定積分期末考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與下列哪個因素無關（）A.積分區(qū)間\([a,b]\)B.被積函數(shù)\(f(x)\)C.積分變量的記法D.\(f(x)\)的原函數(shù)2.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(1\)3.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx=\)（）A.\(F(a)-F(b)\)B.\(F(b)-F(a)\)C.\(F^\prime(b)-F^\prime(a)\)D.\(f(b)-f(a)\)4.定積分\(\int_{-1}^{1}x^3dx=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(-1\)5.函數(shù)\(y=\int_{0}^{x}t^2dt\)的導數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(x^2\)B.\(x^3\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(2x\)6.定積分\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(-2\)7.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(\int_{a}^f(t)dt\)（）A.相等B.不相等C.互為相反數(shù)D.不確定8.定積分\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(e\)D.\(e-1\)9.由\(y=x\)，\(x=0\)，\(x=1\)，\(y=0\)圍成的圖形面積用定積分表示為（）A.\(\int_{0}^{1}xdx\)B.\(\int_{0}^{1}1dx\)C.\(\int_{0}^{1}0dx\)D.\(\int_{0}^{1}(x-0)dx\)10.定積分\(\int_{0}^{2}(2x+1)dx=\)（）A.\(4\)B.\(6\)C.\(8\)D.\(10\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關于定積分性質(zhì)正確的有（）A.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)B.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）2.以下函數(shù)在給定區(qū)間上可積的有（）A.\(y=x\)在\([0,1]\)B.\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)C.\(y=\sinx\)在\([0,2\pi]\)D.\(y=\sqrt{x}\)在\([0,1]\)3.下列定積分值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x\cosxdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)D.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)4.定積分\(\int_{0}^{2}f(x)dx\)計算時，可進行的換元有（）A.令\(x=t+1\)B.令\(x=2t\)C.令\(x=t^2\)D.令\(x=\sint\)5.關于牛頓-萊布尼茨公式正確的說法有（）A.它建立了定積分與不定積分的聯(lián)系B.若\(F(x)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的一個原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)C.要求\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)D.計算定積分時可先求原函數(shù)再代入上下限相減6.下列哪些圖形的面積可以用定積分表示（）A.由\(y=x^2\)，\(y=0\)，\(x=1\)，\(x=2\)圍成的圖形B.由\(y=\sinx\)，\(y=\cosx\)，\(x=0\)，\(x=\frac{\pi}{4}\)圍成的圖形C.由\(y=e^x\)，\(y=1\)，\(x=0\)，\(x=1\)圍成的圖形D.由\(y=x\)，\(y=-x\)，\(x=1\)圍成的圖形7.定積分\(\int_{0}^{\pi}f(x)dx\)（）A.可以用\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)（\(\Deltax_i\)為小區(qū)間長度，\(\xi_i\)為小區(qū)間內(nèi)一點）的極限來定義B.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=2\int_{0}^{\pi}f(x)dx\)C.若\(f(x)\)在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞增，則定積分值大于\(0\)D.可以用積分中值定理來分析其取值范圍8.以下定積分計算正確的有（）A.\(\int_{0}^{1}2xdx=1\)B.\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx=1\)C.\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=\ln2\)D.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)9.對于定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)，如果\(f(x)\)滿足（），則可以用分部積分法計算。A.\(f(x)=u(x)v^\prime(x)\)形式B.能找到合適的\(u(x)\)和\(v(x)\)使得\(\int_{a}^u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^-\int_{a}^v(x)u^\prime(x)dx\)C.\(f(x)\)是多項式與三角函數(shù)乘積D.\(f(x)\)是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)乘積10.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，且\(M=\max_{x\in[a,b]}f(x)\)，\(m=\min_{x\in[a,b]}f(x)\)，則（）A.\(m(b-a)\leq\int_{a}^f(x)dx\leqM(b-a)\)B.存在\(\xi\in[a,b]\)，使得\(\int_{a}^f(x)dx=f(\xi)(b-a)\)C.若\(f(x)\geq0\)，則\(\int_{a}^f(x)dx\geq0\)D.若\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為\(0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示曲線\(y=f(x)\)與直線\(x=a\)，\(x=b\)，\(y=0\)所圍成圖形的面積。（）2.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上不連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上不可積。（）3.\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(f(x)\)的原函數(shù)個數(shù)無關。（）4.定積分\(\int_{-1}^{1}x^4dx=2\int_{0}^{1}x^4dx\)。（）5.函數(shù)\(F(x)=\int_{x}^{0}f(t)dt\)的導數(shù)\(F^\prime(x)=f(x)\)。（）6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，且\(f(x)\geqg(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx\geq\int_{a}^g(x)dx\)。（）7.定積分\(\int_{0}^{1}e^{-x}dx\lt\int_{0}^{1}e^xdx\)。（）8.用定積分求由\(y=x^2\)，\(y=1\)圍成圖形面積時，積分區(qū)間是\([-1,1]\)。（）9.定積分\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)，說明\(y=\sinx\)在\([0,2\pi]\)上與\(x\)軸圍成圖形面積為\(0\)。（）10.若\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^g(x)dx\)，則\(f(x)=g(x)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述定積分的幾何意義。答：定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)在幾何上表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，\(x\)軸上方部分面積取正，下方部分面積取負。2.說明牛頓-萊布尼茨公式的作用。答：牛頓-萊布尼茨公式建立了定積分與不定積分的聯(lián)系，將定積分的計算轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的原函數(shù)，然后代入上下限相減，大大簡化了定積分的計算過程，使定積分計算有了系統(tǒng)有效的方法。3.定積分換元法的關鍵步驟是什么？答：關鍵步驟：首先選擇合適的換元\(x=\varphi(t)\)，然后確定新的積分限（由\(x\)的積分限根據(jù)換元關系得到\(t\)的積分限），接著將被積函數(shù)和\(dx\)進行相應變換（\(dx=\varphi^\prime(t)dt\)），最后計算新的定積分。4.如何用定積分求平面圖形的面積？答：先確定圖形由哪些曲線圍成，找出交點確定積分區(qū)間，再判斷曲線上下位置關系確定被積函數(shù)（上方曲線函數(shù)減去下方曲線函數(shù)），最后用定積分\(\int_{a}^[f(x)-g(x)]dx\)（\(f(x)\)為上方曲線，\(g(x)\)為下方曲線）計算面積。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論定積分在物理中的應用。答：在物理中，定積分應用廣泛。如求變速直線運動的路程，速度函數(shù)\(v(t)\)在時間段\([a,b]\)的定積分就是路程；求變力做功，力\(F(x)\)在位移區(qū)間\([a,b]\)的定積分就是功；還可用于求物體的質(zhì)量等，通過對微小量積分得到總量。2.定積分與不定積分有哪些聯(lián)系與區(qū)別？答：聯(lián)系：牛頓-萊布尼茨公式表明定積分計算可借助不定積分，先求原函數(shù)再代入上下限。區(qū)別：不定積分是所有原函數(shù)集合，結果是函數(shù)族；定積分是一個數(shù)值，由積分區(qū)間和被積函數(shù)決定，與積分變量記法無關，且定積分有幾何、物理等實際意義。3.討論在計算定積分時，如何選擇合適的計算方法。答：若被積函數(shù)是基本初等函數(shù)且原函數(shù)易求，用牛頓-萊布尼茨公式；被積函數(shù)是復合函數(shù)或形式復雜，考慮換元法，選擇合適換元簡化積分；當被積函數(shù)是乘積形式，如多項式與三角函數(shù)等，可嘗試分部積分法；對于具有奇偶性的函數(shù)在對稱區(qū)間積分，利用奇偶性性質(zhì)簡化計算。4.談談定積分在實際生活中的意義。答：定積分在實際生活意義重大。在經(jīng)濟領域，可計算成本、收益等總量；在工程中，計算材料用量、結構受力等；在統(tǒng)計學里，計算概率分布相關量；在日常生活中，如計算一段時間內(nèi)的