人教B版高二寒假作業(yè)5：數(shù)列【基礎(chǔ)鞏固】1.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是(

)

①數(shù)列1，2，3可以表示成{1,2,3}；

②數(shù)列?1，0，1與數(shù)列1，0，?1是同一數(shù)列；

③數(shù)列{1n}的第k?1項(xiàng)是1k?1；

A.①② B.③④ C.①③ D.②④2.(2024·江蘇省蘇州市·月考試卷)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中描述過如圖所示的“三角垛”，最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設(shè)各層的球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列an，即a1=1，a2=3，a3=6，…，且滿足anA.28 B.21 C.15 D.103.(2024·山東省青島市·期中考試)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若2S3=S2+3A.?2 B.?1 C.1 D.24.(2024·浙江省·月考試卷)若兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn，TA.23 B.278 C.7 5.(2024·安徽省·月考試卷)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5aA.6 B.5 C.4 D.2+6.（多選）單調(diào)遞增的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+a4A.an=2n?1 B.Sn+1?7.(2024·江西省·單元測試)朱載堉(1536?1611)，明太祖九世孫，音樂家、數(shù)學(xué)家、天文歷算家，在他多達(dá)百萬字的著述中以《樂律全書》最為著名，在西方人眼中他是大百科全書式的學(xué)者王子。他對文藝的最大貢獻(xiàn)是他創(chuàng)建了“十二平均律”，此理論被廣泛應(yīng)用在世界各國的鍵盤樂器上，包括鋼琴，故朱載堉被譽(yù)為“鋼琴理論的鼻祖”?！笆骄伞笔侵敢粋€八度有13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音頻率是最初那個音頻率的2倍，設(shè)第二個音的頻率為f2，第八個音頻率為f8，則f8f28.已知存在常數(shù)λ，使等式1?22+2?32+…+n(n+1)2=112n(n+1)(n+2)(3n+λ)對n∈9.已知函數(shù)f(x)=13(1)求證：f(x)+f(1?x)為定值；(2)利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法，

求值：f(?100)+f(?99)+…+f(0)+…+f(100)+f(101)．10.(2024·湖北省孝感市·調(diào)研試卷)我國元代數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中研究過高階等差數(shù)列問題，如數(shù)列an滿足an+1?an為等差數(shù)列，稱an為二階等差數(shù)列．已知二階等差數(shù)列1，2，4(1)求an(2)設(shè)bn=an+1?an2【拓展提升】11.(2024·江蘇省泰州市·月考試卷)意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，???，即F1=F2=1，F(xiàn)n=Fn?1+F(n?2)(n≥3,n∈N?)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被A.1346 B.673 C.1347 D.134812.（多選）(2024·山東省·單元測試)已知數(shù)列an滿足a1=10,a5=2A.an=12?2n

B.a1+a2+a3+…+an=13.(2022·福建省·月考試卷)已知函數(shù)f(x)=x2?3tx+18x?3(t?13)x?3x>3，記an14.(2024·江蘇省蘇州市·月考試卷)在①Sn=an+1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S(1)證明：數(shù)列{an}(2)設(shè)bn=(2n?3)2nan(ⅰ)求Tn(ⅱ)判斷是否存在互不相等的正整數(shù)p，q，r，使得p，q，r成等差數(shù)列且Tp+2，Tq+2，Tr+2成等比數(shù)列，若存在，求出滿足條件的所有p15.(2024·天津市·月考試卷)若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a(1)求an和b(2)對任意的正整數(shù)n，設(shè)cn=3an(3)記an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn?an+11.【答案】B

【解析】【分析】利用數(shù)列的基本概念對四個選項(xiàng)逐一判斷即可．

本題考查了數(shù)列概念的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：對于①，{1,2,3}是集合，不是數(shù)列，故①錯誤；

對于②，數(shù)列是有序的，故數(shù)列?1，0，1與數(shù)列1，0，?1是不同的數(shù)列，故②錯誤；

對于③，數(shù)列{1n}的第k?1項(xiàng)是1k?1，故③正確；

對于④，由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號有關(guān)，故④正確．2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

由已知求出通項(xiàng)公式，即可求a6【解答】

解：由題意可知，a1=1，an=an?1+nn≥2，

即an?an?1=nn≥2，

所以an=a3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，屬容易題．

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式列出方程組，解方程組可得．【解答】

解：據(jù)題意得2(3a1+3×22d)=2a1+d+34.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題．

由已知，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，把a(bǔ)5b5【解答】

解：∵數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列，5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，涉及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

由題意可得a5a6【解答】

解：由題意可得a5a6+a3a8=2a5a6=6，6.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．

由條件可得a3=4，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2+【解答】

解：由a2a3a4=64可得a33=43，

即a3=4，

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

由a2+a4=10，得4q+4q=10，

即2q2?5q+2=0，

解得q=2或q=12，

因?yàn)閿?shù)列{7.【答案】2【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

依題意13個音的頻率成等比數(shù)列，記為{an}，設(shè)公比為q【解答】

解：依題意13個音的頻率成等比數(shù)列，記為{an}，設(shè)公比為q，

則a13=a1q12，且a13=28.【答案】5；(k+1)(k+2)【解析】【分析】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，是一般題．

令n=1即可求出λ的值，寫出

n=k(k∈N?)【解答】

解：因?yàn)榈仁??22+2?32+…+n(n+1)2=112n(n+1)(n+2)(3n+λ)對n∈N?都成立，

所以令n=1得4=112×2×3×(3+λ)，

解得λ=5．

所以當(dāng)n=k(k∈N?)等式成立，

即9.【答案】(1)證明：因?yàn)閒(x)=13x+3．

f(x)+f(1?x)=13x+3+131?x+3

=13x+3+3x3+3x?3

=3x+33+3x?3=33，

所以【解析】本題考查函數(shù)的解析式的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，倒序相加求和，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中檔題．

(?1?)利用函數(shù)的解析式直接求解即可．

(?2?)

利用倒序相加求和的方法化簡求解即可．10.【答案】解：(1)由

a2?a1=1

，

a3∴

an+1?an=1+n?1×1=n所以，當(dāng)

n≥2

時，an=(a又

a1=1

，也適合，所以

a(2)bnTn=12Tn①?②，得12Tn∴

Tn=2

【解析】本題考查錯位相減法求和，考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于一般題．

(1)根據(jù)題意可得

an?an?1(2)由(1)得

bn=n211.【答案】C

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的周期性在數(shù)列求和問題中的應(yīng)用，屬于拔高題．

找到除以2后余數(shù)的規(guī)律，即周期，即可解決問題．

【解答】解：由題意可得：若

an=0

，等價于

Fn

為偶數(shù)，若

an=1

則

a1=1,猜想：

an=當(dāng)

k=1

時，

a1=1,假設(shè)當(dāng)

k=m≥1m∈N?

時，

a3m?2=1,a3m?1=1,a3m當(dāng)

k=m+1

時，則

F3m+1=F3m?1+F3m

為奇數(shù)，

F3m+2故

a3m+1=1,所以an=則連續(xù)三項(xiàng)之和為2，故數(shù)列

an

的前2020項(xiàng)的和為

a1故選：C．12.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查了等差數(shù)列的判定以及通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查最值問題，屬于拔高題．

由遞推式可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，由a1=10，a5=2，可求得公差d，從而可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，即可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)n=6時，an=0，當(dāng)n?5時，an>0，當(dāng)n?6時，an?0，從而可求得|a1|+|a2|+|a【解答】解：由an+2?2a所以數(shù)列{a因?yàn)閍1=10，a5所以an=a當(dāng)n=6時，an=0，所以當(dāng)n?5時，an>0，當(dāng)所以當(dāng)n?5時，|a1|+|a2當(dāng)n?6時，|a1=?(=?S所以|a1|+||an|=|12?2n|，當(dāng)n=6時，|an當(dāng)n=5或n=6時，a1+a2+故選：AC．13.【答案】(5【解析】【分析】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列、二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難題．

分別得出{an}在n≤3，n>3時為遞減數(shù)列對應(yīng)t的范圍，又{an}在n∈N【解答】

解：要使{an}在n≤3且n∈N?時為遞減數(shù)列，需函數(shù)f(x)=x2?3tx+18圖象的對稱軸在直線x=52右側(cè)，則只需

3t2>52，解得t>53；

要使{an}在n>3且n∈N?時為遞減數(shù)列，需函數(shù)f(x)=(t?13)x?3在x>3時單調(diào)遞減，則必須滿足t?13<014.【答案】解：(1)證明：若選?①，

由Sn=an+12n，得Sn+1=an+1+12(n+1)，

兩式相減，得an+1=an+1+12(n+1)?an+12n，

整理得(n?1)an+1=nan?1，

所以nan+2=(n+1)an+1?1，

兩式相減得nan+nan+2=2nan+1，

所以an+an+2=2an+1，

所以an是等差數(shù)列，

由Sn=an+12n得a1=a1+12，

所以a1=1，

又a2=3，

所以{an}的公差d=2，

所以an=1+2(n?1)=2n?1；

若選?②，

由Sn=anan+1+14，得4Sn=anan+1+1，

則4Sn+1=an+1an+2+1，

兩式相減，得4an+1=an+1an+2?anan+1，

因?yàn)閍n≠0，

所以an+1≠0，

所以an+2?an=4，

因?yàn)椤窘馕觥勘绢}考查等差數(shù)列的判定或證明、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的前n項(xiàng)和及Sn與an的關(guān)系、裂項(xiàng)相消法求和，屬于較難題．

(1)若選?①，由Sn=an+12n，得Sn+1=an+1+12(n+1)，兩式相減，得an+1=an+1+12(n+1)?an+12n，即(n?1)an+1=nan?1，得出nan+2=(n+1)an+1?1，兩式相減得出an+an+2=2an+1，即可判定數(shù)列a15.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列

an

的公差為

d

，等比數(shù)列

bn

的公比為

q因?yàn)?/p>

a1=1

，

a所以

a1+4d=5d

，解得所以

an

的通項(xiàng)公式為

an由

b1=1,又

q≠0

，得

q2?4q+4=0解得

q=2

，所以

bn

的通項(xiàng)公式為

bn(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，

cn=當(dāng)n為偶數(shù)時，

cn=對任意的正整數(shù)n，有

k=1nck=1nc由①得

14k=1由①?②得

34k=1=24所以

k=1nc所以

k=12nc所以數(shù)列

cn

的前2n項(xiàng)和為

4n(3)因?yàn)?/p>

2Sn?an+1≤m(n+1)bn+1而

Sn=n(1+n)2

即

n?1≤m2n?1

，可得

n?12n?1令

g(n)=n?12n?1

g(n+1)?g(n)=n2n+1當(dāng)