第2講分解素因數(shù)一【學(xué)習(xí)目標(biāo)】分解素因數(shù)是六年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第二節(jié)內(nèi)容，主要包含素?cái)?shù)、合數(shù)的概念以及分解素因數(shù)，公因數(shù)與最大公因數(shù)，公倍數(shù)與最小公倍數(shù)這三大塊內(nèi)容，這節(jié)課主要講解前面兩大塊內(nèi)容，重點(diǎn)是素?cái)?shù)與合數(shù)的概念以及分解素因數(shù)，難點(diǎn)是求2個(gè)整數(shù)或者是3個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)．通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)一方面為我們后面學(xué)習(xí)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)奠定基礎(chǔ)，另一方面用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．【基礎(chǔ)知識(shí)】1.2.3.4.5.6.重要結(jié)論：【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：素?cái)?shù)與合數(shù)1、素?cái)?shù)與合數(shù)（1）素?cái)?shù)：一個(gè)正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，則叫做素?cái)?shù)，也叫做質(zhì)數(shù)；（2）合數(shù)：一個(gè)正整數(shù)，如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，則叫做合數(shù)；（3）1既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)；正整數(shù)可分為：1、素?cái)?shù)和合數(shù)三類．例1．判斷37，39，47和49是素?cái)?shù)還是合數(shù)．【難度】★【答案】37和47是素?cái)?shù)，39和40是合數(shù)．【解析】因?yàn)?7和47都只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，所以37和47是素?cái)?shù)，39和40除了1和它本身之外，還有其它的因數(shù)，因此39和40是合數(shù)．【總結(jié)】本題主要考查素?cái)?shù)和合數(shù)的概念．例2．下列各數(shù)中，哪些是素?cái)?shù)？哪些是合數(shù)？6，13，18，31，51，67，87，120．【難度】★【答案】13，31，67是素?cái)?shù)；6，18，51，87，120是合數(shù)．【解析】13，31，67只有1和本身兩個(gè)因數(shù)，是素?cái)?shù)；6，18，51，87，120除了1和本身，還有其他因數(shù)，是合數(shù)．【總結(jié)】本題主要考查素?cái)?shù)和合數(shù)的概念．例3．根據(jù)要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64這八個(gè)數(shù)中：是奇數(shù)又是素?cái)?shù)的數(shù)是（ ）；是奇數(shù)不是素?cái)?shù)的數(shù)是（ ）；是素?cái)?shù)而不是奇數(shù)的數(shù)是（ ）；是合數(shù)而不是偶數(shù)的數(shù)是（ ）．【難度】★【答案】（1）43，59；（2）1，9，21，51；（3）2；（4）9，21，51．【解析】略【總結(jié)】本題主要是對(duì)基本概念的考查．例4．已知字母、分別代表一個(gè)素?cái)?shù)，并且p+q=99，你能知道、這兩個(gè)數(shù)相乘的積是多少嗎？【難度】★★【答案】194【解析】99是一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)的和，且這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)，所以這兩個(gè)數(shù)是2和97，積是194．【總結(jié)】2是最小的素?cái)?shù)，也是唯一的偶素?cái)?shù)．例5．判斷題（若是正確的，請(qǐng)說明理由；若是錯(cuò)誤的，請(qǐng)把它改正確）．所有的偶數(shù)是合數(shù)，所有的奇數(shù)是素?cái)?shù)；某數(shù)是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是合數(shù)；一個(gè)合數(shù)至少有3個(gè)因數(shù)；在所有的素?cái)?shù)中，只有2是偶數(shù)，其余的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；一個(gè)自然數(shù)，如果不是素?cái)?shù)，就一定是合數(shù)；兩個(gè)素?cái)?shù)的和一定是合數(shù)；大于2的合數(shù)都是偶數(shù)；一個(gè)大于1的自然數(shù)，如果有小于本身的因數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定是合數(shù)．【難度】★★【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×．【解析】（1）錯(cuò)誤，偶數(shù)中2是素?cái)?shù)，其余為合數(shù)，奇數(shù)中既有素?cái)?shù)，也有合數(shù)；（2）錯(cuò)誤，3的倍數(shù)中，3是素?cái)?shù)，其余為合數(shù)；（3）正確，合數(shù)除了1和本身還有其他因數(shù)，故至少有3個(gè)；（4）正確，2是素?cái)?shù)中唯一的偶數(shù)；（5）錯(cuò)誤，0，1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)；（6）錯(cuò)誤，兩個(gè)素?cái)?shù)的和既有可能是素?cái)?shù)，也有可能是合數(shù)，如2+3=5，但2、/3、5都是素?cái)?shù)．（7）錯(cuò)誤，大于2的合數(shù)有奇數(shù)，也有偶數(shù)，如39是合數(shù)，但不是偶數(shù)；（8）錯(cuò)誤，任何正整數(shù)的因數(shù)都有1，但是不能說明其是合數(shù)；【總結(jié)】本題主要是考查素?cái)?shù)與合數(shù)的概念，要準(zhǔn)確理解．例6．用10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，使它能同時(shí)被3、5整除，這個(gè)數(shù)最小和最大分別是多少？【難度】★★【答案】375和735．【解析】這個(gè)三位數(shù)是5的倍數(shù)，個(gè)位數(shù)字是5；能被3整除，三個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)；故包含3、5、7三個(gè)數(shù)字，最小是375，最大是735．師生總結(jié)師生總結(jié)最小的素?cái)?shù)是幾？最小的合數(shù)是幾？最小的偶素?cái)?shù)是幾？如何判斷一個(gè)正整數(shù)是不是素?cái)?shù)？1.最小的素?cái)?shù)是2，最小的合數(shù)是4.2，最小的偶素?cái)?shù)是2.,3.一個(gè)正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，則叫做素?cái)?shù)，也叫做質(zhì)數(shù)；例7.一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，交換個(gè)位與十位上的數(shù)字，所得的兩位數(shù)仍是質(zhì)數(shù)，這個(gè)數(shù)是多少？【難度】★★【答案】11，13，17，31，37，71，73，79，97．【解析】?jī)晌毁|(zhì)數(shù)中，十位數(shù)字是2、4、5、6、8的，不滿足條件，剩余的有：11，13，17，19，31，37，53，59，71，73，79，97，其中滿足條件的有：11，13，17，31，37，71，73，79，97．【總結(jié)】本題主要查對(duì)質(zhì)數(shù)概念的理解和運(yùn)用．考點(diǎn)二：分解素因數(shù)1、分解素因數(shù)每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式，其中每個(gè)素?cái)?shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的素因數(shù)．把一個(gè)合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)．2、口算法分解素因數(shù)例如：．3、短除法分解素因數(shù)3557形如右圖，這種在左側(cè)寫除數(shù)，下方寫商的除法格式叫做“短除法3557用短除法分解素因數(shù)的步驟如下：（1）先用一個(gè)能整除這個(gè)合數(shù)的素?cái)?shù)（通常從最小的開始）去除；（2）得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是素?cái)?shù)為止；（3）然后把各個(gè)除數(shù)和最后的商按從小到大的順序?qū)懗蛇B乘的形式．例1．把24分解素因數(shù)的正確算式是（）A． B．C． D．【難度】★【答案】B【解析】A、D選項(xiàng)中有合數(shù)，C選項(xiàng)中有1，1既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)．【總結(jié)】每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式，叫做分解素因數(shù)．例2.在等式中，4和6都是的（），2和3都是的（）A．素因數(shù) B．素?cái)?shù) C．因數(shù) D．合數(shù)【難度】★【答案】C、A【總結(jié)】本題主要考察素?cái)?shù)和素因數(shù)的區(qū)別．例3.把以下各數(shù)分解素因數(shù)：35，72，105，108，238．【難度】★【答案】35=5×7；72=2×2×2×3×3；105=3×5×7；108=2×2×3×3×3；238=2×7×17．【總結(jié)】本題主要考查如何將一個(gè)合數(shù)分解素因數(shù)．例4.請(qǐng)把2、3、5、7、14、15這六個(gè)數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等．【難度】★★【答案】3、5、14和2、7、15．【解析】因?yàn)?4=2×7，所以14和2、7分在兩組；因?yàn)?5=3×5，所以15和3、5分在兩組；故：3、5、14一組，2、7、15一組．【總結(jié)】本題主要是對(duì)分解素因數(shù)的綜合運(yùn)用．例5.如果表示全部素因數(shù)的和，如，試求的值．【難度】★★【答案】7【解析】由已知得：<35>=5+7=14，<10>=2+5=7，所以<35>－<10>=7．【總結(jié)】本題類似于閱讀理解題，要對(duì)所表示的概念準(zhǔn)確理解．例6.下面的算式里，□里數(shù)字各不相同，求這四個(gè)數(shù)字的和． □□×□□=1995．【難度】★★【答案】20【解析】因?yàn)?995=3×5×7×19=35×57，所以這四個(gè)數(shù)分別是3、5、5、7，和是：3+5+5+7=20．【總結(jié)】本題主要是對(duì)分解素因數(shù)的綜合運(yùn)用．師生總結(jié)師生總結(jié)分解素因數(shù)的方法有哪些？2、歸納總結(jié)短除法分解素因數(shù)的步驟．歸納短除法步驟：

（1）先用一個(gè)能整除這個(gè)合數(shù)的素?cái)?shù)（通常從最小的開始）去除；（2）得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是素?cái)?shù)為止；

（3）然后把各個(gè)除數(shù)和最后的商按照從小到大的順序?qū)懗蛇B乘的形式。例7.有168顆糖，平均分成若干份，每份不得少于10顆，也不能多于50顆．共有多少種分法？【難度】★★【答案】5種【解析】由因?yàn)?68=1×168=2×84=3×56=4×42=6×28=8×21=12×14；所以168的因數(shù)有：1，2，3，4，6，8，12，14，21，28，42，56，84，168．因?yàn)槊糠莶坏蒙儆?0顆，也不能多于50顆，所以滿足條件的因數(shù)有：12、14、21、28、42．所以共有5種分法．【總結(jié)】本題主要是利用因數(shù)的概念解決實(shí)際問題．例8.把一籃蘋果分給4人，使四人的蘋果數(shù)一個(gè)比一個(gè)多2，且他們的蘋果個(gè)數(shù)之積是1920．這籃蘋果共有多少個(gè)？【難度】★★【答案】28個(gè)【解析】因?yàn)?920=2×2×2×2×2×2×2×3×5=4×6×8×10，所以四個(gè)小朋友分別分到4、6、8、10個(gè)蘋果，4+6+8+10=20(個(gè))答：這籃蘋果共有20個(gè)．【總結(jié)】本題是一道應(yīng)用題，主要是還是利用分解素因數(shù)的思想進(jìn)行求解．考點(diǎn)三：公因數(shù)和最大公因數(shù)1、公因數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)．2、最大公因數(shù)幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)中，最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．3、兩個(gè)數(shù)互素如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1，那么稱這兩個(gè)數(shù)互素．4、求最大公因數(shù)求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，只要把它們所有公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)．例1．求出下列各組數(shù)的公因數(shù)．（1）14和42； （2）121和44； （3）28和56； （4）17和9．【難度】★【答案】（1）14；（2）11；（3）28；（4）1．【解析】（1）兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小數(shù)；（2）兩個(gè)數(shù)既不是倍數(shù)關(guān)系，也不是互素關(guān)系，用短除法；（3）兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小數(shù)；（4）兩個(gè)數(shù)互素，最大公因數(shù)是1；例2．指出下列哪組中的兩個(gè)數(shù)互素．（1）3和5； （2）6和9； （3）14和15； （4）18和1．【難度】★【答案】（1）（3）（4）．【解析】如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1，那么稱這兩個(gè)數(shù)互素．【總結(jié)】互素兩數(shù)的幾種常見類型：（1）兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；（2）一個(gè)素?cái)?shù)，一個(gè)合數(shù)；（3）1和其它的任意正整數(shù)．例3．找出下列各數(shù)的公因數(shù)與最大公因數(shù)．（1）84、28、60； （2）12、16、20．【難度】★【答案】（1）公因數(shù)：1、2、4，最大公因數(shù)：4；（2）公因數(shù)：1、2、4，最大公因數(shù)：4．【解析】（1）因?yàn)?4=2×2×3×7；28=2×2×7；60=2×2×3×5；所以公因數(shù)：1、2、4，最大公因數(shù)：4；（2）因?yàn)?2=2×2×3；16=2×2×2×2；20=2×2×5；所以公因數(shù)：1、2、4，最大公因數(shù)：4；【總結(jié)】本題主要考察公因數(shù)和最大公因數(shù)的概念．例4．下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè) ①2是4和16的一個(gè)公因數(shù)； ②12是24和36的最大公因數(shù)； ③如果兩個(gè)數(shù)互素，那么這兩個(gè)數(shù)一定都是素?cái)?shù)； ④1和任何正整數(shù)互素．A．0 B．1 C．2 D．3【難度】★★【答案】D【解析】①②④正確；③錯(cuò)誤，兩個(gè)數(shù)互素要求兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1．【總結(jié)】常見的兩個(gè)互素的數(shù)有：（1）兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；（2）一個(gè)素?cái)?shù)，一個(gè)合數(shù)；（3）1和任何正整數(shù)；（4）任意兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)等．例5．已知都為自然數(shù)，且，，那么的最大公因數(shù)是多少？【難度】★★【答案】p【解析】m是n的倍數(shù)，n是p的倍數(shù)，因此m是p的倍數(shù)；所以最大公因數(shù)是p．【總結(jié)】若三個(gè)數(shù)都是倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公因數(shù)是最小的那個(gè)數(shù)．例6．已知兩個(gè)數(shù)的積是5766，它們的最大公因數(shù)是31，求這兩個(gè)數(shù)．【難度】★★【答案】31、168或62、93．【解析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)是31a，31b(a、b互素)，則：31a×31b=5766∴ab=6a=1，b=6時(shí)，兩個(gè)數(shù)是31、168；②a=2，b=3時(shí)，兩個(gè)數(shù)是62、93．【總結(jié)】本題是一道綜合題，綜合運(yùn)用了最大公因數(shù)和因數(shù)的概念．例7．將長(zhǎng)、寬、高分別是120厘米，90厘米，60厘米的長(zhǎng)方體木料鋸成同樣大小的正方體木塊，而沒有剩余，鋸成的木塊棱長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少？共可以鋸成多少塊？【難度】★★【答案】30厘米，9塊【解析】120、90、60的最大公因數(shù)是30，所以棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為30厘米．（120+90+60）÷30=9（塊）答：鋸成的木塊棱長(zhǎng)最長(zhǎng)是30厘米，共可以鋸成9塊．【總結(jié)】本題是利用最大公因數(shù)的思想解決實(shí)際問題．例8．學(xué)校買來40支圓珠筆和50本練習(xí)本，平均獎(jiǎng)給四年級(jí)三好學(xué)生，結(jié)果圓珠筆多4支，練習(xí)本多2本，四年級(jí)有多少名三好學(xué)生，他們各得到什么獎(jiǎng)品？【難度】★★【答案】（1）12名，3支圓珠筆，4本練習(xí)本；（2）6名，6支圓珠筆，8本練習(xí)本．【解析】404=36（支），502=48（本），36與48的最大公因數(shù)是12．12=1×12=2×6=3×4．（1）若12名，每人3支圓珠筆，4本練習(xí)本；（2）若6名，每人6支圓珠筆，8本練習(xí)本；（3）若4名或2名，圓珠筆可分完，與題意矛盾；【總結(jié)】本題是利用最大公因數(shù)的思想解決實(shí)際問題．師生總結(jié)師生總結(jié)1、兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)的方法有哪些？2、互素的兩個(gè)整數(shù)具有什么樣的特征？用列舉法,短除法，分解素因數(shù)法。結(jié)論：結(jié)論：如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1，那么稱這兩個(gè)數(shù)互素．【真題演練】1.（2019建平西校10月考3）下列說法正確的是（）

A.奇數(shù)都是素?cái)?shù);

B.素?cái)?shù)都是奇數(shù)；C.合數(shù)不都是偶數(shù);

D.偶數(shù)都是合數(shù).

【答案】C；【解析】解：A、奇數(shù)不一定是素?cái)?shù)，如9等，故A錯(cuò)誤；B、素?cái)?shù)不一定是奇數(shù)，如2，故B錯(cuò)誤；C、合數(shù)不都是偶數(shù)，正確；D、偶數(shù)不一定是合數(shù)，如2，故D錯(cuò)誤；因此答案選C.2.（奉賢2019期中2）下列分解素因數(shù)正確的是（）A.；B.；C.；D..【答案】A；【解析】解：將12分解素因數(shù)為，故答案選A.3.（2019曹楊二附10月考13）下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A.在所有正整數(shù)中，除2外所有的偶數(shù)都是合數(shù);B.在所有的正整數(shù)中，除了素?cái)?shù)都是合數(shù);C.一個(gè)合數(shù)至少有三個(gè)因數(shù)：D.兩個(gè)合數(shù)可能是互素;【答案】B；【解析】解：A、在所有正整數(shù)中，除2外所有偶數(shù)都是合數(shù)，A正確；B、在所有正整數(shù)中，除了素?cái)?shù)、合數(shù)外還有1，故B錯(cuò)誤；C、一個(gè)合數(shù)至少有三個(gè)因數(shù)，故C正確；D、兩個(gè)合數(shù)可能互素，如9與10，故D正確；因此答案選B.4.（嘉定2019期中16）下列說法正確的是（）A.合數(shù)都是偶數(shù)；B.素?cái)?shù)都是奇數(shù)；C.自然數(shù)不是素?cái)?shù)就是合數(shù)；D.不存在最大的合數(shù)．【答案】D；【解析】解：A、合數(shù)不一定是偶數(shù)，如9是合數(shù)但不是偶數(shù)，故A錯(cuò)誤；B、素?cái)?shù)2是偶數(shù)，故B錯(cuò)誤；C、自然數(shù)除了素?cái)?shù)與合數(shù)外，還有1、0，故C錯(cuò)誤；D、不存在最大的合數(shù)，故D正確；故答案選D.5.（建平西2019期中5）和都是正整數(shù)，而且,那么a和b的最大公因數(shù)是（

）

A.

B.

C.2

D.

【答案】B；【解析】解：因?yàn)閍和b都是正整數(shù)，而且,所以a和b的最大公因數(shù)為b,故答案選B.6.（建平西2019期中6）客廳的地面是長(zhǎng)6米、寬4.8米的長(zhǎng)方形，如果要用完整的地磚鋪滿客廳的地面，那么下列規(guī)格的地磚(單位:厘米)中，可以選擇（）A.

B.

C.D.

【答案】C；【解析】解：因?yàn)榈孛骈L(zhǎng)600厘米，寬480厘米，600與480的最大公因數(shù)是120，故可選規(guī)格為60×60.7.（浦東四署2020期末1）下列各組數(shù)中互素的是（）A.4和6；B.9和10；C.14和21；D.27和51.【答案】B；【解析】解：A、4和6的公因數(shù)有1、2，故4和6不互素；B、9和10只有公因數(shù)1，故9和10互素；C、14與21的公因數(shù)有1，7，故它們不互素；D、27和51的公因數(shù)有1，3，故它們不互素；因此答案選B.8.（2019曹楊二附10月考14）如果兩個(gè)素?cái)?shù)相差2，那么兩個(gè)素?cái)?shù)稱為一對(duì)孿生素?cái)?shù)，在小于20的正整數(shù)中，孿生素?cái)?shù)共有（）A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)【答案】D；【解析】解：20以內(nèi)素?cái)?shù)有2、3、5、7、11、13、17、19，故3、5、11、17分別加上2以后仍然是素?cái)?shù)，故孿生素?cái)?shù)有（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）四對(duì)，答案選D.9（2019徐教院附中10月考7）最小的素?cái)?shù)是_____，最小的合數(shù)是____.【答案】2,4;【解析】解：最小的素?cái)?shù)為2，最小的合數(shù)為4.10（閔行區(qū)2020期末7）把18分解素因數(shù)，那么18=.【答案】；【解析】解：把18分解素因數(shù)為18=.11（嘉定區(qū)2020期末1）3和24的最大公因數(shù)是_________.【答案】3；【解析】解：3和24的最大公因數(shù)是3.12（2019浦東四署10月考12）甲數(shù)=2×2×3，乙數(shù)=2×3×3×5，甲數(shù)與乙數(shù)的最大公因數(shù)是.

【答案】6;【解析】解：因?yàn)榧讛?shù)=2×2×3，乙數(shù)=2×3×3×5，所以甲數(shù)與乙數(shù)的最大公因數(shù)為：2×3=6.13.（2019建平西校10月考12）最小的自然數(shù)、最小的素?cái)?shù)和最小的合數(shù)之和為___________.【答案】6；【解析】解：最小的自然數(shù)為0，最小的素?cái)?shù)為2，最小的合數(shù)為4，故0+2+4=6.14.（奉賢2019期中8）30和45的最大公因數(shù)是.【答案】15；【解析】解：因?yàn)?0=2×3×5，45=3×3×5，故它們的最大公因數(shù)為3×5=15.15.（浦東南片十六校2020期末11），則A和B的最大公因數(shù)是.【答案】10；【解析】解：根據(jù)題意，A與B的最大公因數(shù)為它們相同的素因數(shù)的乘積即為：=10.16.（盧灣中學(xué)2020期末6）12與18的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的和是

?！敬鸢浮?2；【解析】解：因?yàn)?，所以它們的最大公因?shù)是6，最小公倍數(shù)是，因此6+36=42.17.（浦東四署2020期末8）分解素因數(shù)：42=.【答案】2×3×7；【解析】解：把42分解素因數(shù)為42=2×3×7.18．（虹口區(qū)2019期末10）一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是最小的素?cái)?shù)，個(gè)位數(shù)字是最小的合數(shù)，將這個(gè)兩位數(shù)分解素因數(shù)是．【答案】；【解析】解：十位數(shù)字是最小的素?cái)?shù)為2，個(gè)位數(shù)是最小的合數(shù)4，故這個(gè)兩位數(shù)為24，將24分解素因數(shù)為.19.（2019上南中學(xué)10月考17）兩個(gè)正整數(shù)的積是24，這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)是素?cái)?shù)，另一個(gè)是偶數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)是.【答案】3和8；【解析】解：因?yàn)閮蓚€(gè)正整數(shù)的積為24，故這兩個(gè)正整數(shù)為24的因數(shù)，而24的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、24；其中一個(gè)是素?cái)?shù)，另一個(gè)是偶數(shù)，故這兩個(gè)數(shù)為3與8.20.（川沙中學(xué)南校2019期末10）在20以內(nèi)的素?cái)?shù)中，加上2還是素?cái)?shù).【答案】3、5、11、17；【解析】解：20以內(nèi)的素?cái)?shù)有2、3、5、7、11、13、17、19，若加上2還是素?cái)?shù)，則它們是3、5、11、17.21.（嘉定2019期中13）一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為30厘米，且長(zhǎng)和寬都是素?cái)?shù)，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是平方厘米．【答案】26；【解析】解：根據(jù)題意，長(zhǎng)與寬之和為15，而15=2+13，故這個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬為2與13，其面積為26.22（浦東四署2018期中7）將60分解素因數(shù)的結(jié)果是：60＝.【答案】分解素因數(shù)有多種方法，但重點(diǎn)是熟練掌握“短除法”.因?yàn)椋?，所?【點(diǎn)睛】熟練掌握用“短除法”把一個(gè)合數(shù)分解成幾個(gè)素因數(shù)積的形式.23.（嘉定2019期中27）有三根繩子，分別長(zhǎng)米，米，米，現(xiàn)在要將它們裁成長(zhǎng)度相等的短繩且沒有剩余，每根短繩最長(zhǎng)可以是幾米？這樣的短繩有幾根？【答案】6米；17根；【解析】解：根據(jù)題意得24=2×2×2×3，30=2×3×5，48=2×2×2×2×3，故24、30與48的最大公因數(shù)為2×3=6；所以.答：每根短繩最長(zhǎng)可以是6米，這樣的短繩有17根.【過關(guān)檢測(cè)】1.下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)①一個(gè)自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)； ②任何一個(gè)自然數(shù)至少有2個(gè)因數(shù)；③90分解素因數(shù)是90=529； ④兩個(gè)素?cái)?shù)的和一定是偶數(shù)；A．0 B．1 C．2 D．3【難度】★【答案】A【解析】①錯(cuò)誤：正整數(shù)分為1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)；②錯(cuò)誤：1只有本身一個(gè)因數(shù)；③錯(cuò)誤：分解素因數(shù)：素因數(shù)都是素?cái)?shù)，本題中9是合數(shù)；④錯(cuò)誤：素?cái)?shù)2與任意非2素?cái)?shù)之和是奇數(shù)；【總結(jié)】本題主要是考查素?cái)?shù)的特征．2.求出下列每組數(shù)的最大公因數(shù)．（1）48和72； （2）104和182； （3）13和52； （4）160和185．【難度】★【答案】（1）24；（2）26；（3）13；（4）5．【解析】（1）短除法得：48與72的最大公因數(shù)是24；（2）短除法得：104與182的最大公因數(shù)是26；（3）13和52是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小數(shù)，13與52的最大公因數(shù)是13；（4）短除法得：160與185的最大公因數(shù)是5．【總結(jié)】本題主要是考查求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．3.已知四個(gè)小于10的自然數(shù)，它們的積是360．已知這四個(gè)數(shù)中只有一個(gè)是合數(shù)，求這四個(gè)數(shù)．【難度】★【答案】3、3、5、8【解析】因?yàn)?60=2×2×2×3×3×5，又四個(gè)數(shù)中只有一個(gè)合數(shù)，且小于10，所以只能是8．所以這四個(gè)數(shù)是3、3、5、8；【總結(jié)】本題還是考查分解素因數(shù)的運(yùn)用．4.已知：，，則和的公因數(shù)有哪些，最大公因數(shù)是幾？【難度】★【答案】公因數(shù)：3、5、15；最大公因數(shù)：15．【解析】略【總結(jié)】求最大公因數(shù)的方法：①枚舉法；②短除法；③分解素因數(shù)法．5..將20寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)最大乘積是多少？【難度】★【答案】91【解析】因?yàn)?0可以寫成3+17或7+13的兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，所以積最大是：7×13=91．【總結(jié)】本題主要考查如何把一個(gè)數(shù)寫成兩個(gè)素?cái)?shù)的和．6.下列各數(shù)中是否含有相同的公因數(shù)，若含有請(qǐng)指出，并求出最大公因數(shù)．（1）6和9； （2）27和51； （3）28、42和56．【難度】★【答案】（1）含有，最大公因數(shù)：3；（2）含有，最大公因數(shù)：3；（3）含有，最大公因數(shù)：14．【解析】（1）6=2×3；9=3×3；含有公因數(shù)1、3，最大公因數(shù)：3；（2）27=3×3×3，51=3×17，含有公因數(shù)1、3，最大公因數(shù)：3；（3）28=2×2×7，42=2×3×7，56=2×2×2×7，含有公因數(shù)1、2，7，14，最大公因數(shù)：14；【總結(jié)】本題主要考查公因數(shù)和最大公因數(shù)的概念．7.將下列各數(shù)分解素因數(shù)．36，81，143，437，663【難度】★★【答案】36=2×2×3×3；81=3×3×3×3；143=11×13；663=3×13×17．【總結(jié)】本題主要是考查如何將一個(gè)正整數(shù)分解素因數(shù)．8.兩個(gè)數(shù)的和為90，兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是15，求這兩個(gè)數(shù)．【難度】★★【答案】15，75【解析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)是15a，15b(a、b互素)，則：15a+15b=90，所以a+b=6．因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是15，所以a=1，b=5．所以這兩個(gè)數(shù)是15、75．【總結(jié)】本題已知兩數(shù)和和兩數(shù)的最大公因數(shù)，在求這兩個(gè)數(shù)時(shí)注意方法的選用．9.已知兩個(gè)數(shù)的和被5除余1，它們的積是2924，那么它們的差等于多少？【難度】★★【答案】25【解析】2924=2×2×17×43=1×2924=2×1462=4×731=17×172=34×86=43×68