第15講復(fù)數(shù)及其四則遠(yuǎn)算（練習(xí)）夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2021·江蘇高一單元測試）已知復(fù)數(shù)z=1+ai(a∈R)，且z(2+3i)為純虛數(shù)，則a=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則和純虛數(shù)的定義，計算即可.【詳解】解：復(fù)數(shù)z=1+ai(a∈R)，則z(2+3i)=(1+ai)(2+3i)=(23a)+(2a+3)i，由純虛數(shù)的定義知，，解得故選：A.2．（2021·天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學(xué)高一月考）(2+i)(1+2i)=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用復(fù)數(shù)減法法則計算即可.【詳解】(2+i)(1+2i)=(21)+(12)i=故選：A3．（2021·浙江高一期末）設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法法則化簡復(fù)數(shù)，由此可得出結(jié)論.【詳解】，因此，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點位于第三象限.故選：C.4．（2021·全國高一課時練習(xí)）設(shè)a－2＋(2a＋1)i的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a＝（）A．－3 B．－2C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)實部與虛部的概念列式，即解得結(jié)果.【詳解】由題意知，a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故選：A.5．（2021·江蘇高一單元測試）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得.【詳解】，，則.故選：B.6．（2021·天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學(xué)高一月考）若復(fù)數(shù)z滿足(z1)i=1+i其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=（）A．2i B．2+i C．2i D．2+i【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】因為(z1)i=1+i，所以，所以.故選：D.7．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z＝a2＋(2a＋3)i的實部大于虛部，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．－1或3 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)題意實部大于虛部列式求解不等式，即得結(jié)果.【詳解】由已知實部大于虛部，可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，即，解得或，故實數(shù)a的取值范圍是或.故選：B.8．（2021·全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用除法化簡計算，然后代入模長公式計算.【詳解】變形得，所以.故選：A.二、填空題9．（2020·天津市軍糧城中學(xué)高一月考）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則z的虛部為___________.【答案】.【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算以及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】，所以復(fù)數(shù)z的虛部為.故答案為：.10．（2021·湖南長沙市·長沙一中高一月考）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則___________.【答案】【分析】直接對化簡可求出復(fù)數(shù)【詳解】解：由，得，所以故答案為：11．（2021·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高一月考）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為________．【答案】1【分析】由純虛數(shù)的概念得實部為0，且虛部非0，可解得.【詳解】因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以解得.故答案為：1.12．（2021·江蘇高一單元測試）下列命題，是真命題的有___________①兩個復(fù)數(shù)不能比較大小；②若x，y∈C，x+yi=1+i的充要條件是x=y=1；③若實數(shù)a與ai對應(yīng)，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)；④實數(shù)集相對復(fù)數(shù)集的補集是虛數(shù)集.【答案】④【分析】舉例說明①③錯誤；由兩復(fù)數(shù)相等的充要條件說明②錯誤；由集合間的關(guān)系說明④正確.【詳解】解：對于①，若兩個復(fù)數(shù)為實數(shù)，則能比較大小，故①錯誤；對于②，當(dāng)且僅當(dāng)x，y∈R，x+yi=1+i的充要條件是x=y=1，故②錯誤；對于③，當(dāng)a=0時，0i=0不是純虛數(shù)，故③錯誤；對于④，實數(shù)集和虛數(shù)集構(gòu)成復(fù)數(shù)集，所以實數(shù)集相對復(fù)數(shù)集的補集是虛數(shù)集，故④正確.故答案為：④.13．（2021·天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學(xué)高一月考）設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)為________________【答案】2【分析】把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，再由復(fù)數(shù)的分類求解．【詳解】，它為純虛數(shù)，則且，解得．故答案為：2．14．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一個根，則m＋n＝____.【答案】【分析】將代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則，得到，再由復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可；【詳解】解：將代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即，即，由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得解得故.故答案為：15．（2021·全國高一課時練習(xí)）給出下列說法：①復(fù)數(shù)由實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成；②滿足x2=1的數(shù)x只有i；③形如bi(b∈R)的數(shù)不一定是純虛數(shù)；④復(fù)數(shù)m+ni的實部一定是m.其中正確說法的個數(shù)為_________.【答案】1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解【詳解】③中b=0時bi=0，不是純虛數(shù).故③正確.①中復(fù)數(shù)分為實數(shù)與虛數(shù)兩大類；②中平方為1的數(shù)為±i；④中m，n不一定為實數(shù)，故①②④錯誤.故答案為：1三、解答題16．（2021·江蘇高一單元測試）已知復(fù)數(shù)z1滿足：|z1|=1+3i﹣z1.（1）求z1（2）若復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且是實數(shù)，求.【答案】（1）z1=4+3i；（2）.【分析】（1）設(shè)z1=x+yi(x，y∈R)，代入|z1|=1+3i﹣z1，整理后利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得x，y的值，則z1可求；（2）令z2=a+2i，a∈R，由（1）知，z1=4+3i，代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由虛部為0求得a值，則答案可求.【詳解】解：（1）設(shè)z1=x+yi(x，y∈R)，則，故，解得，∴z1=﹣4+3i；（2）令z2=a+2i，a∈R，由（1）知，z1=4+3i，則=，∵是實數(shù)，∴3a+8=0，即a=∴，則.17．（2021·全國高一課時練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.（1）若z1＋z2是實數(shù)，求z1·z2的值；（2）若是純虛數(shù)，求|z1|.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求得，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算求的值；（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，由實部為0且虛部不為0求得，則可求．【詳解】解：（1）（其中，，，由是實數(shù)，得．，，則；（2）由是純虛數(shù)，得，即．．18．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知z1＝1－i，z2＝2＋2i.（1）求z1·z2；（2）若，求z.【答案】（1）4；（2）.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則即可解出.【詳解】(1)因為z1＝1－i，z2＝2＋2i，所以z1·z2＝(1－i)(2＋2i)＝4.(2)由，得，所以.19．（2021·浙江高一單元測試）已知復(fù)數(shù).（1）若在復(fù)平面中所對應(yīng)的點在直線上，求的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化簡，得在復(fù)平面中所對應(yīng)的點的坐標(biāo)，代入直線計算；（2）代入模長公式表示出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【詳解】（1）化簡得，所以在復(fù)平面中所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在直線上，所以，得.（2），因為，且，所以，所以的取值范圍為.能力提升1．有下列4個命題：=1\*GB3①若是復(fù)數(shù)，且，則；=2\*GB3②若，則；=3\*GB3③若，則是實數(shù)；=4\*GB3④若分別對應(yīng)點A、B（O為坐標(biāo)原點）且，則，上述命題中正確的是．（寫出所有正確命題的序號）【難度】★★【答案】=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④2．設(shè)|z|＝5，|z|＝2,|z－|＝，求=_________?！倦y度】★★【答案】3．如果復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，那么實數(shù)等于．【難度】★★【答案】4．已知復(fù)數(shù)，則的最大值是（） A．2 B．1 C． D．【難度】★★【答案】B5．已知復(fù)數(shù)，如果=，求實數(shù)的值．【難度】★★【答案】6．?dāng)?shù)，若，求【難度】★★【答案】，則，當(dāng)時，；當(dāng)當(dāng)時，．7．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，，若<，求的取值范圍．【難度】★★★【答案】8．已知為實數(shù)，是否存在實數(shù)使得復(fù)數(shù)和滿足關(guān)系？若存在，求出的取值或取值范圍；若不存在，請說明理由．【難度】★★【答案】存在，或．9．已知復(fù)數(shù)的實部大于零，且滿足的虛部為2．（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)在復(fù)平面上的對應(yīng)點分別為A、B、C，求的值．【難度】★★★【答案】（1）；（2）．10．設(shè)，．求證：是純虛數(shù)；求的取值范圍．【難度】★★★【答案】11．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第象限．【難度】★★【答案】四12．以滿足復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為頂點，構(gòu)成一個對稱實軸的多邊形，它的面積等于