根式方程考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.方程\(\sqrt{x+1}=2\)的解是（）A.\(x=1\)B.\(x=3\)C.\(x=5\)D.\(x=7\)2.根式方程\(\sqrt{2x-1}=x\)中，\(x\)的取值范圍是（）A.\(x\geqslant0\)B.\(x\geqslant\frac{1}{2}\)C.\(x\gt\frac{1}{2}\)D.\(x\gt0\)3.方程\(\sqrt{x-3}+1=0\)的解的情況是（）A.\(x=2\)B.\(x=3\)C.無(wú)解D.\(x=4\)4.若\(\sqrt{x-2}\)有意義，則\(x\)滿(mǎn)足的條件是（）A.\(x\gt2\)B.\(x\geqslant2\)C.\(x\lt2\)D.\(x\leqslant2\)5.方程\(\sqrt{x+3}=-x\)的解是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=3\)D.\(x=-3\)6.化簡(jiǎn)\(\sqrt{(x-3)^2}\)（\(x\lt3\)）的結(jié)果是（）A.\(x-3\)B.\(3-x\)C.\(\pm(x-3)\)D.\(x+3\)7.方程\(\sqrt{x^2-4}=0\)的解是（）A.\(x=2\)B.\(x=-2\)C.\(x=\pm2\)D.\(x=4\)8.把方程\(\sqrt{2x+1}=x-1\)兩邊平方得（）A.\(2x+1=x^2-1\)B.\(2x+1=x^2-2x+1\)C.\(2x+1=x^2+2x+1\)D.\(2x+1=x^2\)9.若\(\sqrt{1-x}\)是二次根式，則\(x\)的取值范圍是（）A.\(x\geqslant1\)B.\(x\leqslant1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)10.方程\(\sqrt{3x+1}=4\)，則\(x\)的值為（）A.\(5\)B.\(\frac{15}{3}\)C.\(\frac{16}{3}\)D.\(7\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于根式方程的是（）A.\(\sqrt{x+1}+x=2\)B.\(x^2+\sqrt{3}=0\)C.\(\sqrt{2x-3}=5\)D.\(\frac{1}{\sqrt{x}}=2\)2.解方程\(\sqrt{x-1}=x-3\)時(shí)，需要考慮（）A.\(x-1\geqslant0\)B.\(x-3\geqslant0\)C.兩邊平方可能產(chǎn)生增根D.直接求解3.使得\(\sqrt{2x-5}\)有意義的\(x\)的值可以是（）A.\(3\)B.\(\frac{5}{2}\)C.\(2\)D.\(4\)4.方程\(\sqrt{x^2-9}=0\)的解的說(shuō)法正確的是（）A.\(x=3\)B.\(x=-3\)C.\(x=\pm3\)D.方程的解是使\(x^2-9=0\)且\(x^2-9\geqslant0\)的\(x\)的值5.下列根式方程中，有解的是（）A.\(\sqrt{x+2}=-1\)B.\(\sqrt{3x-1}=x\)C.\(\sqrt{x-4}+2=0\)D.\(\sqrt{2x+3}=x+1\)6.對(duì)于方程\(\sqrt{x+4}=x\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.兩邊平方后得到\(x+4=x^2\)B.解這個(gè)方程可能會(huì)產(chǎn)生增根C.\(x\)的取值范圍是\(x\geqslant0\)D.方程的解為\(x=2\)7.以下化簡(jiǎn)正確的是（）A.\(\sqrt{(-5)^2}=5\)B.\(\sqrt{x^2}=x\)（\(x\geqslant0\)）C.\(\sqrt{(3-\pi)^2}=\pi-3\)D.\(\sqrt{4a^2}=2a\)8.方程\(\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}=0\)，則（）A.\(x=\frac{1}{2}\)B.此方程有解C.此方程無(wú)解D.要使根式有意義\(2x-1\geqslant0\)且\(1-2x\geqslant0\)9.若\(\sqrt{a-1}\)與\(\sqrt{1-a}\)都有意義，則（）A.\(a=1\)B.\(a\geqslant1\)C.\(a\leqslant1\)D.它們的值都為\(0\)10.下列關(guān)于根式方程\(\sqrt{x+5}-x=1\)的說(shuō)法正確的是（）A.移項(xiàng)可得\(\sqrt{x+5}=x+1\)B.兩邊平方后得到\(x+5=x^2+2x+1\)C.解這個(gè)方程可能會(huì)產(chǎn)生增根D.方程的解為\(x=2\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.方程\(\sqrt{x+2}=-2\)有解。（）2.當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(\sqrt{3x-2}\)有意義。（）3.方程\(\sqrt{x^2}=x\)恒成立。（）4.根式方程\(\sqrt{2x+1}=x\)兩邊平方后得到\(2x+1=x^2\)。（）5.若\(\sqrt{a}\)與\(\sqrt{-a}\)都有意義，則\(a=0\)。（）6.方程\(\sqrt{x-1}+2=0\)無(wú)解。（）7.把方程\(\sqrt{x+3}=x-1\)兩邊平方，不需要考慮增根問(wèn)題。（）8.當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(\sqrt{x^2}=-x\)。（）9.方程\(\sqrt{4x-3}=x\)，\(x\)的取值范圍是\(x\geqslant\frac{3}{4}\)。（）10.方程\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=0\)有解。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述解根式方程的一般步驟。答案：先確定根式有意義的條件，再將方程兩邊平方化為整式方程求解，最后把整式方程的解代入原方程檢驗(yàn)，舍去增根。2.解方程\(\sqrt{x-2}=3\)。答案：兩邊平方得\(x-2=9\)，解得\(x=11\)。經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=11\)時(shí)，原方程左邊\(\sqrt{11-2}=3\)，右邊\(=3\)，所以\(x=11\)是原方程的解。3.求使得\(\sqrt{3-2x}\)有意義的\(x\)的取值范圍。答案：要使根式有意義，則\(3-2x\geqslant0\)，移項(xiàng)得\(-2x\geqslant-3\)，兩邊同時(shí)除以\(-2\)，不等號(hào)方向改變，得\(x\leqslant\frac{3}{2}\)。4.指出方程\(\sqrt{x+1}=x-2\)在求解過(guò)程中可能出現(xiàn)增根的原因。答案：方程兩邊平方時(shí)，將等式兩邊同時(shí)乘方，會(huì)使取值范圍擴(kuò)大。原方程中\(zhòng)(x-2\geqslant0\)，平方后得到的整式方程的解可能不滿(mǎn)足此條件，從而產(chǎn)生增根。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論方程\(\sqrt{x^2-1}=x-1\)的解。答案：兩邊平方得\(x^2-1=x^2-2x+1\)，移項(xiàng)可得\(2x=2\)，解得\(x=1\)。原方程有意義需\(x^2-1\geqslant0\)且\(x-1\geqslant0\)，經(jīng)檢驗(yàn)\(x=1\)滿(mǎn)足條件，所以方程的解為\(x=1\)。2.若\(a\)滿(mǎn)足\(\sqrt{a^2}=-a\)，討論\(a\)的取值范圍及原因。答案：因?yàn)閈(\sqrt{a^2}=\verta\vert\)，已知\(\sqrt{a^2}=-a\)，即\(\verta\vert=-a\)。根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)，當(dāng)\(a\leqslant0\)時(shí)，\(\verta\vert=-a\)，所以\(a\)的取值范圍是\(a\leqslant0\)。3.討論根式方程\(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4\)的求解思路。答案：先移項(xiàng)\(\sqrt{x+3}=4-\sqrt{x-1}\)，兩邊平方去掉一個(gè)根號(hào)，再整理后將剩下的含根號(hào)項(xiàng)移到一邊，再次平方化為整式方程，求解后檢驗(yàn)，舍去增根得到原方程的解。4.討論在根式方程中，增根產(chǎn)生的本質(zhì)原因及檢驗(yàn)的必要性。答案：增根產(chǎn)生本質(zhì)是方程兩邊平方改變了未知數(shù)取值范圍。檢驗(yàn)是為了把不符合原方程根式有意義條件的解去掉，確保解是原方程的真正解，保證答案的準(zhǔn)確性。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B