山東省樂陵市中考數(shù)學真題分類（勾股定理）匯編重點解析考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、在△ABC中，AB=10，AC=2，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（

）A．10 B．8 C．6或10 D．8或102、如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為中點，則的最小值為（

）.A． B． C． D．3、如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是（

）A．6 B．8 C．9 D．154、已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n（m＜n），過銳角頂點把該紙片剪成兩個三角形，若這兩個三角形都為等腰三角形，則（）A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=05、如圖，以Rt△ABC的兩直角邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，則斜邊AB的長是（

）A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm6、如圖，長方形中，，，將此長方形折疊，使點與點重合，折痕為，則的長為（

）A．12 B．8 C．10 D．137、《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何.”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若設(shè)門的寬為x寸，則下列方程中，符合題意的是（）A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．2、我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端B恰好到達池邊的水面D處，問水的深度是多少？則水深DE為_____尺．3、如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，則BD的長是__．4、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，則BC的長為_____．5、我國古代的數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時，繩索用盡問繩索長是多少？”示意圖如下圖所示，設(shè)繩索的長為尺，根據(jù)題意，可列方程為__________．6、如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為___________海里（結(jié)果保留根號）．7、已知一直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、8cm,則此直角三角形斜邊上的高為____．8、如圖，在一次綜合實踐活動中，小明將一張邊長為10cm的正方形紙片ABCD，沿著BC邊上一點E與點A的連線折疊，點B'是點B的對應點，延長EB'交DC于點G，B'G＝cm，則△ECG的面積為_____cm2．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖，一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．（1）求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留到0.1km，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）；（2）確定C港在A港的什么方向．2、如圖②，它可以看作是由邊長為a、b、c的兩個直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點在同一條直線上，(1)請從面積出發(fā)寫出一個表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．3、我國古代的數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈八，蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部6尺遠．問：折處離地還有多高的竹子？（1丈=10尺）4、如圖，將RtABC紙片沿AD折疊，使直角頂點C與AB邊上的點E重合，若AB＝10cm，AC＝6cm，求線段BD的長．5、如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．6、我方偵查員小王在距離東西向公路400米處偵查，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛．他趕緊拿出紅外線測距儀，測得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎？7、已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2．求整式B．聯(lián)想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當n＞1時，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖，填寫下表中B的值；直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ8勾股數(shù)組Ⅱ35-參考答案-一、單選題1、C【解析】【詳解】分兩種情況：在圖①中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在圖②中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故選C.2、D【解析】【分析】先根據(jù)矩形的判定得出AEPF是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【詳解】解：如圖，連接AP，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠EAF=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交點就是M點．∵當AP的值最小時，AM的值就最小，∴當AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP?BC=AB?AC，∴AP?BC=AB?AC，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴5AP=3×4，∴AP=，∴AM=．故選：D．【考點】本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質(zhì)的運用，解題的關(guān)鍵是求出AP的最小值．3、D【解析】【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從B點到A點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：如圖，將臺階展開，因為AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以螞蟻爬行的最短線路為15．故選：D．【考點】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理的應用并能得出平面展開圖是解題的關(guān)鍵．4、C【解析】【分析】如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得m2+m2=（n-m）2，整理即可求解【詳解】m2+m2=（n﹣m）2，2m2=n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2=0．故選C.5、D【解析】【分析】根據(jù)正方形的面積可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根據(jù)勾股定理即可得到AB2，從而可以求得AB的值．【詳解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，∴BC2＝8，AC2＝17，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，∴AB＝5cm，故選：D．【考點】本題考查正方形的面積、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確正方形的面積是邊長的平方．6、D【解析】【分析】設(shè)BE為x，則AE為25-x，在由勾股定理有，即可求得BE=13．【詳解】設(shè)BE為x，則DE為x，AE為25-x∵四邊形為長方形∴∠EAB=90°∴在中由勾股定理有即化簡得解得故選：D．【考點】本題考查了折疊問題求折痕或其他邊長，主要可根據(jù)折疊前后兩圖形的全等條件，把某個直角三角形的三邊都用同一未知量表示出來，并根據(jù)勾股定理建立方程，進而可以求解．7、D【解析】【分析】1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，設(shè)門的寬為x寸，則門的高度為（x+68）寸，利用勾股定理及門的對角線長1丈（100寸），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.【詳解】解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸.設(shè)門的寬為x寸，則門的高度為（x+68）寸，依題意得：x2+（x+68）2＝1002.故選：D.【考點】本題主要考查了勾股定理的應用、由實際問題抽象出一元二次方程，準確計算是解題的關(guān)鍵．二、填空題1、5【解析】【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的筷子長度，進而得出答案．【詳解】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長度為：＝15，則木筷露在杯子外面的部分至少有：20?15＝5（cm）．故答案為5．【考點】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內(nèi)筷子的長是解決問題的關(guān)鍵．2、12【解析】【分析】設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出h即可．【詳解】設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理，得(h+1)2-h2=52解得h=12，∴水深為12尺，故答案是：12．【考點】本題主要考查勾股定理的應用，熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．3、2.5【解析】【分析】首先先過點D作AB的垂直線段DE，根據(jù)勾股定理把BC求出,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出DE=DC，再根據(jù)ABC的面積等于ACD的面積加上ABD的面積，把CD求出，最后BD的長度即可求出．【詳解】過點D作DEAB于E，在ABC中，C=，AB=5，AC=3，∴，∵AD平分BAC，∴DE=DC，∵，即，解得CD=1.5，∴BD=4-CD=4-1.5=2.5，故答案為：2.5．【考點】本題考查了勾股定理和角平分線的性質(zhì)定理，正確作出輔助線，根據(jù)面積相等把CD求出是解題的關(guān)鍵．4、6【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴BC===6故答案為：6．【考點】本題考查勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．5、x2?（x?3）2＝82【解析】【分析】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2?（x?3）2＝82，故答案為：x2?（x?3）2＝82．【考點】本題考查了勾股定理的應用，找準等量關(guān)系，正確列出相應方程是解題的關(guān)鍵．6、．【解析】【分析】先作PC⊥AB于點C，然后利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案為：．【考點】此題主要考查了勾股定理的應用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決問題，解決的方法就是作高線．7、4.8cm.【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可求出斜邊．然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答．【詳解】∵直角三角形的兩條直角邊分別為6cm，8cm，∴斜邊為=10(cm)，設(shè)斜邊上的高為h，則直角三角形的面積為×6×8=×10h，解得：h=4.8cm，這個直角三角形斜邊上的高為4.8cm.故答案為4.8cm.【考點】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵在于列出方程.8、【解析】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可知△ABE和△AB′E全等，則BE＝B′E，連接AG，可證△AB′G≌△ADG，則DG＝B′G＝cm，CG＝10－DG＝cm，在Rt△ECG中，設(shè)BE＝xcm，根據(jù)勾股定理列出方程，可求出BE的值，從而求出CE，最后由三角形面積公式求出△ECG的面積.【詳解】根據(jù)翻折的性質(zhì)可知△ABE和△AB′E全等，BE＝B′E，連接AG，如圖，∵AB′＝AD，AG＝AG，∴Rt△AB′G≌Rt△ADG，∴DG＝B′G＝cm，∴CG＝10－DG＝cm，在Rt△ECG中，設(shè)BE＝xcm，則CE＝(10－x)cm，EG＝B′E＋B′G＝(x＋)cm,根據(jù)勾股定理列出方程，CE2＋CG2＝EG2,即,解得：x＝2,所以BE＝2cm，CE＝10－2＝8(cm)，△ECG的面積＝(cm2)故答案為：.【考點】本題考查了勾股定理的應用，結(jié)合全等的知識找出題中的線段之間的關(guān)系是本題的解題關(guān)鍵.三、解答題1、（1）A、C兩地之間的距離為14.1km;（2）C港在A港北偏東15°的方向上．【解析】【分析】（1）根據(jù)方位角的定義可得出∠ABC=90°，再根據(jù)勾股定理可求得AC的長為14.1.（2）由（1）可知△ABC為等腰直角三角形，從而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而確定C港在A港的什么方向.【詳解】（1）由題意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．答：A、C兩地之間的距離為14.1km．（2）由（1）知，△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏東15°的方向上．【考點】本題考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正確理解方位角是解題的關(guān)鍵.2、(1)(2)3(3)7.5【解析】【分析】（1）梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即可得：；（2）根據(jù)勾股定理可得三個圖形中面積關(guān)系滿足的有3個；（3）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：，進而求解．(1)解：四邊形ABED的面積可以表示為：，也可以表示為，所以，整理得；(2)設(shè)直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a，b，c，則，圖③，∵，∴，圖④，∵∴，圖⑤，∵∴，故答案為：3．(3)∵，∴，∵，∴．【考點】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．3、尺【解析】【分析】設(shè)原處還有尺高的竹子，由題意得到折后竹子豎直高度+斜倒部分的長度=18尺，再運用勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)折處離地還有尺高的竹子,如圖，在中，AC=x尺，則AB=一丈八-AC=(18-x)尺由勾股定理得，所以，解得：．答：折處離地還有尺高的竹子．【考點】此題考查勾股定理解決實際問題．此題中的直角三角形只知道一直角邊，另兩邊未知往往要列方程求解．4、5【解析】【分析】利用勾股定理先求出的值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出，，，設(shè)，列方程求解即可．【詳解】解：由