2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：卡方檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)推斷的實(shí)際操作試題試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.卡方檢驗(yàn)主要適用于哪種類型的數(shù)據(jù)？A、連續(xù)型數(shù)據(jù)B、離散型數(shù)據(jù)C、時(shí)間序列數(shù)據(jù)D、空間數(shù)據(jù)2.在進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)時(shí)，自由度的計(jì)算公式是什么？A、樣本量減去參數(shù)個(gè)數(shù)B、分類數(shù)減去1C、參數(shù)個(gè)數(shù)減去1D、樣本量減去分類數(shù)3.卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本假設(shè)是什么？A、兩個(gè)變量相互獨(dú)立B、兩個(gè)變量相互關(guān)聯(lián)C、一個(gè)變量受另一個(gè)變量影響D、兩個(gè)變量沒(méi)有因果關(guān)系4.當(dāng)卡方檢驗(yàn)的p值小于顯著性水平時(shí)，我們通常怎么判斷？A、拒絕原假設(shè)B、接受原假設(shè)C、無(wú)法判斷D、需要更多數(shù)據(jù)5.在卡方檢驗(yàn)中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們應(yīng)該怎么辦？A、繼續(xù)進(jìn)行檢驗(yàn)B、增加樣本量C、合并類別D、使用Fisher精確檢驗(yàn)6.卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量公式是什么？A、(O-E)^2/EB、(O-E)/EC、(O-E)^2/E+1D、(O-E)/E+17.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，我們應(yīng)該注意什么？A、自由度減小B、p值增大C、統(tǒng)計(jì)量減小D、檢驗(yàn)效力降低8.卡方檢驗(yàn)的拒絕域位于哪個(gè)區(qū)域？A、統(tǒng)計(jì)量的左側(cè)B、統(tǒng)計(jì)量的右側(cè)C、統(tǒng)計(jì)量的中心D、統(tǒng)計(jì)量的兩端9.在卡方檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)為真，統(tǒng)計(jì)量的分布是什么？A、正態(tài)分布B、t分布C、卡方分布D、F分布10.卡方檢驗(yàn)的p值是什么？A、統(tǒng)計(jì)量小于某個(gè)值的概率B、統(tǒng)計(jì)量大于某個(gè)值的概率C、統(tǒng)計(jì)量等于某個(gè)值的概率D、統(tǒng)計(jì)量與某個(gè)值無(wú)關(guān)的概率11.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果期望頻數(shù)與觀察頻數(shù)差異很大，我們應(yīng)該怎么辦？A、繼續(xù)進(jìn)行檢驗(yàn)B、增加樣本量C、合并類別D、使用Fisher精確檢驗(yàn)12.卡方檢驗(yàn)的適用條件是什么？A、樣本量足夠大B、數(shù)據(jù)為分類數(shù)據(jù)C、期望頻數(shù)不能太小D、以上都是13.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們應(yīng)該注意什么？A、繼續(xù)進(jìn)行檢驗(yàn)B、增加樣本量C、合并類別D、使用Fisher精確檢驗(yàn)14.卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是什么？A、(O-E)^2/EB、(O-E)/EC、(O-E)^2/E+1D、(O-E)/E+115.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，我們應(yīng)該注意什么？A、自由度減小B、p值增大C、統(tǒng)計(jì)量減小D、檢驗(yàn)效力降低二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。請(qǐng)將答案填寫(xiě)在題中的橫線上。）1.卡方檢驗(yàn)是一種用于檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間是否獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)方法。2.在進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)時(shí)，我們需要計(jì)算每個(gè)類別的期望頻數(shù)。3.卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本假設(shè)是兩個(gè)變量相互獨(dú)立。4.當(dāng)卡方檢驗(yàn)的p值小于顯著性水平時(shí)，我們通常拒絕原假設(shè)。5.在卡方檢驗(yàn)中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們應(yīng)該考慮使用Fisher精確檢驗(yàn)。6.卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量公式是(O-E)^2/E。7.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，我們應(yīng)該注意檢驗(yàn)效力可能會(huì)降低。8.卡方檢驗(yàn)的拒絕域位于統(tǒng)計(jì)量的右側(cè)。9.在卡方檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)為真，統(tǒng)計(jì)量的分布是卡方分布。10.卡方檢驗(yàn)的p值是統(tǒng)計(jì)量小于某個(gè)值的概率。三、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題卡上。）1.簡(jiǎn)述卡方檢驗(yàn)的基本原理和適用條件?？ǚ綑z驗(yàn)的基本原理是通過(guò)比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異來(lái)判斷樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于某個(gè)特定的分布或兩個(gè)變量是否獨(dú)立。具體來(lái)說(shuō)，卡方檢驗(yàn)計(jì)算一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，該統(tǒng)計(jì)量是每個(gè)單元格中觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)的總和。如果這個(gè)統(tǒng)計(jì)量較大，說(shuō)明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異顯著，我們有理由懷疑原假設(shè)不成立?？ǚ綑z驗(yàn)的適用條件包括：-樣本量足夠大，通常要求樣本量至少為40。-數(shù)據(jù)為分類數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)被分成不同的類別。-每個(gè)單元格的期望頻數(shù)不能太小，通常要求每個(gè)單元格的期望頻數(shù)不小于5。如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，可以考慮合并類別或使用Fisher精確檢驗(yàn)。-獨(dú)立性假設(shè)，即樣本中的觀測(cè)值是獨(dú)立的。2.解釋什么是卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，并說(shuō)明其用途?？ǚ綌M合優(yōu)度檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于某個(gè)特定的理論分布。例如，我們可以使用卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)正態(tài)分布、二項(xiàng)分布或泊松分布。在卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，我們首先根據(jù)理論分布計(jì)算出每個(gè)類別的期望頻數(shù)，然后比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異。如果觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異顯著，我們就有理由拒絕原假設(shè)，即樣本數(shù)據(jù)不來(lái)自于某個(gè)特定的理論分布。卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的用途非常廣泛，例如：-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)正態(tài)分布。-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)二項(xiàng)分布。-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)泊松分布。-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)均勻分布。3.描述卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟，并舉例說(shuō)明?？ǚ姜?dú)立性檢驗(yàn)的步驟如下：-建立原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)是兩個(gè)變量相互獨(dú)立，備擇假設(shè)是兩個(gè)變量相互關(guān)聯(lián)。-收集數(shù)據(jù)，并構(gòu)造一個(gè)列聯(lián)表，列出每個(gè)類別的觀察頻數(shù)。-計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)。期望頻數(shù)是根據(jù)原假設(shè)計(jì)算出的理論頻數(shù)。-計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量?？ǚ浇y(tǒng)計(jì)量是每個(gè)單元格中觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)的總和。-確定自由度。自由度等于(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)。-查找卡方分布表，確定卡方統(tǒng)計(jì)量的p值。-根據(jù)p值和顯著性水平，做出統(tǒng)計(jì)決策。如果p值小于顯著性水平，拒絕原假設(shè)；否則，接受原假設(shè)。舉例說(shuō)明：假設(shè)我們想檢驗(yàn)性別和喜好顏色是否獨(dú)立。我們收集了100人的數(shù)據(jù)，構(gòu)造了一個(gè)2×3的列聯(lián)表，如下所示：||紅色|藍(lán)色|綠色||-----------|------|------|------||男性|20|15|10||女性|25|20|15|我們首先建立原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)是性別和喜好顏色相互獨(dú)立，備擇假設(shè)是性別和喜好顏色相互關(guān)聯(lián)。然后，我們計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)，并計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量。假設(shè)卡方統(tǒng)計(jì)量為6.5，自由度為2，查表得到p值為0.039。如果顯著性水平為0.05，因?yàn)閜值小于顯著性水平，我們拒絕原假設(shè)，即性別和喜好顏色不是獨(dú)立的。4.解釋卡方檢驗(yàn)中期望頻數(shù)的計(jì)算方法，并說(shuō)明其重要性。在卡方檢驗(yàn)中，期望頻數(shù)是根據(jù)原假設(shè)計(jì)算出的理論頻數(shù)。具體來(lái)說(shuō)，期望頻數(shù)是根據(jù)每個(gè)類別的邊際總和和行總和或列總和的乘積除以總樣本量計(jì)算出來(lái)的。例如，在一個(gè)2×2的列聯(lián)表中，假設(shè)總樣本量為N，行總和為R1和R2，列總和為C1和C2，那么每個(gè)單元格的期望頻數(shù)計(jì)算公式如下：-期望頻數(shù)(1,1)=(R1×C1)/N-期望頻數(shù)(1,2)=(R1×C2)/N-期望頻數(shù)(2,1)=(R2×C1)/N-期望頻數(shù)(2,2)=(R2×C2)/N期望頻數(shù)的重要性在于，它們提供了在原假設(shè)成立時(shí)的理論頻數(shù)分布。通過(guò)比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異，我們可以判斷樣本數(shù)據(jù)是否顯著偏離理論分布。如果期望頻數(shù)計(jì)算不準(zhǔn)確，可能會(huì)導(dǎo)致卡方統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確，從而影響統(tǒng)計(jì)決策的正確性。5.描述卡方檢驗(yàn)中如何處理期望頻數(shù)小于5的情況，并舉例說(shuō)明。在卡方檢驗(yàn)中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們應(yīng)該考慮使用Fisher精確檢驗(yàn)或其他方法來(lái)處理這種情況。Fisher精確檢驗(yàn)是一種不依賴于正態(tài)近似的方法，適用于樣本量較小或期望頻數(shù)小于5的情況。例如，假設(shè)我們進(jìn)行了一個(gè)2×2的列聯(lián)表分析，得到以下結(jié)果：||是|否||-----------|------|------||組1|5|15||組2|10|20|在這個(gè)例子中，如果計(jì)算得到某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們可以使用Fisher精確檢驗(yàn)來(lái)替代卡方檢驗(yàn)。Fisher精確檢驗(yàn)可以直接計(jì)算精確的p值，而不需要依賴于正態(tài)近似。Fisher精確檢驗(yàn)的基本原理是計(jì)算在給定邊緣總和的情況下，觀察到當(dāng)前或更極端結(jié)果的概率。通過(guò)計(jì)算這個(gè)概率，我們可以判斷樣本數(shù)據(jù)是否顯著偏離原假設(shè)。四、論述題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題卡上。）1.論述卡方檢驗(yàn)在社會(huì)科學(xué)研究中的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明?？ǚ綑z驗(yàn)在社會(huì)科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樗梢杂脕?lái)檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間是否獨(dú)立，以及樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于某個(gè)特定的理論分布。例如，在社會(huì)科學(xué)研究中，我們經(jīng)常需要檢驗(yàn)性別和選舉偏好是否獨(dú)立，或者檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于某個(gè)特定的社會(huì)群體。舉例說(shuō)明：假設(shè)我們想檢驗(yàn)性別和選舉偏好是否獨(dú)立。我們收集了1000人的數(shù)據(jù)，構(gòu)造了一個(gè)2×3的列聯(lián)表，如下所示：||候選人A|候選人B|候選人C||-----------|---------|---------|---------||男性|300|200|100||女性|400|250|150|我們使用卡方檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)性別和選舉偏好是否獨(dú)立。假設(shè)卡方統(tǒng)計(jì)量為12.5，自由度為2，查表得到p值為0.002。如果顯著性水平為0.05，因?yàn)閜值小于顯著性水平，我們拒絕原假設(shè)，即性別和選舉偏好不是獨(dú)立的。這個(gè)例子說(shuō)明，卡方檢驗(yàn)可以用來(lái)檢驗(yàn)性別和選舉偏好是否獨(dú)立。如果p值小于顯著性水平，我們就有理由認(rèn)為性別和選舉偏好之間存在關(guān)聯(lián)。2.論述卡方檢驗(yàn)的局限性和改進(jìn)方法，并舉例說(shuō)明?？ǚ綑z驗(yàn)雖然是一種常用的統(tǒng)計(jì)方法，但也存在一些局限性。首先，卡方檢驗(yàn)假設(shè)數(shù)據(jù)為分類數(shù)據(jù)，不適用于連續(xù)型數(shù)據(jù)。其次，卡方檢驗(yàn)假設(shè)期望頻數(shù)不能太小，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，卡方檢驗(yàn)的結(jié)果可能不準(zhǔn)確。此外，卡方檢驗(yàn)只能檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否獨(dú)立，不能檢驗(yàn)變量之間的因果關(guān)系。為了克服這些局限性，我們可以采用一些改進(jìn)方法。例如，如果數(shù)據(jù)為連續(xù)型數(shù)據(jù)，我們可以使用非參數(shù)檢驗(yàn)方法，如Mann-WhitneyU檢驗(yàn)或Kruskal-Wallis檢驗(yàn)。如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們可以使用Fisher精確檢驗(yàn)或其他方法來(lái)替代卡方檢驗(yàn)。此外，如果我們想檢驗(yàn)變量之間的因果關(guān)系，我們可以使用回歸分析或其他統(tǒng)計(jì)方法。舉例說(shuō)明：假設(shè)我們想檢驗(yàn)?zāi)挲g和消費(fèi)習(xí)慣是否獨(dú)立。我們收集了500人的數(shù)據(jù)，構(gòu)造了一個(gè)3×3的列聯(lián)表，如下所示：||低消費(fèi)|中消費(fèi)|高消費(fèi)||-----------|--------|--------|--------||青年|100|150|50||中年|150|200|50||老年|50|100|50|在這個(gè)例子中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們可以使用Fisher精確檢驗(yàn)來(lái)替代卡方檢驗(yàn)。Fisher精確檢驗(yàn)可以直接計(jì)算精確的p值，而不需要依賴于正態(tài)近似。通過(guò)使用這些改進(jìn)方法，我們可以更準(zhǔn)確地分析數(shù)據(jù)，并得出更可靠的結(jié)論。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：B解析：卡方檢驗(yàn)主要適用于檢驗(yàn)分類變量之間的關(guān)聯(lián)性，分類變量通常表現(xiàn)為離散型數(shù)據(jù)。連續(xù)型數(shù)據(jù)一般使用t檢驗(yàn)或方差分析等統(tǒng)計(jì)方法。2.答案：B解析：卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的自由度計(jì)算公式為分類數(shù)減去1。這是因?yàn)槲覀冃枰烙?jì)參數(shù)（如比例）來(lái)計(jì)算期望頻數(shù)，自由度需要減去估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)。3.答案：A解析：卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本假設(shè)是兩個(gè)分類變量相互獨(dú)立，即一個(gè)變量的取值不受另一個(gè)變量取值的影響。如果兩個(gè)變量相互獨(dú)立，那么觀察頻數(shù)應(yīng)該接近期望頻數(shù)。4.答案：A解析：當(dāng)卡方檢驗(yàn)的p值小于顯著性水平（通常為0.05）時(shí)，說(shuō)明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異足夠大，有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩個(gè)變量之間存在關(guān)聯(lián)。5.答案：C解析：在卡方檢驗(yàn)中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，會(huì)導(dǎo)致卡方統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。此時(shí)，可以合并類別以增加期望頻數(shù)，或者使用Fisher精確檢驗(yàn)。6.答案：A解析：卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量公式是(O-E)^2/E，其中O表示觀察頻數(shù)，E表示期望頻數(shù)。這個(gè)公式計(jì)算每個(gè)單元格中觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)，然后求和。7.答案：D解析：當(dāng)樣本量較小時(shí)，卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量分布可能不近似于卡方分布，導(dǎo)致檢驗(yàn)效力降低。此時(shí)，可以考慮使用Fisher精確檢驗(yàn)或其他方法。8.答案：B解析：卡方檢驗(yàn)的拒絕域位于統(tǒng)計(jì)量的右側(cè)，即當(dāng)卡方統(tǒng)計(jì)量大于臨界值時(shí)，拒絕原假設(shè)。這是因?yàn)榭ǚ浇y(tǒng)計(jì)量越大，說(shuō)明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異越大。9.答案：C解析：在卡方檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)為真，即兩個(gè)變量相互獨(dú)立，那么卡方統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該服從卡方分布?？ǚ椒植际且粋€(gè)右偏分布，隨著自由度的增加，分布逐漸接近正態(tài)分布。10.答案：A解析：卡方檢驗(yàn)的p值是統(tǒng)計(jì)量小于某個(gè)值的概率，即統(tǒng)計(jì)量小于觀察到的卡方統(tǒng)計(jì)量的概率。p值越小，說(shuō)明觀察到的差異越極端，有越多的證據(jù)拒絕原假設(shè)。11.答案：C解析：在卡方檢驗(yàn)中，如果期望頻數(shù)與觀察頻數(shù)差異很大，說(shuō)明觀察到的數(shù)據(jù)與理論分布差異顯著。此時(shí)，可以考慮合并類別以增加期望頻數(shù)，或者使用Fisher精確檢驗(yàn)。12.答案：D解析：卡方檢驗(yàn)的適用條件包括：樣本量足夠大，數(shù)據(jù)為分類數(shù)據(jù)，期望頻數(shù)不能太小（通常不小于5），以及獨(dú)立性假設(shè)。以上條件都滿足時(shí)，卡方檢驗(yàn)才是適用的。13.答案：C解析：在卡方檢驗(yàn)中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，會(huì)導(dǎo)致卡方統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。此時(shí)，可以合并類別以增加期望頻數(shù)，或者使用Fisher精確檢驗(yàn)。14.答案：A解析：卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量公式是(O-E)^2/E，其中O表示觀察頻數(shù)，E表示期望頻數(shù)。這個(gè)公式計(jì)算每個(gè)單元格中觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)，然后求和。15.答案：D解析：在卡方檢驗(yàn)中，如果樣本量較小，檢驗(yàn)效力可能會(huì)降低。這是因?yàn)闃颖玖枯^小時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的分布可能不近似于卡方分布，導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果不準(zhǔn)確。二、填空題答案及解析1.答案：卡方檢驗(yàn)是一種用于檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間是否獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)方法。解析：卡方檢驗(yàn)主要用于分析兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系，判斷它們是否獨(dú)立。通過(guò)比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)，可以判斷兩個(gè)變量是否存在關(guān)聯(lián)。2.答案：在進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)時(shí)，我們需要計(jì)算每個(gè)類別的期望頻數(shù)。解析：卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于某個(gè)特定的理論分布。需要根據(jù)理論分布計(jì)算出每個(gè)類別的期望頻數(shù)，然后比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異。3.答案：卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本假設(shè)是兩個(gè)變量相互獨(dú)立。解析：卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本假設(shè)是兩個(gè)分類變量相互獨(dú)立，即一個(gè)變量的取值不受另一個(gè)變量取值的影響。如果兩個(gè)變量相互獨(dú)立，那么觀察頻數(shù)應(yīng)該接近期望頻數(shù)。4.答案：當(dāng)卡方檢驗(yàn)的p值小于顯著性水平時(shí)，我們通常拒絕原假設(shè)。解析：當(dāng)卡方檢驗(yàn)的p值小于顯著性水平（通常為0.05）時(shí)，說(shuō)明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異足夠大，有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩個(gè)變量之間存在關(guān)聯(lián)。5.答案：在卡方檢驗(yàn)中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們應(yīng)該考慮使用Fisher精確檢驗(yàn)。解析：在卡方檢驗(yàn)中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，會(huì)導(dǎo)致卡方統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。此時(shí)，可以考慮使用Fisher精確檢驗(yàn)或其他方法。6.答案：卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量公式是(O-E)^2/E。解析：卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量公式是每個(gè)單元格中觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)，然后求和。這個(gè)公式計(jì)算每個(gè)單元格中觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)，然后求和。7.答案：在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，我們應(yīng)該注意檢驗(yàn)效力可能會(huì)降低。解析：當(dāng)樣本量較小時(shí)，卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量分布可能不近似于卡方分布，導(dǎo)致檢驗(yàn)效力降低。此時(shí)，可以考慮使用Fisher精確檢驗(yàn)或其他方法。8.答案：卡方檢驗(yàn)的拒絕域位于統(tǒng)計(jì)量的右側(cè)。解析：卡方檢驗(yàn)的拒絕域位于統(tǒng)計(jì)量的右側(cè)，即當(dāng)卡方統(tǒng)計(jì)量大于臨界值時(shí)，拒絕原假設(shè)。這是因?yàn)榭ǚ浇y(tǒng)計(jì)量越大，說(shuō)明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異越大。9.答案：在卡方檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)為真，統(tǒng)計(jì)量的分布是卡方分布。解析：在卡方檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)為真，即兩個(gè)變量相互獨(dú)立，那么卡方統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該服從卡方分布?？ǚ椒植际且粋€(gè)右偏分布，隨著自由度的增加，分布逐漸接近正態(tài)分布。10.答案：卡方檢驗(yàn)的p值是統(tǒng)計(jì)量小于某個(gè)值的概率。解析：卡方檢驗(yàn)的p值是統(tǒng)計(jì)量小于某個(gè)值的概率，即統(tǒng)計(jì)量小于觀察到的卡方統(tǒng)計(jì)量的概率。p值越小，說(shuō)明觀察到的差異越極端，有越多的證據(jù)拒絕原假設(shè)。三、簡(jiǎn)答題答案及解析1.答案：卡方檢驗(yàn)的基本原理是通過(guò)比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異來(lái)判斷樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于某個(gè)特定的分布或兩個(gè)變量是否獨(dú)立。具體來(lái)說(shuō)，卡方檢驗(yàn)計(jì)算一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，該統(tǒng)計(jì)量是每個(gè)單元格中觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)的總和。如果這個(gè)統(tǒng)計(jì)量較大，說(shuō)明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異顯著，我們有理由懷疑原假設(shè)不成立?？ǚ綑z驗(yàn)的適用條件包括：-樣本量足夠大，通常要求樣本量至少為40。-數(shù)據(jù)為分類數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)被分成不同的類別。-每個(gè)單元格的期望頻數(shù)不能太小，通常要求每個(gè)單元格的期望頻數(shù)不小于5。如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，可以考慮合并類別或使用Fisher精確檢驗(yàn)。-獨(dú)立性假設(shè)，即樣本中的觀測(cè)值是獨(dú)立的。解析：卡方檢驗(yàn)的基本原理是通過(guò)比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異來(lái)判斷樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于某個(gè)特定的分布或兩個(gè)變量是否獨(dú)立。具體來(lái)說(shuō)，卡方檢驗(yàn)計(jì)算一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，該統(tǒng)計(jì)量是每個(gè)單元格中觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)的總和。如果這個(gè)統(tǒng)計(jì)量較大，說(shuō)明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異顯著，我們有理由懷疑原假設(shè)不成立?？ǚ綑z驗(yàn)的適用條件包括：-樣本量足夠大，通常要求樣本量至少為40。-數(shù)據(jù)為分類數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)被分成不同的類別。-每個(gè)單元格的期望頻數(shù)不能太小，通常要求每個(gè)單元格的期望頻數(shù)不小于5。如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，可以考慮合并類別或使用Fisher精確檢驗(yàn)。-獨(dú)立性假設(shè)，即樣本中的觀測(cè)值是獨(dú)立的。2.答案：卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于某個(gè)特定的理論分布。例如，我們可以使用卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)正態(tài)分布、二項(xiàng)分布或泊松分布。在卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，我們首先根據(jù)理論分布計(jì)算出每個(gè)類別的期望頻數(shù)，然后比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異。如果觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異顯著，我們就有理由拒絕原假設(shè)，即樣本數(shù)據(jù)不來(lái)自于某個(gè)特定的理論分布?？ǚ綌M合優(yōu)度檢驗(yàn)的用途非常廣泛，例如：-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)正態(tài)分布。-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)二項(xiàng)分布。-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)泊松分布。-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)均勻分布。解析：卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于某個(gè)特定的理論分布。例如，我們可以使用卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)正態(tài)分布、二項(xiàng)分布或泊松分布。在卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，我們首先根據(jù)理論分布計(jì)算出每個(gè)類別的期望頻數(shù)，然后比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異。如果觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異顯著，我們就有理由拒絕原假設(shè)，即樣本數(shù)據(jù)不來(lái)自于某個(gè)特定的理論分布。卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的用途非常廣泛，例如：-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)正態(tài)分布。-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)二項(xiàng)分布。-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)泊松分布。-檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于一個(gè)均勻分布。3.答案：卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟如下：-建立原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)是兩個(gè)變量相互獨(dú)立，備擇假設(shè)是兩個(gè)變量相互關(guān)聯(lián)。-收集數(shù)據(jù)，并構(gòu)造一個(gè)列聯(lián)表，列出每個(gè)類別的觀察頻數(shù)。-計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)。期望頻數(shù)是根據(jù)原假設(shè)計(jì)算出的理論頻數(shù)。-計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量?？ǚ浇y(tǒng)計(jì)量是每個(gè)單元格中觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)的總和。-確定自由度。自由度等于(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)。-查找卡方分布表，確定卡方統(tǒng)計(jì)量的p值。-根據(jù)p值和顯著性水平，做出統(tǒng)計(jì)決策。如果p值小于顯著性水平，拒絕原假設(shè)；否則，接受原假設(shè)。舉例說(shuō)明：假設(shè)我們想檢驗(yàn)性別和喜好顏色是否獨(dú)立。我們收集了100人的數(shù)據(jù)，構(gòu)造了一個(gè)2×3的列聯(lián)表，如下所示：||紅色|藍(lán)色|綠色||-----------|------|------|------||男性|20|15|10||女性|25|20|15|我們首先建立原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)是性別和喜好顏色相互獨(dú)立，備擇假設(shè)是性別和喜好顏色相互關(guān)聯(lián)。然后，我們計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)，并計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量。假設(shè)卡方統(tǒng)計(jì)量為6.5，自由度為2，查表得到p值為0.039。如果顯著性水平為0.05，因?yàn)閜值小于顯著性水平，我們拒絕原假設(shè)，即性別和喜好顏色不是獨(dú)立的。解析：卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟如下：-建立原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)是兩個(gè)變量相互獨(dú)立，備擇假設(shè)是兩個(gè)變量相互關(guān)聯(lián)。-收集數(shù)據(jù)，并構(gòu)造一個(gè)列聯(lián)表，列出每個(gè)類別的觀察頻數(shù)。-計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)。期望頻數(shù)是根據(jù)原假設(shè)計(jì)算出的理論頻數(shù)。-計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量?？ǚ浇y(tǒng)計(jì)量是每個(gè)單元格中觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)的總和。-確定自由度。自由度等于(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)。-查找卡方分布表，確定卡方統(tǒng)計(jì)量的p值。-根據(jù)p值和顯著性水平，做出統(tǒng)計(jì)決策。如果p值小于顯著性水平，拒絕原假設(shè)；否則，接受原假設(shè)。舉例說(shuō)明：假設(shè)我們想檢驗(yàn)性別和喜好顏色是否獨(dú)立。我們收集了100人的數(shù)據(jù)，構(gòu)造了一個(gè)2×3的列聯(lián)表，如下所示：||紅色|藍(lán)色|綠色||-----------|------|------|------||男性|20|15|10||女性|25|20|15|我們首先建立原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)是性別和喜好顏色相互獨(dú)立，備擇假設(shè)是性別和喜好顏色相互關(guān)聯(lián)。然后，我們計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)，并計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量。假設(shè)卡方統(tǒng)計(jì)量為6.5，自由度為2，查表得到p值為0.039。如果顯著性水平為0.05，因?yàn)閜值小于顯著性水平，我們拒絕原假設(shè)，即性別和喜好顏色不是獨(dú)立的。4.答案：卡方檢驗(yàn)中期望頻數(shù)的計(jì)算方法是根據(jù)每個(gè)類別的邊際總和和行總和或列總和的乘積除以總樣本量計(jì)算出來(lái)的。具體來(lái)說(shuō)，在一個(gè)2×2的列聯(lián)表中，假設(shè)總樣本量為N，行總和為R1和R2，列總和為C1和C2，那么每個(gè)單元格的期望頻數(shù)計(jì)算公式如下：-期望頻數(shù)(1,1)=(R1×C1)/N-期望頻數(shù)(1,2)=(R1×C2)/N-期望頻數(shù)(2,1)=(R2×C1)/N-期望頻數(shù)(2,2)=(R2×C2)/N期望頻數(shù)的重要性在于，它們提供了在原假設(shè)成立時(shí)的理論頻數(shù)分布。通過(guò)比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異，我們可以判斷樣本數(shù)據(jù)是否顯著偏離理論分布。如果期望頻數(shù)計(jì)算不準(zhǔn)確，可能會(huì)導(dǎo)致卡方統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確，從而影響統(tǒng)計(jì)決策的正確性。解析：卡方檢驗(yàn)中期望頻數(shù)的計(jì)算方法是根據(jù)每個(gè)類別的邊際總和和行總和或列總和的乘積除以總樣本量計(jì)算出來(lái)的。具體來(lái)說(shuō)，在一個(gè)2×2的列聯(lián)表中，假設(shè)總樣本量為N，行總和為R1和R2，列總和為C1和C2，那么每個(gè)單元格的期望頻數(shù)計(jì)算公式如下：-期望頻數(shù)(1,1)=(R1×C1)/N-期望頻數(shù)(1,2)=(R1×C2)/N-期望頻數(shù)(2,1)=(R2×C1)/N-期望頻數(shù)(2,2)=(R2×C2)/N期望頻數(shù)的重要性在于，它們提供了在原假設(shè)成立時(shí)的理論頻數(shù)分布。通過(guò)比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異，我們可以判斷樣本數(shù)據(jù)是否顯著偏離理論分布。如果期望頻數(shù)計(jì)算不準(zhǔn)確，可能會(huì)導(dǎo)致卡方統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確，從而影響統(tǒng)計(jì)決策的正確性。5.答案：在卡方檢驗(yàn)中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們應(yīng)該考慮使用Fisher精確檢驗(yàn)或其他方法來(lái)處理這種情況。Fisher精確檢驗(yàn)是一種不依賴于正態(tài)近似的方法，適用于樣本量較小或期望頻數(shù)小于5的情況。舉例說(shuō)明：假設(shè)我們進(jìn)行了一個(gè)2×2的列聯(lián)表分析，得到以下結(jié)果：||是|否||-----------|------|------||組1|5|15||組2|10|20|在這個(gè)例子中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們可以使用Fisher精確檢驗(yàn)來(lái)替代卡方檢驗(yàn)。Fisher精確檢驗(yàn)可以直接計(jì)算精確的p值，而不需要依賴于正態(tài)近似。解析：在卡方檢驗(yàn)中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們應(yīng)該考慮使用Fisher精確檢驗(yàn)或其他方法來(lái)處理這種情況。Fisher精確檢驗(yàn)是一種不依賴于正態(tài)近似的方法，適用于樣本量較小或期望頻數(shù)小于5的情況。舉例說(shuō)明：假設(shè)我們進(jìn)行了一個(gè)2×2的列聯(lián)表分析，得到以下結(jié)果：||是|否||-----------|------|------||組1|5|15||組2|10|20|在這個(gè)例子中，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們可以使用Fisher精確檢驗(yàn)來(lái)替代卡方檢驗(yàn)。Fisher精確檢驗(yàn)可以直接計(jì)算精確的p值，而不需要依賴于正態(tài)近似。四、論述題答案及解析1.答案：卡方檢驗(yàn)在社會(huì)科學(xué)研究中的應(yīng)用非常廣泛，因?yàn)樗梢杂脕?lái)檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間是否獨(dú)立，以及樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于某個(gè)特定的理論分布。例如，在社會(huì)科學(xué)研究中，我們經(jīng)常需要檢驗(yàn)性別和選舉偏好是否獨(dú)立，或者檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于某個(gè)特定的社會(huì)群體。舉例說(shuō)明：假設(shè)我們想檢驗(yàn)性別和選舉偏好是否獨(dú)立。我們收集了1000人的數(shù)據(jù)，構(gòu)造了一個(gè)2×3的列聯(lián)表，如下所示：||候選人A|候選人B|候選人C||-----------|---------|---------|---------||男性|300|200|100||女性|400|250|150|我們使用卡方檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)性別和選舉偏好是否獨(dú)立。假設(shè)卡方統(tǒng)計(jì)量為12.5，自由度為2，查表得到p值為0.002。如果顯著性水平為0.05，因?yàn)閜值小于顯著性水平，我們拒絕原假設(shè)，即性別和選舉偏好不是獨(dú)立的。解析：卡方檢驗(yàn)在社會(huì)科學(xué)研究中的應(yīng)用非常廣泛，因?yàn)樗梢杂脕?lái)檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間是否獨(dú)立，以及樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自于某個(gè)特定的理論分布。例如，在社會(huì)科學(xué)研究中，我們經(jīng)常需要檢驗(yàn)性別和選舉偏好是否獨(dú)立，或者檢驗(yàn)一個(gè)隨機(jī)樣本是否來(lái)自于某個(gè)特定的社會(huì)群體。舉例說(shuō)明：假設(shè)我們想檢驗(yàn)性別和選舉偏好是否獨(dú)立。我們收集了1000人的數(shù)據(jù)，構(gòu)造了一個(gè)2×3的列聯(lián)表，如下所示：||候選人A|候選人B|候選人C||-----------|---------|---------|---------||男性|300|200|100||女性|400|250|150|我們使用卡方檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)性別和選舉偏好是否獨(dú)立。假設(shè)卡方統(tǒng)計(jì)量為12.5，自由度為2，查表得到p值為0.002。如果顯著性水平為0.05，因?yàn)閜值小于顯著