概率論期末考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，則\(P(AB)\)等于（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.42.若\(X\simN(1,4)\)，則\(P(X\leqslant1)\)等于（）A.0.5B.0C.1D.0.253.設(shè)隨機變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslantx\leqslant1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\leqslant0.5)\)為（）A.0.25B.0.5C.0.75D.14.設(shè)\(X\)，\(Y\)相互獨立，且\(X\simB(10,0.5)\)，\(Y\simP(3)\)，則\(E(X+Y)\)等于（）A.5B.8C.3D.135.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)是樣本均值，則\(E(\overline{X})\)等于（）A.\(\mu\)B.\(\mu^{2}\)C.\(\sigma^{2}\)D.\(\frac{\sigma^{2}}{n}\)6.已知\(P(A|B)=0.5\)，\(P(B)=0.4\)，則\(P(AB)\)為（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.57.設(shè)隨機變量\(X\)服從均勻分布\(U(0,2)\)，則\(D(X)\)等于（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.18.若\(X\)與\(Y\)滿足\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)，則（）A.\(X\)與\(Y\)相互獨立B.\(X\)與\(Y\)不相關(guān)C.\(P(XY)=P(X)P(Y)\)D.\(X\)與\(Y\)一定相關(guān)9.設(shè)總體\(X\)的均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^{2}\)，\(X_1,X_2,X_3\)是樣本，則下列是\(\mu\)的無偏估計量的是（）A.\(\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{3}X_2+\frac{1}{6}X_3\)B.\(\frac{1}{3}X_1+\frac{1}{3}X_2+\frac{1}{3}X_3\)C.\(\frac{1}{4}X_1+\frac{1}{4}X_2+\frac{1}{2}X_3\)D.\(X_1+X_2-X_3\)10.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個事件，且\(P(A)=0.7\)，\(P(A-B)=0.3\)，則\(P(\overline{AB})\)等于（）A.0.4B.0.6C.0.3D.0.7二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于概率的性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqslantP(A)\leqslant1\)B.\(P(\Omega)=1\)C.\(P(\varnothing)=0\)D.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)2.設(shè)隨機變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則（）A.\(F(x)\)單調(diào)不減B.\(F(-\infty)=0\)C.\(F(+\infty)=1\)D.\(F(x)\)右連續(xù)3.若隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，則（）A.正態(tài)曲線關(guān)于\(x=\mu\)對稱B.\(P(X\leqslant\mu)=0.5\)C.當(dāng)\(\sigma\)固定時，\(\mu\)決定曲線的位置D.當(dāng)\(\mu\)固定時，\(\sigma\)決定曲線的形狀4.設(shè)\(X\)，\(Y\)為隨機變量，且\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，則（）A.\(E(X+Y)=5\)B.\(E(2X)=4\)C.\(E(X-Y)=-1\)D.\(E(XY)=6\)5.下列關(guān)于隨機變量獨立性的說法正確的是（）A.若\(X\)，\(Y\)相互獨立，則\(P(XY)=P(X)P(Y)\)B.若\(X\)，\(Y\)相互獨立，則\(E(XY)=E(X)E(Y)\)C.若\(X\)，\(Y\)相互獨立，則\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)D.若\(X\)，\(Y\)相互獨立，則\(X\)與\(Y\)一定不相關(guān)6.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，則（）A.\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)B.\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)D.\(S^{2}\)是\(\sigma^{2}\)的無偏估計量7.以下屬于離散型隨機變量的分布有（）A.二項分布B.泊松分布C.均勻分布D.正態(tài)分布8.設(shè)\(A\)，\(B\)為事件，且\(P(A)\gt0\)，\(P(B)\gt0\)，則（）A.\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)B.\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)C.\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)D.\(P(AB)=P(B)P(A|B)\)9.對于隨機變量\(X\)的方差\(D(X)\)，有（）A.\(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)B.\(D(X)\geqslant0\)C.\(D(aX+b)=a^{2}D(X)\)D.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\)10.設(shè)總體\(X\)的分布函數(shù)\(F(x;\theta)\)含有未知參數(shù)\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的估計量，則（）A.若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量B.若\(\hat{\theta}_1\)，\(\hat{\theta}_2\)都是\(\theta\)的無偏估計量，且\(D(\hat{\theta}_1)\ltD(\hat{\theta}_2)\)，則\(\hat{\theta}_1\)比\(\hat{\theta}_2\)更有效C.若\(\lim_{n\rightarrow\infty}P(|\hat{\theta}-\theta|\lt\varepsilon)=1\)，則\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的一致估計量D.無偏估計量一定是有效估計量三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)互斥，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）2.連續(xù)型隨機變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)滿足\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)。（）3.設(shè)\(X\)，\(Y\)為隨機變量，若\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，則\(X\)與\(Y\)相互獨立。（）4.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量。（）5.若\(X\simN(0,1)\)，則\(P(X\gt0)=0.5\)。（）6.事件\(A\)的對立事件\(\overline{A}\)滿足\(P(A)+P(\overline{A})=1\)。（）7.離散型隨機變量\(X\)的分布律\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)滿足\(\sum_{i=1}^{\infty}p_i=1\)。（）8.設(shè)\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，則\(E(X)=D(X)=\lambda\)。（）9.若\(X\)與\(Y\)不相關(guān)，則\(Cov(X,Y)=0\)。（）10.總體方差\(\sigma^{2}\)的無偏估計量是樣本方差\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述概率的公理化定義。答案：設(shè)\(\Omega\)是樣本空間，\(F\)是\(\Omega\)的一些子集組成的集合類。如果對任意\(A\inF\)，定義在\(F\)上的一個實值函數(shù)\(P(A)\)滿足：非負(fù)性\(P(A)\geqslant0\)；規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，對兩兩互斥的\(A_i\inF\)，\(i=1,2,\cdots\)，有\(zhòng)(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，則稱\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.已知隨機變量\(X\)的概率密度\(f(x)=\begin{cases}ax+b,&0\leqslantx\leqslant1\\0,&其他\end{cases}\)，且\(P(X\leqslant0.5)=\frac{1}{4}\)，求\(a\)，\(b\)的值。答案：由\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，即\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=1\)，得\(\frac{a}{2}+b=1\)；又\(P(X\leqslant0.5)=\int_{0}^{0.5}(ax+b)dx=\frac{1}{4}\)，即\(\frac{a}{8}+\frac{2}=\frac{1}{4}\)。聯(lián)立解得\(a=2\)，\(b=0\)。3.簡述期望和方差的性質(zhì)。答案：期望性質(zhì)：\(E(c)=c\)（\(c\)為常數(shù)）；\(E(aX+b)=aE(X)+b\)；若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)相互獨立，則\(E(X_1X_2\cdotsX_n)=E(X_1)E(X_2)\cdotsE(X_n)\)。方差性質(zhì)：\(D(c)=0\)（\(c\)為常數(shù)）；\(D(aX+b)=a^{2}D(X)\)；若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)相互獨立，則\(D(X_1+X_2+\cdots+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+\cdots+D(X_n)\)。4.簡述矩估計法的步驟。答案：先求總體的\(k\)階原點矩\(E(X^k)\)（\(k=1,2,\cdots\)），令樣本的\(k\)階原點矩\(A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k\)等于總體的\(k\)階原點矩\(E(X^k)\)，得到關(guān)于未知參數(shù)的方程組，解方程組得到未知參數(shù)的矩估計量。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實際生活中，舉例說明正態(tài)分布的應(yīng)用。答案：比如學(xué)生的考試成績，大量學(xué)生的成績往往近似服從正態(tài)分布。大部分學(xué)生成績集中在平均分附近，成績特別高和特別低的是少數(shù)。在質(zhì)量管理中，零件的尺寸誤差也常服從正態(tài)分布，可據(jù)此控制產(chǎn)品質(zhì)量，確定合格范圍。2.討論隨機變量獨立性在實際問題中的意義。答案：在實際中，若隨機變量相互獨立，意味著一個變量的取值不影響另一個變量。比如不同地區(qū)的天氣情況，若兩地天氣相互獨立，就能分別對兩地天氣進行分析預(yù)測。在風(fēng)險評估中，獨立的風(fēng)險因素可單獨考量，利于準(zhǔn)確評估總體風(fēng)險。3.說說估計量的無偏性、有效性和一致性的實際意義。答案：無偏性意味著估計量的平均值等于被估計的參數(shù)真值，長期使用不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差。有效性指在無偏估計量中，方差小的估計量更精確。一致性表示隨著樣本量增大，估計量越來越接近真值，保證大樣本下估計的可靠性。4.討論條件概率在決策中的作用。答案：條件概率能在已知部分信息的情況下，重新評估事件發(fā)生的概率。在醫(yī)療診斷中，已知某些癥