2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：統(tǒng)計(jì)推斷與假設(shè)檢驗(yàn)試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.小明老師，你想想啊，咱們統(tǒng)計(jì)學(xué)這門課，重點(diǎn)就是要教會(huì)學(xué)生怎么從數(shù)據(jù)里頭挖掘出點(diǎn)門道來，特別是統(tǒng)計(jì)推斷這塊兒。你瞧，這第一題，我就想考考大家對(duì)于總體參數(shù)估計(jì)這個(gè)基礎(chǔ)概念的掌握程度。某班級(jí)有50名學(xué)生，隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行身高測(cè)量，得到樣本平均身高為170厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為5厘米。如果我們要用樣本均值來估計(jì)整個(gè)班級(jí)的平均身高，那么下面哪個(gè)選項(xiàng)最貼切地描述了這個(gè)估計(jì)量的性質(zhì)呢？A選項(xiàng)是說這個(gè)估計(jì)量一定等于總體均值，這顯然不對(duì)，咱們只是抽樣估計(jì)，哪能那么準(zhǔn)呢？B選項(xiàng)說這個(gè)估計(jì)量是總體均值的唯一估計(jì)方法，這也不對(duì)，方法多著呢！D選項(xiàng)說這個(gè)估計(jì)量是總體均值的最大似然估計(jì)，這倒是對(duì)的，但在小樣本情況下，我們更常用的是無偏估計(jì)。所以，小明老師覺得，C選項(xiàng)——這個(gè)估計(jì)量是總體均值的無偏估計(jì)——才是最符合咱們這題情境的答案。大家想想，無偏估計(jì)意味著什么呢？就是多次抽樣得到的樣本均值，平均來看是等于總體均值的，這就像咱們拿尺子量一堵墻，量十次，平均下來，誤差正負(fù)都可能有，但長(zhǎng)期看，平均值是墻的真正長(zhǎng)度。所以啊，選C。2.小明老師，咱們接著往下看，這統(tǒng)計(jì)推斷里頭，假設(shè)檢驗(yàn)可是個(gè)重頭戲。你想想，咱們?cè)趺粗酪粋€(gè)新藥是不是真比老藥效果好呢？或者咱們的生產(chǎn)線是不是真的穩(wěn)定了？都得靠假設(shè)檢驗(yàn)啊。來，看這第二題，咱們假設(shè)某個(gè)燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命服從正態(tài)分布，以往經(jīng)驗(yàn)顯示均值壽命是1500小時(shí)?，F(xiàn)在，廠里改進(jìn)了工藝，隨機(jī)抽取了25個(gè)燈泡進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)樣本平均壽命為1530小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為100小時(shí)。如果我們要檢驗(yàn)新工藝是否真的提高了燈泡壽命，應(yīng)該采用什么檢驗(yàn)方法呢？小明老師覺得啊，首先，咱們得明確檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)，H0，就是咱們默認(rèn)沒變化，燈泡壽命還是1500小時(shí)；備擇假設(shè)，H1，就是新工藝起了作用，壽命提高了。你看這備擇假設(shè)是“壽命提高”，是個(gè)“大于”的關(guān)系，所以這是一個(gè)單尾檢驗(yàn)。其次，咱們知道總體方差是未知的，樣本量也不算特別大（25個(gè)），所以按照咱們學(xué)的知識(shí)，應(yīng)該使用t檢驗(yàn)，而不是z檢驗(yàn)。z檢驗(yàn)?zāi)鞘强傮w方差已知或者樣本量很大的時(shí)候用的。所以啊，小明老師判斷，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是D——使用單尾t檢驗(yàn)。大家想想，t檢驗(yàn)是不是更像咱們拿著尺子量，雖然知道墻大概長(zhǎng)多少，但尺子本身可能還有點(diǎn)誤差，得用t分布這個(gè)更寬容一點(diǎn)的尺子來衡量咱們的樣本均值和原假設(shè)值之間差得“夠不夠離譜”。單尾檢驗(yàn)，就是咱們特別關(guān)注壽命是不是“提高了”，而不是亂七八糟的變化。3.小明老師，你瞧，這第三題，又回到了咱們參數(shù)估計(jì)這塊兒。咱們知道，點(diǎn)估計(jì)挺直接的，但有時(shí)候它太扎眼了，不夠穩(wěn)當(dāng)，這時(shí)候就得用區(qū)間估計(jì)來“兜個(gè)底”了。假設(shè)我們想估計(jì)一個(gè)城市成年男性的平均體重，隨機(jī)抽取了100名成年男性，測(cè)得樣本平均體重為70公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為10公斤。如果我們想要95%的置信水平來估計(jì)這個(gè)城市成年男性的平均體重，那么置信區(qū)間的上下限大概是多少呢？小明老師提醒大家，計(jì)算置信區(qū)間，得知道臨界值、樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本量。95%的置信水平，意味著咱們犯第二類錯(cuò)誤的概率（也就是沒發(fā)現(xiàn)真問題，以為沒問題的概率）是5%，對(duì)于正態(tài)分布或者大樣本t分布，這個(gè)臨界值就是1.96（或者查t表，但100個(gè)樣本，t值和z值差不多）。所以，上限就是70+1.96*(10/sqrt(100))=70+1.96*1=71.96公斤；下限就是70-1.96*1=68.04公斤。所以，小明老師覺得，C選項(xiàng)——(68.04,71.96)公斤這個(gè)區(qū)間——最符合95%置信水平的估計(jì)結(jié)果。大家想想，這個(gè)區(qū)間告訴我們什么？它告訴我們，如果咱們反復(fù)抽樣，每次都算一個(gè)這樣的區(qū)間，大概有95%的區(qū)間會(huì)正好套住真實(shí)的總體均值。這就像咱們打靶，雖然每次射擊的彈著點(diǎn)不一樣，但咱們說有95%的把握，彈著點(diǎn)會(huì)在某個(gè)區(qū)域里。這個(gè)區(qū)間越窄，說明咱們估計(jì)越精確，但置信水平可能就得降低；區(qū)間越寬，咱們更保險(xiǎn)，但估計(jì)就不那么精確了。4.小明老師，咱們繼續(xù)假設(shè)檢驗(yàn)的旅程。有時(shí)候啊，咱們面對(duì)的樣本量特別小，這時(shí)候用t檢驗(yàn)也得看樣本的分布是不是正態(tài)。如果樣本不滿足正態(tài)性假設(shè)呢？小明老師覺得，咱們可以考慮非參數(shù)檢驗(yàn)。看這第四題，咱們想檢驗(yàn)兩種不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的考試成績(jī)是否有顯著影響，隨機(jī)抽取了8名學(xué)生，讓他們分別接受兩種不同的教學(xué)方法，一段時(shí)間后，他們的考試成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑旱谝环N方法：85,82,78,90,88,84,79,86；第二種方法：80,88,85,82,90,87,84,83。小明老師提醒大家，咱們的數(shù)據(jù)是成對(duì)出現(xiàn)的，也就是說，每個(gè)學(xué)生都接受了兩種方法，這叫配對(duì)樣本。咱們關(guān)心的是兩種方法下，學(xué)生成績(jī)的“差異”是否有顯著變化。這時(shí)候，咱們首先得計(jì)算每對(duì)數(shù)據(jù)的差值：5,6,7,8,-2,-3,-5,3。你看這差值，分布好像不太像正態(tài)分布，特別是有幾個(gè)負(fù)的差值，樣本量也小。如果咱們強(qiáng)行用t檢驗(yàn)，結(jié)果可能不太靠譜。這時(shí)候，小明老師覺得，用非參數(shù)檢驗(yàn)更穩(wěn)妥，比如符號(hào)檢驗(yàn)或者Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)。符號(hào)檢驗(yàn)只看差值的正負(fù)符號(hào)，不考慮差值大??；Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)則考慮了差值的大小，但不用正態(tài)分布假設(shè)?？紤]到咱們有差值的大小信息，小明老師傾向于選Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)，它比符號(hào)檢驗(yàn)更精細(xì)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是B——使用Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)。大家想想，非參數(shù)檢驗(yàn)是不是就像咱們不用尺子精確量長(zhǎng)度，而是用眼睛估估，這堵墻是變長(zhǎng)了還是變短了，雖然精度不高，但至少不依賴尺子準(zhǔn)不準(zhǔn)、線是不是直這種前提條件。5.小明老師，咱們來看第五題，這題考考大家對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)中p值這個(gè)概念的理解。小明老師給大家講講p值吧，它可重要了！p值告訴你，如果原假設(shè)是真的，那么你觀察到這么極端（或者更極端）的樣本結(jié)果的可能性有多大。p值越小，說明你的樣本結(jié)果越不容易在原假設(shè)成立的情況下出現(xiàn)，所以你越有理由拒絕原假設(shè)?？搭}，咱們假設(shè)一批產(chǎn)品的次品率不大于2%（原假設(shè)H0:p≤0.02），現(xiàn)在隨機(jī)抽查了200件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其中有6件是次品。如果咱們使用顯著性水平α=0.05來檢驗(yàn)，那么這個(gè)檢驗(yàn)的p值大概是多少呢？小明老師覺得啊，咱們先算個(gè)樣本次品率，6/200=0.03。然后，假設(shè)次品率真的不大于2%，咱們看看抽到6個(gè)次品的概率有多大。這可以用二項(xiàng)分布或者正態(tài)近似來算。用正態(tài)近似，咱們計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Z值，Z=(0.03-0.02)/sqrt(0.02*(1-0.02)/200)≈0.57。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，或者用計(jì)算器，P(Z>0.57)≈0.2843。因?yàn)樵蹅兪菃挝矙z驗(yàn)（次品率“大于”2%），所以p值就是0.2843。小明老師覺得，這個(gè)p值明顯大于0.05的顯著性水平，所以咱們沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是A——p值大于0.05。大家想想，p值是咱們做決定的一個(gè)量化依據(jù)。0.2843這個(gè)p值，意味著啊，就算這批產(chǎn)品的次品率真的只有2%，咱們隨機(jī)抽查200件，碰上6件甚至更多次品的可能性也還有差不多28.43%。這概率不算小吧？所以，小明老師覺得，咱們沒理由認(rèn)為次品率真的超過2%了。6.小明老師，咱們繼續(xù)假設(shè)檢驗(yàn)。這第六題，考察的是兩總體均值比較。小明老師記得，咱們學(xué)過獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，就是兩組數(shù)據(jù)是互相獨(dú)立的。還有一種情況呢，就是兩組數(shù)據(jù)是相關(guān)的，比如同一個(gè)學(xué)生在兩種不同條件下測(cè)量的成績(jī)。這叫配對(duì)樣本t檢驗(yàn)?？搭}，為了比較兩種不同廣告方案的效果，隨機(jī)抽取了20位消費(fèi)者，讓他們先接觸第一種廣告方案，然后接觸第二種廣告方案，之后測(cè)量他們對(duì)兩種廣告的偏好評(píng)分（評(píng)分越高代表越偏好），數(shù)據(jù)如下：第一種廣告評(píng)分：75,80,78,82,85,77,79,81,83,76,84,80,78,82,77,79,81,83,76,84；第二種廣告評(píng)分：78,82,80,83,86,79,81,83,85,77,85,81,80,84,80,81,83,85,78,86。小明老師覺得啊，咱們關(guān)心的是兩種廣告方案下，消費(fèi)者的平均偏好評(píng)分是否有顯著差異。因?yàn)槊總€(gè)消費(fèi)者都接觸了兩種廣告，評(píng)分是成對(duì)比較的，所以這是典型的配對(duì)樣本t檢驗(yàn)。咱們先計(jì)算每對(duì)數(shù)據(jù)的差值，然后對(duì)差值進(jìn)行t檢驗(yàn)。計(jì)算差值（第二種減第一種）：3,2,2,1,1,2,2,2,2,1,1,1,2,2,3,2,2,2,2,2。計(jì)算差值的樣本均值（大約1.4）和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（大約0.9），然后計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，再查t分布表（自由度是19）。小明老師算了一下（或者讓學(xué)生用計(jì)算器/軟件算），t值大概在2.1左右，查表得p值大概在0.05附近。因?yàn)閜值接近顯著性水平0.05，如果咱們定0.05作為閾值，結(jié)果可能就在臨界點(diǎn)上，有點(diǎn)懸。但通常來說，如果p值小于或等于0.05，咱們就拒絕原假設(shè)。這里p值接近0.05，說明有弱弱的證據(jù)表明兩種廣告效果有差異，但不能完全肯定。但按標(biāo)準(zhǔn)選擇題，可能需要一個(gè)明確的選項(xiàng)。小明老師傾向于認(rèn)為，由于p值非常接近0.05，有些教材或老師可能會(huì)認(rèn)為達(dá)到了顯著性水平，所以選一個(gè)表示“有顯著差異”的選項(xiàng)，比如D。但也要看具體教學(xué)要求，如果嚴(yán)格按0.05，可能就選“無顯著差異”。這里小明老師就選D吧，體現(xiàn)一點(diǎn)差異性。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是D——兩種廣告方案的偏好評(píng)分有顯著差異。大家想想，配對(duì)樣本t檢驗(yàn)是不是特別適合這種“前后對(duì)比”或者“配對(duì)比較”的情況？就像咱們測(cè)自己學(xué)英語前后的成績(jī)，或者比較左手和右手的力量，這種一對(duì)一的比較，用配對(duì)t檢驗(yàn)最合適不過了。7.小明老師，咱們來看第七題，這題稍微有點(diǎn)繞，考察的是抽樣分布的基礎(chǔ)。咱們知道，樣本均值的抽樣分布，它的均值等于總體均值，標(biāo)準(zhǔn)差（也叫標(biāo)準(zhǔn)誤）是總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本量的平方根?？搭}，已知總體X服從正態(tài)分布N(μ,16)，從中隨機(jī)抽取樣本量為25的樣本，那么樣本均值X?的抽樣分布的方差是多少呢？小明老師覺得啊，首先，總體是正態(tài)分布，不管樣本量大不大，樣本均值的抽樣分布都是正態(tài)的。其次，總體方差是16，樣本量是25。所以，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤（也就是抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差）是sqrt(16/25)=4/5=0.8。那么，抽樣分布的方差就是標(biāo)準(zhǔn)誤的平方，即0.8*0.8=0.64。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是C——0.64。大家想想，標(biāo)準(zhǔn)誤0.8是個(gè)啥意思呢？它就像咱們拿著尺子量墻，雖然尺子有誤差，但多次測(cè)量結(jié)果的平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，就是0.8。這個(gè)0.8告訴我們，咱們估計(jì)的樣本均值，大概會(huì)偏離總體均值0.8個(gè)單位。方差0.64，就是0.8的平方，反映了這種偏離的程度。樣本量越大，標(biāo)準(zhǔn)誤越小，咱們估計(jì)就越精確，抽樣分布就越“聚攏”在總體均值附近。8.小明老師，咱們接著考考大家對(duì)置信區(qū)間理解的實(shí)際應(yīng)用。小明老師記得，置信區(qū)間的寬度，跟幾個(gè)因素有關(guān)：置信水平、樣本量、總體標(biāo)準(zhǔn)差?？催@第八題，咱們想估計(jì)一批零件的平均長(zhǎng)度，希望置信水平越高越好，誤差越小越好。那么，在不改變樣本量的前提下，以下哪個(gè)措施最有可能使置信區(qū)間變窄呢？小明老師覺得啊，置信區(qū)間變窄，意味著咱們估計(jì)得更精確了。在不改變樣本量的情況下，能影響精度的，主要是置信水平和總體標(biāo)準(zhǔn)差。置信水平越高，臨界值越大（比如95%用1.96，99%用2.58），區(qū)間就越寬。所以，要想?yún)^(qū)間變窄，就要降低置信水平。但是題目說“希望置信水平越高越好”，所以降低置信水平肯定不行。那只能是減小總體標(biāo)準(zhǔn)差了。怎么減小總體標(biāo)準(zhǔn)差呢？比如改進(jìn)生產(chǎn)流程，讓零件做得更一致，波動(dòng)更小。但題目沒給這個(gè)選項(xiàng)。那小明老師就考慮，在所有選項(xiàng)里，哪個(gè)更能“縮小區(qū)間寬度”這個(gè)概念。是不是選“提高樣本量”？不對(duì)，題目說了“不改變樣本量”。是不是選“降低置信水平”？不行。那是不是選“使用更大的樣本均值”？樣本均值影響的是區(qū)間的中心，不影響寬度。小明老師覺得，這里可能出題人有點(diǎn)繞，但最符合“不改變樣本量”前提下，能讓區(qū)間變窄的，可能是指“總體方差變小了”，因?yàn)榉讲钚×耍瑯?biāo)準(zhǔn)誤就小了，區(qū)間自然就窄了。但這個(gè)選項(xiàng)可能不明確。如果非要從現(xiàn)有選項(xiàng)里選，小明老師覺得，可能題目本身有點(diǎn)問題，或者暗示了樣本均值計(jì)算得更準(zhǔn)了？這題有點(diǎn)繞，小明老師暫時(shí)沒找到最合適的選項(xiàng)，如果必須選，可能需要看具體選項(xiàng)內(nèi)容。不過，考察核心概念，寬度由置信水平、標(biāo)準(zhǔn)誤決定，標(biāo)準(zhǔn)誤由標(biāo)準(zhǔn)差和樣本量決定。所以，降低置信水平或降低標(biāo)準(zhǔn)差或增大樣本量可窄。題目限制了增大樣本量和降低置信水平。剩下的就是減小標(biāo)準(zhǔn)差。這題可能有點(diǎn)瑕疵。9.小明老師，咱們來看第九題，這題考考大家對(duì)樣本量確定的理解。小明老師記得，確定樣本量，主要是考慮咱們想達(dá)到的精度（區(qū)間寬度）和置信水平，還得知道或者能估計(jì)出總體標(biāo)準(zhǔn)差?？搭}，咱們想估計(jì)一個(gè)城市居民對(duì)某項(xiàng)政策的支持率，要求估計(jì)的誤差范圍不超過3個(gè)百分點(diǎn)，置信水平為95%。如果我們用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)，該政策的支持率的標(biāo)準(zhǔn)誤（基于比例的標(biāo)準(zhǔn)誤sqrt(p(1-p)/n)）大約為2%。那么，根據(jù)這些信息，小明老師幫你算算，大概需要抽取多少居民樣本呢？小明老師覺得啊，咱們用公式來算。對(duì)于比例，誤差范圍E=3%，置信水平95%，查Z表得臨界值Z=1.96。標(biāo)準(zhǔn)誤σp=2%。根據(jù)公式n=(Z^2*σp^2)/E^2，代入數(shù)值：n=(1.96^2*2%^2)/3%^2=(3.8416*0.0004)/0.0009≈0.001536/0.0009≈1.706。小明老師覺得，樣本量必須是整數(shù)，而且咱們要保證精度，所以得向上取整。這個(gè)1.706有點(diǎn)小，是不是計(jì)算哪里錯(cuò)了？再算一遍：(1.96^2*0.0004)/0.0009=(3.8416*0.0004)/0.0009=1.536/0.0009≈1706.67。向上取整，需要1711個(gè)樣本。小明老師覺得，這個(gè)樣本量有點(diǎn)大啊，是不是標(biāo)準(zhǔn)誤2%算高了？或者題目給的條件本身就不太現(xiàn)實(shí)？不管怎么說，根據(jù)公式計(jì)算出來的結(jié)果就是這樣。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是D——需要抽取大約1711個(gè)居民樣本。大家想想，樣本量確定這事兒，挺重要的。樣本量太大，浪費(fèi)資源；樣本量太小，結(jié)果不靠譜。怎么平衡精度、置信水平和成本，得好好琢磨琢磨。10.小明老師，咱們來看第十題，這題考察的是置信區(qū)間的理解。小明老師覺得啊，置信區(qū)間是個(gè)挺重要的概念，它告訴咱們估計(jì)的范圍和把握程度?？搭}，我們從某廠生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)抽取了36個(gè)燈泡，測(cè)得樣本平均壽命為1500小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為150小時(shí)。據(jù)此，我們構(gòu)造了一個(gè)95%的置信區(qū)間來估計(jì)這批燈泡的平均壽命。那么，這個(gè)置信區(qū)間的含義是什么呢？小明老師覺得，95%的置信區(qū)間，比如說是(1450,1550)小時(shí)，它的含義應(yīng)該是這樣的：如果咱們反復(fù)抽樣，每次都構(gòu)造一個(gè)這樣的(樣本均值-臨界值*標(biāo)準(zhǔn)誤,樣本均值+臨界值*標(biāo)準(zhǔn)誤)區(qū)間，那么平均來說，有95%的這些區(qū)間會(huì)正好包含真實(shí)的總體平均壽命。換句話說，對(duì)于當(dāng)前這個(gè)特定的區(qū)間(1450,1550)，咱們有95%的信心認(rèn)為，真實(shí)的總體平均壽命就在這個(gè)區(qū)間里。它不是“有95%的概率這個(gè)區(qū)間包含真值”，也不是“如果重復(fù)100次抽樣，有95次區(qū)間包含真值”，更不是“真值有95%的可能性在1450到1550之間”。后兩種說法都把概率和參數(shù)混淆了，參數(shù)是固定的，我們估計(jì)的是參數(shù)。所以，小明老師覺得，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是B——如果反復(fù)抽樣，構(gòu)造很多這樣的置信區(qū)間，那么平均有95%的區(qū)間會(huì)包含真實(shí)的總體平均壽命。大家想想，這就像咱們打靶，雖然每次彈著點(diǎn)不同，但咱們說有95%的把握，彈著點(diǎn)會(huì)在某個(gè)區(qū)域里。這個(gè)區(qū)域，就是置信區(qū)間。咱們對(duì)“這個(gè)區(qū)域”有95%的信心。11.小明老師，咱們來看第十一題，這題考考對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)中兩類錯(cuò)誤的理解。小明老師記得，拒絕原假設(shè)，可能犯第一類錯(cuò)誤（α），不拒絕原假設(shè)，可能犯第二類錯(cuò)誤（β）。看題，在某個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)中，如果咱們?cè)O(shè)定的顯著性水平α是0.05，那么這意味著什么呢？小明老師覺得，這意味著什么呢？這意味著，即使原假設(shè)是真的，咱們由于樣本的隨機(jī)性，錯(cuò)誤地拒絕了原假設(shè)的概率最多是5%。換句話說，咱們控制住了“以真為假”的錯(cuò)誤發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)，在5%以內(nèi)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是A——犯第一類錯(cuò)誤的概率最多是5%。大家想想，α就像是咱們?cè)O(shè)定的“門檻”，樣本結(jié)果得多極端，才夠資格讓咱們懷疑原假設(shè)。如果樣本結(jié)果沒過這個(gè)極端門檻，即使原假設(shè)是假的（咱們沒發(fā)現(xiàn)），咱們也忍了，不犯第一類錯(cuò)誤。如果樣本結(jié)果過了這個(gè)門檻，咱們就拒絕了原假設(shè)，這時(shí)候如果運(yùn)氣不好，碰巧原假設(shè)其實(shí)是真的，那咱們就犯了一個(gè)第一類錯(cuò)誤。α就是咱們?cè)敢獬袚?dān)這種“冤枉好人”的風(fēng)險(xiǎn)上限。12.小明老師，咱們繼續(xù)看第十二題，這題考察的是統(tǒng)計(jì)推斷方法的選擇。小明老師覺得啊，選擇哪種統(tǒng)計(jì)推斷方法，得看咱們研究的問題是什么，數(shù)據(jù)的類型是什么，樣本的條件是什么?？搭}，咱們想比較兩個(gè)獨(dú)立治療組（比如治療組A和治療組B）在某個(gè)指標(biāo)上的平均效果是否有差異。我們收集了兩個(gè)獨(dú)立樣本的數(shù)據(jù)，但不知道總體分布是否正態(tài)，樣本量也比較?。ū热缰委熃MA有15個(gè)病人，治療組B有18個(gè)病人）。在這種情況下，小明老師覺得，首先，因?yàn)槭莾蓚€(gè)獨(dú)立樣本，不是配對(duì)樣本。其次，樣本量不大，而且不知道總體分布。這時(shí)候，如果咱們能假設(shè)兩個(gè)總體的方差是相等的（可以先用F檢驗(yàn)或者Levene檢驗(yàn)來檢驗(yàn)），那么可以使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（PooledVariancet-test）。但如果咱們不能假設(shè)方差相等，或者不確定是否相等，那就得用Welch'st-test（不等方差t檢驗(yàn)）。這兩個(gè)都是t檢驗(yàn)，因?yàn)闃颖玖坎淮?，t檢驗(yàn)比z檢驗(yàn)更合適。但是，如果咱們連總體是否正態(tài)都不確定，而且樣本量又小，t檢驗(yàn)的結(jié)果就很不穩(wěn)定，可能不靠譜。這時(shí)候，最穩(wěn)妥的選擇就是非參數(shù)檢驗(yàn)。比如Mann-WhitneyU檢驗(yàn)（也叫WilcoxonRank-Sum檢驗(yàn)），它不需要正態(tài)性假設(shè)，只比較兩個(gè)分布的位置（哪個(gè)分布的數(shù)值更大）。所以，小明老師認(rèn)為，在這種情況下，最推薦的方法是Mann-WhitneyU檢驗(yàn)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是C——使用Mann-WhitneyU檢驗(yàn)。大家想想，非參數(shù)檢驗(yàn)是不是像咱們不用尺子精確量長(zhǎng)度，而是用眼睛估估，這組數(shù)據(jù)是不是整體上比另一組數(shù)據(jù)“強(qiáng)”或者“弱”，雖然不知道具體差多少，但能知道個(gè)大概趨勢(shì)。當(dāng)數(shù)據(jù)不滿足參數(shù)檢驗(yàn)的條件時(shí)，非參數(shù)檢驗(yàn)就是咱們的“救命稻草”。13.小明老師，咱們來看第十三題，這題考考對(duì)p值大小與結(jié)論關(guān)系的理解。小明老師覺得啊，p值是咱們做統(tǒng)計(jì)推斷的關(guān)鍵依據(jù)。看題，在一次假設(shè)檢驗(yàn)中，計(jì)算得到的p值是0.03。如果咱們?cè)O(shè)定的顯著性水平α是0.05，那么我們應(yīng)該得出什么結(jié)論呢？小明老師覺得，p值0.03，小于顯著性水平α0.05，這意味著什么呢？這意味著，如果原假設(shè)是真的，那么咱們觀察到這么極端（或者更極端）的樣本結(jié)果的概率只有3%。這個(gè)概率小于咱們能容忍的“冤枉好人”的概率（5%）。所以，小明老師認(rèn)為，咱們有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)拒絕原假設(shè)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是D——拒絕原假設(shè)。大家想想，p值小于0.05，就像咱們打靶，中靶的概率小于5%，如果真中了，咱們就有理由相信這槍打得不錯(cuò)，不是隨便胡亂射的。同樣，p值小于0.05，咱們就有理由相信咱們的樣本結(jié)果不是“碰巧”發(fā)生的，而是反映了某種真實(shí)的差異或效應(yīng)。14.小明老師，咱們來看第十四題，這題考察的是置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系。小明老師覺得啊，置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)，本質(zhì)上是一回事，只是表達(dá)方式不同?？搭}，咱們用95%的置信區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體均值，得到了(100,110)這個(gè)區(qū)間。那么，關(guān)于原假設(shè)H0:μ=105（即總體均值等于105），我們能得出什么結(jié)論呢？小明老師覺得，根據(jù)置信區(qū)間的定義，如果咱們構(gòu)造的置信區(qū)間包含了原假設(shè)的值（這里是105），那么咱們就沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。換句話說，如果區(qū)間包含了105，就相當(dāng)于p值大于0.05。如果區(qū)間不包含105，就相當(dāng)于p值小于0.05。所以，小明老師看這個(gè)(100,110)區(qū)間，105正好在中間，屬于區(qū)間之內(nèi)。這意味著，如果咱們用95%的置信水平來檢驗(yàn)H0:μ=105，得到的結(jié)果將是不能拒絕原假設(shè)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是B——不能拒絕原假設(shè)H0。大家想想，這就像咱們畫一條線代表墻的“標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度”（105），然后咱們用尺子量了很多次，每次量得的長(zhǎng)度都在(100,110)這個(gè)范圍里波動(dòng)。既然尺子量得的長(zhǎng)度都離105不遠(yuǎn)，咱們憑什么要斷定墻的真正長(zhǎng)度一定不是105呢？咱們可能就是認(rèn)為墻的長(zhǎng)度就是105，或者至少，咱們沒有足夠證據(jù)說它不是105。15.小明老師，咱們來看最后一題，第十五題，這題考考對(duì)總體方差未知時(shí)均值檢驗(yàn)方法的理解。小明老師覺得啊，這是統(tǒng)計(jì)推斷里最常見的情況之一，總體方差通常是未知的?？搭}，咱們想檢驗(yàn)一個(gè)包裝機(jī)的包裝重量是否符合標(biāo)準(zhǔn)（標(biāo)準(zhǔn)重量μ0），但不知道包裝重量的總體方差。為了檢驗(yàn)這個(gè)問題，隨機(jī)抽取了25個(gè)包裝件，測(cè)得樣本平均重量為50.5公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.8公斤。如果咱們想檢驗(yàn)包裝重量是否符合標(biāo)準(zhǔn)（μ=μ0），應(yīng)該使用什么檢驗(yàn)方法呢？小明老師覺得，首先，咱們檢驗(yàn)的是總體均值是否等于某個(gè)特定值（μ0）。其次，最重要的，總體方差是未知的。最后，樣本量25，不算特別小。在這種情況下，咱們唯一正確的選擇就是t檢驗(yàn)。用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量(X?-μ0)/(s/sqrt(n))，然后查t分布表（自由度是n-1）。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是D——使用t檢驗(yàn)。大家想想，為什么不能用z檢驗(yàn)？因?yàn)閦檢驗(yàn)需要知道總體方差σ，但咱們不知道啊！這時(shí)候用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來替代σ，就會(huì)引入抽樣誤差，t分布就是為這種情況設(shè)計(jì)的，它比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布更“寬容”，考慮到這種不確定性。所以，當(dāng)總體方差未知時(shí)，t檢驗(yàn)就是我們手中最可靠的武器。二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請(qǐng)將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的位置。）1.小明老師，你想想啊，咱們講點(diǎn)估計(jì)的時(shí)候，老師經(jīng)常說樣本均值是總體均值的一個(gè)無偏估計(jì)量。你能結(jié)合無偏估計(jì)的定義，簡(jiǎn)單解釋一下這句話是什么意思嗎？小明老師覺得啊，這得從統(tǒng)計(jì)量的期望值來說。一個(gè)估計(jì)量X?，如果它的期望值E(X?)等于它要估計(jì)的那個(gè)總體參數(shù)μ，那么咱們就說X?是μ的一個(gè)無偏估計(jì)量。這句話的意思是，如果我們反復(fù)抽樣，每次算一個(gè)樣本均值X?，然后把這些X?加起來，再除以抽樣次數(shù)，得到的平均值，正好等于真實(shí)的總體均值μ。它就像咱們用尺子量一堵墻，尺子可能不準(zhǔn)，有系統(tǒng)誤差，但尺子不準(zhǔn)不代表每次量出來的結(jié)果都偏大或者都偏小，平均下來，多次測(cè)量結(jié)果的平均值，能比較準(zhǔn)確地反映墻的真實(shí)長(zhǎng)度。所以，樣本均值這個(gè)“尺子”，雖然單次測(cè)量可能有誤差，但平均來看，是準(zhǔn)確的，不“偏向”任何一邊。這保證了用樣本均值來估計(jì)總體均值，從長(zhǎng)期來看是“公平”的。2.小明老師，咱們?cè)谥v假設(shè)檢驗(yàn)的時(shí)候，提到了顯著性水平α這個(gè)概念。你能用自己的話，簡(jiǎn)單解釋一下顯著性水平α是什么意思？小明老師覺得啊，顯著性水平α，就像是咱們?cè)诩僭O(shè)檢驗(yàn)這場(chǎng)“審判”中設(shè)定的“reasonabledoubt”（合理懷疑）的標(biāo)準(zhǔn)。咱們有兩個(gè)假設(shè)，原假設(shè)H0（假設(shè)事情沒變，沒新意），備擇假設(shè)H1（假設(shè)事情有變化，有新意）。咱們得決定，看到什么樣的樣本證據(jù)，才足夠讓我們“懷疑”并“拒絕”原假設(shè)H0。顯著性水平α，就代表了咱們?cè)敢獬袚?dān)的那種“冤枉好人”（也就是拒絕了H0，但H0其實(shí)是真的）的最大風(fēng)險(xiǎn)或者概率。比如α=0.05，咱們就愿意冒5%的風(fēng)險(xiǎn)，犯了這種錯(cuò)誤。如果樣本結(jié)果算出的p值小于α，說明樣本結(jié)果太“極端”了，極端到即使H0是真的，發(fā)生的概率也只有那么一點(diǎn)點(diǎn)（比如小于5%），這就不太可能只是運(yùn)氣不好。這時(shí)候，咱們就有理由拒絕H0。如果p值大于α，說明樣本結(jié)果不那么極端，即使在H0真的情況下，這種結(jié)果發(fā)生的可能性還是挺大的（比如大于5%），那咱們就“沒有足夠證據(jù)”拒絕H0，只能暫時(shí)相信H0。所以，α就是咱們劃定的那個(gè)“證據(jù)足夠硬”的門檻，決定了咱們做決策的嚴(yán)格程度。3.小明老師，在實(shí)際應(yīng)用中，我們常常需要根據(jù)研究問題選擇合適的統(tǒng)計(jì)推斷方法。比如，比較兩組獨(dú)立樣本的均值時(shí)，我們學(xué)習(xí)了獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。那么，獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)適用于哪些基本條件呢？小明老師覺得啊，獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，就是比較兩組來自不同總體的、互相獨(dú)立的樣本的均值差異。它主要依賴幾個(gè)條件：第一，兩組樣本是相互獨(dú)立的，也就是說，從第一組抽出來的樣本，不影響從第二組抽出來的樣本，反之亦然。第二，每個(gè)樣本都來自正態(tài)分布的總體。對(duì)于均值比較，正態(tài)分布是個(gè)挺強(qiáng)的假設(shè)。但是，當(dāng)樣本量足夠大（比如每組超過30個(gè)），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布會(huì)趨向正態(tài)，這時(shí)候?qū)傮w正態(tài)性的要求就不那么嚴(yán)格了。第三，兩個(gè)總體的方差相等（也叫同方差性）。也就是說，兩組樣本所來自的總體的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該差不多。如果不滿足這個(gè)條件，結(jié)果可能會(huì)有偏。所以，在做獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)之前，得先檢查這些條件是否大致滿足。如果樣本量很大，正態(tài)性和方差相等的要求可以放寬；如果條件不滿足，可能就得考慮使用非參數(shù)檢驗(yàn)，或者對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，或者使用不等方差t檢驗(yàn)（Welch'st-test）。4.小明老師，咱們知道，置信區(qū)間的寬度與幾個(gè)因素有關(guān)。請(qǐng)分別說明，在其他條件不變的情況下，增大樣本量、提高置信水平，會(huì)對(duì)置信區(qū)間的寬度產(chǎn)生什么影響？小明老師覺得啊，這得分別看。首先，增大樣本量。樣本量n越大，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤（σ/sqrt(n)）就越小。因?yàn)榉帜竤qrt(n)變大了，整個(gè)分?jǐn)?shù)就變小了。標(biāo)準(zhǔn)誤小了，意味著樣本均值這個(gè)估計(jì)量更“集中”，圍繞總體均值的波動(dòng)更小。所以，用樣本均值加減一個(gè)固定倍數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤來構(gòu)造的置信區(qū)間，寬度自然就變窄了。簡(jiǎn)單說，樣本量越大，咱們抽樣估計(jì)越精確，置信區(qū)間越窄。比如，用100個(gè)樣本算的區(qū)間，肯定比用10個(gè)樣本算的區(qū)間要窄。其次，提高置信水平。置信水平比如從90%提高到95%，意味著咱們要求有更高的把握程度，認(rèn)為區(qū)間包含了真實(shí)的總體參數(shù)。要達(dá)到更高的把握程度，置信區(qū)間的范圍就必須更寬。因?yàn)榕R界值（比如Z值或t值）變大了。臨界值越大，加減起來的那個(gè)“幅度”（臨界值*標(biāo)準(zhǔn)誤）就越大，置信區(qū)間的寬度自然就變寬了。簡(jiǎn)單說，咱們要求越保險(xiǎn)、越有把握，區(qū)間就拖得越長(zhǎng)。所以，置信水平越高，置信區(qū)間越寬。5.小明老師，假設(shè)我們想檢驗(yàn)一種新教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)教學(xué)方法更能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。我們隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人。一組使用新教學(xué)方法（實(shí)驗(yàn)組），另一組使用傳統(tǒng)教學(xué)方法（對(duì)照組）。一段時(shí)間后，我們分別測(cè)得兩組學(xué)生的平均數(shù)學(xué)成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差如下：實(shí)驗(yàn)組：平均成績(jī)78分，標(biāo)準(zhǔn)差8分；對(duì)照組：平均成績(jī)73分，標(biāo)準(zhǔn)差9分。請(qǐng)問，在這種情況下，我們應(yīng)該使用哪種統(tǒng)計(jì)推斷方法來檢驗(yàn)這兩種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異？為什么？小明老師覺得啊，這個(gè)問題得仔細(xì)分析。首先，咱們有兩個(gè)組，實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組，這是兩個(gè)獨(dú)立樣本。其次，我們關(guān)心的是兩組的平均成績(jī)是否有差異。所以，基本可以確定是兩總體均值比較的問題。但是，題目只給了均值和標(biāo)準(zhǔn)差，沒有說樣本量多大（雖然題目說了每組20人，但沒說這是原始樣本量還是計(jì)算了標(biāo)準(zhǔn)差后的樣本量，這有點(diǎn)小問題。不過我們按每組20人算）。關(guān)鍵是，題目沒說兩個(gè)總體的方差是否相等。如果咱們能比較肯定地說兩個(gè)總體的方差是相等的（比如通過前期研究或者理論分析知道方差差不多），那么可以使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（PooledVariancet-test），先合并計(jì)算一個(gè)共同的標(biāo)準(zhǔn)差，然后用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量。但如果咱們不確定兩個(gè)總體的方差是否相等，或者通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)它們不相等，那就得使用不等方差t檢驗(yàn)（Welch'st-test），這種檢驗(yàn)不合并方差，直接用各自的方差和樣本量來計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量。因?yàn)樵蹅儾恢揽傮w方差是否相等，也不知道原始樣本量（可能需要原始數(shù)據(jù)才能計(jì)算樣本方差），所以最穩(wěn)妥、最通用的方法是使用不等方差t檢驗(yàn)（Welch'st-test）。當(dāng)然，如果樣本量很大（比如都超過30），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布會(huì)近似正態(tài)，這時(shí)候?qū)傮w方差是否相等的敏感性會(huì)降低，即使用Pooledt檢驗(yàn)，結(jié)果也差不太多。但按題目給的信息，最保險(xiǎn)的選擇是Welch'st-test。所以，小明老師認(rèn)為，應(yīng)該使用不等方差t檢驗(yàn)（Welch'st-test）來檢驗(yàn)這兩種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異。因?yàn)椴恢揽傮w方差是否相等，需要用更穩(wěn)健的方法。三、小明老師，咱們接著聊聊假設(shè)檢驗(yàn)里的那些事兒。這題啊，是想考考大家對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果解釋的理解?？催@個(gè)場(chǎng)景：咱們想檢驗(yàn)一種新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效地降低血壓。咱們把100名高血壓患者隨機(jī)分成兩組，每組50人。一組服用新藥（實(shí)驗(yàn)組），另一組服用現(xiàn)有藥物（對(duì)照組）。一個(gè)月后，咱們測(cè)得實(shí)驗(yàn)組的平均血壓降低了15毫米汞柱，標(biāo)準(zhǔn)差為5毫米汞柱；對(duì)照組的平均血壓降低了10毫米汞柱，標(biāo)準(zhǔn)差為6毫米汞柱?，F(xiàn)在，咱們進(jìn)行了獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，得到的p值是0.03。如果咱們?cè)O(shè)定的顯著性水平α是0.05，那么對(duì)于這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果，以下哪種解釋是最恰當(dāng)?shù)模啃∶骼蠋熡X得啊，首先，咱們得看p值。p值是0.03，小于咱們?cè)O(shè)定的顯著性水平α0.05。這意味著什么呢？這意味著，如果新藥實(shí)際上和現(xiàn)有藥物效果一樣（也就是原假設(shè)H0是真的），那么咱們觀察到實(shí)驗(yàn)組平均血壓降低幅度（15mmHg）比對(duì)照組（10mmHg）大這么多的概率只有3%。這個(gè)概率小于咱們能容忍的“冤枉好人”的概率（5%）。所以，根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論，當(dāng)p值小于α?xí)r，咱們應(yīng)該拒絕原假設(shè)H0。在這個(gè)例子中，拒絕H0就意味著咱們有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)認(rèn)為新藥的效果比現(xiàn)有藥物更好。所以，小明老師覺得，最恰當(dāng)?shù)慕忉寫?yīng)該是這樣的：有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明新藥比現(xiàn)有藥物更有效地降低血壓。大家想想，p值小于0.05，就像咱們打靶，中靶的概率小于5%，如果真中了，咱們就有理由相信這槍打得不錯(cuò)，不是隨便胡亂射的。同樣，p值小于0.05，咱們就有理由相信咱們的樣本結(jié)果不是“碰巧”發(fā)生的，而是反映了新藥確實(shí)比老藥強(qiáng)。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。四、小明老師，咱們來看第四題，這題考察的是樣本量確定的理論基礎(chǔ)。小明老師記得，確定樣本量，主要是為了在給定的置信水平和顯著性水平下，達(dá)到想要的精度（比如誤差范圍）?？搭}，咱們想估計(jì)一個(gè)城市居民對(duì)某項(xiàng)政策的支持率，希望估計(jì)的誤差范圍（置信區(qū)間的半寬）不超過2個(gè)百分點(diǎn)，置信水平為95%。如果我們用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)，該政策的支持率的標(biāo)準(zhǔn)誤（基于比例的標(biāo)準(zhǔn)誤sqrt/0.0004=0.00345424/0.0004=8.6356。向上取整，需要9個(gè)樣本。小明老師覺得，這個(gè)樣本量是不是有點(diǎn)小??？是不是標(biāo)準(zhǔn)誤3%算高了？或者題目給的條件本身就不太現(xiàn)實(shí)？不管怎么說，根據(jù)公式計(jì)算出來的結(jié)果就是這樣。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是D——需要抽取大約9個(gè)居民樣本。大家想想，樣本量確定這事兒，挺重要的。樣本量太大，浪費(fèi)資源；樣本量太小，結(jié)果不靠譜。怎么平衡精度、置信水平和成本，得好好琢磨琢磨。雖然這個(gè)樣本量看起來很小，但題目給的條件（比如支持率標(biāo)準(zhǔn)誤3%）可能是個(gè)關(guān)鍵因素，現(xiàn)實(shí)中這個(gè)值可能需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或小范圍預(yù)調(diào)查來估計(jì)。如果標(biāo)準(zhǔn)誤是3%，確實(shí)可能只需要9個(gè)樣本。這題可能在條件設(shè)定上讓老師覺得結(jié)果有點(diǎn)意外，但按公式計(jì)算，結(jié)果就是這樣。五、小明老師，咱們來看第五題，這題是綜合應(yīng)用題，考察對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)全過程的理解。小明老師覺得啊，這種題最能看出學(xué)生是不是真的掌握了?？催@個(gè)題目：咱們想檢驗(yàn)一種新的教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)教學(xué)方法更能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布。我們隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，將他們隨機(jī)分成兩組，每組15人。一組使用新教學(xué)方法（實(shí)驗(yàn)組），另一組使用傳統(tǒng)教學(xué)方法（對(duì)照組）。一段時(shí)間后，我們分別測(cè)得兩組學(xué)生的平均數(shù)學(xué)成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差如下：實(shí)驗(yàn)組：平均成績(jī)75分，標(biāo)準(zhǔn)差8分；對(duì)照組：平均成績(jī)70分，標(biāo)準(zhǔn)差10分。請(qǐng)問，請(qǐng)按照假設(shè)檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)步驟，完成以下任務(wù)：根據(jù)你的檢驗(yàn)結(jié)論，請(qǐng)用通俗的語言解釋這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義。小明老師覺得啊，咱們得出結(jié)論是新方法確實(shí)更好，這個(gè)“更好”是多少呢？咱們看看均值差，實(shí)驗(yàn)組75分，對(duì)照組70分，高了5分。咱們用p值小于0.05來證明這個(gè)5分不是白來的，不是純屬巧合。這意味著什么呢？意味著，如果咱們大規(guī)模推廣新教學(xué)方法，很可能學(xué)生的平均成績(jī)會(huì)比傳統(tǒng)方法教出來的學(xué)生平均高5分左右。這5分，在數(shù)學(xué)成績(jī)里可能挺關(guān)鍵的，也許就能讓及格率提高不少。所以，小明老師通俗地解釋就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得想想，這5分在實(shí)際里頭到底有沒有用，但統(tǒng)計(jì)上講，咱們有證據(jù)說它確實(shí)有用。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C無偏估計(jì)意味著樣本均值這個(gè)統(tǒng)計(jì)量在多次抽樣后，其平均值等于總體均值μ，即E(X?)=μ。換句話說，用樣本均值來估計(jì)總體均值，從長(zhǎng)期來看是“公平”的，不會(huì)系統(tǒng)性地高估或低估總體均值。比如，小明老師可以舉例，假設(shè)咱們想估計(jì)一個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均身高，咱們隨機(jī)抽取了多個(gè)班級(jí)，每次都算一個(gè)班級(jí)的平均身高，然后把這些平均身高加起來，再除以抽取的班級(jí)數(shù)，得到的平均值，會(huì)非常接近這個(gè)學(xué)校所有學(xué)生的平均身高。這就體現(xiàn)了無偏估計(jì)的思想，樣本均值是個(gè)好估計(jì)量，因?yàn)樗鼪]有系統(tǒng)性的偏差。所以，這題的正確選項(xiàng)是C。2.D在小樣本（n<30）的情況下，如果不知道總體方差，應(yīng)該使用t檢驗(yàn)。因?yàn)閠檢驗(yàn)是用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，當(dāng)樣本量小的時(shí)候，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s本身就有很大的抽樣誤差，這時(shí)候用t分布來計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，比用z分布更穩(wěn)健，因?yàn)樗紤]到了抽樣誤差的影響。z檢驗(yàn)要求總體方差已知或者樣本量很大（n>30），這時(shí)候樣本標(biāo)準(zhǔn)差s就非常接近總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，這時(shí)候用z檢驗(yàn)也是可以的。但是，題目說了樣本量?。?5個(gè)），而且總體方差未知，所以應(yīng)該使用t檢驗(yàn)。t檢驗(yàn)的結(jié)果比z檢驗(yàn)更可靠，因?yàn)闃颖玖啃〉臅r(shí)候，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s對(duì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)誤差就比較大，這時(shí)候用t分布來計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，可以減小犯第一類錯(cuò)誤的概率。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是D。3.C置信區(qū)間表達(dá)了我們對(duì)總體參數(shù)的一個(gè)區(qū)間估計(jì)，它告訴我們，如果咱們反復(fù)抽樣，每次都構(gòu)造一個(gè)這樣的區(qū)間，那么平均來看，有95%的這些區(qū)間會(huì)正好包含真實(shí)的總體均值。也就是說，對(duì)于當(dāng)前這個(gè)特定的區(qū)間，咱們有95%的信心認(rèn)為，真實(shí)的總體均值就在這個(gè)區(qū)間里。這就像咱們用尺子量一堵墻，尺子可能不準(zhǔn)，有系統(tǒng)誤差，但尺子不準(zhǔn)不代表每次量出來的結(jié)果都偏大或者都偏小，平均下來，多次測(cè)量結(jié)果的平均值，能比較準(zhǔn)確地反映墻的真實(shí)長(zhǎng)度。這就體現(xiàn)了無偏估計(jì)的思想，樣本均值是個(gè)好估計(jì)量，因?yàn)樗鼪]有系統(tǒng)性的偏差。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是C。4.B假設(shè)檢驗(yàn)中的p值，就是指在原假設(shè)H0為真的情況下，觀察到這么極端（或者更極端）的樣本結(jié)果的概率。如果p值小于顯著性水平α，意味著觀察到這么極端的樣本結(jié)果的可能性小于咱們能容忍的“冤枉好人”的概率，這時(shí)候咱們就有理由拒絕原假設(shè)H0。如果p值大于α，意味著觀察到這么極端的樣本結(jié)果的可能性大于咱們能容忍的“冤枉好人”的概率，這時(shí)候咱們就沒有足夠證據(jù)拒絕原假設(shè)H0。所以，p值越小，咱們拒絕原假設(shè)H0的證據(jù)就越強(qiáng)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是B。5.A總體方差未知，小樣本，獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，應(yīng)該用t分布。因?yàn)闃颖玖啃〉臅r(shí)候，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s對(duì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)誤差就比較大，這時(shí)候用t分布來計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，可以減小犯第一類錯(cuò)誤的概率。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是A。6.D兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，要求兩組樣本來自正態(tài)分布的總體，但樣本量足夠大（比如每組超過30個(gè)），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布會(huì)趨向正態(tài)，這時(shí)候?qū)傮w正態(tài)性的要求就不那么嚴(yán)格了。但題目沒說樣本量多大，所以不能直接用中心極限定理。另外，題目沒說兩個(gè)總體的方差是否相等。如果咱們能比較肯定地說兩個(gè)總體的方差是相等的（比如通過前期研究或者理論分析知道方差差不多），那么可以使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（PooledVariancet-test）。但如果咱們不確定兩個(gè)總體的方差是否相等，或者通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)它們不相等，那就得使用不等方差t檢驗(yàn)（Welch'st-test）。因?yàn)闃颖玖坎淮?，正態(tài)性和方差相等的要求可以放寬。但是，題目沒說樣本量多大，也沒說方差是否相等，所以不能確定用哪種t檢驗(yàn)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的信息不夠，無法確定用哪種t檢驗(yàn)。7.C樣本均值的抽樣分布，它的均值等于總體均值，標(biāo)準(zhǔn)差（也叫標(biāo)準(zhǔn)誤）是總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本量的平方根。樣本量越大，標(biāo)準(zhǔn)誤越小，咱們估計(jì)就越精確，抽樣分布就越“聚攏”在總體均值附近。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是C。8.A樣本量越大，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤（σ/sqrt(n)）就越小。因?yàn)榉帜竤qrt(n)變大了，整個(gè)分?jǐn)?shù)就變小了。標(biāo)準(zhǔn)誤小了，意味著樣本均值這個(gè)估計(jì)量更“集中”，圍繞總體均值的波動(dòng)更小。所以，用樣本均值加減一個(gè)固定倍數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤來構(gòu)造的置信區(qū)間，寬度自然就變窄了。簡(jiǎn)單說，樣本量越大，咱們抽樣估計(jì)越精確，置信區(qū)間越窄。比如，用100個(gè)樣本算的區(qū)間，肯定比用10個(gè)樣本算的區(qū)間要窄。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是A。9.D樣本量不變，置信水平越高，置信區(qū)間就越寬。因?yàn)樵蹅円笤奖ｋU(xiǎn)、越有把握，區(qū)間就拖得越長(zhǎng)。簡(jiǎn)單說，咱們要求越保險(xiǎn)、越有把握，區(qū)間就拖得越長(zhǎng)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是D。10.B置信區(qū)間包含了原假設(shè)的值（這里是105），就相當(dāng)于咱們用尺子量一堵墻，尺子不準(zhǔn)，有系統(tǒng)誤差，但尺子不準(zhǔn)不代表每次量出來的結(jié)果都偏大或者都偏小，平均下來，多次測(cè)量結(jié)果的平均值，能比較準(zhǔn)確地反映墻的真實(shí)長(zhǎng)度。這就體現(xiàn)了無偏估計(jì)的思想，樣本均值是個(gè)好估計(jì)量，因?yàn)樗鼪]有系統(tǒng)性的偏差。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是B。11.A顯著性水平α，就像是咱們?cè)诩僭O(shè)檢驗(yàn)這場(chǎng)“審判”中設(shè)定的“合理懷疑”的標(biāo)準(zhǔn)。咱們有兩個(gè)假設(shè)，原假設(shè)H0（假設(shè)事情沒變，沒新意），備擇假設(shè)H1（假設(shè)事情有變化，有新意）。咱們得決定，看到什么樣的樣本證據(jù)，才足夠讓我們“懷疑”并“拒絕”原假設(shè)H0。顯著性水平α，就代表了咱們?cè)敢獬袚?dān)的那種“冤枉好人”（也就是拒絕了H0，但H0其實(shí)是真的）的最大風(fēng)險(xiǎn)或者概率。比如α=0.05，咱們就愿意冒5%的風(fēng)險(xiǎn)，犯了這種錯(cuò)誤。如果樣本結(jié)果算出的p值小于α，說明樣本結(jié)果太“極端”了，極端到即使H0是真的，發(fā)生的概率也只有那么一點(diǎn)點(diǎn)（比如小于5%），這就不太可能只是運(yùn)氣不好。這時(shí)候，咱們就有理由拒絕H0。如果p值大于α，說明樣本結(jié)果不那么極端，即使在H0真的情況下，這種結(jié)果發(fā)生的可能性還是挺大的（比如大于5%），那咱們就“沒有足夠證據(jù)”拒絕H0，只能暫時(shí)相信H0。所以，α就是咱們劃定的那個(gè)“證據(jù)足夠硬”的門檻，決定了咱們做決策的嚴(yán)格程度。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是A。12.D獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，就是比較兩組來自不同總體的、互相獨(dú)立的樣本的均值差異。對(duì)于均值比較，正態(tài)分布是個(gè)挺強(qiáng)的假設(shè)。但是，當(dāng)樣本量足夠大（比如每組超過30個(gè)），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布會(huì)趨向正態(tài)，這時(shí)候?qū)傮w正態(tài)性的要求就不那么嚴(yán)格了。但是，題目沒說樣本量多大，所以不能直接用中心極限定理。關(guān)鍵是，題目沒說兩個(gè)總體的方差是否相等。如果咱們能比較肯定地說兩個(gè)總體的方差是相等的（比如通過前期研究或者理論分析知道方差差不多），那么可以使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（PooledVariancet-test）。但如果咱們不確定兩個(gè)總體的方差是否相等，或者通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)它們不相等，那就得使用不等方差t檢驗(yàn)（Welch'st-test）。因?yàn)闃颖玖坎淮?，正態(tài)性和方差相等的要求可以放寬。但是，題目沒說樣本量多大，也沒說方差是否相等，所以不能確定用哪種t檢驗(yàn)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的信息不夠，無法確定用哪種t檢驗(yàn)。13.B樣本均值的抽樣分布，它的均值等于總體均值，標(biāo)準(zhǔn)差（也叫標(biāo)準(zhǔn)誤）是總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本量的平方根。樣本量越大，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤（σ/sqrt(n)）就越小。因?yàn)榉帜竤qrt(n)變大了，整個(gè)分?jǐn)?shù)就變小了。標(biāo)準(zhǔn)誤小了，意味著樣本均值這個(gè)估計(jì)量更“集中”，圍繞總體均值的波動(dòng)更小。所以，用樣本均值加減一個(gè)固定倍數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤來構(gòu)造的置信區(qū)間，寬度自然就變窄了。簡(jiǎn)單說，樣本量越大，咱們抽樣估計(jì)越精確，置信區(qū)間越窄。比如，用100個(gè)樣本算的區(qū)間，肯定比用10個(gè)樣本算的區(qū)間要窄。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是B。14.A獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，就是比較兩組來自不同總體的、互相獨(dú)立的樣本的均值差異。對(duì)于均值比較，正態(tài)分布是個(gè)挺強(qiáng)的假設(shè)。但是，當(dāng)樣本量足夠大（比如每組超過30個(gè)），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布會(huì)趨向正態(tài)，這時(shí)候?qū)傮w正態(tài)性的要求就不那么嚴(yán)格了。但是，題目沒說樣本量多大，所以不能直接用中心極限定理。關(guān)鍵是，題目沒說兩個(gè)總體的方差是否相等。如果咱們能比較肯定地說兩個(gè)總體的方差是相等的（比如通過前期研究或者理論分析知道方差差不多），那么可以使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（PooledVariancet-test）。但如果咱們不確定兩個(gè)總體的方差是否相等，或者通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)它們不相等，那就得使用不等方差t檢驗(yàn)（Welch'st-test）。因?yàn)闃颖玖坎淮螅龖B(tài)性和方差相等的要求可以放寬。但是，題目沒說樣本量多大，也沒說方差是否相等，所以不能確定用哪種t檢驗(yàn)。所以，小明老師認(rèn)為，這題的信息不夠，無法確定用哪種t檢驗(yàn)。15.D樣本量確定這事兒，挺重要的。樣本量太大，浪費(fèi)資源；樣本量太小，結(jié)果不靠譜。怎么平衡精度、置信水平和成本，得好好琢磨琢磨。如果標(biāo)準(zhǔn)誤是3%，確實(shí)可能只需要9個(gè)樣本。這題可能在條件設(shè)定上讓老師覺得結(jié)果有點(diǎn)意外，但按公式計(jì)算，結(jié)果就是這樣。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是D。二、簡(jiǎn)答題1.小明老師，咱們講點(diǎn)估計(jì)的時(shí)候，老師經(jīng)常說樣本均值是總體均值的一個(gè)無偏估計(jì)量。你能結(jié)合無偏估計(jì)的定義，簡(jiǎn)單解釋一下這句話是什么意思嗎？小明老師覺得啊，這得從統(tǒng)計(jì)量的期望值來說。一個(gè)估計(jì)量X?，如果它的期望值E(X?)等于它要估計(jì)的那個(gè)總體參數(shù)μ，那么咱們就說X?是μ的一個(gè)無偏估計(jì)量。這句話的意思是，如果我們反復(fù)抽樣，每次都算一個(gè)樣本均值X?，然后把這些X?加起來，再除以抽樣次數(shù)，得到的平均值，正好等于真實(shí)的總體均值μ。它就像咱們用尺子量一堵墻，尺子可能不準(zhǔn)，有系統(tǒng)誤差，但尺子不準(zhǔn)不代表每次量出來的結(jié)果都偏大或者都偏小，平均下來，多次測(cè)量結(jié)果的平均值，能比較準(zhǔn)確地反映墻的真實(shí)長(zhǎng)度。這就體現(xiàn)了無偏估計(jì)的思想，樣本均值是個(gè)好估計(jì)量，因?yàn)樗鼪]有系統(tǒng)性的偏差。所以，小明老師覺得，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是C。2.小明老師，咱們?cè)谥v假設(shè)檢驗(yàn)的時(shí)候，提到了顯著性水平α這個(gè)概念。你能用自己的話，簡(jiǎn)單解釋一下顯著性水平α是什么意思？小明老師覺得啊，顯著性水平α，就像是咱們?cè)诩僭O(shè)檢驗(yàn)這場(chǎng)“審判”中設(shè)定的“合理懷疑”的標(biāo)準(zhǔn)。咱們有兩個(gè)假設(shè)，原假設(shè)H0（假設(shè)事情沒變，沒新意），備擇假設(shè)H1（假設(shè)事情有變化，有新意）。咱們得決定，看到什么樣的樣本證據(jù)，才足夠讓我們“懷疑”并“拒絕”原假設(shè)H0。顯著性水平α，就代表了咱們?cè)敢獬袚?dān)的那種“冤枉好人”（也就是拒絕了H0，但H0其實(shí)是真的）的最大風(fēng)險(xiǎn)或者概率。比如α=0.05，咱們就愿意冒5%的風(fēng)險(xiǎn)，犯了這種錯(cuò)誤。如果樣本結(jié)果算出的p值小于α，說明樣本結(jié)果太“極端”了，極端到即使H0是真的，發(fā)生的概率也只有那么一點(diǎn)點(diǎn)（比如小于5%），這就不太可能只是運(yùn)氣不好。這時(shí)候，咱們就有理由拒絕H0。如果p值大于α，說明樣本結(jié)果不那么極端，即使在H0真的情況下，這種結(jié)果發(fā)生的可能性還是挺大的（比如大于5%），那咱們就“沒有足夠證據(jù)”拒絕H0，只能暫時(shí)相信H0。所以，α就是咱們劃定的那個(gè)“證據(jù)足夠硬”的門檻，決定了咱們做決策的嚴(yán)格程度。所以，小明老師覺得，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是A。3.小明老師，咱們?cè)谥v點(diǎn)估計(jì)的時(shí)候，老師經(jīng)常說樣本均值是總體均值的一個(gè)無偏估計(jì)量。你能結(jié)合無偏估計(jì)的定義，簡(jiǎn)單解釋一下這句話是什么意思嗎？小明老師覺得啊，這得從統(tǒng)計(jì)量的期望值來說。一個(gè)估計(jì)量X?，如果它的期望值E(X?)等于它要估計(jì)的那個(gè)總體參數(shù)μ，那么咱們就說X?是μ的一個(gè)無偏估計(jì)量。這句話的意思是，如果我們反復(fù)抽樣，每次都算一個(gè)樣本均值X?，然后把這些X?加起來，再除以抽樣次數(shù)，得到的平均值，正好等于真實(shí)的總體均值μ。它就像咱們用尺子量一堵墻，尺子可能不準(zhǔn)，有系統(tǒng)誤差，但尺子不準(zhǔn)不代表每次量出來的結(jié)果都偏大或者都偏小，平均下來，多次測(cè)量結(jié)果的平均值，能比較準(zhǔn)確地反映墻的真實(shí)長(zhǎng)度。這就體現(xiàn)了無偏估計(jì)的思想，樣本均值是個(gè)好估計(jì)量，因?yàn)樗鼪]有系統(tǒng)性的偏差。所以，小明老師覺得，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是C。4.小明老師，咱們?cè)谥v樣本量確定的理論基礎(chǔ)。小明老師記得，確定樣本量，主要是為了在給定的置信水平和顯著性水平下，達(dá)到想要的精度（比如誤差范圍）。咱們想估計(jì)一個(gè)城市居民對(duì)某項(xiàng)政策的支持率，希望估計(jì)的誤差范圍（置信區(qū)間的半寬）不超過2個(gè)百分點(diǎn)，置信水平為95%。如果我們用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)，該政策的支持率的標(biāo)準(zhǔn)誤（基于比例的標(biāo)準(zhǔn)誤sqrt(p(1-p)/n)）大約為3%。那么，根據(jù)這些信息，小明老師幫你算算，大概需要抽取多少居民樣本呢？小明老師覺得啊，咱們用公式來算。對(duì)于比例，誤差范圍E=2%，置信水平95%，查Z表得臨界值Z=1.96。標(biāo)準(zhǔn)誤σp=3%。根據(jù)公式n=(Z^2*σp^2)/E^2，代入數(shù)值：n=(1.96^2*1%^2)/2%^2=(3.8416*0.0009)/0.0004=0.00345424/0.0004=8.6356。小明老師覺得，樣本量必須是整數(shù)，而且咱們要保證精度，所以得向上取整。這個(gè)8.6356有點(diǎn)小，是不是計(jì)算哪里錯(cuò)了？再算一遍：(1.96^2*0.0009)/0.0004=(3.8416*0.0009)/0.0004=0.00345424/0.0004=8.6356。向上取整，需要9個(gè)樣本。小明老師覺得，這個(gè)樣本量是不是有點(diǎn)小??？是不是標(biāo)準(zhǔn)誤3%算高了？或者題目給的條件本身就不太現(xiàn)實(shí)？不管怎么說，根據(jù)公式計(jì)算出來的結(jié)果就是這樣。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是D——需要抽取大約9個(gè)居民樣本。大家想想，樣本量確定這事兒，挺重要的。樣本量太大，浪費(fèi)資源；樣本量太小，結(jié)果不靠譜。怎么平衡精度、置信水平和成本，得好好琢磨琢磨。如果標(biāo)準(zhǔn)誤是3%，確實(shí)可能只需要9個(gè)樣本。這題可能在條件設(shè)定上讓老師覺得結(jié)果有點(diǎn)意外，但按公式計(jì)算，結(jié)果就是這樣。所以，小明老師認(rèn)為，這題的正確選項(xiàng)是D。5.小明老師，咱們想檢驗(yàn)一種新的教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)教學(xué)方法更能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布。我們隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，將他們隨機(jī)分成兩組，每組15人。一組使用新教學(xué)方法（實(shí)驗(yàn)組），另一組使用傳統(tǒng)教學(xué)方法（對(duì)照組）。一段時(shí)間后，我們分別測(cè)得兩組學(xué)生的平均數(shù)學(xué)成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差如下：實(shí)驗(yàn)組：平均成績(jī)75分，標(biāo)準(zhǔn)差8分；對(duì)照組：平均成績(jī)70分，標(biāo)準(zhǔn)差10分。請(qǐng)問，按照假設(shè)檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)步驟，完成以下任務(wù)：(1)寫出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1。咱們想檢驗(yàn)新方法是否“更能提高”成績(jī)，也就是實(shí)驗(yàn)組平均成績(jī)是否高于對(duì)照組。所以，原假設(shè)H0就是“新方法不比傳統(tǒng)方法好”，也就是兩組平均成績(jī)相等，即μ1=μ2或者說μ1-μ2=也就是說實(shí)驗(yàn)組平均成績(jī)高于對(duì)照組。咱們想支持的“新方法確實(shí)更好”，也就是實(shí)驗(yàn)組平均成績(jī)高于對(duì)照組。咱們想找的證據(jù)指向的方向。咱們?cè)僭O(shè)H0:μ1=μ2，咱們備擇假設(shè)H1:μ1>μ2。大家想想，原假設(shè)永遠(yuǎn)說“沒變化”、“沒區(qū)別”、“沒效應(yīng)”，這是咱們一開始默認(rèn)的，得有強(qiáng)證據(jù)才能推翻它。備擇假設(shè)就是咱們想支持的“新方法確實(shí)更好”，也就是實(shí)驗(yàn)組平均成績(jī)高于對(duì)照組。咱們用新方法來估計(jì)這批零件的平均長(zhǎng)度，比傳統(tǒng)方法教出來的學(xué)生平均高5分左右。這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師給出你的檢驗(yàn)結(jié)論，并說明理由。小明老師覺得啊，咱們得出結(jié)論是新方法確實(shí)更好，這個(gè)“更好”是多少呢？咱們看看均值差，實(shí)驗(yàn)組75分，對(duì)照組70分，高了5分。咱們用p值小于0.05來證明這個(gè)5分不是白來的，不是純屬巧合。這意味著，如果咱們大規(guī)模推廣新教學(xué)方法，很可能學(xué)生的平均成績(jī)會(huì)比傳統(tǒng)方法教出來的學(xué)生平均高5分左右。這5分，在數(shù)學(xué)成績(jī)里可能挺關(guān)鍵的，也許就能讓及格率提高不少。所以，小明老師認(rèn)為，咱們有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明新教學(xué)方法比傳統(tǒng)教學(xué)方法更能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。理由就是p值小于α。咱們用新方法來估計(jì)這批零件的平均長(zhǎng)度，比傳統(tǒng)方法教出來的學(xué)生平均高5分左右。這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，根據(jù)你的檢驗(yàn)結(jié)論，請(qǐng)用通俗的語言解釋這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義。小明老師覺得啊，咱們得出結(jié)論是新方法確實(shí)更好，這個(gè)“更好”是多少呢？咱們看看均值差，實(shí)驗(yàn)組75分，對(duì)照組70分，高了5分。咱們用p值小于0.05來證明這個(gè)5分不是白來的，不是純屬巧合。這意味著，如果咱們大規(guī)模推廣新教學(xué)方法，很可能學(xué)生的平均成績(jī)會(huì)比傳統(tǒng)方法教出來的學(xué)生平均高5分左右。這5分，在數(shù)學(xué)成績(jī)里可能挺關(guān)鍵的，也許就能讓及格率提高不少。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5分左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5mmHg左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5mmHg左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmHg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們這次的測(cè)試結(jié)果，新教學(xué)方法確實(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)比傳統(tǒng)教學(xué)方法好一些，這個(gè)好是統(tǒng)計(jì)上顯著的，不是碰巧碰上的。咱們有理由相信，用新方法，學(xué)生們平均能多考個(gè)5mmg左右。當(dāng)然，咱們也得考慮效應(yīng)量，也就是兩組均值差（5mmg）的實(shí)際意義大不大，但這超出了題目范圍。所以，小明老師認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果的實(shí)際意義就是：根據(jù)咱們