20212022學(xué)年北師大版六年級下冊同步重難點(diǎn)講義精講精練第四單元正比例和反比例知識點(diǎn)一：變化的量1.相互關(guān)聯(lián)的變量在一定條件下的變化是有規(guī)律的。2.列表與畫圖都可以表示變量之間的變化關(guān)系。分析表格時(shí)，要弄清兩個(gè)變量及相對應(yīng)的數(shù)據(jù)；分析圖時(shí)，要弄清圖中橫軸、縱軸表示的量的名稱，以及圖中每一個(gè)點(diǎn)所對應(yīng)的兩個(gè)量的多少。3.一般用含有字母的式子表示有規(guī)律的變量的變化規(guī)律，應(yīng)先根據(jù)題中的條件寫出等量關(guān)系式，再將等量關(guān)系式用字母表示出來。知識點(diǎn)二：正比例1.成正比例的量的特征：一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，在變化過程中這兩個(gè)量的比值一定。2.如果用x和y表示兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，用k（一定）表示它們的比值，正比例關(guān)系可以表示為yx=k（一定）3.判斷兩個(gè)量是否成正比例的方法（1）首先，要確定這兩個(gè)量是不是相關(guān)聯(lián)的量（其中一個(gè)量是否隨著另一個(gè)量的變化而變化）；（2）其次，要根據(jù)兩個(gè)變量之間的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系，計(jì)算出兩個(gè)變量每一對數(shù)值的比值；（3）最后，根據(jù)比值是否一定來判斷這兩個(gè)變量是否成正比例。知識點(diǎn)三：正比例圖像1.成正比例的兩個(gè)量表示的各點(diǎn)在同一條直線上，即正比例圖象的特征是一條直線。2.從正比例圖象中可以得出任意一點(diǎn)所表示的意義。3.觀察正比例圖象時(shí)，要先明確橫軸、縱軸表示的意義，從圖象中可以直觀地看出兩個(gè)量的變化情況，不需要計(jì)算，由一個(gè)量的值可以直接找到與它對應(yīng)的另一個(gè)量的值。知識點(diǎn)四：反比例1.成反比例的量的特征：一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，在變化過程中這兩個(gè)量的積一定。2.如果用字母x和y表示兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，用k（一定）表示它們的乘積，反比例關(guān)系可以表示為xy=k（一定）。3.判斷兩個(gè)量是否成反比例的方法（1）首先，要確定這兩個(gè)量是不是相關(guān)聯(lián)的量（其中一個(gè)量是否隨著另一個(gè)量的變化而變化）；（2）其次，要根據(jù)兩個(gè)變量之間的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系，計(jì)算出兩個(gè)變量每一對數(shù)值的積；（3）最后，根據(jù)積是否一定來判斷這兩個(gè)變量是否成反比例。4.正比例和反比例的異同點(diǎn)=考點(diǎn)1：正比例和反比例的意義【典例分析01】（2021春?淶源縣期中）下圖是一列火車行駛的路程和時(shí)間的對應(yīng)圖。這列火車4.5小時(shí)大約行駛（）千米。A．520 B．500 C．540 D．600【思路引導(dǎo)】由圖象可知，火車的速度是120千米/時(shí)，是一定的，根據(jù)“路程÷時(shí)間＝速度（一定）”這列火車行駛的路程和時(shí)間成正比例，根據(jù)“路程＝速度×?xí)r間”即可解答?！就暾獯稹拷猓?20×4.5＝540（千米）答：這列火車4.5小時(shí)大約行540千米。故選：C?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】本題主要考查了正比例的意義，以及路程與時(shí)間、速度的關(guān)系?！镜淅治?2】用、、12和8組成的比例是12：＝8：?！舅悸芬龑?dǎo)】比例是指表示兩個(gè)比相等的式子；據(jù)此先分別求出每組中兩個(gè)比的比值，根據(jù)兩個(gè)比的比值相等，就能組成比例來解答?！就暾獯稹拷猓河谩?2和8組成的比例是12：＝8：（答案不唯一）。故答案為：12：＝8：（答案不唯一）?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】解決此題關(guān)鍵是先求出每組比的比值，進(jìn)而根據(jù)比例的意義判斷即可?！咀兪接?xùn)練11】（2022春?惠來縣期中）已知7x＝8y，x和y成比例；已知＝，x和y成比例．【變式訓(xùn)練12】（2021?太原）李師傅加工一批零件，工作時(shí)間與加工零件總數(shù)的關(guān)系如圖。（1）工作時(shí)間與加工零件總數(shù)成比例。（2）照這樣計(jì)算，加工270個(gè)零件需要小時(shí)?？键c(diǎn)2：正比例【典例分析03】（2021春?沛縣期中）如圖表示一輛汽車在高速公路上行駛的路程和耗油關(guān)系。根據(jù)圖像判斷，行駛125千米耗油（）升。A．9 B．10 C．11 D．12【思路引導(dǎo)】從圖象中找到路程為125千米的點(diǎn)，看它對應(yīng)的耗油量?！就暾獯稹拷猓郝烦?25千米，從圖象上看耗油量是10升。故選：B?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】此題重點(diǎn)考查從折線統(tǒng)計(jì)圖中讀取信息進(jìn)行分析?！镜淅治?4】乘船的人數(shù)與所付船費(fèi)如下表。人數(shù)/人1234船費(fèi)/元5101520（1）表格中的船費(fèi)和人數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，船費(fèi)隨著人數(shù)的變化而變化；（2）船費(fèi)與人數(shù)數(shù)量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值是5，這個(gè)比值實(shí)際上表示每人所付的船費(fèi)；（3）因?yàn)槊咳说乃洞M(fèi)一定，所以船費(fèi)和人數(shù)成正比例關(guān)系?！舅悸芬龑?dǎo)】（1）上表中，表格中的船費(fèi)和人數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，船費(fèi)隨著人數(shù)的變化而變化；（2）求船費(fèi)與人數(shù)數(shù)量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值，用船費(fèi)：人數(shù)＝每人所付的船費(fèi)，所以這個(gè)比值表示每人所付的船費(fèi)；（3）因?yàn)榇M(fèi)：人數(shù)＝每人所付的船費(fèi)，每人所付船費(fèi)一定，所以船費(fèi)和人數(shù)成正比例關(guān)系；據(jù)此解答?！就暾獯稹拷猓海?）表格中的船費(fèi)和人數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，船費(fèi)隨著人數(shù)的變化而變化；（2）5：1＝10：2答：船費(fèi)與人數(shù)數(shù)量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值是5，這個(gè)比值實(shí)際上表示每人所付的船費(fèi)；（3）因?yàn)槊咳说乃洞M(fèi)一定，所以船費(fèi)和人數(shù)成正比例關(guān)系。故答案為：船費(fèi)，人數(shù)，人數(shù)；5，每人所付的船費(fèi)；所付船費(fèi)，船費(fèi)，人數(shù)，正?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】此題主要考查正比例的意義以及總價(jià)、數(shù)量和單價(jià)之間的關(guān)系，正比例的意義是：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量。【變式訓(xùn)練21】（2021?南京）若x＝y(tǒng)，則x：y＝（：），x和y成比例?！咀兪接?xùn)練22】（2021春?鄆城縣期中）如圖表示的是一根水管不停地向水箱注水，水箱內(nèi)水的體積的變化情況。（1）圖中的A點(diǎn)表示分時(shí)，注入水箱內(nèi)水的體積是L。（2）看圖回答，表中x、y對應(yīng)的是什么數(shù)？注水時(shí)間（分）513y水的體積（L）10x40（3）當(dāng)22分時(shí)，水箱內(nèi)有水多少升？（列比例解答）考點(diǎn)3：反比例【典例分析05】（2021?廣州模擬）成反比例的兩種量在變化過程中，一種量縮小，另一種量（）A．?dāng)U大 B．縮小 C．不變【思路引導(dǎo)】反比例的意義：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系，如果用字母x和y表示這兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的乘積（一定），反比例的關(guān)系可以表示為：xy＝k（一定）?！就暾獯稹拷猓撼煞幢壤膬煞N量在變化過程中，因?yàn)槌朔e一定，所以一種量擴(kuò)大，另一種量縮小。故選：A。【考察注意點(diǎn)】此題主要考查反比例的意義，關(guān)鍵是理解兩種變量之間的關(guān)系?！镜淅治?6】（2020春?坪山區(qū)期末）如果x和y成反比例關(guān)系，當(dāng)x＝9時(shí)，y＝3；那么當(dāng)x＝10時(shí)，y＝2.7?！舅悸芬龑?dǎo)】如果x和y成反比例關(guān)系，則xy一定，當(dāng)x＝9時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝10時(shí)，y是多少？列出方程10y＝9×3，解方程，即可得解?！就暾獯稹拷猓河深}意10y＝9×310y÷10＝9×3÷10y＝2.7答：如果x和y成反比例關(guān)系，當(dāng)x＝9時(shí)，y＝3；那么當(dāng)x＝10時(shí)，y＝2.7。故答案為：2.7。【考察注意點(diǎn)】此題屬于根據(jù)正、反比例的意義來解決問題：成正比例，兩種量是對應(yīng)的比值一定；成反比例則對應(yīng)的乘積一定?！咀兪接?xùn)練31】（2012春?館陶縣期末）A、B、C三量的關(guān)系時(shí)A×B＝C中，當(dāng)C一定時(shí)，A和B成關(guān)系．【變式訓(xùn)練32】（2019?衡水模擬）下表中x與y兩個(gè)量成反比例，請把表格填寫完整．X360Y40.312考點(diǎn)4：辨識成正比例的量與成反比例的量【典例分析07】（2022春?陜州區(qū)期中）（）中的兩個(gè)量不成比例。A．在同一個(gè)正方形中，正方形的周長和邊長 B．一箱蘋果，吃掉的個(gè)數(shù)和剩下的個(gè)數(shù) C．長方體的體積一定，底面積和高【思路引導(dǎo)】判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個(gè)量是對應(yīng)的比值一定，還是對應(yīng)的乘積一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘積一定，則成反比例。【完整解答】解：A.正方形的周長÷邊長＝4（一定），商一定，所以在同一個(gè)正方形中，正方形的周長和邊長成正比例；B.吃掉的個(gè)數(shù)+剩下的個(gè)數(shù)＝這箱蘋果的總個(gè)數(shù)（一定），和一定，所以吃掉的個(gè)數(shù)和剩下的個(gè)數(shù)不成比例；C.長方體的底面積×高＝長方體的體積（一定），乘積一定，所以底面積和高成反比例。故選：B?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】此題屬于辨識成正、反比例的量，就看這兩個(gè)量是對應(yīng)的比值一定，還是對應(yīng)的乘積一定，再作判斷。【典例分析08】（2021春?南靖縣期末）下列敘述其中正確的說法有（）個(gè)。①長方體、正方體、圓柱的體積都可以用“底面積×高”計(jì)算；②圓柱的半徑一定，則圓柱的側(cè)面積和高成正比例關(guān)系；③甲：乙＝4：5，則乙比甲多25%；④某地白天和夜晚的平均氣溫分別是9℃和﹣3℃，白天和夜晚的平均溫度相差6℃。A．1 B．2 C．3 D．4【思路引導(dǎo)】①長方體、正方體、圓柱的體積都可以用“底面積×高”計(jì)算；②判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個(gè)量是對應(yīng)的比值一定，還是對應(yīng)的乘積一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘積一定，則成反比例；③假設(shè)甲是4，乙是5，求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾，用多的數(shù)除以另一個(gè)數(shù)解答；④某地白天和夜晚的平均氣溫分別是9℃和﹣3℃，白天和夜晚的平均溫度相差（9+3）℃?！就暾獯稹拷猓孩賄＝Sh，適用于長方體、正方體、圓柱的體積計(jì)算，原題說法正確；②圓柱的側(cè)面積：S＝2πrh，所以S÷h＝2πr（一定），商一定，所以圓柱的側(cè)面積和高成正比例關(guān)系，原題說法正確；③假設(shè)甲是4，乙是5，則（5﹣4）÷4＝25%，所以乙比甲多25%，原題說法正確；④9+3＝12（℃），白天和夜晚的平均溫度相差12℃，所以原題說法錯(cuò)誤。所以正確的有①②③共3個(gè)。故選：C。【考察注意點(diǎn)】熟練掌握長方體、正方體、圓柱的體積的計(jì)算方法、判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例的方法、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾的方法以及溫差的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵?！咀兪接?xùn)練41】（2022春?京山市期中）加工一批零件所用的時(shí)間一定，平均加工一個(gè)零件所用的時(shí)間和零件的總個(gè)數(shù)比例關(guān)系。（填“不成”、“成正”或“成反”）【變式訓(xùn)練42】（2022春?沭陽縣校級月考）如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系可以表示為；如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積，反比例關(guān)系可以表示為基礎(chǔ)練一．選擇題1．下面各選項(xiàng)中的兩種量，成反比例的是（）A．圓錐的體積一定，它的底面積和高 B．全班人數(shù)一定，出勤人數(shù)與缺勤人數(shù) C．圓的周長與它的半徑 D．一本故事書，已讀的頁數(shù)與未讀的頁數(shù)2．（2021秋?望謨縣期末）甲數(shù)比乙數(shù)多，甲數(shù)與乙數(shù)的比是（）A．1：4 B．4：5 C．5：43．（2022?拱墅區(qū)模擬）如果女生人數(shù)占全班人數(shù)的60%，那么男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是（）A．2：5 B．2：3 C．5：3． D．3：2二．填空題4．（2022春?簡陽市期中）當(dāng)圓柱的體積一定時(shí)，底面積和高，圓的周長和直徑（選填“成正比例、成反比例或不成比例”）5．（2022春?韶關(guān)期中）在A×B＝C中，當(dāng)B一定時(shí)，A和C成比例，當(dāng)C一定時(shí)，A和B成比例。6．（2022春?陜州區(qū)期中）已知3x＝4y（x、y均不為0），x和y成比例關(guān)系，x：y＝；如果，x和y成比例關(guān)系。7．（2021秋?崆峒區(qū)期末）從甲地到乙地，客車要行4小時(shí)，貨車要行5小時(shí)，客車和貨車的時(shí)間比是：，客車和貨車的速度比是：．三．判斷題8．在ab﹣3＝15，因?yàn)橛袦p法，所以a與b不成比例。（判斷對錯(cuò)）9．（2021秋?長沙期末）參加60米賽跑，甲同學(xué)要15秒，乙同學(xué)要14秒．甲和乙跑步速度的比是15：14．．（判斷對錯(cuò)）10．（2021春?浚縣校級月考）＝5y（x、y不為0）那么x與y成反比例。（判斷對錯(cuò)）四．應(yīng)用題11．如圖方格紙上的“點(diǎn)”表示輪船的航行速度。（1）輪船的行駛速度是千米/時(shí)，輪船行駛所用時(shí)間和路程成比例。（2）這艘輪船2.5時(shí)行駛了多少千米？（3）這艘輪船行了180千米，行駛了多少時(shí)？五．解答題12．判斷下面每題中的兩個(gè)量是否成正比例關(guān)系，并說明理由。（1）梨的單價(jià)一定，購買梨的總價(jià)和數(shù)量。（2）每小時(shí)織布米數(shù)一定，織布的總米數(shù)和時(shí)間。（3）一個(gè)人的體重與他的年齡。（4）修一條路，已修的米數(shù)和未修的米數(shù)。（5）每袋大米的質(zhì)量一定，大米的總質(zhì)量和袋數(shù)。13．（2021春?鎮(zhèn)安縣期末）購買一種筆筒的數(shù)量和應(yīng)付金額如表。數(shù)量/個(gè)012345…應(yīng)付金額/元0816243240…（1）判斷應(yīng)付金額與筆筒的數(shù)量是否成正比例關(guān)系，并說明理由。（2）先把表中數(shù)量和應(yīng)付金額所對應(yīng)的點(diǎn)描在方格紙上，再順次連接。（3）買20個(gè)筆筒需要元；144元最多可以買個(gè)這樣的筆筒。14．電信公司推出校園卡業(yè)務(wù)，下圖表示長途電話通話時(shí)間與話費(fèi)的關(guān)系，觀察如圖并回答后面的問題。（1）校園卡每分鐘話費(fèi)是多少？（2）通話1小時(shí)需要話費(fèi)多少？（3）淘氣和國外表哥通話花費(fèi)16.5元，他倆通話了多長時(shí)間？15．（2020秋?江城區(qū)期末）女生人數(shù)占男生人數(shù)的，則女生與男生人數(shù)的比是，男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的．提高練一．選擇題1．（2022春?魯山縣月考）底面半徑都為2的圓柱、圓錐和棱長為2的正方體等高，則圓柱、圓錐和正方體的體積之比是（）A．3m：π：1 B．π：3π：1 C．1：2：3 D．3π：π：32．（2021春?濱?？h期中）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是正方形，這個(gè)圓柱的高與底面直徑之比為（）A．1：1 B．1：π C．π：1 D．π：23．（2021春?羅湖區(qū)期末）下面說法正確的是（）A．總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成正比例 B．實(shí)際距離一定，圖上距離與比例尺成反比例 C．正方體體積一定，底面積和高成正比例 D．因?yàn)閤＝2y（x≠0），所以x和y成正比例二．填空題4．在下表的空格中填上合適的數(shù)。x與y成正比例關(guān)系。x28y2.465．如圖表示同一時(shí)間、同一地點(diǎn)測得的不同樹的高度與影長的關(guān)系。（1）樹高與影長成比例。（2）如果樹高3.5m，它的影長是m。（3）如果一棵樹的影長是5.4m，這棵樹高m。6．（2021?沭陽縣）有兩枝蠟燭。當(dāng)?shù)谝恢θ既?，第二枝燃去時(shí)，它們剩下的部分一樣長。這兩枝蠟燭原來長度比是。三．判斷題7．（2021秋?蠡縣期末）大牛和小牛的頭數(shù)比是4：5，表示大牛比小牛少．．（判斷對錯(cuò)）8．（2021?綿竹市）如果＝，那么x與y成反比例關(guān)系．．（判斷對錯(cuò)）9．（2020秋?榆樹市期末）小明身高154cm，弟弟的身高是1m，小明和弟弟身高的比是154：1．．（判斷對錯(cuò)）四．操作題10．（2016春?旅順口區(qū)校級月考）如圖是大連到沈陽G67次高速動車運(yùn)行情況圖．（假設(shè)勻速行駛）（1）從圖上看，高速動車4分行駛千米；（2）高速動車的速度是千米/時(shí)；（3）高速動車所行駛的路程和時(shí)間成比例；（4）大連到沈陽的里程是390千米，高速動車需時(shí)到達(dá)．（5）高速動車3.5分大約行駛到哪里，請你在圖上標(biāo)出來．11．描一描，畫一畫．某人走12千米的路，他所走的速度與時(shí)間的關(guān)系如下表：速度（千米/時(shí)）1