商末尾有零的除法教學(xué)第一章：認(rèn)識商末尾有零的除法什么是商末尾有零的除法？商末尾有零的除法是指在除法運(yùn)算中，所得的商的末尾出現(xiàn)一個(gè)或多個(gè)零的情況。這種情況在實(shí)際計(jì)算中非常常見，對理解數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律有重要意義。商末尾有零的除法通常表現(xiàn)為：商的末尾有一個(gè)零：如120÷3=40商的末尾有兩個(gè)零：如1200÷3=400商的末尾有多個(gè)零：如12000÷3=4000思考問題數(shù)軸上的商末尾有零在數(shù)軸上，我們可以直觀地理解商末尾有零的除法。例如，120÷3=40這個(gè)除法過程可以在數(shù)軸上表示為：從0點(diǎn)開始，每次跳3個(gè)單位跳到120點(diǎn)時(shí)，共跳了40次商40的末尾有一個(gè)零這種可視化的方法幫助我們理解為什么某些除法的商會出現(xiàn)末尾零，因?yàn)楸怀龜?shù)包含了10的倍數(shù)因子，而除數(shù)與10互質(zhì)。通過數(shù)軸的表示，學(xué)生可以直觀地看到商末尾有零與被除數(shù)、除數(shù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)空間想象能力。為什么商會出現(xiàn)末尾零？被除數(shù)和除數(shù)特點(diǎn)當(dāng)被除數(shù)中含有10的倍數(shù)因子（即含有2和5的組合），而這些因子不能被除數(shù)約去時(shí)，商的末尾就會出現(xiàn)零。因子分析商末尾零的數(shù)量與被除數(shù)中10的因子數(shù)量，以及除數(shù)中2和5因子的數(shù)量有關(guān)。商的特點(diǎn)商末尾的零反映了被除數(shù)和除數(shù)中因子2和5的分布情況，是數(shù)學(xué)因子性質(zhì)的體現(xiàn)。具體來說，商末尾零的個(gè)數(shù)=被除數(shù)中10的因子個(gè)數(shù)-除數(shù)中10的因子個(gè)數(shù)。例如，在3600÷9=400這個(gè)除法中，3600=36×100，含有2個(gè)10的因子，而9不含10的因子，所以商末尾有2個(gè)零。思考：如果被除數(shù)是1200，除數(shù)是30，商的末尾會有幾個(gè)零？為什么？例題解析：360÷9=40讓我們通過因子分解的方法來理解為什么360÷9=40的商末尾有一個(gè)零：我們可以將360分解為：從這個(gè)分解中我們可以看出，被除數(shù)360中含有一個(gè)10的因子，而除數(shù)9中不含10的因子，所以商末尾出現(xiàn)了一個(gè)零。360被除數(shù)可以分解為36×109除數(shù)不含10的因子40商末尾有一個(gè)零理解這個(gè)例子的關(guān)鍵是認(rèn)識到商末尾的零來自于被除數(shù)中的10因子，而這個(gè)10因子不能被除數(shù)約去。練習(xí)題1計(jì)算：450÷5=？請通過因子分解的方法來計(jì)算，并說明為什么商末尾會有零。提示：450=45×10，可以進(jìn)一步分解為9×5×102計(jì)算：600÷12=？請通過因子分解的方法來計(jì)算，并說明為什么商末尾會有零。提示：600=60×10，12=6×2，思考它們的公因數(shù)解這類題目時(shí)，一定要注意被除數(shù)和除數(shù)的因子分解，特別是它們共有的因子以及10的因子。完成以上練習(xí)后，思考：如果我們把450變成4500，除數(shù)不變，商末尾會有幾個(gè)零？為什么？第二章：商末尾有零的除法計(jì)算技巧在本章中，我們將學(xué)習(xí)幾種商末尾有零的除法計(jì)算技巧，這些技巧可以幫助我們更快、更準(zhǔn)確地進(jìn)行計(jì)算，避免不必要的錯(cuò)誤。掌握這些技巧對于提高數(shù)學(xué)計(jì)算能力非常重要。技巧一：約分法約分法是處理商末尾有零除法的一種有效方法，其核心思想是：先找出被除數(shù)和除數(shù)的最大公約數(shù)將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以它們的最大公約數(shù)通過簡化計(jì)算，避免復(fù)雜的乘除運(yùn)算這種方法特別適用于被除數(shù)和除數(shù)都較大的情況，可以顯著減少計(jì)算量。約分法的本質(zhì)是應(yīng)用了除法的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以相同的數(shù)，商不變。約分法的基本步驟：分析被除數(shù)和除數(shù)，找出它們的公因數(shù)用公因數(shù)分別去除被除數(shù)和除數(shù)得到簡化后的除法算式計(jì)算最終結(jié)果例題：1200÷30第一步：找出最大公約數(shù)1200和30的最大公約數(shù)是30第二步：同時(shí)除以最大公約數(shù)1200÷30=4030÷30=1第三步：計(jì)算簡化后的除法40÷1=40所以，1200÷30=40通過約分法，我們將原本需要計(jì)算的1200÷30簡化為了40÷1，大大減少了計(jì)算量。這個(gè)例子中，商的末尾有一個(gè)零，是因?yàn)楸怀龜?shù)1200中含有10的因子，而這個(gè)因子在約分過程中被保留在了商中。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以直接觀察到1200=30×40，從而得出1200÷30=40。但理解約分的原理有助于處理更復(fù)雜的除法問題。技巧二：拆分法拆分法定義拆分法是將被除數(shù)拆分成幾個(gè)易于除的部分，分別進(jìn)行除法運(yùn)算，然后將結(jié)果合并的方法。適用情況當(dāng)被除數(shù)可以拆分為幾個(gè)除數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這種方法特別有效，可以簡化計(jì)算過程。計(jì)算步驟1.將被除數(shù)拆分為幾個(gè)部分，每部分都是除數(shù)的倍數(shù)2.分別計(jì)算每部分除以除數(shù)的結(jié)果3.將各部分的結(jié)果相加，得到最終商拆分法的優(yōu)勢在于可以將復(fù)雜的除法轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡單的除法，尤其是當(dāng)被除數(shù)很大時(shí)，這種方法可以有效地減少計(jì)算難度。例如，計(jì)算960÷8時(shí)，可以將960拆分為800+160，分別計(jì)算800÷8=100和160÷8=20，然后100+20=120，得到最終結(jié)果。使用拆分法時(shí)，一定要確保拆分的每個(gè)部分都是除數(shù)的倍數(shù)，否則可能導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。例題：540÷9使用拆分法計(jì)算540÷9：將540拆分為450+90分別計(jì)算：450÷9=5090÷9=10合并結(jié)果：50+10=60因此，540÷9=60這個(gè)例子中，商60的末尾沒有零，是因?yàn)殡m然被除數(shù)540中含有一個(gè)10的因子（540=54×10），但在我們拆分計(jì)算的過程中，這個(gè)因素被分解到了兩個(gè)部分中。拆分法的關(guān)鍵是選擇合適的拆分方式，使得每個(gè)部分都容易計(jì)算。通常，我們會選擇拆分為10的倍數(shù)，這樣心算會更簡單。思考：如果換成5400÷9，可以如何拆分計(jì)算？商的末尾會有幾個(gè)零？練習(xí)題1計(jì)算：720÷24請嘗試使用約分法和拆分法兩種方式計(jì)算，并比較哪種方法更簡便。提示：720和24的最大公約數(shù)是24，720可以拆分為600+1202計(jì)算：900÷15請嘗試使用約分法和拆分法兩種方式計(jì)算，并比較哪種方法更簡便。提示：900和15的最大公約數(shù)是15，900可以拆分為750+150完成以上練習(xí)后，思考以下問題：在什么情況下約分法更高效？在什么情況下拆分法更高效？這兩種方法如何結(jié)合使用，以獲得最佳計(jì)算效率？在實(shí)際應(yīng)用中，熟練掌握多種計(jì)算方法，并根據(jù)具體情況靈活選擇最適合的方法，是提高計(jì)算效率的關(guān)鍵。第三章：商末尾有零的除法應(yīng)用題在本章中，我們將學(xué)習(xí)商末尾有零的除法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，通過各種應(yīng)用題的解析，加深對這一數(shù)學(xué)概念的理解，并提高解決實(shí)際問題的能力。應(yīng)用題1：分組問題問題描述：有480個(gè)蘋果，需要平均分給12個(gè)小組，每個(gè)小組能分到多少個(gè)蘋果？解題步驟：確定已知條件：蘋果總數(shù)為480個(gè)，小組數(shù)為12個(gè)確定求解目標(biāo)：每組分到的蘋果數(shù)建立數(shù)學(xué)模型：每組蘋果數(shù)=總蘋果數(shù)÷小組數(shù)計(jì)算：480÷12=40因此，每個(gè)小組能分到40個(gè)蘋果。解析：480=48×10，而48=12×4，所以480=12×4×10=12×40。因此，商為40，末尾有一個(gè)零。這類分組問題在日常生活中非常常見，例如平均分配物品、計(jì)算人均消費(fèi)等，都可以運(yùn)用除法來解決。當(dāng)分配結(jié)果的末尾出現(xiàn)零時(shí)，往往意味著每份數(shù)量是整十、整百等，便于實(shí)際操作。應(yīng)用題2：單位換算問題描述一條環(huán)形跑道總長3600米，9名運(yùn)動員同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)勻速跑步，且速度相同。如果他們平均分配整個(gè)跑道，每名運(yùn)動員負(fù)責(zé)跑多少米？分析過程這是一個(gè)典型的平均分配問題，需要用總長度除以人數(shù)：每人跑道長度=總跑道長度÷人數(shù)=3600÷9計(jì)算步驟3600=360×10=36×10×10=4×9×10×103600÷9=(4×9×10×10)÷9=4×10×10=400結(jié)論每名運(yùn)動員需要跑400米。商末尾有兩個(gè)零，這是因?yàn)楸怀龜?shù)3600中含有兩個(gè)10的因子，而除數(shù)9與10互質(zhì)。這個(gè)例子展示了商末尾有零的除法在實(shí)際問題中的應(yīng)用，特別是在涉及長度、面積、體積等度量單位的問題中，常常會出現(xiàn)商末尾有零的情況。學(xué)生分組討論應(yīng)用題小組討論是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和問題解決能力的有效方式。在討論商末尾有零的除法應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生可以：相互交流不同的解題思路和方法分析問題的特點(diǎn)，探討為什么商末尾會出現(xiàn)零設(shè)計(jì)新的應(yīng)用題，挑戰(zhàn)彼此的理解深度將數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活聯(lián)系起來，增強(qiáng)應(yīng)用意識教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：在什么情況下，商末尾會出現(xiàn)零？商末尾的零的個(gè)數(shù)與什么因素有關(guān)？如何根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，選擇合適的計(jì)算方法？通過討論，學(xué)生不僅能夠加深對商末尾有零的除法的理解，還能培養(yǎng)批判性思維和合作學(xué)習(xí)的能力。第四章：商末尾有零的除法常見誤區(qū)在本章中，我們將探討學(xué)生在學(xué)習(xí)商末尾有零的除法時(shí)常見的誤區(qū)和錯(cuò)誤，分析這些誤區(qū)產(chǎn)生的原因，并提供相應(yīng)的糾正方法，幫助學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)概念和計(jì)算習(xí)慣。誤區(qū)一：忽略除數(shù)的因子錯(cuò)誤示例例如，在計(jì)算540÷9時(shí)，有些學(xué)生可能直接認(rèn)為：540=54×10，所以540÷9=54÷9×10=6×10=60這種計(jì)算方法看似合理，但實(shí)際上忽略了拆分的步驟和數(shù)學(xué)原理。正確分析正確的思路應(yīng)該是：540=9×60，所以540÷9=60或者通過拆分：540=450+90，450÷9=50，90÷9=10，所以540÷9=50+10=60這個(gè)誤區(qū)的本質(zhì)是忽略了除數(shù)的因子結(jié)構(gòu)，簡單地認(rèn)為只要被除數(shù)末尾有零，商的末尾就一定有零。實(shí)際上，商末尾是否有零，取決于被除數(shù)和除數(shù)的因子組成，特別是關(guān)于2和5這兩個(gè)因子的分布。請記?。翰皇撬斜怀龜?shù)末尾有零的除法，商的末尾都會有零。關(guān)鍵是要分析被除數(shù)和除數(shù)的因子組成。誤區(qū)二：商末尾零的誤判許多學(xué)生在判斷商末尾是否有零時(shí)，存在以下誤區(qū)：認(rèn)為被除數(shù)末尾有零，商末尾就一定有零忽視除數(shù)中可能含有的2和5因子不考慮被除數(shù)和除數(shù)的公因數(shù)關(guān)系例如，在計(jì)算350÷70時(shí)，有些學(xué)生可能誤認(rèn)為商末尾應(yīng)有一個(gè)零，因?yàn)楸怀龜?shù)末尾有一個(gè)零。但實(shí)際上：計(jì)算結(jié)果是5，商末尾沒有零，因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)中的10因子相互抵消了。常見錯(cuò)誤示例錯(cuò)誤判斷：2400÷80=300（認(rèn)為商末尾應(yīng)有兩個(gè)零）正確計(jì)算：2400÷80=30（商末尾只有一個(gè)零）錯(cuò)誤原因：忽略了除數(shù)80中也含有一個(gè)10的因子正確判斷商末尾零的數(shù)量的方法是：分解被除數(shù)和除數(shù)的因子，特別關(guān)注10的因子（即2和5的組合）被除數(shù)中10的因子個(gè)數(shù)減去除數(shù)中10的因子個(gè)數(shù)，得到的差值就是商末尾零的個(gè)數(shù)如果差值為負(fù)數(shù)或零，則商末尾沒有零糾正方法1細(xì)心分解因數(shù)在解決商末尾有零的除法問題時(shí)，首先要細(xì)心分解被除數(shù)和除數(shù)的因數(shù)，特別是2和5這兩個(gè)因子，它們的組合構(gòu)成了10的因子。例如：3600=25×32×52，其中2和5分別出現(xiàn)了5次和2次，所以含有兩個(gè)10的因子（由2和5組成）。2反復(fù)驗(yàn)證計(jì)算過程在完成計(jì)算后，通過乘法驗(yàn)證結(jié)果的正確性：商×除數(shù)=被除數(shù)。例如：計(jì)算1200÷30=40后，驗(yàn)證40×30=1200，確認(rèn)結(jié)果正確。此外，還可以通過以下方法幫助理解和糾正誤區(qū)：使用具體的例子說明被除數(shù)和除數(shù)中因子的關(guān)系通過多種方法解決同一問題，比較結(jié)果的一致性結(jié)合實(shí)際情境，理解商末尾零的實(shí)際意義教學(xué)建議：可以設(shè)計(jì)一系列特殊的例子，讓學(xué)生觀察被除數(shù)和除數(shù)中10的因子與商末尾零的關(guān)系，從而歸納出規(guī)律。練習(xí)題判斷下列除法商是否有末尾零，如果有，請說明有幾個(gè)零，并解釋原因：270÷9分析：270=27×10=3×9×10270÷9=(3×9×10)÷9=3×10=30商末尾有一個(gè)零，因?yàn)楸怀龜?shù)中含有一個(gè)10的因子，而除數(shù)9不含10的因子。350÷7分析：350=35×10=5×7×10350÷7=(5×7×10)÷7=5×10=50商末尾有一個(gè)零，因?yàn)楸怀龜?shù)中含有一個(gè)10的因子，而除數(shù)7不含10的因子。思考以下問題：如果將270改為2700，除數(shù)仍為9，商末尾會有幾個(gè)零？如果將350改為350000，除數(shù)仍為7，商末尾會有幾個(gè)零？如果除數(shù)是90而不是9，在計(jì)算270÷90時(shí)，商末尾會有零嗎？為什么？通過這些練習(xí)，學(xué)生可以加深對商末尾零與被除數(shù)、除數(shù)因子關(guān)系的理解，避免常見誤區(qū)。第五章：拓展練習(xí)與思考在本章中，我們將通過一系列具有挑戰(zhàn)性的練習(xí)題，進(jìn)一步拓展和深化對商末尾有零的除法的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。挑戰(zhàn)題1計(jì)算：3600÷45，商末尾有幾個(gè)零？分析思路：分解被除數(shù)的因子：3600=36×100=4×9×100=4×9×102分解除數(shù)的因子：45=9×5比較被除數(shù)和除數(shù)中10的因子（即2和5的組合）：被除數(shù)中有兩個(gè)10的因子（因?yàn)橛?02）除數(shù)中有0.5個(gè)10的因子（因?yàn)橛幸粋€(gè)5，但沒有配對的2）商末尾零的個(gè)數(shù)=被除數(shù)中10的因子個(gè)數(shù)-除數(shù)中10的因子個(gè)數(shù)=2-0.5=1.5（向下取整）=1計(jì)算過程：因此，3600÷45=80，商末尾有一個(gè)零。這是因?yàn)楸怀龜?shù)中的兩個(gè)10因子，有一個(gè)被除數(shù)中的5約去了，剩下一個(gè)10因子保留在商中，形成末尾的零。挑戰(zhàn)題2題目要求設(shè)計(jì)一道商末尾有零的除法題目，并說明理由。示例答案1設(shè)計(jì)題目：7200÷18=?分析：7200=720×10=72×100=8×9×10018=2×9所以，7200÷18=(8×9×100)÷(2×9)=8×100÷2=8×50=400商末尾有兩個(gè)零，因?yàn)楸怀龜?shù)中的兩個(gè)10因子都保留在了商中。示例答案2設(shè)計(jì)題目：12500÷25=?分析：12500=125×100=53×10225=52所以，12500÷25=(53×102)÷(52)=5×102=500商末尾有兩個(gè)零，因?yàn)楸怀龜?shù)中的兩個(gè)10因子都保留在了商中。設(shè)計(jì)這類題目的關(guān)鍵是確保被除數(shù)中的10因子（或其組成部分2和5）多于除數(shù)中的10因子，這樣在計(jì)算后，商的末尾才會保留零。你可以嘗試設(shè)計(jì)更多的題目，比如：設(shè)計(jì)一道商末尾恰有三個(gè)零的除法題設(shè)計(jì)一道被除數(shù)和除數(shù)都是兩位數(shù)，但商末尾有零的除法題設(shè)計(jì)一道被除數(shù)末尾有多個(gè)零，但商末尾沒有零的除法題小結(jié)因數(shù)分解商末尾有零的除法與被除數(shù)和除數(shù)的因數(shù)分解密切相關(guān)，特別是與因子2和5的分布有關(guān)。計(jì)算技巧在計(jì)算商末尾有零的除法時(shí)，可以靈活運(yùn)用約分法和拆分法，簡化計(jì)算過程，提高計(jì)算效率。避免誤區(qū)理解商末尾零的形成原理，避免常見誤區(qū)，如忽略除數(shù)的因子、誤判商末尾零的數(shù)量等。實(shí)際應(yīng)用商末尾有零的除法在實(shí)際生活中有廣泛應(yīng)用，如分組問題、單位換算等，理解其原理有助于解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)本質(zhì)商末尾零的本質(zhì)反映了除法中被除數(shù)和除數(shù)因子結(jié)構(gòu)的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律和美。通過本課的學(xué)習(xí)，我們深入理解了商末尾有零的除法的原理、計(jì)算方法和應(yīng)用，掌握了分析問題和解決問題的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。記?。荷棠┪擦愕膫€(gè)數(shù)=被除數(shù)中10的因子個(gè)數(shù)-除數(shù)中10的因子個(gè)數(shù)（如果結(jié)果為負(fù)數(shù)或零，則商末尾沒有零）。課堂互動為了加深學(xué)生對商末尾有零的除法的理解，可以組織以下課堂互動活動：學(xué)生分享邀請學(xué)生分享自己在學(xué)習(xí)或生活中遇到的商末尾有零的除法題目，并解釋其中的數(shù)學(xué)原理。小組討論將學(xué)生分成小組，討論不同解題方法的優(yōu)劣，如約分法和拆分法在不同情況下的適用性。挑戰(zhàn)賽舉辦"設(shè)計(jì)商末尾有零的除法題"挑戰(zhàn)賽，學(xué)生設(shè)計(jì)題目并互相解答，評選最具創(chuàng)意的題目。這些互動活動不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能促進(jìn)深度思考和合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。教師在活動中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，而不僅僅是機(jī)械地進(jìn)行計(jì)算。