專題07平行四邊形中動態(tài)問題講義1危性兩點之間,線段最短型平行!1!平行四邊形1危性兩點之間,線段最短型平行!1!平行四邊形典例解析題型一、【存在性】【例1](2020?遼寧沈陽市期末)如圖,在矩形ABCD中,BC=15cm,動點P從點B開始沿BC邊以每秒2cm的速度運動:動點Q從點D開始沿DA邊以每秒Icm的速度運動,點P和點Q同時出發(fā),當其中一點到達終點時,另一點也隨之停止運動,設動點的運動時間為）秒時，四邊形ABPQ為矩形.B.4）秒時，四邊形ABPQ為矩形.B.4D.6【答案】C.【解析】解:設動點的運動時間為I秒,..?四邊形ABPQ為矩形,AAQ=BP...?點P的速度為2cnVs.點Q的速度為IcnVs.A15-t=2c.

解得:1=5.故答案為:C.【例2](2019-江門市.模擬)如圖,矩形ABCD中,AB=4cm.BC=8cm,動點M從點D出發(fā),按折線D?C?B?A?D方向以2cnVs的速度運動,動點N從點D出發(fā),按折線D?A-B-C-D方向以lcm/s的速度運動.若動點M、N同時出發(fā),相遇時停止運動,若點E在線段BC上,且BE=3cm,經過 秒鐘,點A、E、M、N組成平行四邊形.【答案】【解析】如圖,BE=3,CE=5,CD+CE=9由題意知,N,M相遇在A點,叩N點在AD上,當AN=ME且M在線段BCJ1時,滿足題意,故當M在線段BC上時(2WIW6),ME=9-2t或2t?9,AN=8?iA9-2t=8-t或2t-9=8-t.解得:(=1(舍)或(=￥故答案為:y.【例3)(2018-湖北武漢市期末)如圖,在四邊形ABCD中.AD//BC,/B=90。,AB=8函,人。=24頃,BC=26cm.點P從人出發(fā),以1m/s的速度向點。運動,點Q從點C同時出發(fā),以3cm/s的速度向點/?運動,規(guī)定其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動.從運動開始，使PQ=CD需止運動.從運動開始，使PQ=CD需要.秒.【解析】解:(1)當PD=CQ時.四邊形PQCD是平行四邊形設運動時間為I祚.A24-t=3t解得:i=6s,(2)設運動時間為i秒,則AP=tcin,CQ=3tcm.ABQ=26-3t.過P作PM1BC于M,過D作DN1BC于N,?.?NC=QM=2,ABM=<26-3t)+2=28?3t,當AP=BM,即t=28?3t,解得t=7,故答案為:6s或7s?【例4】(2019?長春古大附中期中)如圖,在矩形ABCD中,A8=4.5函,BC=9cm,動點P、。分別同時從B.A兩點出發(fā),動點P以6函/$的速度沿BTCTB向終點8作勻速往返運動,動點。以3cmIs的速度沿人向終點。勻速運動,設兩動點的運動時間是,($).<1)試用含有■的代數式表示BP.(2)當P自C返回8(包括端點8.C)的過程中,當△PQD為等艘三角形時.求I的值.（3）連接AC,設PQ交ACTM.當AQP^CPQ時,求］的值.【答案】見解析.【解析】解:(1)當P從B-C運動時,即0MtVl.5,BP=6t.當P從C-B運動時,即L5WlW3,BP=l8-3t:（2）當P與C重合時,此時Q為AD中點,9VAQ=DQ=y=4.5=D<?..?.△PQD為等腰三角形,At=l.5s:在P在返回的過程中,DQV?=4.5=DC,不存在PD=DQ、PQ=DQ的情況,當PD二PQ時,如圖,過P作PHIAD于H,.??四邊形CDHP為矩形.VPC=6t-9.DQ=9?3l,解得:1=1.8:綜上所述,當Z\PQD為等腰三角形時,t的值為l.5s或l.8s:（3）當P在B-C時,此時PC=9-6t.AQ=3tA9-6t=3t解得:t=l:當P在C?B時,aA6t-9=3t解得:仁3;綜上所述.［的值為】或3.【例5】如圖,在四邊形ABCD中,AD〃BC,NB=90氣AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,動點P從點A出發(fā),以IcnVs的速度向點D運動:動點Q從點C同時出發(fā),以3cm/s的速度向點B運動。規(guī)定與其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動。設運動時間為t.求:(1) 當t為何伉時,PQ〃CD?（2） 當t為何值時,PQ=CD?【答案】(1)t=6:(2)1=6或t=7.【解析】解:根據題意得:M=/.CQ=3hWi|PD=ADPA=24-i.(1)9:AD//BC.即PQ//CD.

.??當P/)=CQ時,四邊形PQCD為平行四邊形,即24-r=3r,解得:1=6,即當t=6時,PQ〃CD;（2)若PQ=DC,分兩種情況:PQ=OC.由(1)可知.t=6.@PQ/DC.由QC=PIX2(BCAD),可得:3r=24-z+4,解得:r=7.【例6](2019-廣東實就中學月考)如圖,等波C的邊長為8,動點M從點。出發(fā),沿的方向以3的速度運動,動點N從點C出發(fā),沿CTATBT?方向以2的速度運動.<1)若動點M、NI句時出發(fā),經過幾秒鐘兩點第一?次相遇?（2）若動點M、N同時出發(fā),且其中一點到達終點時,另一點即停止運動.那么運動到第幾秒鐘時,點人、M、N以及△A8C的邊上一點D怡能構成一個平行四邊形？求出時間f并請指出此時點。的具體位迎?【解析】解:(1)設經過I秒鐘兩點第一次相遇.由題意得:3t+2c=16.即經過?秒兩點第一次相遇:8<2)①當0<t<-時,NDCB..?四邊形ANDM為平行四邊形,ADM=AN.DM//AN.DN//ABAZMDB=ZC=60°,ZNDC=ZB=60°?../NDC=/C.?.?ND=NC?.NDCB..?四邊形ANDM為平行四邊形,ADM=AN.DM//AN.DN//ABAZMDB=ZC=60°,ZNDC=ZB=60°?../NDC=/C.?.?ND=NC?.?DM+DN=AN+NC=AC+BN=8,即:3t+2t=8,t=-,5?4此時點D在BC上，且BD=《-,Q當|<t<4時，此時A、M、N三點在同一直線上，不能構成平行四邊形:NA/?4<t<y時，BDCV四邊形ANDM為平行四邊形,ADN=AM.AM/7DN.AZNDB=ZACB=60°?.?AABC?為等腰三角形.?.?ZB=6(r.AZMDB=ZB.???MR+NC=AN+CN=8,243l?8+2l.8=8,解得:t=—,5此時點D在BC上,&BD=y,

則BN=16-2t.BM=24?3t.由越意可知:△BNM為等邊三角形,???BN=BM,即:21-8=3(-16.解得1=8,此時M、N直合,不能構成平行四邊形.［例7】如圖,在菱形人BC。中,對角線AC.8D相交于點。.AC=Scm.BD=6cm.點P為AC上一動點,點P以lc〃】/的速度從點A出發(fā)沿AC向點C運動.設運動時間為當,= $時,［IPA3為等腰三角形.【解析】解:..?四邊形ABCD是菱形,AC=8cm,BD=6cm,.'.AC_LBD,AO=OC=4cm,B0=0D=3cm,山勾股定理得:BC=AB=AD=CD=5cm,作AB的垂直平分線交ACVP.此時PB二PA.連接PB.

AP』3知(4-AP)%AP=—,8故答案為:5或8或甘.8【例8](2020-四川攀枝花期末)如圖,菱形ABCD的邊長為12cm.ZA=60°.動點P從點A出發(fā).沿若線路AB-BD做勻速運動.動點Q從點D同時出發(fā),沿若線路DC—CB—BA做勻速運動.(1)求BD的長.(2)已知動點P危動的速度為2頃證,動點Q運動的速度為2.5cm/§.經過12秒后,P、Q分別到JAM、N兩點,試判斷左AMN的形狀,并說明理們.<3)設問題(2)中的動點P、Q分別從M、N同時沿原路返回,動點P的速度不變,動點Q的速度改變?yōu)閍cm/s,經過3秒后,P、Q分別到達E、F兩點,私BEF為直角三角形,試求a值.【答案】(DBD=12:(2)△AMN為直角三角形:(3)1或3或6.【解析】(D解:.??四邊形ABCD是菱形AAD=AB=BC=CD=12VZA=60<,「?△ABD是等邊三的形/.BD=I2(2)ZXAMN為直角三角形,點Q到達AB的中點,點N為AB的中點.VAABD是等邊三角形,而MN為中線AMN1AB.?.△AMN為直角三角形?.?ZABD=60°經過3秒后?點P運動的路程為6cm.點Q運動的路程為3acm.??點P從點M開始運動,即DE=6cm..?點E為DB的中點,即BE=DE=6cm當點Q運動到F點,且點F在NB上,則NF=3a?.?BF=BN?NF=6?3我?「△BEF為直角三角形,而ZFBE=60°?.?ZEFB=90°ZFEB=30°???bf=Jbe2/.6-3a=^-x6.E|1a=l當點Q運動到F點,且點F在BC上,則NF=3a.\BF=NF-BN=3a-6.?.△BEF為直角三角形,而ZFBE=60°(i)若匕EFB=90氣則ZFEB=30°abf=4-be2

???3"扣BPa=3(ii)若匕FEB二90氣即FBJ.BD,而DE=BE.??點F在BD的垂宜平分線上?.?此時點F在點C處/.3a=6+l2,即a=6綜上所述,若八BEF為直角三角形,a的值為1或3或6.題型二、【最值問題】【例9](2020-江蘇無錫期中)如圖■在菱形ABCD中,Q=135。,AD=3&CE=2,點P是線段AC上一動點,點F是線段ABE一動點,則PE+PF的最小值( ）A.2./i B.3 C.2x/5 D?710【答案】D.【解析】解:作點E關于AC的對稱點點G,連接PG、PE.則PE=PG.CE=CG=2,連接BG.過點B作BH1CDTH.則/BCH=/CBH=45°,..?四邊形ABCD是藪形,AD=3^2.???BC=AD=3^2在R/BHC中,BH=CH=3,???HG=HC?GC=3?2=1,?.?R￡BHG中,BG=Jg。+HG'*+F=而,當點F與點B重合時,PE+PF與小,最小值=PG+PB=BG.???PE+PF的最小值為面.故答案為:D.【例10](2019-山東濱州)如圖.在菱形ABCD中,NBAO=6(r,1LA8=6,點F為對角線AC的動點,點E為成上的動點,則FB+EF的最小值為 ?【答案】球【解析】解:連接BD.DF,過D作DH1AB于H...?四邊形ABCD是差形.ZBAD=60°?.?AD二AB?ADBA是等邊三角形???B.D關于AC對稱,BF=DF由垂線段最短知,當D、F、E共線,且與DH重合時,BF+EF的值最小,最小值為DH的長.DH=3V3故答案為:30【例II](2019-浙江杭州市)如圖,矩形ABCD中,AD=6,ZCAB=30°.點P是線段AC上的動點,點Q是線段CD上的動點,則AQ+QP的最小值是 ?Q【答案】6右.【解析】解:作點A關于直線CD的對稱點E,過E作EP1ACTP.交CD于點Q...?四邊形ABCD是矩形,AZADC=90o.ADQ1AE.?.?DE=AD.?.?QE=QA,?.?QA+QP=QE+QP=EP,???此時QA+QP最短(垂線段成短),VZCAB=30°.AZDAC=60°.在RTAAPE中.VZAPE=90°.AE=2AD=12,AEP=6V3故答案為:6^3.【例12】（2020?福建泉州期末）如圖,P是長方形ABCD內部的動點.A3=4,BC=6,△PBC的面枳等于9,則點P到C兩點距離之和PB+PC的最小值為 .

【答案】6&【解析】解:由題意得:ABPCBC邊上的高為3,r.CM=3,延長CD到E使ME=MC,此時PC=PE.連接BE交M、與點P,此時PB+PC最短,最小值為BE的長在RtABCE,由勾股定理得:BE=6>/2故答案為:6^2.【例13]m.長方形ABCD.長AO=6,寬人2=4,點P是8C邊上的?個動點,連結PA.PD,則APA。的面積為 ,PA+PD的最小值是 ?+的最小值是 .【答案】12:10:3+2奴VABCD是K方形APE=AB=4「?△PAD面枳為12

②作點D關于BC對稱點D‘,連接A。交BC于P,此時PA+PD長度最小,最小值為AD'的長,由勾股定理得:AD*=10即PA+PD的最小值是10:③過點C做直線CE,使CE與BC的央角成30。,過點P作CE的垂線,垂足為E,則PE二一PC2???PA十!PC的鼠小值為PA+PE的h2當P、A.E共線時,PA+PE最小,由勾股定理徊：朋=堅,AP=^3 3???AE=AP-PE=3+275即PA+yPC的最小值為3+2已.【例14](2020-陜西寶雞)如圖,菱形ABCD的邊長為4,/84D=60。,點芯是AO上一動點（不與人合）,點F是C。上一動點,AE+CF=4,則面積的她小值為【答案】3&.【解析】解:連接BD...?菱形ABCD邊長為4./岳5=60七:.AB=BC=CD=AD=4,/BAD=ZBCD=60。,:.△A/?。與△BCD為等邊三角形,AZFDB=ZEAB=ZABD=60°,BA=BD,?.?AE+CF=4,DF+CF=C04,:.AE=DF.BD=BA在時和△8AE中,ZFDB=ZEAB,DF^AE:?4BDF§4BKE,:.RE=BF,ZABE=ZDRF,:.ZEBF=ZABD=60\.?.△BEP是等邊三角形,???當BELA。時,ABEF的面積最小,此時點E為A。的中點,???AE二2,則BE=EF=2>/5,過點尸作FGLBE于點G?則點G為BE中點,.,.EG=?BE=后,則FG=Jef2-EG?=J(2后4(?=3,???ABEF面枳的最小值二、BE?FG=lx2后x3=3后,2 2故答案為:3占?題型三、【折鼓】【例15](2020-江蘇鉞江市期末)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,點M.N分別在AO.BC上,RAM=、AD,BN=、BC,E為直線BC上一動點,連接DE,將UDCE沿DE所在宜線翩折得到DC'E,當點C'恰好藩在直線MN上時,CE的長為【解析】解:設CE=CE'=x,?.?CD=AB=5,AD=BC=6,AD〃BC,.??點M?N分別ftAD.BC上,AM=_AD,BN=LBC,3 3???DM=CN=4,四邊形CDMN為平行四邊形.VZNCD=90%.??四邊形MNCD是矩形./.ZDMN=ZMNC=90°,