道它的方差是總體方差除以樣本量，即16/25=0.64，標(biāo)準(zhǔn)差就是0.8?，F(xiàn)在我們要檢驗(yàn)的假設(shè)是H?：μ=78，H?：μ>78，這是一個(gè)右尾檢驗(yàn)。顯著性水平α=0.05，所以我們要找的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，使得右邊尾部面積等于0.05的那個(gè)臨界值，查表或者用軟件都能知道，這個(gè)臨界值是zα=1.645。拒絕域就是樣本均值大于這個(gè)臨界值對(duì)應(yīng)的數(shù)值。這個(gè)臨界值對(duì)應(yīng)的數(shù)值怎么算呢？就是用樣本均值減去臨界值乘以標(biāo)準(zhǔn)誤差（標(biāo)準(zhǔn)差除以根號(hào)下樣本量），即80-1.645*(4/5)=80-1.316=78.684。所以拒絕域就是{x?|x?>78.684}。檢驗(yàn)過程就是：先計(jì)算樣本均值（已經(jīng)給出是80），然后比較這個(gè)樣本均值和臨界值78.684。因?yàn)?0>78.684，所以我們落在拒絕域里，這就意味著在α=0.05的顯著性水平下，我們有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)H?，認(rèn)為μ大于78。2.某醫(yī)生聲稱一種新藥可以降低血壓。隨機(jī)抽取10名患者服用該藥物一個(gè)月后，血壓數(shù)據(jù)（收縮壓，單位：mmHg）如下：140,145,150,155,160,165,170,175,180,185。假設(shè)血壓服從正態(tài)分布，要檢驗(yàn)H?：μ=160vsH?：μ≠160，若采用α=0.05的顯著性水平，求拒絕域，并說明檢驗(yàn)過程。好的，這道題是關(guān)于新藥降壓效果的檢驗(yàn)。咱們先看看數(shù)據(jù)：140,145,150,155,160,165,170,175,180,185。這10個(gè)數(shù)據(jù)給了我們樣本。首先得計(jì)算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本均值x?=(140+145+...+185)/10=1600/10=160。樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的計(jì)算稍微麻煩點(diǎn)，先算平方和，Σx?2=1402+1452+...+1852=288450，然后樣本方差s2=(Σx?2-n*x?2)/(n-1)=(288450-10*1602)/9=(288450-25600)/9=262950/9≈29216.67，所以樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=sqrt(29216.67)≈170.9?，F(xiàn)在我們要檢驗(yàn)的假設(shè)是H?：μ=160vsH?：μ≠160，這是一個(gè)雙尾檢驗(yàn)。顯著性水平α=0.05，因?yàn)榭傮w方差未知，所以要用t檢驗(yàn)。自由度df=n-1=10-1=9。我們要找的是t分布中，使得兩邊尾部面積各為α/2=0.025的那個(gè)臨界值，查t分布表或者用軟件，t_(α/2,df)=t_0.025,9≈2.262。拒絕域就是樣本t統(tǒng)計(jì)量小于-2.262或者大于2.262。樣本t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式是(x?-μ?)/(s/√n)，帶入數(shù)值就是(160-160)/(170.9/√10)=0/(170.9/3.162)=0/54.06≈0。這個(gè)t統(tǒng)計(jì)量值是0，它既不小于-2.262，也不大于2.262。所以，我們不拒絕原假設(shè)H?。檢驗(yàn)過程就是：計(jì)算了樣本均值160和樣本標(biāo)準(zhǔn)差約170.9，然后計(jì)算了t統(tǒng)計(jì)量值為0，查表得臨界值約為±2.262，因?yàn)?不在這個(gè)拒絕域里，所以結(jié)論是不拒絕H?，即沒有足夠的證據(jù)認(rèn)為服用新藥后血壓均值與160有顯著差異。3.某研究者想比較兩種教學(xué)方法（A和B）對(duì)學(xué)生的成績(jī)是否有影響。隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，平均分成兩組，每組15人。使用方法A教學(xué)的學(xué)生平均成績(jī)?yōu)?5，標(biāo)準(zhǔn)差為10；使用方法B教學(xué)的學(xué)生平均成績(jī)?yōu)?8，標(biāo)準(zhǔn)差為12。假設(shè)兩組成績(jī)都服從正態(tài)分布，且方差相等，要檢驗(yàn)H?：μ?=μ?vsH?：μ?≠μ?，若采用α=0.05的顯著性水平，求拒絕域，并說明檢驗(yàn)過程。好的，這道題是關(guān)于兩種教學(xué)方法效果比較的方差分析。咱們有兩個(gè)組，A組和B組，每組15人。A組平均分75，標(biāo)準(zhǔn)差10；B組平均分78，標(biāo)準(zhǔn)差12。要檢驗(yàn)的是兩種方法下學(xué)生平均成績(jī)是否有差異，即H?：μ?=μ?vsH?：μ?≠μ?，α=0.05。因?yàn)橛袃蓚€(gè)組，而且假設(shè)方差相等，所以用兩樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等的那種）。首先得計(jì)算合并后的共同方差估計(jì)值s_p2，公式是[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)，帶入數(shù)值就是[(15-1)102+(15-1)122]/(15+15-2)=[14*100+14*144]/28=[1400+2016]/28=3416/28≈121.857，所以共同方差估計(jì)值s_p≈sqrt(121.857)≈11.034。接下來計(jì)算合并標(biāo)準(zhǔn)誤，公式是s_p*sqrt(1/n?+1/n?)=11.034*sqrt(1/15+1/15)=11.034*sqrt(2/15)≈11.034*0.397≈4.373。然后計(jì)算樣本均值之差的絕對(duì)值的t統(tǒng)計(jì)量，公式是|x??-x??|/(s_p*sqrt(1/n?+1/n?))，帶入數(shù)值就是|75-78|/4.373=3/4.373≈0.686?，F(xiàn)在要找拒絕域。自由度df=n?+n?-2=28。α=0.05，雙尾檢驗(yàn)，查t分布表得臨界值t_(α/2,df)=t_0.025,28≈2.048。拒絕域就是t統(tǒng)計(jì)量小于-2.048或者大于2.048。咱們算出的t統(tǒng)計(jì)量是0.686，它既不小于-2.048，也不大于2.048。所以，我們不拒絕原假設(shè)H?。檢驗(yàn)過程就是：計(jì)算了共同標(biāo)準(zhǔn)差約11.034，合并標(biāo)準(zhǔn)誤約4.373，樣本均值差絕對(duì)值的t統(tǒng)計(jì)量約為0.686，查表得臨界值約為±2.048，因?yàn)?.686不在這個(gè)拒絕域里，所以結(jié)論是不拒絕H?，即沒有足夠的證據(jù)認(rèn)為兩種教學(xué)方法下學(xué)生平均成績(jī)有顯著差異。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：方差是用來衡量估計(jì)量抽樣分布集中程度（離散程度）的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)誤差是估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)差，也是衡量抽樣分布離散程度的一種方式，但方差是標(biāo)準(zhǔn)誤差的平方。抽樣極限誤差是基于置信水平和標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算出的一個(gè)范圍界限。置信水平是事先設(shè)定的概率，表示區(qū)間估計(jì)包含真實(shí)參數(shù)的可能性。所以，衡量抽樣分布集中程度的是方差。2.B解析：置信區(qū)間長(zhǎng)度L通常表示為L(zhǎng)=2*z_(α/2)*(σ/√n)（σ2已知的情況）。其中，z_(α/2)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值，它的大小取決于置信水平1-α。當(dāng)1-α增大時(shí)，α減小，z_(α/2)的值也增大。因此，置信區(qū)間長(zhǎng)度L會(huì)隨著1-α的增大而增大。3.B解析：犯第一類錯(cuò)誤的概率α和犯第二類錯(cuò)誤的概率β是相互制約的，它們不能同時(shí)減小。減小α（即提高檢驗(yàn)的嚴(yán)格程度）通常會(huì)導(dǎo)致β增大，反之亦然。這是因?yàn)楦鼑?yán)格的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)會(huì)使得接受原假設(shè)H?的門檻更高，從而減少了犯第一類錯(cuò)誤的可能性，但也增加了犯第二類錯(cuò)誤（即未能拒絕錯(cuò)誤的H?）的可能性。4.A解析：當(dāng)總體服從二項(xiàng)分布B（n，p），n已知，p未知時(shí)，檢驗(yàn)關(guān)于p的假設(shè)通常使用Z檢驗(yàn)。這是因?yàn)樵诖髽颖厩闆r下（n足夠大），二項(xiàng)分布可以近似為正態(tài)分布，而Z檢驗(yàn)是基于正態(tài)分布的檢驗(yàn)方法。5.B解析：顯著性水平α是犯第一類錯(cuò)誤的概率，即拒絕原假設(shè)H?時(shí)，H?實(shí)際上為真的概率。對(duì)于拒絕域?yàn)閨t|>t_(α/2)（n-1）的t檢驗(yàn)，其顯著性水平α就是使得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（或t分布）中尾部面積總和為α的兩個(gè)臨界值t_(α/2)和-t_(α/2)之間的區(qū)域。因此，該檢驗(yàn)的顯著性水平為α。6.A解析：當(dāng)總體分布未知且樣本量n足夠大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。此時(shí)，可以使用Z檢驗(yàn)來檢驗(yàn)關(guān)于總體均值μ的假設(shè)。因?yàn)闃颖玖孔銐虼螅梢哉J(rèn)為樣本均值的抽樣分布近似正態(tài)分布，并且可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)。7.A解析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治鲇糜跈z驗(yàn)一個(gè)因素（一個(gè)分類變量）的不同水平對(duì)結(jié)果（一個(gè)連續(xù)變量）是否有顯著影響。雙因素方差分析則用于檢驗(yàn)兩個(gè)因素的不同水平以及這兩個(gè)因素的交互作用對(duì)結(jié)果是否有顯著影響。因此，檢驗(yàn)k個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等，應(yīng)選擇單因素方差分析。8.B解析：線性組合Z=AX+b的協(xié)方差矩陣為AΣA?。其中，Σ是原始變量X和Y的協(xié)方差矩陣，A是線性變換矩陣，b是常數(shù)向量。這個(gè)公式來源于協(xié)方差的性質(zhì)和矩陣運(yùn)算規(guī)則。因此，Z的協(xié)方差矩陣是AΣA?。9.A解析：在回歸分析中，回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（通常使用t檢驗(yàn)）是檢驗(yàn)自變量對(duì)因變量是否有顯著影響。如果檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕H?：β=0，說明在統(tǒng)計(jì)上存在證據(jù)表明自變量對(duì)因變量有顯著影響。因?yàn)棣?0表示自變量對(duì)因變量沒有線性關(guān)系。10.C解析：當(dāng)總體服從泊松分布P（λ），要檢驗(yàn)關(guān)于λ的假設(shè)，通常使用χ2檢驗(yàn)。這是因?yàn)椴此煞植嫉膮?shù)λ既是均值也是方差，而χ2檢驗(yàn)可以用于檢驗(yàn)泊松分布的參數(shù)是否等于某個(gè)特定值。11.C解析：卡方檢驗(yàn)中的獨(dú)立性檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間是否相互獨(dú)立。當(dāng)要檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否獨(dú)立時(shí)，應(yīng)使用卡方檢驗(yàn)。這個(gè)檢驗(yàn)的基本思想是比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異。12.C解析：X和Y的樣本協(xié)方差是估計(jì)X和Y之間線性關(guān)系強(qiáng)度的常用方法。它是通過計(jì)算樣本中每個(gè)觀測(cè)值對(duì)各自均值的偏差乘積的平均值得到的。因此，估計(jì)X和Y的協(xié)方差應(yīng)使用X和Y的樣本協(xié)方差。13.B解析：在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕H?，說明有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明原假設(shè)H?是不正確的，即H?為假。因此，拒絕H?意味著認(rèn)為備擇假設(shè)H?為真。14.C解析：當(dāng)總體服從指數(shù)分布Exp（λ），要檢驗(yàn)關(guān)于λ的假設(shè)，通常使用χ2檢驗(yàn)。這是因?yàn)橹笖?shù)分布的參數(shù)λ是均值和方差的倒數(shù)，而χ2檢驗(yàn)可以用于檢驗(yàn)指數(shù)分布的參數(shù)是否等于某個(gè)特定值。15.B解析：雙因素方差分析用于檢驗(yàn)兩個(gè)因素的不同水平以及這兩個(gè)因素的交互作用對(duì)結(jié)果是否有顯著影響。因此，要檢驗(yàn)兩個(gè)因素的交互作用是否顯著，應(yīng)選擇雙因素方差分析。16.C解析：與第12題相同，估計(jì)X和Y的協(xié)方差應(yīng)使用X和Y的樣本協(xié)方差。樣本協(xié)方巧是衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度的常用統(tǒng)計(jì)量。17.A解析：與第13題相同，如果不拒絕H?，說明沒有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明原假設(shè)H?是不正確的，即H?為真。因此，不拒絕H?意味著認(rèn)為原假設(shè)H?可能為真。18.A解析：與第4題相同，當(dāng)總體服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ未知，σ2已知時(shí)，要檢驗(yàn)關(guān)于μ的假設(shè)，應(yīng)使用Z檢驗(yàn)。因?yàn)棣?已知，可以直接計(jì)算樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，并使用Z檢驗(yàn)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。19.B解析：與第9題相同，在回歸分析中，如果回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果為不拒絕H?：β=0，說明在統(tǒng)計(jì)上沒有足夠的證據(jù)表明自變量對(duì)因變量有顯著影響。因?yàn)棣?0表示自變量對(duì)因變量沒有線性關(guān)系。20.A解析：與第4題和第14題類似，當(dāng)總體服從二項(xiàng)分布B（n，p），n已知，p未知時(shí)，檢驗(yàn)關(guān)于p的假設(shè)通常使用Z檢驗(yàn)。這是因?yàn)樵诖髽颖厩闆r下（n足夠大），二項(xiàng)分布可以近似為正態(tài)分布，而Z檢驗(yàn)是基于正態(tài)分布的檢驗(yàn)方法。此外，p<p?是一個(gè)左尾檢驗(yàn)，所以檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是Z統(tǒng)計(jì)量，其公式為(x?-np?)/sqrt(np?(1-p?))，在大樣本下近似為(x?-np?)/sqrt(np?q?)，其中x?是樣本均值，x是樣本中“成功”的次數(shù)。二、填空題答案及解析1.樣本均值解析：在參數(shù)估計(jì)中，用來估計(jì)總體均值μ的最常用且最有效的方法是使用樣本均值x?。樣本均值是樣本